Прямоугольные системы и ступенчатые формы

Приведите каждую из следующих матриц к строчной эшелонированной форме, определите ранг и укажите базисные столбцы.

Определите, какие из следующих матриц имеют ступенчатый вид:

Предположим, что $A$ — матрица размера $m \times n$. Дайте краткое объяснение того, почему каждое из следующих утверждений верно.

Пусть $A = \begin{bmatrix} .1 & .2 & .3 \\ .4 & .5 & .6 \\ .7 & .8 & .901 \end{bmatrix}$.

Сколько различных «форм» возможно для матрицы размера $3 \times 4$, имеющей ступенчатый вид?

Предположим, что $\begin{bmatrix} [c|c] A & \mathbf{b} \end{bmatrix}$ приводится к матрице $\begin{bmatrix} [c|c] E & \mathbf{c} \end{bmatrix}$.

Определите приведённый ступенчатый вид для каждой из следующих матриц, а затем выразите каждый небазисный столбец через базисные столбцы:

Постройте матрицу $A$, приведённый ступенчатый вид которой равен

Единственна ли $A$?

Предположим, что $A$ — матрица размера $m \times n$. Дайте краткое объяснение того, почему $\operatorname {rk}\left(A\right) < n$ всякий раз, когда один из столбцов $A$ является комбинацией других столбцов $A$.

Рассмотрим следующую матрицу:

Рассмотрим матрицу

Вы уже знаете, что $E_{*3}$ можно выразить через $E_{*1}$ и $E_{*2}$. Однако это не единственный способ представить зависимости между столбцами в $E$. Покажите, как выразить $E_{*1}$ через $E_{*2}$ и $E_{*3}$, а затем выразите $E_{*2}$ как комбинацию $E_{*1}$ и $E_{*3}$.

Определите, какие из следующих систем совместны.

Постройте матрицу $A$ размера $3 \times 4$ и столбцы $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$ размера $3 \times 1$ такие, что $\begin{bmatrix} [c|c] A & \mathbf{b} \end{bmatrix}$ является расширенной матрицей несовместной системы, а $\begin{bmatrix} [c|c] A & \mathbf{c} \end{bmatrix}$ является расширенной матрицей совместной системы.

Если $A$ — матрица размера $m \times n$ с $\operatorname {rk}\left(A\right) = m$, объясните, почему система $\begin{bmatrix} [c|c] A & \mathbf{b} \end{bmatrix}$ должна быть совместна при любой правой части $\mathbf{b}$.

Рассмотрим две совместные системы, расширенные матрицы которых имеют вид $\begin{bmatrix} [c|c] A & \mathbf{b} \end{bmatrix}$ и $\begin{bmatrix} [c|c] A & \mathbf{c} \end{bmatrix}$. То есть они отличаются только правой частью. Будет ли система, соответствующая $\begin{bmatrix} [c|c] A & \mathbf{b}+\mathbf{c} \end{bmatrix}$, также совместной? Объясните, почему.

Может ли парабола, уравнение которой имеет вид $y = \alpha + \beta x + \gamma x^{2}$, проходить через четыре точки $(0,1)$, $(1,3)$, $(2,15)$ и $(3,37)$? Почему?

Рассмотрим использование арифметики с плавающей точкой (без масштабирования) для решения следующей системы:

Для выращивания некоторой культуры рекомендуется обрабатывать каждый квадратный фут земли 10 единицами фосфора, 9 единицами калия и 19 единицами азота. Предположим, что на рынке представлены три марки удобрений -- скажем, марка $\mathcal{X}$, марка $\mathcal{Y}$ и марка $\mathcal{Z}$. Один фунт марки $\mathcal{X}$ содержит 2 единицы фосфора, 3 единицы калия и 5 единиц азота. Один фунт марки $\mathcal{Y}$ содержит 1 единицу фосфора, 3 единицы калия и 4 единицы азота. Один фунт марки $\mathcal{Z}$ содержит только 1 единицу фосфора и 1 единицу азота. Определите, возможно ли точно выполнить рекомендацию, применяя некоторую комбинацию этих трёх марок удобрений.

Предположим, что расширенная матрица $\begin{bmatrix} [c|c] A & \mathbf{b} \end{bmatrix}$ приводится методом гауссова исключения к ступенчатому виду $\begin{bmatrix} [c|c] E & \mathbf{c} \end{bmatrix}$. Если строка вида

не встречается в $\begin{bmatrix} [c|c] E & \mathbf{c} \end{bmatrix}$, возможно ли, чтобы строки такого вида появлялись на более ранних этапах процесса приведения? Почему?

Найдите общее решение для каждой из следующих однородных систем.

Среди всех решений, удовлетворяющих однородной системе

найдите те, которые также удовлетворяют нелинейному ограничению $y - xy = 2z$.

Рассмотрим однородную систему, матрица коэффициентов которой равна

Сначала преобразуйте $A$ к неприведённому ступенчатому виду, чтобы найти общее решение соответствующей однородной системы. Затем приведите $A$ к $E_{A}$ и покажите, что получается то же самое общее решение.

Если $A$ -- матрица коэффициентов однородной системы, состоящей из четырёх уравнений с восемью неизвестными, и если имеется пять свободных переменных, чему равен $\operatorname {rk}\left(A\right)$?

Предположим, что $A$ -- матрица коэффициентов однородной системы из четырёх уравнений с шестью неизвестными, и предположим, что в $A$ есть хотя бы одна ненулевая строка.

Объясните, почему однородная система из $m$ уравнений с $n$ неизвестными, где $m < n$, всегда должна иметь бесконечное число решений.

Постройте однородную систему из трёх уравнений с четырьмя неизвестными, для которой

является общим решением.

Если $\mathbf{c}_{1}$ и $\mathbf{c}_{2}$ -- столбцы, представляющие два частных решения одной и той же однородной системы, объясните, почему сумма $\mathbf{c}_{1} + \mathbf{c}_{2}$ также должна представлять решение этой системы.

Найдите общее решение для каждой из следующих неоднородных систем.

Среди решений, удовлетворяющих системе линейных уравнений

найдите те из них, которые также удовлетворяют следующим двум ограничениям:

Для выращивания некоторой культуры рекомендуется вносить на каждый квадратный фут земли 10 единиц фосфора, 9 единиц калия и 19 единиц азота. Предположим, что на рынке есть три марки удобрений — марка $\mathcal{X}$, марка $\mathcal{Y}$ и марка $\mathcal{Z}$. Один фунт марки $\mathcal{X}$ содержит 2 единицы фосфора, 3 единицы калия и 5 единиц азота. Один фунт марки $\mathcal{Y}$ содержит 1 единицу фосфора, 3 единицы калия и 4 единицы азота. Один фунт марки $\mathcal{Z}$ содержит только 1 единицу фосфора и 1 единицу азота.

Рассмотрим следующую систему:

Если столбцы $\mathbf{s}_{1}$ и $\mathbf{s}_{2}$ являются частными решениями одной и той же неоднородной системы, обязательно ли сумма $\mathbf{s}_{1} + \mathbf{s}_{2}$ также является решением?

Предположим, что $\begin{bmatrix} [c|c] A & \mathbf{b} \end{bmatrix}$ — расширенная матрица совместной системы из $m$ уравнений с $n$ неизвестными, где $m \geq n$. Как должна выглядеть $E_{A}$, если система имеет единственное решение?

Постройте неоднородную систему из трёх уравнений с четырьмя неизвестными, общее решение которой имеет вид

Рассмотрим использование арифметики с плавающей точкой (без частичного выбора ведущего элемента или масштабирования) для решения системы, представленной следующей расширенной матрицей:

Предположим, что $R_{i} = i$ Ом и $E_{i} = i$ Вольт в цепи, показанной на рисунке 2.6.1.

Figure 2.6.1

Определите три указанных тока в следующей цепи: две батареи на 12 вольт и 9 вольт расположены в двух средних вертикальных ветвях цепи с тремя параллельными вертикальными ветвями, соединёнными двумя горизонтальными ветвями (сверху и снизу). Левая вертикальная ветвь содержит батарею на 12 вольт и резистор $1\, \Omega$; правая вертикальная ветвь содержит батарею на 9 вольт и резистор $1\, \Omega$; эти две ветви соединены сверху путём через резистор $5\, \Omega$ (несущий ток $I_{2}$, направленный справа налево) и через резистор $8\, \Omega$ (несущий ток $I_{1}$, направленный слева направо), сходящиеся в общем среднем верхнем узле между этими двумя резисторами, и соединены снизу единственным путём через резистор $10\, \Omega$ (несущий ток $I_{3}$, направленный слева направо).

Определите два неизвестных значения ЭДС в следующей цепи: три параллельные горизонтальные ветви соединяют общий левый узел с общим правым узлом. Верхняя ветвь содержит батарею на 20 вольт и резистор $6\, \Omega$ и несёт ток в 1 ампер (направленный вниз, входящий в левый узел из ветви над ним, т.е. этот 1 ампер входит в левый узел из верхней ветви). Средняя ветвь содержит резистор $4\, \Omega$ и неизвестную ЭДС $E_{1}$. Нижняя ветвь содержит неизвестную ЭДС $E_{2}$ и резистор $2\, \Omega$ и несёт ток в 2 ампера (направленный вниз, выходящий из левого узла в нижнюю ветвь).

Рассмотрите схему, изображённую ниже, и ответьте на следующие вопросы.

Схема мостового типа (мост Уитстона) к задаче 2.6.4