Перестановка членов

Если одна из дополнительных частей сходящегося ряда сходится, то сходится и другая, и перестановка, лишь смещающая обе части одну относительно другой, не изменяет суммы ряда.

Если одна из дополнительных частей условно сходящегося ряда расходится к $+\infty$, то другая расходится к $-\infty$. Притом, если все члены одной из этих частей имеют одинаковые знаки, то посредством перестановок, лишь смещающих обе части одну относительно другой, может быть получена для ряда любая сумма.

Если ряд с положительными монотонно убывающими членами расходится, то никакими перестановками расходимость его не может быть усилена.

У расходящегося ряда с положительными членами, стремящимися к нулю, можно сколь угодно ослабить расходимость посредством подходящей перестановки. Точнее говоря: пусть

тогда всегда можно указать такой ряд $p_{v_{1}}+p_{v_{2}}+\ldots +p_{v_{n}}+\ldots$, полученный путем подходящей перестановки, что для всех значений $n=1,2,3, \ldots$

Пусть

($s^{\prime }$ и $s^{\prime \prime }$ — любые числа, удовлетворяющие указанному неравенству). При помощи перестановки, оставляющей на месте все отрицательные члены, можно получить в качестве суммы ряда число $s^{\prime }$, а при помощи некоторой другой перестановки, оставляющей на месте все положительные члены, получить в качестве суммы число $s^{\prime \prime }$ [136].