Тождественно обращающиеся в нуль степенные ряды

Пусть числовая последовательность $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ подчинена условию

Тогда ряд

сходится в бесконечной полосе

плоскости $s$ и притом абсолютно и равномерно в каждой внутренней полосе $-h+\varepsilon \leqslant \mathrm{Re}\left(s\right) \leqslant h-\varepsilon$, $\varepsilon >0$, и представляет в этой бесконечной полосе аналитическую функцию $\Phi (s)$. Эта функция может быть тождественно равна нулю лишь в том случае, если все коэффициенты $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ равны нулю.

Пусть степенной ряд

сходится внутри единичного круга, причем его значение вместе со значениями всех его производных стремится к нулю, когда $z$ приближается по вещественной оси к точке $z=1$, т. е. $\lim_{z \rightarrow 1} f^{(n)}(z)=0$, $n=0,1,2, \ldots$ Тогда либо

1. $f(z)$ тождественно равна нулю, т. е. $a_{n}=0$, $n=0,1,2, \ldots$, либо

2. $z=1$ есть особая точка функции $f(z)$. Если указанный степенной ряд сходится в некотором круге, большем, чем единичный, т. е. если

то необходимо имеет место случай 1). Вывести то же заключение из более слабого предположения

Последнее утверждение задачи 249 уже несправедливо, если на коэффициенты $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ ряда $f(z)$ вместо условия $\limsup_{n \rightarrow \infty } \frac{\ln \left|a_{n}\right|}{\sqrt{n}}<0$ наложено более слабое условие