2.5

Неоднородные системы

[8/100%]
Показать
LaTeX
Задача 2.5.1

Найдите общее решение для каждой из следующих неоднородных систем.

?
(a)

[t]x1+2x2+x3+2x4=3,2x1+4x2+x3+3x4=4,3x1+6x2+x3+4x4=5.\begin{aligned} [t] x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + 2 x_{4} & = 3, \\ 2 x_{1} + 4 x_{2} + x_{3} + 3 x_{4} & = 4, \\ 3 x_{1} + 6 x_{2} + x_{3} + 4 x_{4} & = 5. \end{aligned}

(b)

[t]2x+y+z=4,4x+2y+z=6,6x+3y+z=8,8x+4y+z=10.\begin{aligned} [t] 2x + y + z & = 4, \\ 4x + 2y + z & = 6, \\ 6x + 3y + z & = 8, \\ 8x + 4y + z & = 10. \end{aligned}

(c)

[t]x1+x2+2x3=1,3x1+3x3+3x4=6,2x1+x2+3x3+x4=3,x1+2x2+3x3−x4=0.\begin{aligned} [t] x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} & = 1, \\ 3 x_{1} + 3 x_{3} + 3 x_{4} & = 6, \\ 2 x_{1} + x_{2} + 3 x_{3} + x_{4} & = 3, \\ x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} - x_{4} & = 0. \end{aligned}

(d)

[t]2x+y+z=2,4x+2y+z=5,6x+3y+z=8,8x+5y+z=8.\begin{aligned} [t] 2x + y + z & = 2, \\ 4x + 2y + z & = 5, \\ 6x + 3y + z & = 8, \\ 8x + 5y + z & = 8. \end{aligned}

Задача 2.5.2

Среди решений, удовлетворяющих системе линейных уравнений

x1+x2+2x3+2x4+x5=1,2x1+2x2+4x3+4x4+3x5=1,2x1+2x2+4x3+4x4+2x5=2,3x1+5x2+8x3+6x4+5x5=3, \begin{aligned} x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} + x_{5} & = 1, \\ 2 x_{1} + 2 x_{2} + 4 x_{3} + 4 x_{4} + 3 x_{5} & = 1, \\ 2 x_{1} + 2 x_{2} + 4 x_{3} + 4 x_{4} + 2 x_{5} & = 2, \\ 3 x_{1} + 5 x_{2} + 8 x_{3} + 6 x_{4} + 5 x_{5} & = 3, \end{aligned}

найдите те из них, которые также удовлетворяют следующим двум ограничениям:

(x1−x2)2−4x52=0,x32−x52=0. \begin{aligned} (x_{1} - x_{2})^{2} - 4 x_{5}^{2} & = 0, \\ x_{3}^{2} - x_{5}^{2} & = 0. \end{aligned}
?
Задача 2.5.3

Для выращивания некоторой культуры рекомендуется вносить на каждый квадратный фут земли 10 единиц фосфора, 9 единиц калия и 19 единиц азота. Предположим, что на рынке есть три марки удобрений — марка X\mathcal{X}, марка Y\mathcal{Y} и марка Z\mathcal{Z}. Один фунт марки X\mathcal{X} содержит 2 единицы фосфора, 3 единицы калия и 5 единиц азота. Один фунт марки Y\mathcal{Y} содержит 1 единицу фосфора, 3 единицы калия и 4 единицы азота. Один фунт марки Z\mathcal{Z} содержит только 1 единицу фосфора и 1 единицу азота.

?
(a)

Учтите очевидный факт, что отрицательное количество фунтов любой марки никогда не может быть внесено, и предположите, что из-за способа продажи удобрений может быть внесено лишь целое число фунтов каждой марки. При этих ограничениях определите все возможные комбинации трёх марок, позволяющие в точности выполнить рекомендации.

(b)

Предположим, что марка X\mathcal{X} стоит $1 за фунт, марка Y\mathcal{Y} стоит $6 за фунт, а марка Z\mathcal{Z} стоит $3 за фунт. Определите наименее затратное решение, которое в точности удовлетворяет рекомендациям, а также ограничениям пункта (а).

Задача 2.5.4

Рассмотрим следующую систему:

2x+2y+3z=0,4x+8y+12z=−4,6x+2y+αz=4. \begin{aligned} 2x + 2y + 3z & = 0, \\ 4x + 8y + 12z & = -4, \\ 6x + 2y + \alpha z & = 4. \end{aligned}
?
(a)

Определите все значения α\alpha, при которых система совместна.

(b)

Определите все значения α\alpha, при которых решение единственно, и вычислите решение для этих случаев.

(c)

Определите все значения α\alpha, при которых существует бесконечно много различных решений, и приведите общее решение для этих случаев.

Задача 2.5.5

Если столбцы s1\mathbf{s}_{1} и s2\mathbf{s}_{2} являются частными решениями одной и той же неоднородной системы, обязательно ли сумма s1+s2\mathbf{s}_{1} + \mathbf{s}_{2} также является решением?

?
Задача 2.5.6

Предположим, что [[c∣c]Ab]\begin{bmatrix} [c|c] A & \mathbf{b} \end{bmatrix} — расширенная матрица совместной системы из mm уравнений с nn неизвестными, где m≥nm \geq n. Как должна выглядеть EAE_{A}, если система имеет единственное решение?

?
Задача 2.5.7

Постройте неоднородную систему из трёх уравнений с четырьмя неизвестными, общее решение которой имеет вид

[1010]+x2[−2100]+x4[−3021] \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_{2} \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_{4} \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}
?
Задача 2.5.8

Рассмотрим использование арифметики с плавающей точкой (без частичного выбора ведущего элемента или масштабирования) для решения системы, представленной следующей расширенной матрицей:

[[ccc∣c].835.667.5.168.333.266.1994.0671.671.3341.1.436]. \begin{bmatrix} [ccc|c] .835 & .667 & .5 & .168 \\ .333 & .266 & .1994 & .067 \\ 1.67 & 1.334 & 1.1 & .436 \end{bmatrix}.
?
(a)

Определите общее решение с 4 значащими цифрами.

(b)

Определите общее решение с 5 значащими цифрами.

(c)

Определите общее решение с 6 значащими цифрами.