Однородные системы

Найдите общее решение для каждой из следующих однородных систем.

Среди всех решений, удовлетворяющих однородной системе

найдите те, которые также удовлетворяют нелинейному ограничению $y - xy = 2z$.

Рассмотрим однородную систему, матрица коэффициентов которой равна

Сначала преобразуйте $A$ к неприведённому ступенчатому виду, чтобы найти общее решение соответствующей однородной системы. Затем приведите $A$ к $E_{A}$ и покажите, что получается то же самое общее решение.

Если $A$ -- матрица коэффициентов однородной системы, состоящей из четырёх уравнений с восемью неизвестными, и если имеется пять свободных переменных, чему равен $\operatorname {rk}\left(A\right)$?

Предположим, что $A$ -- матрица коэффициентов однородной системы из четырёх уравнений с шестью неизвестными, и предположим, что в $A$ есть хотя бы одна ненулевая строка.

Объясните, почему однородная система из $m$ уравнений с $n$ неизвестными, где $m < n$, всегда должна иметь бесконечное число решений.

Постройте однородную систему из трёх уравнений с четырьмя неизвестными, для которой

является общим решением.

Если $\mathbf{c}_{1}$ и $\mathbf{c}_{2}$ -- столбцы, представляющие два частных решения одной и той же однородной системы, объясните, почему сумма $\mathbf{c}_{1} + \mathbf{c}_{2}$ также должна представлять решение этой системы.