6

Распределение знаков членов

[2/100%]
Показать
LaTeX
Задача 1.138

Пусть pn>0,p1⩾p2⩾p3⩾…p_{n}>0, p_{1} \geqslant p_{2} \geqslant p_{3} \geqslant \ldots, ряд

p1+p2+…+pn+… p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}+\ldots

расходится, а ряд

ε1p1+ε2p2+…+εnpn+…, \varepsilon _{1} p_{1}+\varepsilon _{2} p_{2}+\ldots +\varepsilon _{n} p_{n}+\ldots ,

где множители εn\varepsilon_{n} могут принимать лишь значения +1+1 или −1-1, сходится. Если при этих условиях положительные члены второго ряда составляют некоторый определенный процент, то этот последний равен 50. Точнее говоря:

lim inf⁡n→∞ε1+ε2+…+εnn⩽0⩽lim sup⁡n→∞ε1+ε2+…+εnn. \liminf _{n \rightarrow \infty } \frac{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\ldots +\varepsilon _{n}}{n} \leqslant 0 \leqslant \limsup _{n \rightarrow \infty } \frac{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\ldots +\varepsilon _{n}}{n} .
?
Примечание.
?

E. Cesàro, Rom. Acc. L. Rend. (4), т. 4, 2-й сем., стр. 133, 1888; J. Bagnera, Bull. des Sciences Math. (2), т. 12, стр. 227, 1888. См. также G. H. Hardy, Messenger of Math. (2), т. 41, стр. 17, 1911; H. Rademacher, Math. Zeitschr., т. 11, стр. 276--288, 1921.

Задача 1.139

Пусть pn>0,p1⩾p2⩾p3⩾…p_{n}>0, p_{1} \geqslant p_{2} \geqslant p_{3} \geqslant \ldots и ряд

ε1p1+ε2p2+…+εnpn+…, \varepsilon _{1} p_{1}+\varepsilon _{2} p_{2}+\ldots +\varepsilon _{n} p_{n}+\ldots ,

в котором множители ε1,ε2,…,εn,…\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots , \varepsilon_{n}, \ldots могут принимать лишь одно из двух значений −1-1 или +1+1, сходится. Тогда

lim⁡n→∞(ε1+ε2+…+εn)pn=0 \lim _{n \rightarrow \infty }\left(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\ldots +\varepsilon _{n}\right) p_{n}=0

(Отметим два употребительных крайних случая: ε1=ε2=ε3=…\varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=\varepsilon_{3}=\ldots и ε1=−ε2=ε3=−ε4=…\varepsilon_{1}=-\varepsilon_{2}=\varepsilon_{3}=-\varepsilon_{4}=\ldots)

?
Примечание.
?

E. Lasker.