Строение действительных последовательностей и рядов

Пусть числовая последовательность $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ удовлетворяет условию

тогда последовательность

должна либо сходиться, либо расходиться к $-\infty$, причем предел этой последовательности будет равен ее нижней грани.

Пусть числовая последовательность $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ удовлетворяет условию

Тогда существует конечный предел

причем

Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится к нулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним и верхним пределами $\liminf$ и $\limsup$.

Пусть ряд $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}+\ldots$ с положительными членами расходится, однако $\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n}=0$. Положим $a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=s_{n}$ и обозначим через $\left[s_{n}\right]$ наибольшее целое число, не превосходящее $s_{n}$. Определить совокупность предельных точек последовательности

Пусть для последовательности $t_{1}, t_{2}, \ldots , t_{n}, \ldots$ существует такая последовательность стремящихся к нулю положительных чисел $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots , \varepsilon_{n}, \ldots$, что для каждого $n$

Тогда числа $t_{1}, t_{2}, \ldots , t_{n}, \ldots$ лежат всюду плотно между их нижним и верхним пределами.

Пусть $v_{1}, v_{2}, \ldots , v_{n}, \ldots$ — положительные целые числа, $v_{1} \leqslant v_{2} \leqslant v_{3} \leqslant \ldots$ Совокупность предельных точек последовательности

заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу).

Показать, что из любой сходящейся последовательности можно выделить подпоследовательность, члены которой образуют последовательные частичные суммы некоторого абсолютно сходящегося ряда.

Числовая последовательность, стремящаяся к $+\infty$, имеет наименьший член.

Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой.

Пусть $l_{1}, l_{2}, \ldots , l_{m}, \ldots$ — последовательность положительных чисел и $\liminf_{m \rightarrow \infty } l_{m}=0$. Тогда существует бесконечное множество номеров $n$, для которых $l_{n}$ меньше всех предшествующих ему членов последовательности $l_{1}, l_{2}, \ldots , l_{n-1}$.

Пусть $l_{1}, l_{2}, \ldots , l_{m}, \ldots$ — последовательность положительных чисел и $\lim_{m \rightarrow \infty } l_{m}=0$. Тогда существует бесконечно много номеров $n$, для которых $l_{n}$ превосходит все следующие за ним члены $l_{n+1}, l_{n+2}, l_{n+3}, \ldots$ (Не только утверждение, но и предположение отлично от соответствующих в теореме 107.)

Пусть числовые последовательности

обладают тем свойством, что

Тогда существует бесконечно много номеров $n$, для которых одновременно выполняются неравенства

l_n>l_n+1, l_n>l_n+2, l_n>l_n+3, , l_n s_n>l_n-1 s_n-1, l_n s_n>l_n-2 s_n-2, , l_n s_n>l_1 s_1 107,108

Если числовая последовательность $\frac{L_{1}}{1}, \frac{L_{2}}{2}, \ldots , \frac{L_{m}}{m}, \ldots$ стремится к $+\infty$ и $A$ превышает ее наименьший член [105], то существует такой номер $n$ (возможно, несколько таких), $n \geqslant 1$, что $n$ отношений

все не больше $A$, а бесконечное множество отношений

все не меньше $A$.

Пусть относительно числовой последовательности $l_{1}, l_{2}, \ldots , l_{m}, \ldots$ предполагается лишь, что

Пусть, далее, $A>l_{1}$. Тогда существует такой номер $n$, $n \geqslant 1$, что одновременно выполняются все неравенства

Если $A \rightarrow \infty$, то также $n \rightarrow \infty$.

Пусть числовая последовательность $l_{1}, l_{2}, \ldots , l_{m}, \ldots$ удовлетворяет условиям

Пусть, далее, $l_{1}>A>0$. Тогда существует такой номер $n$, $n \geqslant 1$, что одновременно выполняются все неравенства

Если $A \rightarrow 0$, то $n \rightarrow \infty$.

Показать, что

Пусть $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{m}, \ldots$ — любые вещественные числа, не равные нулю. Если существует такое положительное расстояние $\delta$, что $\left|x_{l}-x_{k}\right| \geqslant \delta$ при $l, k=1,2,3, \ldots , l \neq k$, то показатель сходимости последовательности абсолютных величин $\left|x_{1}\right|, \left|x_{2}\right|, \ldots , \left|x_{m}\right|, \ldots$ не превосходит единицу.

Пусть $\beta$ больше показателя сходимости последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{m}, \ldots$ Тогда существует бесчисленное множество номеров $n$, для которых удовлетворяются $n-1$ неравенств

Пусть показатель сходимости $\lambda$ последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{m}, \ldots$ положителен и $0<\alpha <\lambda <\beta$. Тогда существует бесчисленное множество номеров $n$, для которых одновременно выполняются неравенства

Пусть $0<r_{1}<r_{2}<r_{3}<\ldots$ При каких значениях $x$ $(x \geqslant 0)$ $m$-й член ряда

превосходит все остальные ($m=0,1,2, \ldots$)?

Пусть

Тогда можно найти сколь угодно большие значения $n$ и $r$, для которых одновременно выполняются неравенства

(По существу здесь, как и в 122, дело сводится к сравнению двух степенных рядов:

В необрывающемся всюду сходящемся степенном ряде ни один член не может оставаться максимальным для всех значений $x$.

При возрастании $x$ номер максимального члена постоянно возрастает.

Пусть ряд

с положительными коэффициентами и конечным радиусом сходимости $\rho \left(p_{m}>0, \rho >0\right)$ обладает тем свойством, что при возрастании $x$ все его члены последовательно становятся максимальными. Тогда ряд

имеет радиус сходимости $\frac{1}{\rho }$.

Перевес максимального члена во всюду сходящемся степенном ряде больше, чем в не всюду сходящемся (наибольший он в полиноме). Точнее говоря: пусть радиус сходимости необрывающегося степенного ряда

будет бесконечен, а степенного ряда

— конечен; пусть $a_{m} \geqslant 0, b_{m}>0(m=0,1,2, \ldots )$, причем коэффициенты $b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots , b_{m}, \ldots$ второго ряда таковы, что все члены $b_{m} y^{m}$ этого ряда последовательно становятся максимальными [120]. Тогда произвольно большим положительным значениям $\bar{x}$ можно поставить в соответствие такие положительные значения $\bar{y}$, чтобы сопряженным значениям $\bar{x}$ и $\bar{y}$ соответствовали одинаковые центральные индексы $n$ и при этом одновременно для всех $k=0,1,2, \ldots$ выполнялись неравенства

Исключительные значения $x^{*}$, которым нельзя поставить в соответствие (в смысле задачи 122) никакого $\bar{y}$, если и существуют, то во всех случаях «редки»; они образуют множество конечной логарифмической меры, т. е. множество точек $\ln x^{*}$, где $x^{*}$ — указанные исключительные значения, может быть заключено в счетное множество интервалов с конечной общей длиной.

Если в гармоническом ряде

вычеркнуть все члены, знаменатели которых, записанные в десятичной системе, содержат цифру 9, то оставшаяся часть ряда будет сходящейся [113].

Ряд, каждая часть которого сходится, должен сходиться абсолютно.

Обязательно ли абсолютно сходится сходящийся ряд $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$, обладающий тем свойством, что любая его часть

в которой номера составляют арифметическую прогрессию, сходится?

Обязательно ли абсолютно сходится сходящийся ряд $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$, обладающий тем свойством, что любая его часть

в которой номера составляют геометрическую прогрессию, где $k \geqslant 1, l \geqslant 2$, сходится?

Пусть $\varphi (x)=c x^{l}+c_{1} x^{l-1}+\ldots$ — целозначный полином, т. е. полином, принимающий целые значения при целых $x$ [VIII, гл. 2]; пусть, кроме того, степень его $l \geqslant 1$, а старший коэффициент $c>0$. Значения $\varphi (0), \varphi (1), \varphi (2), \varphi (3), \ldots$ образуют обобщенную арифметическую прогрессию $l$-го порядка; вследствие положительности $c$ лишь конечное число членов этой прогрессии может быть отрицательным.

Обязательно ли абсолютно сходится сходящийся ряд $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$, обладающий тем свойством, что любая его часть

в которой индексы составляют обобщенную арифметическую прогрессию (члены с отрицательными индексами отбрасываются), сходится?

Если ряд $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$ абсолютно сходится и каждая его часть вида

имеет сумму 0, то тогда

Множество точек, образуемое всевозможными частями ряда

совершенно и нигде не плотно. (Речь идет о всех как конечных, так и бесконечных частях; сюда, в частности, причисляется и «пустая» часть, которой нужно приписать сумму 0.)

Пусть члены сходящегося ряда

удовлетворяют неравенствам

Тогда каждое число $\sigma$ из полузамкнутого интервала $0<\sigma \leqslant s$ может быть представлено в виде суммы некоторой бесконечной части:

Найти ряд $p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}+\ldots$, удовлетворяющий условиям

и убедиться, что в этом случае каждое число $\sigma$ задачи 131 может быть лишь единственным образом представлено посредством бесконечной части ряда.

Перестановкой множителей бесконечного произведения

получаем бесконечное произведение

в котором группы из $p$ множителей, больших 1, чередуются с группами из $q$ множителей, меньших 1. (Множители одного и того же рода сохраняют «естественный» порядок.) Показать, что

Перестановкой множителей бесконечного произведения

получаем бесконечное произведение

в котором группы из $p$ множителей, больших 1, чередуются с группами из $q$ множителей, меньших 1. (Множители одного и того же рода сохраняют «естественный» порядок.) Показать, что

Перестановкой членов бесконечного ряда

получаем бесконечный ряд

в котором группы из $p$ положительных членов чередуются с группами из $q$ отрицательных членов. (Члены одного и того же рода сохраняют «естественный» порядок, монотонно убывая по абсолютной величине.) Показать, что

Перестановкой членов бесконечного ряда

получаем бесконечный ряд

в котором группы из $p$ положительных членов чередуются с группами из $q$ отрицательных членов. (Члены одного и того же рода сохраняют «естественный» порядок, монотонно убывая по абсолютной величине.) Показать, что

Если одна из дополнительных частей сходящегося ряда сходится, то сходится и другая, и перестановка, лишь смещающая обе части одну относительно другой, не изменяет суммы ряда.

Если одна из дополнительных частей условно сходящегося ряда расходится к $+\infty$, то другая расходится к $-\infty$. Притом, если все члены одной из этих частей имеют одинаковые знаки, то посредством перестановок, лишь смещающих обе части одну относительно другой, может быть получена для ряда любая сумма.

Если ряд с положительными монотонно убывающими членами расходится, то никакими перестановками расходимость его не может быть усилена.

У расходящегося ряда с положительными членами, стремящимися к нулю, можно сколь угодно ослабить расходимость посредством подходящей перестановки. Точнее говоря: пусть

тогда всегда можно указать такой ряд $p_{v_{1}}+p_{v_{2}}+\ldots +p_{v_{n}}+\ldots$, полученный путем подходящей перестановки, что для всех значений $n=1,2,3, \ldots$

Пусть

($s^{\prime }$ и $s^{\prime \prime }$ — любые числа, удовлетворяющие указанному неравенству). При помощи перестановки, оставляющей на месте все отрицательные члены, можно получить в качестве суммы ряда число $s^{\prime }$, а при помощи некоторой другой перестановки, оставляющей на месте все положительные члены, получить в качестве суммы число $s^{\prime \prime }$ [136].

Пусть $p_{n}>0, p_{1} \geqslant p_{2} \geqslant p_{3} \geqslant \ldots$, ряд

расходится, а ряд

где множители $\varepsilon_{n}$ могут принимать лишь значения $+1$ или $-1$, сходится. Если при этих условиях положительные члены второго ряда составляют некоторый определенный процент, то этот последний равен 50. Точнее говоря:

Пусть $p_{n}>0, p_{1} \geqslant p_{2} \geqslant p_{3} \geqslant \ldots$ и ряд

в котором множители $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots , \varepsilon_{n}, \ldots$ могут принимать лишь одно из двух значений $-1$ или $+1$, сходится. Тогда

(Отметим два употребительных крайних случая: $\varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=\varepsilon_{3}=\ldots$ и $\varepsilon_{1}=-\varepsilon_{2}=\varepsilon_{3}=-\varepsilon_{4}=\ldots$)