4

Подряды

[11/100%]
Показать
LaTeX
Задача 1.124

Если в гармоническом ряде

11+12+13+…+1n+… \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n}+\ldots

вычеркнуть все члены, знаменатели которых, записанные в десятичной системе, содержат цифру 9, то оставшаяся часть ряда будет сходящейся [113].

?
Примечание.
?

A. J. Kempner, Amer. Math. Monthly, т. 21, февраль 1914.

Задача 1.125

Ряд, каждая часть которого сходится, должен сходиться абсолютно.

?
Задача 1.126

Обязательно ли абсолютно сходится сходящийся ряд a1+a2+a3+…a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots, обладающий тем свойством, что любая его часть

ak+ak+l+ak+2l+ak+3l+…, a_{k}+a_{k+l}+a_{k+2 l}+a_{k+3 l}+\ldots ,

в которой номера составляют арифметическую прогрессию, сходится?

?
Примечание.
?

K. Knopp, J. für Math., т. 142, стр. 292--293, 1913.

Задача 1.127

Обязательно ли абсолютно сходится сходящийся ряд a1+a2+a3+…a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots, обладающий тем свойством, что любая его часть

ak+akl+akl2+akl3+…, a_{k}+a_{k l}+a_{k l^{2}}+a_{k l^{3}}+\ldots ,

в которой номера составляют геометрическую прогрессию, где k⩾1,l⩾2k \geqslant 1, l \geqslant 2, сходится?

?
Задача 1.128

Пусть φ(x)=cxl+c1xl−1+…\varphi (x)=c x^{l}+c_{1} x^{l-1}+\ldots — целозначный полином, т. е. полином, принимающий целые значения при целых xx [VIII, гл. 2]; пусть, кроме того, степень его l⩾1l \geqslant 1, а старший коэффициент c>0c>0. Значения φ(0),φ(1),φ(2),φ(3),…\varphi (0), \varphi (1), \varphi (2), \varphi (3), \ldots образуют обобщенную арифметическую прогрессию ll-го порядка; вследствие положительности cc лишь конечное число членов этой прогрессии может быть отрицательным.

Обязательно ли абсолютно сходится сходящийся ряд a1+a2+a3+…a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots, обладающий тем свойством, что любая его часть

aφ(0)+aφ(1)+aφ(2)+aφ(3)+…, a_{\varphi (0)}+a_{\varphi (1)}+a_{\varphi (2)}+a_{\varphi (3)}+\ldots ,

в которой индексы составляют обобщенную арифметическую прогрессию (члены с отрицательными индексами отбрасываются), сходится?

?
Задача 1.129

Если ряд a1+a2+a3+…a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots абсолютно сходится и каждая его часть вида

al+a2l+a3l+…(l=1,2,3,…) a_{l}+a_{2 l}+a_{3 l}+\ldots \quad (l=1,2,3, \ldots )

имеет сумму 0, то тогда

a1=a2=a3=…=0. a_{1}=a_{2}=a_{3}=\ldots =0 .
?
Примечание.
?

A. Haar.

Задача 1.130

Множество точек, образуемое всевозможными частями ряда

23+29+227+…+23n+…, \frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\frac{2}{27}+\ldots +\frac{2}{3^{n}}+\ldots ,

совершенно и нигде не плотно. (Речь идет о всех как конечных, так и бесконечных частях; сюда, в частности, причисляется и «пустая» часть, которой нужно приписать сумму 0.)

?
Примечание.
?

G. Cantor; см. C. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, стр. 286--287, Leipzig und Berlin, B. G. Teubner, 1918.

Задача 1.131

Пусть члены сходящегося ряда

p1+p2+…+pn+…=s p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}+\ldots =s

удовлетворяют неравенствам

p1⩾p2⩾…,0<pn⩽pn+1+pn+2+pn+3+…(n=1,2,3,…). p_{1} \geqslant p_{2} \geqslant \ldots , \quad 0<p_{n} \leqslant p_{n+1}+p_{n+2}+p_{n+3}+\ldots \quad (n=1,2,3, \ldots ) .

Тогда каждое число σ\sigma из полузамкнутого интервала 0<σ⩽s0<\sigma \leqslant s может быть представлено в виде суммы некоторой бесконечной части:

pt1+pt2+…+ptn+…=σ. p_{t_{1}}+p_{t_{2}}+\ldots +p_{t_{n}}+\ldots =\sigma .
?
Примечание.
?

См. S. Kakeya, Journ. Tôkyo math. Soc. (2), т. 7, стр. 250, 1914; Tôhoku Sc. Rep., т. 3, стр. 159, 1915.

Задача 1.132

Найти ряд p1+p2+…+pn+…p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}+\ldots, удовлетворяющий условиям

p1=12,pn=pn+1+pn+2+pn+3+…(n=1,2,3,…), p_{1}=\frac{1}{2}, p_{n}=p_{n+1}+p_{n+2}+p_{n+3}+\ldots \quad (n=1,2,3, \ldots ),

и убедиться, что в этом случае каждое число σ\sigma задачи 131 может быть лишь единственным образом представлено посредством бесконечной части ряда.

?
Задача 1.132.1

Перестановкой множителей бесконечного произведения

(1+12)(1−13)(1+14)(1−15)(1+16)⋯=P1,1 \left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(1+\frac{1}{6}\right) \cdots = P_{1,1}

получаем бесконечное произведение

Pp,q=(1+12)(1+14)⋯(1+12p)×(1−13)(1−15)⋯(1−12q+1)(1+12p+2)⋯ P_{p,q} = \left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right) \cdots \left(1+\frac{1}{2p}\right) \times \left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right) \cdots \left(1-\frac{1}{2q+1}\right)\left(1+\frac{1}{2p+2}\right) \cdots

в котором группы из pp множителей, больших 1, чередуются с группами из qq множителей, меньших 1. (Множители одного и того же рода сохраняют «естественный» порядок.) Показать, что

Pp,q=pq .[См. II 202.] P_{p,q} = \sqrt{\frac{p}{q}} \, . \qquad \text{[См. II 202.]}
?
Примечание.
?

G. Pólya, задача: Amer. Math. Monthly, т. 51, стр. 533--534, 1944. Решение: Amer. Math. Monthly, т. 53, стр. 279--282, 1946.

Задача 1.132.2

Перестановкой членов бесконечного ряда

12−13+14−15+⋯=S1,1=1−log⁡2 \frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\cdots = S_{1,1} = 1-\log 2

получаем бесконечный ряд

Sp,q=12+14+16+⋯+12p−13−15−⋯−12q+1+12p+2+⋯ S_{p,q} = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\cdots +\frac{1}{2p}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\cdots -\frac{1}{2q+1}+\frac{1}{2p+2}+\cdots

в котором группы из pp положительных членов чередуются с группами из qq отрицательных членов. (Члены одного и того же рода сохраняют «естественный» порядок, монотонно убывая по абсолютной величине.) Показать, что

Sp,q−S1,1=12log⁡pq. S_{p,q} - S_{1,1} = \frac{1}{2} \log \frac{p}{q} .
?
Примечание.
?

См. задачу 132.1.