6

Сходимость в разделённых областях

[4/100%]
Показать
LaTeX
Задача 3.259

Ряд

z1+z+z2(1+z)(1+z2)+z4(1+z)(1+z2)(1+z4)++z8(1+z)(1+z2)(1+z4)(1+z8)+… \begin{aligned} \frac{z}{1+z}+\frac{z^{2}}{(1+z)\left(1+z^{2}\right)}+\frac{z^{4}}{(1+z)\left(1+z^{2}\right)\left(1+z^{4}\right)} & + \\ & +\frac{z^{8}}{(1+z)\left(1+z^{2}\right)\left(1+z^{4}\right)\left(1+z^{8}\right)}+\ldots \end{aligned}

равномерно сходится в каждой замкнутой области, лежащей целиком внутри или целиком вне единичного круга, и имеет суммой zz или 11, смотря по тому, будет ли ∣z∣<1\left|z\right|<1 или ∣z∣>1\left|z\right|>1. [I 14.]

?
Задача 3.260

Ряд

1+∑n=1∞α(α+n)n−1xne−nxn!, 1+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\alpha (\alpha +n)^{n-1} x^{n} e^{-n x}}{n!},

где α\alpha — произвольное постоянное число ≠0\neq 0, равномерно сходится для всех положительных значений xx. В интервале 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 он представляет функцию eαxe^{\alpha x}, а в интервале 1<x<∞1<x<\infty — отличную от нее аналитическую функцию.

?
Задача 3.261

Последовательность функций с общим членом

fn(z)=[n1]1z+[n2]2z+…+[nn]nzn(1z−1+2z−1+…+nz−1) f_{n}(z)=\frac{\left[\frac{n}{1}\right] 1^{z}+\left[\frac{n}{2}\right] 2^{z}+\ldots +\left[\frac{n}{n}\right] n^{z}}{n\left(1^{z-1}+2^{z-1}+\ldots +n^{z-1}\right)}

равномерно сходится в каждой ограниченной замкнутой области, не содержащей точек мнимой оси.

?
Задача 3.262

Пусть

φ(z)=αz+β1z, \varphi (z)=\alpha z+\beta \frac{1}{z},

где

α>0,β>0,α+β=1. \alpha >0, \beta >0, \alpha +\beta =1 .

Последовательность «итерированных функций»

φ(z),φ[φ(z)],φ{φ[φ(z)]},… \varphi (z), \varphi [\varphi (z)], \varphi \left\{ \varphi [\varphi (z)]\right\} , \ldots

сходится к +1+1 для Re(z)>0\mathrm{Re}\left(z\right)>0, сходится к −1-1 для Re(z)<0\mathrm{Re}\left(z\right)<0, наконец, расходится для Re(z)=0\mathrm{Re}\left(z\right)=0.

?
Примечание.
?

G. Pólya, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 25, стр. 337, 1917. Решение — H. Prüfer, там же, серия 3, т. 28, стр. 179—180, 1920.