Банк задач по математике

Задача 1.113

Показать, что

\limsup _{m \rightarrow \infty } \frac{\ln m}{\ln r_{m}}=\lambda .

?

Задача 1.114

Пусть $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{m}, \ldots$ — любые вещественные числа, не равные нулю. Если существует такое положительное расстояние $\delta$ , что $\left|x_{l}-x_{k}\right| \geqslant \delta$ при $l, k=1,2,3, \ldots , l \neq k$ , то показатель сходимости последовательности абсолютных величин $\left|x_{1}\right|, \left|x_{2}\right|, \ldots , \left|x_{m}\right|, \ldots$ не превосходит единицу.

?

Задача 1.115

Пусть $\beta$ больше показателя сходимости последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{m}, \ldots$ Тогда существует бесчисленное множество номеров $n$ , для которых удовлетворяются $n-1$ неравенств

\frac{r_{1}}{r_{n}}<\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{\beta }}, \frac{r_{2}}{r_{n}}<\left(\frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{\beta }}, \ldots , \frac{r_{n-1}}{r_{n}}<\left(\frac{n-1}{n}\right)^{\frac{1}{\beta }} \tag {107}

?

Задача 1.116

Пусть показатель сходимости $\lambda$ последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{m}, \ldots$ положителен и $0<\alpha <\lambda <\beta$ . Тогда существует бесчисленное множество номеров $n$ , для которых одновременно выполняются неравенства

\begin{align} & \frac{r_{\mu }}{r_{n}}>\left(\frac{\mu }{n}\right)^{\frac{1}{\alpha }} \quad \text{ при } \quad \mu =n-1, n-2, \ldots , 1, \\ & \frac{r_{v}}{r_{n}}>\left(\frac{v}{n}\right)^{\frac{1}{\beta }} \quad \text{ при } \quad v=n+1, n+2, n+3, \ldots \tag {109} \end{align}

?

Показатель сходимости