Действительная часть степенного ряда

Пусть функция

регулярна в круге $\left|z\right|<R$. Выразить коэффициенты $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ через вещественную, соответственно мнимую, часть $f(z)$ на окружности $\left|z\right|=r$, $0<r<R$.

(Продолжение.) Положим $\mathrm{Re}\left(f\left(r e^{i \vartheta }\right)\right)=U(r, \vartheta )$. Если $f(0)$ вещественно, то в круге $\left|z\right|<r$

(Продолжение.) Если $f(z)$ на окружности $\left|z\right|=r$ не обращается в нуль, а в круге $\left|z\right|<r$ имеет нули $c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{m}$, то в этом круге

где $\gamma$ — некоторое вещественное постоянное число.

Пусть функция $f(z)$ регулярна и имеет положительную вещественную часть в открытом круге $\left|z\right|<R$ и, кроме того, непрерывна в замкнутом круге $\left|z\right| \leqslant R$. Если вещественная часть функции $f(z)$ тождественно равна нулю на некоторой дуге граничной окружности, то мнимая часть $f(z)$ на этой дуге монотонно изменяется, а именно убывает при возрастании аргумента $z$.

Пусть функция

регулярна в круге $\left|z\right|<R$. Положим $f\left(r e^{i \vartheta }\right)=U(r, \vartheta )+i V(r, \vartheta )$, где $U(r, \vartheta )$ и $V(r, \vartheta )$ вещественны. Тогда соотношение

будет иметь место для всех $r$ в интервале $0<r<R$, если оно удовлетворяется для $r=0$.

Пусть функция

регулярна в круге $\left|z\right|<1$ и имеет в нем положительную вещественную часть. Тогда

Ни в одном из этих неравенств нельзя заменить единицу меньшим числом.

Пусть функция

регулярна в круге $\left|z\right|<R$, причем в этом круге $\mathrm{Re}\left(f(z)\right)<A$. Тогда для всех $r$ в интервале $0<r<R$ имеет место неравенство

Пример.

Пусть ряд Лорана

сходится в кольцеобразной области $0<\left|z\right|<\infty$ (шаровая поверхность с изъятыми полюсами) и в точках $z=0$ и $z=\infty$ имеет существенные особенности. Обозначим максимум вещественной части функции $\psi (z)$ на окружности $\left|z\right|=r$ через $A(r)$. Тогда $A(r)$ при $r \rightarrow \infty$ возрастает быстрее любой сколь угодно большой степени $r$, а при $r \rightarrow 0$ — быстрее любой сколь угодно большой степени $\frac{1}{r}$. Более точно

Пусть функция

регулярна в круге $\left|z\right|<R$. Обозначим через $\Delta (f)$ наибольшее колебание вещественной части $f(z)$ в круге $\left|z\right|<R$, т. е. верхнюю грань для $\left|\mathrm{Re}\left(f\left(z_{1}\right)\right)-\mathrm{Re}\left(f\left(z_{2}\right)\right)\right|$ при $\left|z_{1}\right|<R$, $\left|z_{2}\right|<R$. Тогда

При этом постоянная $\frac{2}{\pi }$ здесь не может быть заменена меньшей. Какую геометрическую интерпретацию можно дать этой теореме?

Пусть функция

регулярна в круге $\left|z\right|<R$. Обозначим через $D(f)$ наибольшее колебание $f(z)$ в круге $\left|z\right|<R$, т. е. верхнюю грань для $\left|f\left(z_{1}\right)-f\left(z_{2}\right)\right|$ при $\left|z_{1}\right|<R$, $\left|z_{2}\right|<R$. Тогда

При этом $\frac{1}{2}$ не может быть заменена здесь меньшей постоянной. Каков геометрический смысл этой теоремы?

Пусть функция $f(z)$ подчинена следующим условиям:

1. $f(z)$ регулярна и $\left|f(z)\right| \leqslant M$ в круге $\left|z-s\right| \leqslant r$.

2. $f(z)$ не обращается в нуль в замкнутом полукруге $\left|z-s\right| \leqslant r$, $\mathrm{Re}\left(z-s\right) \geqslant 0$.

3. $f(z)$ в круге $\left|z-s\right| \leqslant \frac{2}{3} r$ имеет нули $c_{1}, c_{2}, \ldots , c_{l}$. Тогда