7

Порядок роста некоторых последовательностей многочленов

[3/100%]
Показать
LaTeX
Задача 3.263

Пусть z=reiφz=r e^{i \varphi } и h(φ)h(\varphi ) — опорная функция неограниченной выпуклой области, рассмотренной в задаче 114. Показать, что последовательность

z(z−1)(z−2)…(z−n+1)(z−n)n!e−rh(φ)(n=1,2,3,…) \frac{\sqrt{z}(z-1)(z-2) \ldots (z-n+1)(z-n)}{n!} e^{-r h(\varphi )} \quad (n=1,2,3, \ldots )

ограничена во всей полуплоскости Re(z)⩾0\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0 [12, II 220]; h(φ)h(\varphi ) является наименьшей функцией угла φ\varphi, обладающей этим свойством.

?
Задача 3.264

Пусть h(φ)h(\varphi ) — опорная функция выпуклой области задачи 115; показать, что последовательность

z(1−z212)(1−z222)…(1−z2n2)e−rh(φ)(n=1,2,3,…,z=reiφ) z\left(1-\frac{z^{2}}{1^{2}}\right)\left(1-\frac{z^{2}}{2^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{z^{2}}{n^{2}}\right) e^{-r h(\varphi )} \quad \left(n=1,2,3, \ldots , z=r e^{i \varphi }\right)

ограничена во всей плоскости [13, II 221]; h(φ)h(\varphi ) является наименьшей функцией угла φ\varphi, обладающей этим свойством.

?
Примечание.
?

См. N. E. Nörlund, l. c. 254, стр. 214.

Задача 3.265

Пусть h(φ)h(\varphi ) — опорная функция выпуклой области задачи 116. Показать, что во всей плоскости zz выполняется неравенство

∣1+zn∣ne−rh(φ)⩽1(n=1,2,3,…,z=reiφ). \left|1+\frac{z}{n}\right|^{n} e^{-r h(\varphi )} \leqslant 1 \quad \left(n=1,2,3, \ldots , z=r e^{i \varphi }\right) .
?