2.3

Совместность линейных систем

[8/100%]
Показать
LaTeX
Задача 2.3.1

Определите, какие из следующих систем совместны.

?
(a)

[t]x+2y+z=2,2x+4y=2,3x+6y+z=4.\begin{aligned} [t] x + 2y + z & = 2, \\ 2x + 4y & = 2, \\ 3x + 6y + z & = 4. \end{aligned}

(b)

[t]2x+2y+4z=0,3x+2y+5z=0,4x+2y+6z=0.\begin{aligned} [t] 2x + 2y + 4z & = 0, \\ 3x + 2y + 5z & = 0, \\ 4x + 2y + 6z & = 0. \end{aligned}

(c)

[t]x−y+z=1,x−y−z=2,x+y−z=3,x+y+z=4.\begin{aligned} [t] x - y + z & = 1, \\ x - y - z & = 2, \\ x + y - z & = 3, \\ x + y + z & = 4. \end{aligned}

(d)

[t]x−y+z=1,x−y−z=2,x+y−z=3,x+y+z=2.\begin{aligned} [t] x - y + z & = 1, \\ x - y - z & = 2, \\ x + y - z & = 3, \\ x + y + z & = 2. \end{aligned}

(e)

[t]2w+x+3y+5z=1,4w+4y+8z=0,w+x+2y+3z=0,x+y+z=0.\begin{aligned} [t] 2w + x + 3y + 5z & = 1, \\ 4w + 4y + 8z & = 0, \\ w + x + 2y + 3z & = 0, \\ x + y + z & = 0. \end{aligned}

(f)

[t]2w+x+3y+5z=7,4w+4y+8z=8,w+x+2y+3z=5,x+y+z=3.\begin{aligned} [t] 2w + x + 3y + 5z & = 7, \\ 4w + 4y + 8z & = 8, \\ w + x + 2y + 3z & = 5, \\ x + y + z & = 3. \end{aligned}

Задача 2.3.2

Постройте матрицу AA размера 3×43 \times 4 и столбцы b\mathbf{b} и c\mathbf{c} размера 3×13 \times 1 такие, что [[c∣c]Ab]\begin{bmatrix} [c|c] A & \mathbf{b} \end{bmatrix} является расширенной матрицей несовместной системы, а [[c∣c]Ac]\begin{bmatrix} [c|c] A & \mathbf{c} \end{bmatrix} является расширенной матрицей совместной системы.

?
Задача 2.3.3

Если AA — матрица размера m×nm \times n с rk⁡(A)=m\operatorname {rk}\left(A\right) = m, объясните, почему система [[c∣c]Ab]\begin{bmatrix} [c|c] A & \mathbf{b} \end{bmatrix} должна быть совместна при любой правой части b\mathbf{b}.

?
Задача 2.3.4

Рассмотрим две совместные системы, расширенные матрицы которых имеют вид [[c∣c]Ab]\begin{bmatrix} [c|c] A & \mathbf{b} \end{bmatrix} и [[c∣c]Ac]\begin{bmatrix} [c|c] A & \mathbf{c} \end{bmatrix}. То есть они отличаются только правой частью. Будет ли система, соответствующая [[c∣c]Ab+c]\begin{bmatrix} [c|c] A & \mathbf{b}+\mathbf{c} \end{bmatrix}, также совместной? Объясните, почему.

?
Задача 2.3.5

Может ли парабола, уравнение которой имеет вид y=α+βx+γx2y = \alpha + \beta x + \gamma x^{2}, проходить через четыре точки (0,1)(0,1), (1,3)(1,3), (2,15)(2,15) и (3,37)(3,37)? Почему?

?
Задача 2.3.6

Рассмотрим использование арифметики с плавающей точкой (без масштабирования) для решения следующей системы:

.835x+.667y=.168,.333x+.266y=.067. \begin{aligned} .835 x + .667 y & = .168, \\ .333 x + .266 y & = .067. \end{aligned}
?
(a)

Совместна ли система, если используется 5-значная арифметика?

(b)

Что происходит, если используется 6-значная арифметика?

Задача 2.3.7

Для выращивания некоторой культуры рекомендуется обрабатывать каждый квадратный фут земли 10 единицами фосфора, 9 единицами калия и 19 единицами азота. Предположим, что на рынке представлены три марки удобрений -- скажем, марка X\mathcal{X}, марка Y\mathcal{Y} и марка Z\mathcal{Z}. Один фунт марки X\mathcal{X} содержит 2 единицы фосфора, 3 единицы калия и 5 единиц азота. Один фунт марки Y\mathcal{Y} содержит 1 единицу фосфора, 3 единицы калия и 4 единицы азота. Один фунт марки Z\mathcal{Z} содержит только 1 единицу фосфора и 1 единицу азота. Определите, возможно ли точно выполнить рекомендацию, применяя некоторую комбинацию этих трёх марок удобрений.

?
Задача 2.3.8

Предположим, что расширенная матрица [[c∣c]Ab]\begin{bmatrix} [c|c] A & \mathbf{b} \end{bmatrix} приводится методом гауссова исключения к ступенчатому виду [[c∣c]Ec]\begin{bmatrix} [c|c] E & \mathbf{c} \end{bmatrix}. Если строка вида

(00⋯0∣α),α≠0 \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & \mid & \alpha \end{pmatrix}, \qquad \alpha \neq 0

не встречается в [[c∣c]Ec]\begin{bmatrix} [c|c] E & \mathbf{c} \end{bmatrix}, возможно ли, чтобы строки такого вида появлялись на более ранних этапах процесса приведения? Почему?

?