Банк задач по математике

Задача 2.6.1

(a)(b)

Предположим, что $R_{i} = i$ Ом и $E_{i} = i$ Вольт в цепи, показанной на рисунке 2.6.1.

Figure 2.6.1

?

(a)

Определите шесть указанных токов.

(b)

Выберите узел номер 1 в качестве опорной точки и зафиксируйте его потенциал равным 0 Вольт. Относительно этого опорного значения вычислите потенциалы в остальных трёх узлах. Проверьте ваш ответ, убедившись в выполнении правила контура для каждого контура цепи.

Задача 2.6.2

Определите три указанных тока в следующей цепи: две батареи на 12 вольт и 9 вольт расположены в двух средних вертикальных ветвях цепи с тремя параллельными вертикальными ветвями, соединёнными двумя горизонтальными ветвями (сверху и снизу). Левая вертикальная ветвь содержит батарею на 12 вольт и резистор $1\, \Omega$ ; правая вертикальная ветвь содержит батарею на 9 вольт и резистор $1\, \Omega$ ; эти две ветви соединены сверху путём через резистор $5\, \Omega$ (несущий ток $I_{2}$ , направленный справа налево) и через резистор $8\, \Omega$ (несущий ток $I_{1}$ , направленный слева направо), сходящиеся в общем среднем верхнем узле между этими двумя резисторами, и соединены снизу единственным путём через резистор $10\, \Omega$ (несущий ток $I_{3}$ , направленный слева направо).

?

Задача 2.6.3

Определите два неизвестных значения ЭДС в следующей цепи: три параллельные горизонтальные ветви соединяют общий левый узел с общим правым узлом. Верхняя ветвь содержит батарею на 20 вольт и резистор $6\, \Omega$ и несёт ток в 1 ампер (направленный вниз, входящий в левый узел из ветви над ним, т.е. этот 1 ампер входит в левый узел из верхней ветви). Средняя ветвь содержит резистор $4\, \Omega$ и неизвестную ЭДС $E_{1}$ . Нижняя ветвь содержит неизвестную ЭДС $E_{2}$ и резистор $2\, \Omega$ и несёт ток в 2 ампера (направленный вниз, выходящий из левого узла в нижнюю ветвь).

?

Задача 2.6.4

Рассмотрите схему, изображённую ниже, и ответьте на следующие вопросы.

Схема мостового типа (мост Уитстона) к задаче 2.6.4

?

(a)

Сколько узлов содержит схема?

(b)

Сколько ветвей содержит схема?

(c)

Определите общее число контуров, а затем определите число простых контуров.

(d)

Покажите, что уравнения простых контуров образуют «независимую» систему уравнений в том смысле, что среди них нет избыточных уравнений.

(e)

Проверьте, что любые три из узловых уравнений образуют «независимую» систему уравнений.

(f)

Проверьте, что уравнение контура, содержащего $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{3}$ и $R_{4}$ , можно представить как сумму двух уравнений, соответствующих двум простым контурам, содержащимся в этом большом контуре.

(g)

Определите указанный ток $I$ , если $R_{1} = R_{2} = R_{3} = R_{4} = 1$ Ом, $R_{5} = R_{6} = 5$ Ом и $E = 5$ В.

Электрические цепи