то повёрнутое надлежащим образом множество $E$ содержит все точки $z_{1}, \ldots , z_{N}$ , т.е. найдётся такая точка $z_{0} \in S^{1}$ , что $z_{0} z_{k} \in E$ при $k=1, \ldots , N$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.3

(а)(б)(в)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Докажите, что если $E \subset \mathbb {R}^{m}, \lambda_{m}(E)>1$ , то найдутся две (различные) точки $x^{\prime }, x^{\prime \prime } \in E$ , у которых разности соответствующих координат суть целые числа.

(б)

Пусть $V \subset \mathbb {R}^{m}$ - выпуклое центрально симметричное относительно нуля множество, $\lambda_{m}(V)>2^{m}$ . Докажите, что $V$ содержит точку $a \neq 0$ с целыми координатами.

(в)

Пусть $V \subset \mathbb {R}^{m}$ - выпуклое центрально симметричное относительно нуля множество, $\lambda_{m}(V)>N 2^{m}, N$ -- некоторое натуральное число. Докажите, что $V$ содержит по крайней мере $2 N$ отличных от нуля точек с целыми координатами.

Задача VIII.1.4

(а)(б)(в)(г)

Какова мера множества тех точек из интервала $(0,1)$ , у которых при разложении в десятичную дробь

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

на заданном месте стоит цифра 4;

(б)

стоящая на заданном месте цифра - простое число;

(в)

на двух заданных местах стоят заданные цифры;

(г)

на двух заданных местах стоят цифры разной чётности?

Задача VIII.1.5

Какова мера множества чисел из интервала $(0,1)$ , в десятичной записи которых присутствует цифра 0 ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.6

(а)(б)

Пусть $E_{k} \subset (0,1)(k \in \mathbb {N})$ . Верно ли, что существует такая подпоследовательность $\left\{ E_{k_{j}}\right\}$ , что $\lambda \left(\bigcap_{j} E_{k_{j}}\right)>0$ , если выполнено одно из условий:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\overline{\lim } \lambda \left(E_{k}\right)=1$ ;

(б)

$\underline{\lim } \lambda \left(E_{k}\right)>\frac{3}{4}$ ?

Задача VIII.1.7

Пусть $\theta_{k}>0, \sum \theta_{k}<+\infty$ . Рассмотрим множество

A=\left\{ x \in (0,1) \mid \text{ неравенство }\left|x-\frac{p}{q}\right|<\frac{\theta _{q}}{q}(p \in \mathbb {Z}, q \in \mathbb {N}) \text{ имеет бесконечно много решений }\right\} .

Докажите, что $\lambda (A)=0$ . В частности, если $r>2$ , то для почти каждого $x \in \mathbb {R}$ найдётся такое число $c_{x}>0$ , что $\left|x-\frac{p}{q}\right| \geqslant \frac{c_{x}}{q^{r}}$ для всех $p \in \mathbb {Z}$ , $q \in \mathbb {N}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.8

Пусть $0<\theta <1, E \subset \mathbb {R}^{m}, 0<\lambda_{m}(E)<\infty$ . Докажите, что найдётся такой куб $\Delta$ , что $\theta \lambda_{m}(\Delta )<\lambda_{m}(E \cap \Delta )$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.9

Пусть $E \subset \mathbb {R}, E^{c}=\mathbb {R} \backslash E, E_{t}=\left\{ t+x \mid x \in E\right\}$ - сдвиг множества $E$ . Докажите, что если $\lambda (E)>0$ и $\lambda \left(E^{c}\right)>0$ , то $\lambda \left(E_{t} \cap E^{c}\right)>0$ при некотором $t \in \mathbb {R}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.10

(а)(б)(в)

Пусть $E, E_{0} \subset \mathbb {R}$ - произвольные измеримые множества положительной меры. Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

точка 0 - внутренняя для множества

E-E=\left\{ x-y \mid x, y \in E\right\} ;

(б)

в $E$ найдутся две (различные) точки, расстояние между которыми рационально;

(в)

множества

E+E_{0}=\left\{ x+y \mid x \in E, y \in E_{0}\right\} \quad \text{ и } \quad E \cdot E_{0}=\left\{ x y \mid x \in E, y \in E_{0}\right\}

имеют внутренние точки.

Задача VIII.1.11

Пусть $E \subset \mathbb {R}, \lambda (E)>0$ . Докажите, что если $\frac{1}{2}(x+y) \in E$ для любых точек $x, y \in E$ , то $E$ - промежуток (сравните с задачей I.1.21).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.12

Найдите лебегову меру ортогональной проекции декартова квадрата канторова множества на произвольную прямую.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.13

(а)(б)(в)

Пусть $v=\left\{ n_{k}\right\}$ - строго возрастающая последовательность натуральных чисел и $E_{\nu }=\left\{ \sum \varepsilon_{k} 2^{-n_{k}} \mid \varepsilon_{k}=0\right.$ или 1 $\}$ (см. задачу I.1.34).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

В каком случае $\lambda \left(E_{\nu }\right)=0$ ?

(б)

Докажите, что если $\varlimsup \left(n_{k+1}-n_{k}\right) \geqslant 2+\log_{2} m(m \in \mathbb {N})$ , то множество $E^{(m)}=E_{\nu }+E_{\nu }+\ldots +E_{\nu }$ ( $m$ слагаемых) имеет меру нуль.

(в)

Пусть

H=\left\{ \sum _{1 \leqslant k \leqslant n} r_{k} x_{k} \mid n \in \mathbb {N}, r_{k} \in \mathbb {Q}, x_{k} \in E_{\nu }, k=1, \ldots , n\right\} .

Докажите, что если $\varlimsup \left(n_{k+1}-n_{k}\right)=+\infty$ , то $\lambda (H)=0$ .

Задача VIII.1.14

Пусть $E=\left\{ \left.\sum_{k \geqslant 1} \frac{\varepsilon_{k}}{k!} \right\rvert \, \varepsilon_{k}=0\right.$ или 1 $\}$ . Докажите, что $E-$ однородное обобщённое канторово множество нулевой меры (см. определение перед задачей I.1.29). Какова его определяющая последовательность $\left\{ l_{n}\right\}_{n \geqslant 0}$ ? Верно ли, что мера множества $E+E+\ldots +E$ ( $m$ слагаемых) равна нулю при любом $m \in \mathbb {N}$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.15

Докажите, что обобщённое канторово множество с постоянным отношенисм (см. определение перед задачей I.1.29) имеет нулевую меру.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.16

Постройте однородное обобщённое канторово множество $E \subset [0,1]$ положительной меры. Покажите, что она может быть сколь угодно близкой к единице.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.17

Докажите существование такого множества $A \subset [0,1]$ , что $\lambda (A \cap \Delta )>0$ и $\lambda (\Delta \backslash A)>0$ для любого (непустого) интервала $\Delta \subset (0,1)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.18

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{2}$ - выпуклое компактное множество, $A_{\varepsilon }$ - $\varepsilon$ -окрестность множества $A$ , т. е. множество $\bigcup_{x \in A} B(x, \varepsilon )$ . Докажите, что $\lambda_{2}\left(A_{\varepsilon }\right)=a+b \varepsilon +c \varepsilon^{2}$ , и найдите коэффициенты $a, b, c$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.19

Пусть $A, B$ - выпуклые компактные множества в $\mathbb {R}^{3}$ , причём $A \subset B$ . Докажите, что площадь границы множества $A$ не больше площади границы множества $B$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.20

Докажите, что всякое (непустое) открытое подмножество пространства $\mathbb {R}^{m}$ может быть представлено в виде объединения последовательности попарно непересекающихся шаров и множества нулевой меры.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.21

Докажите, что объединение произвольного (даже несчётного) семейства невырожденных сегментов измеримо.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.22

Пусть $\left\{ E_{n}\right\}$ - последовательность попарно конгруэнтных подмножеств множества $S^{1}$ , удовлетворяющая условиям (см. задачу I.1.20):

S^{1}=\bigcup _{n \geqslant 1} E_{n}, \quad E_{n} \cap E_{m}=\varnothing \quad \text{ при } n \neq m(n, m \in \mathbb {N}) .

Докажите, что множества $E_{n}$ не могут быть измеримыми.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.23

Под сдвигом на $\theta$ по модулю 1 будем понимать отображение $x \mapsto \left\{ x+\theta \right\} , x \in [0,1)$ , где $\left\{ y\right\}$ - дробная часть числа $y$ . Заменяя поворот окружности на угол $2 \pi \theta$ сдвигом на $\theta$ по модулю 1 , постройте по аналогии с задачами I.1.20 и VIII.1.22 неизмеримое подмножество промежутка $[0,1)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.24

Используя результат задачи 1.23 , покажите, что множество $E \subset \mathbb {R}$ , имеющее положительную меру, содержит неизмеримое подмножество.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.25

Пусть $\mathfrak {A}$ - система подмножеств множества $\mathbb {N}$ , удовлетворяющая условиям*) : 1) если $\operatorname {card}(A)=\operatorname {card}(\mathbb {N} \backslash A)=\infty$ , то $A \in \mathfrak {A}$ тогда и только тогда, когда $\mathbb {N} \backslash \boldsymbol {A} \notin \mathfrak {A}$ ; 2) если $A \in \mathfrak {A}, C \subset \mathbb {N}, \operatorname {card}(C)<\infty$ , то $A \cup C \in \mathfrak {A}$ и $A \backslash C \in \mathfrak {A}$ .

Докажите, что множество $E=\left\{ \sum_{k \in A} 2^{-k} \mid A \in \mathfrak {A}\right\}$ неизмеримо.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.26

Будем говорить, что множество $E \subset \mathbb {R}^{m}$ порождает паркет, если его сдвиги на всевозможные векторы с целочисленными координатами покрывают $\mathbb {R}^{m}$ и не налегают друг на друга, т.е.

\mathbb {R}^{m}=\bigcup _{l \in \mathbb {Z}^{m}}(l+E), \quad (l+E) \cap \left(l^{\prime }+E\right)=\varnothing \quad \text{ при } \quad l \neq l^{\prime }\left(l, l^{\prime } \in \mathbb {Z}^{m}\right)

Докажите, что мера измеримого множества, порождающего паркет, равна единице.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.27

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{m}, \lambda_{m}(E)>0, A$ - счётное плотное в $\mathbb {R}^{m}$ множество. Докажите, что $\lambda_{m}\left(\mathbb {R}^{m} \backslash \bigcup_{a \in A}(a+E)\right)=0$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.28

Имеется последовательность $m$ -мерных шаров, радиусы которых стремятся к нулю, а суммарный объём бесконечен. Докажите, что в кубе можно так разместить конечное число этих шаров, что они заполнят $99 \%$ его объёма.

*) Существование такой системы множеств можно доказать с помощью леммы Цорна, см., например, с. 55 в [Ке].

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.29

Докажите, что если содержащиеся в квадрате попарно непересекающиеся круги покрывают его с точностью до множества меры нуль, то сумма длин граничных окружностей бесконечна.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.1.30

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Приведите пример такой последовательности открытых множеств $G_{n} \subset (0,1)(n \in \mathbb {N})$ , что

\lambda \left(G_{n}\right)=\frac{1}{2}, \quad \lambda \left(G_{n} \cap G_{k}\right)=\frac{1}{4} \quad \text{ при всех } \quad k, n \in \mathbb {N}, k \neq n .

(б)

Пусть $A_{n} \subset \mathbb {R}, \lambda \left(A_{n}\right) \geqslant \frac{1}{2}$ при любых $n \in \mathbb {N}$ , причём хотя бы одно неравенство строгое. Докажите, что если $\lambda \left(A_{n} \cap A_{k}\right) \leqslant \frac{1}{4}$ при $k \neq n (k, n \in \mathbb {N})$ , то $\lambda \left(\bigcup_{n} A_{n}\right)>1$ .

VIII.2 · Измеримые функции[18/100%]

Задача VIII.2.1

(а)(б)

Пусть $f$ - произвольная (не обязательно измеримая) функция, заданная и почти везде конечная на произвольном множестве $E \subset \mathbb {R}^{m}$ . Докажите, что при любом $\varepsilon >0$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

функция $x \mapsto g(x)=\sup \left\{ f(y) \mid y \in E,\left\| x-y\right\| <\varepsilon \right\}$ есть сужение на $E$ некоторой функции, измеримой на $\mathbb {R}^{m}$ (возможно, принимающей и бесконечные значения);

(б)

при $m=1$ функция

x \mapsto h(x)=\sup \left\{ f(y) \mid y \in E \cap (x, x+\varepsilon )\right\}

есть сужение на $E$ некоторой функции, измеримой на $\mathbb {R}$ .

Задача VIII.2.2

(а)(б)

Пусть $f$ - произвольная определённая на $\mathbb {R}$ функция с конечными значениями. Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

функция $\overline{f^{\prime }}$ , где

\overline{f^{\prime }}(x)=\varlimsup _{y \rightarrow x} \frac{f(y)-f(x)}{y-x},

измерима;

(б)

множество точек, в которых функция $f$ имеет производную, измеримо.

Задача VIII.2.3

(а)(б)

Пусть $f$ - определённая на $\mathbb {R}$ функция с конечными значениями. Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

функция $\overline{f^{\prime }}{ }_{+}$ , где $\overline{f^{\prime }}{ }_{+}(x)=\varlimsup_{y \rightarrow x+0} \frac{f(y)-f(x)}{y-x}$ , измерима, если измерима функция $f$ ;

(б)

если $E \subset \mathbb {R}$ - множество, не имеющее, как и его дополнение, внутренних точек, а $f=\chi_{E}$ , то

\bar{f}_{+}^{\prime }(x)=\begin{cases} 0, & \text{ при } x \in E ; \\ +\infty , & \text{ при } x \notin E . \end{cases}

Таким образом, функция $\overline{f^{\prime }}+$ может быть неизмеримой, если неизмерима функция $f$ .

Задача VIII.2.4

Пусть $f \in \mathscr {L}^{0}(E),\left|f\right| \leqslant 1$ почти везде на $E \subset \mathbb {R}^{m}$ . Докажите, что ссли $\left|f\right|<1$ на множестве положительной меры, то найдутся такие не эквивалентные друг другу функции $f_{1}, f_{2} \in \mathscr {L}^{0}(E)$ , удовлетворяющие условиям $\left|f_{1}\right| \leqslant 1,\left|f_{2}\right| \leqslant 1$ почти везде на $E$ , что $f=\frac{1}{2}\left(f_{1}+f_{2}\right)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.2.5

Приведите пример определённой на $\mathbb {R}$ монотонной функции, не эквивалентной непрерывной функции ни на каком (непустом) интервале.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.2.6

Функция Дирихле (равная единице в рациональных точках и нулю в иррациональных точках вещественной прямой) разрывна в каждой точке, но эквивалентна непрерывной функции. Существует ли такая функция из $\mathscr {L}^{0}(\left[0,1\right])$ , что любая эквивалентная ей на $\left[0,1\right]$ функция разрывна в каждой точке этого промежутка?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.2.7

(а)(б)(в)

Пусть $C$ - канторово множество, $f$ - канторова функция (см. задачу III.3.14), и пусть $g(x)=\frac{1}{2}(x+f(x))(x \in [0,1])$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

функция $g$ строго возрастает;

(б)

$\lambda (g(C))>0$ ;

(в)

найдётся такое (измеримое!) множество $H \subset C$ , что множество $g(H)$ неизмеримо.

Примечание.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{m}, f \in \mathscr {L}^{0}(E)$ . С функцией $f$ можно связать две монотонные функции $F_{f}, F^{f}$ , определяемые равенствами

\begin{array}{ll} F_{f}(t)=\lambda _{m}(\mathbb {E}\left[f<t\right]) & \text{ при } t \in \mathbb {R}, \\ F^{f}(t)=\lambda _{m}(\mathbb {E}\left[\left|f\right|>t\right]) & \text{ при } t>0 . \end{array}

При этом в первом случае мы предполагаем, что при всех $t \lambda_{m}(\mathbb {E}\left[f<t\right])<\infty$ , а во втором - что $\lambda_{m}(\mathbb {E}\left[\left|f\right|>t\right])<\infty$ при всех $t>0$ . Очевидно, иногда какую-то из функций $F_{f}, F^{f}$ или ни одну из них невозможно определить. Однако если $\lambda_{m}(E)<\infty$ , то обе они имеют смысл. Важно отметить, что в случае суммируемости функции $\left|f\right|$ или хотя бы суммируемости некоторой её положительной степени определена функция $F^{f}$ , даже если мера $E$ бесконечна. Ясно, что функция $F_{f}$ возрастает, а $F^{f}$ - убывает. Функции $F_{f}$ и $F^{f}$ называются функциями распределения (возрастающей и убывающей соответственно) функции $f$ . Функции $f$ и $g$ , имеющие одинаковые возрастающие функции распределения, называются равноизмеримы $м u$ (при этом не предполагается, что $f$ и $g$ определены на одном и том же множестве).

Задача VIII.2.8

Докажите, что возрастающая функция распределения непрерывна слева. Когда она непрерывна в точке $t_{0} \in \mathbb {R}$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.2.9

(а)(б)(в)(г)

Найдите возрастающие функции распределения на $\left[0,2 \pi \right]$ функций

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sin x$ ;

(б)

$\cos x$ ;

(в)

$\sin \frac{3 x}{2}$ ;

(г)

$\sin \left(2 x-\frac{\pi }{4}\right)$ .

Задача VIII.2.10

(а)(б)

Равноизмеримы ли функции $\sin x$ и $\sin (n x+\alpha )(n \in \mathbb {N}, \alpha \in \mathbb {R})$ на множествах

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left[0,2 \pi \right]$ ;

(б)

$\left[0, \pi \right]$ ?

Задача VIII.2.11

(а)(б)

Пусть $F$ - возрастающая функция распределения функции $f \in \mathscr {L}^{0}([0, T)), C, x_{0} \in \mathbb {R}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Найдите возрастающие функции распределения функций $f+C$ , $C f(C>0), f^{3}$ .

(б)

Пусть $\widetilde{f}$ - продолжение функции $f$ на множество $\mathbb {R}$ с периодом $T, g(x)=\widetilde{f}\left(x-x_{0}\right) \quad (x \in [0, T))$ . Найдите возрастающую функцию распределения функции $g$ .

Задача VIII.2.12

(а)(б)(в)

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{m}, \lambda_{m}(E)=1, f \in \mathscr {L}^{0}(E)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Докажите, что существует единственное число $t_{0}$ , такое что $\lambda_{m}\left(E\left(f \geqslant t_{0}\right)\right) \geqslant \frac{1}{2}$ и $\lambda_{m}\left(E\left(f \geqslant t_{0}+\varepsilon \right)\right)<\frac{1}{2}$ для любого $\varepsilon >0$ .

(б)

Докажите, что $\lambda_{m}\left(E\left(f \leqslant t_{0}\right)\right) \geqslant \frac{1}{2}$ .

(в)

Число $M$ , удовлетворяющее неравенствам

\lambda _{m}(E(f \geqslant M)) \geqslant \frac{1}{2}, \quad \lambda _{m}(E(f \leqslant M)) \geqslant \frac{1}{2},

называется медианой функции $f$ . Единственна ли медиана?

Примечание.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{m}, f \in \mathscr {L}^{0}(E)$ . Положим

\begin{aligned} f^{*}(\tau )= & \inf \left\{ t \mid \lambda _{m}(\mathbb {E}\left[f>t\right]) \leqslant \tau \right\} \\ & \text{ для } \tau \geqslant 0 . \end{aligned}

Функция $f^{*}$ называется невозрастающей перестановкой функции $f$ (рис. 12).

Рис. 12

Задача VIII.2.13

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Докажите, что функции $f$ и $f^{*}$ равноизмеримы. Предполагая, что функция распределения $F_{f}$ функции $f$ строго возрастает и непрерывна, выясните, как связаны $F_{f}$ и $f^{*}$ .

(б)

Докажите, что если функция $f$ вогнута (выпукла) на конечном интервале, то такой же будет и функция $f^{*}$ .

Задача VIII.2.14

(а)(б)(в)

Найдите невозрастающие перестановки следующих функций:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\sin x$ на $\left[0,2 \pi \right]$ ;

(б)

$\sin \frac{x}{2}$ на $\left[0,2 \pi \right]$ ;

(в)

$\operatorname {tg} x$ на $(0, \pi )$ .

Задача VIII.2.15

Найдите невозрастающую перестановку функции

f(x, y)=x^{2}+y^{2} \quad \left(x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.2.16

Пусть

f(x)=\sum _{1 \leqslant k \leqslant n} \frac{a_{k}}{x-c_{k}}, \quad \text{ где } \quad a_{1}>0, \ldots , a_{n}>0,

$c_{1}, \ldots , c_{n} \in \mathbb {R}$ . Докажите, что при любом $t>0$

\lambda \left\{ x \in \mathbb {R} \mid f(x)>t\right\} =\frac{A}{t}, \quad \lambda \left\{ x \in \mathbb {R} \mid f(x)<-t\right\} =\frac{A}{t},

где $A=a_{1}+\ldots +a_{n}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.2.17

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{m}, \lambda_{m}(E)=1, f \in \mathscr {L}^{0}(E)$ и пусть

0<A \leqslant \int _{E}\left|f(x)\right| d x, \quad \int _{E}\left|f(x)\right|^{2} d x \leqslant C^{2} A^{2}

при некотором $C \geqslant 1$ . Оцените снизу меру множества

E_{A}=\left\{ x \in E \mid \left|f(x)\right|>\frac{A}{2}\right\} .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.2.18

Пусть функция $f$ непрерывно дифференцируема $n$ раз на промежутке $I$ и $\left|f^{(n)}(x)\right| \geqslant \Delta >0$ для всех $x \in I$ . Докажите, что

\lambda \left\{ x \in I \mid \left|f(x)\right| \leqslant t\right\} \leqslant 2 n^{2}\left(\frac{t}{\Delta }\right)^{1 / n} .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

VIII.3 · Суммируемые функции[47/87%]

Задача VIII.3.1

Пусть объединение любых трёх множеств семейства $E_{1}, \ldots , E_{N}$ совпадает с промежутком $\left[0,1\right]$ . Положим

S_{1}=\sum _{1 \leqslant k \leqslant N} \lambda \left(E_{k}\right), \quad S_{2}=\sum _{1 \leqslant j<k \leqslant N} \lambda \left(E_{j} \cap E_{k}\right) .

Выразите через $S_{1}$ и $S_{2}$ интеграл $\mathcal{Y}=\int_{0}^{1}\left(\sum_{k=1}^{N} \chi_{E_{k}}(x)\right)^{3} d x$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.2

Пусть каждая точка промежутка $\left[0,1\right]$ принадлежит по крайней мере $k$ множествам $E_{1}, \ldots , E_{N}$ . Докажите, что для некоторого $n$ справедливо неравенство $\lambda \left(E_{n}\right) \geqslant \frac{k}{N}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.3

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{m}, \lambda_{m}(E)<\infty , f \in \mathscr {L}^{0}(E)$ . Докажите эквивалентность следующих условий:

$f \in \mathscr {L}(E)$ ;
$\sum_{k \geqslant 1} \lambda_{m}(E(\left|f\right| \geqslant k))<\infty$ ;
$\sum_{k \geqslant 1} k \lambda_{m}(E(k \leqslant \left|f\right|<k+1))<\infty$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.4

Пусть множества $E_{k} \subset \mathbb {R}^{m}(k \in \mathbb {N})$ удовлетворяют условию $\sum_{k \geqslant 1} \lambda_{m}\left(E_{k}\right)<\infty$ , и пусть

\begin{aligned} & A_{n}=\left\{ x \in \mathbb {R}^{m} \mid x \in E_{k} \text{ в точности при } n \text{ значениях } k\right\} , \\ & B_{n}=\left\{ x \in \mathbb {R}^{m} \mid x \in E_{k} \text{ не менее чем при } n \text{ значениях } k\right\} . \end{aligned}

Докажите что множества $A_{n}, B_{n}$ измеримы и

\begin{gathered} \lambda _{m}\left(B_{n}\right)=\sum _{k \geqslant n} \lambda _{m}\left(A_{k}\right), \\ \sum _{n \geqslant 1} n \lambda _{m}\left(A_{n}\right)=\sum _{n \geqslant 1} \lambda _{m}\left(B_{n}\right)=\sum _{n \geqslant 1} \lambda _{m}\left(E_{n}\right) . \end{gathered}

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.5

Пусть $x_{n}>0, x_{n} \rightarrow 0, f(t)=\operatorname {card}\left\{ n \in \mathbb {N} \mid x_{n}>t\right\}$ . Докажите, что $\int_{0}^{+\infty } f(t) d t=\sum x_{n}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.6

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Докажите, что ряд $\sum 2^{-n}\left|x-r_{n}\right|^{-1 / 2}$ , где $\left\{ r_{n}\right\}$ - произвольная числовая последовательность, сходится почти везде на $\mathbb {R}$ .

(б)

Постройте функцию из $\mathscr {L}^{0}(\mathbb {R})$ , не суммируемую ни на каком (непустом) интервале.

Задача VIII.3.7

Может ли всюду дифференцируемая на $\left[0,1\right]$ функция иметь производную, не суммируемую на $\left[0,1\right]$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.8

(а)(б)(в)

При каких $p \in \mathbb {R}$ следующие функции суммируемы на полуоси ( $0,+\infty$ )

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\frac{\sin x}{x^{p}}$ ;

(б)

$e^{-x^{p} \sin^{2} x}$ ;

(в)

$\frac{x^{p}}{1+x^{6} \sin^{2} x} ?$

Задача VIII.3.9

(а)(б)(в)(г)

Суммируемы ли указанные ниже функции $f$ на квадрате $\left[-1,1\right] \times [-1,1]$ ? Найдите повторные интегралы

\int _{-1}^{1}\left(\int _{-1}^{1} f(x, y) d y\right) d x \quad \text{ и } \quad \int _{-1}^{1}\left(\int _{-1}^{1} f(x, y) d x\right) d y

если:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$f(x, y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}$ ;

(б)

$f(x, y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}$ ;

(в)

$f(x, y)=\frac{x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}$ ;

(г)

$f(x, y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}$ (во всех случаях значение $f(0,0)$ может быть определено произвольным образом).

Задача VIII.3.10

(а)(б)(в)

При каких $p \in \mathbb {R}$ функция $f(x, y)=\left|1-x y\right|^{-p}$ суммируема на множестве $E$ в следующих случаях:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$E=\left[0,1\right]^{2}$ ;

(б)

$E=\left[0,2\right]^{2}$ ;

(в)

$E=\left\{ (x, y) \in [0,1]^{2} \mid (x-2)^{2}+y^{2} \geqslant 2, x^{2}+(y-2)^{2} \geqslant 2\right\}$ ?

Задача VIII.3.11

(а)(б)(в)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Пусть $p>0, E \subset \mathbb {R}^{m}$ и $\lambda_{m}(E)=\lambda_{m}(B(0, r))$ . Докажите, что

\int _{E} \frac{d y}{\left\| x-y\right\| ^{p}} \leqslant \int _{B(0, r)} \frac{d z}{\left\| z\right\| ^{p}} \quad \text{ при любом } x \in \mathbb {R}^{m} \text{. }

(б)

Докажите, что

\left|\int _{E} e^{i x} d x\right| \leqslant 2 \sin \frac{\lambda (E)}{2}

для любого множества $E \subset [0,2 \pi ]$ .

(в)

Докажите, что

\left|\iint _{E} \frac{d x d y}{x+i y}\right| \leqslant \sqrt{\pi \lambda _{2}(E)}

для любого множества $E$ конечной меры ( $E \subset \mathbb {R}^{2}$ ).

Задача VIII.3.12

Пусть $p, t>0, E \subset \mathbb {R}^{m}, f \in \mathscr {L}^{0}(E)$ . Докажите, что

\lambda _{m}(E(\left|f\right| \geqslant t)) \leqslant \frac{1}{t^{p}} \int _{E}\left|f(x)\right|^{p} d x

В частности, при $p=2$ мы получаем неравенство Чебышёва:

\lambda _{m}(E(\left|f\right| \geqslant t)) \leqslant \frac{1}{t^{2}} \int _{E}\left|f(x)\right|^{2} d x

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.13

Докажите, что если $\left|f\right|^{p} \in \mathscr {L}(E)\left(p>0, E \subset \mathbb {R}^{m}\right)$ , то

\lambda _{m}(E(\left|f\right| \geqslant t))=o\left(t^{-p}\right) \quad \text{ при } t \rightarrow +\infty .

Приведите пример, показывающий, что обратное утверждение неверно.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.14

Пусть $p>0, E \subset \mathbb {R}^{m}, f \in \mathscr {L}^{0}(E)$ и $\lambda_{m}(E(\left|f\right| \geqslant t))=O\left(t^{-p}\right)$ при $t \rightarrow +\infty$ . Докажите, что если $\lambda_{m}(E)<\infty$ , то $\left|f\right|^{p-\varepsilon } \in \mathscr {L}(E)$ при любом $\varepsilon \in (0, p)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.15

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{m}, f \in \mathscr {L}(E)$ . Докажите, что

\int _{E}\left|f(x)\right|^{p} d x \underset {p \rightarrow +0}{\longrightarrow } \lambda _{m}(E(f \neq 0)) .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.16

Пусть $f, g \in \mathscr {L}^{0}(E), f, g \geqslant 0$ . Докажите, что если $\int_{E} g(x) d x=1$ и $\int_{E} g(x) f(x) d x<\infty$ , то

\left(\int _{E} f^{p}(x) g(x) d x\right)^{1 / p} \underset {p \rightarrow +0}{\longrightarrow } \exp \left(\int _{E} g(x) \ln f(x) d x\right)

Можно ли отказаться от условия $\int_{E} g(x) f(x) d x<\infty$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.17

(а)(б)

Пусть $f$ - измеримая на $\mathbb {R}$ неотрицательная функция. Докажите, что при всяком $\varepsilon >0$ справедливы неравенства:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{1}^{2}\left(\sum_{k \in \mathbb {Z}, k \neq 0} f(k \varepsilon x)\right) d x \leqslant \frac{1}{\varepsilon } \int_{\mathbb {R}} f(x) d x$ ;

(б)

$\int_{1}^{2}\left(\sum_{k \in \mathbb {Z}, k \neq 0} f\left(\frac{k}{\varepsilon x}\right)\right) d x \leqslant 4 \varepsilon \int_{\mathbb {R}} f(x) d x$ .

Задача VIII.3.18

Пусть $f$ - суммируемая на $\mathbb {R}$ неотрицательная функция, $\left\{ \left(a_{n}, b_{n}\right)\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ - двусторонняя последовательность интервалов. Предположим, что существует такое $\delta >0$ , что $a_{n+1} \geqslant b_{n}+\delta$ при всех $n \in \mathbb {Z}$ . Докажите, что тогда

\sum _{n \in \mathbb {Z}} \int _{a_{n+1}}^{+\infty } \frac{f(x)}{\left(x-b_{n}\right)^{3 / 2}} d x<+\infty

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.19

(а)(б)(в)

Пусть $x \in \mathbb {R}, x=\left[x\right]+\sum \varepsilon_{k} 2^{-k}$ - двоичное представление числа $x$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Найдите интегралы $\int_{0}^{1} \varepsilon_{k}(x) d x, \int_{0}^{1} \varepsilon_{k}(x) \varepsilon_{m}(x) d x(k, m \in \mathbb {N}, k \neq m)$ .

(б)

Найдите интеграл $\int_{0}^{1}\left|s_{n}(x)-\frac{1}{2}\right|^{2} d x$ , где $s_{n}(x)=\frac{1}{n} \sum_{1 \leqslant k \leqslant n} \varepsilon_{k}(x)$ .

(в)

Докажите, что $\int_{0}^{1}\left|s_{n}(x)-\frac{1}{2}\right|^{4} d x=O\left(n^{-2}\right)$ .

Задача VIII.3.20

(а)(б)

Пусть $x \in \mathbb {R}, x=\left[x\right]+\sum \varepsilon_{k} \cdot 10^{-k}$ - десятичное представление числа $x$ . Пусть $j$ - одна из цифр $0,1, \ldots , 9$ , и пусть

a_{j}(x) = \begin{cases} 1, & \text{ если } \varepsilon _{1}(x)=j, \\ 0, & \text{ если } \varepsilon _{1}(x) \neq j . \end{cases}

Найдите интегралы ( $k, m \in \mathbb {N}, k \neq m$ )

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{1} a_{j}\left(10^{k-1} x\right) d x$ ;

(б)

$\int_{0}^{1} a_{j}\left(10^{k-1} x\right) a_{j}\left(10^{m-1} x\right) d x$ .

Задача VIII.3.21

Пусть $a \in \mathbb {R}, a \neq 0, a \neq 1, x=\sum_{k \geqslant 1} \varepsilon_{k}(x) \cdot 10^{-k}$ - десятичное представление числа $x, x \in (0,1)$ . Положим

f(x) = \begin{cases} a, & \text{ если } \varepsilon _{n}(x) \neq 0 \text{ при любом } n ; \\ 1, & \text{ если первый знак } \varepsilon _{n}(x) \neq 0 \text{ имеет чётный номер; } \\ 0 & \text{ в остальных случаях. } \end{cases}

Докажите, что функция $f$ измерима, и найдите $\int_{0}^{1} f(x) d x$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.22

(а)(б)

При построении канторова множества из промежутка $\left[0,1\right]$ последовательно удалялись интервалы длины $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}$ и т.д. (см. текст перед задачей I.1.29). Пусть $f(x)=n$ на интервалах длины $3^{-n}, f(x)=0$ на канторовом множестве.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Докажите, что функция $f$ измерима, и найдите $\int_{0}^{1} f(x) d x$ .

(б)

Найдите возрастающую функцию распределения $F$ функции $f$ и невозрастающую перестановку $f^{*}$ функции $f$ (см. определения перед задачами $2.8,2.13$ ).

Задача VIII.3.23

Пусть $K$ - замкнутое подмножество промежутка $\left[a, b\right]$ ,

\rho (y)=\inf \left\{ \left|y-t\right| \mid t \in K\right\}

расстояние от точки $y \in \mathbb {R}$ до множества $K$ . Докажите, что при любом $s>0$ функция

\mathcal{I}_{s}(x)=\int _{a}^{b} \frac{\rho ^{s}(y) d y}{\left|x-y\right|^{s+1}} \quad (x \in K)

суммируема на $K$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.24

(а)(б)

Докажите, что для неотрицательной функции $f$ справедливы равенства $(0<a \leqslant \infty )$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{\left[-a, a\right]^{m}} f\left(\max_{1 \leqslant k \leqslant m}\left|x_{k}\right|\right) d x=m 2^{m} \int_{0}^{a} t^{m-1} f(t) d t$ ;

(б)

$\int_{\left[-a, a\right]^{m}} f(x) d x=\int_{0}^{a} t^{m-1}\left(\int_{\max \left|y_{k}\right|=1} f(t y) d \lambda_{m-1}(y)\right) d t$ , где $\lambda_{m-1}-(m-1)$ -мерная мера Лебега на границе куба $\left[-1,1\right]^{m}$ .

Задача VIII.3.25

Вычислите интеграл ( $p>-1$ )

\int _{\left[0,1\right]^{m}}\left(\frac{\min x_{k}}{\max x_{k}}\right)^{p} d x

Напомним, что символ $\mu_{m-1}$ обозначает меру Лебега (площадь поверхности) на сфере $S^{m-1}=\left\{ x \in \mathbb {R}^{m} \mid \left\| x\right\| =1\right\}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.26

(а)(б)

Докажите по индукции справедливость равенств ( $m \geq 2$ )

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{S^{m-1}} f\left(x_{1}, \ldots , x_{m-1}, x_{m}\right) d \mu_{m-1}(x)= =\int_{0}^{\pi } \sin^{m-2} \theta \left\{ \int_{S^{m-2}} f\left(u_{1} \sin \theta , \ldots , u_{m-1} \sin \theta , \cos \theta \right) d \mu_{m-2}(u)\right\} d \theta ;$

(б)

$\int_{\mathbb {R}^{m}} f(x) d x=\int_{0}^{\infty } t^{m-1}\left\{ \int_{S^{m-1}} f(t \omega ) d \mu_{m-1}(\omega )\right\} d t$ ,

где функция $f$ предполагается суммируемой соответственно на $S^{m-1}$ или $\mathbb {R}^{m}$ . При $m=2$ в формуле а) под $S^{0}$ следует понимать границу отрезка $\left[-1,1\right]$ , т.е. двухточечное множество $\left\{ -1,1\right\}$ , а меру $\mu_{0}$ считать состоящей из единичных нагрузок, помещённых в точках +1 и -1 .

Задача VIII.3.27

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Пусть $r$ - неотрицательная непрерывная функция, определённая на $S^{m-1}, T=\left\{ x \in \mathbb {R}^{m} \left\lvert \, 0<\left\| x\right\| \leqslant r\left(\frac{x}{\left\| x\right\| }\right)\right.\right\}$ . Докажите, что

\lambda _{m}(T)=\frac{1}{m} \int _{S^{m-1}} r^{m}(\omega ) d \mu _{m-1}(\omega )

(б)

Пусть непрерывная на $\mathbb {R}^{m}$ функция $f$ удовлетворяет условию $f(t x)=t f(x)>0$ при $x \neq 0, t>0$ . Докажите, что

\int _{S^{m-1}} \frac{d \mu _{m-1}(x)}{f^{m}(x)}=m \lambda _{m}(V), \quad \text{ где } \quad V=\left\{ x \in \mathbb {R}^{m} \mid f(x) \leqslant 1\right\}

Задача VIII.3.28

Пусть непрерывная на $\mathbb {R}^{m}$ функция $f$ удовлетворяет условию $f(t x)=t f(x)>0$ при $x \neq 0, t>0, A$ - невырожденное линейное преобразование в $\mathbb {R}^{m}$ . Докажите, что

\int _{S^{m-1}} \frac{d \mu _{m-1}(x)}{f^{m}(A x)}=\frac{1}{\left|\operatorname {det}(A)\right|} \int _{S^{m-1}} \frac{d \mu _{m-1}(x)}{f^{m}(x)}

При решении задач $3.29-3.31$ полезно использовать формулу (см. задачу 3.26 б))

\int _{a \leqslant \left\| x\right\| \leqslant b} f(\left\| x\right\| ) d \lambda _{m}(x)=m \alpha _{m} \int _{a}^{b} t^{m-1} f(t) d t,

где $f$ - измеримая неотрицательная на промежутке $\langle a, b\rangle$ ( $0 \leqslant a<b \leqslant \infty$ ) функция, $\alpha_{m}=\lambda_{m}\left(B^{m}\right)=\pi^{m / 2} / \Gamma \left(\frac{m}{2}+1\right)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.29

Пусть $E$ - измеримое подмножество полуоси $(0,+\infty )$ , $A_{E}=\left\{ x \in \mathbb {R}^{m} \mid \left\| x\right\| \in E\right\}$ . Докажите, что

\lambda _{m}\left(A_{E}\right)=m \alpha _{m} \int _{E} t^{m-1} d t

В задачах 3.31 и др. символом $\gamma_{m}$ обозначена стандартная гауссова мера в $\mathbb {R}^{m}$ , т.е. мера с плотностью

(2 \pi )^{-m / 2} e^{-\left\| x\right\| ^{2} / 2} .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.30

Чему равен «гауссов объём» шара $B(0, r)$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.31

Пусть $a>0, K_{a}$ - конус в пространстве $\mathbb {R}^{4}$ :

K_{a}=\left\{ \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb {R}^{4} \mid x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2} \leqslant a^{2} x_{1}^{2}\right\} .

Найдите $\gamma_{4}\left(K_{a}\right)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.32

Вычислите объём обобщённого тора $T \subset \mathbb {R}^{4}$

T=\left\{ \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb {R}^{4} \mid \left(x_{1}, \sqrt{x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}\right) \in B \subset \mathbb {R}^{2}\right\} ,

где $B$ - круг с центром в точке $(0, a)$ и радиусом $R \leqslant a$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.33

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{2}$ - компактное множество, лежащее в верхней полуплоскости. Если $T_{0}$ - тело в $\mathbb {R}^{3}$ , получаемое вращением множества $A$ вокруг оси $x_{1}$ , то по теореме Гульдина $\lambda_{3}\left(T_{0}\right)=\lambda_{2}(A) 2 \pi y_{c}$ , где $y_{c}$ - ордината центра тяжести множества $A$ . Считая, что $\mathbb {R}^{2}$ канонически вложено в $\mathbb {R}^{4}$ , рассмотрим тело $T$ в $\mathbb {R}^{4}$ , «получающееся при вращении $A$ вокруг оси $x_{1}$ »:

T=\left\{ \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb {R}^{4} \mid \left(x_{1}, \sqrt{x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}\right) \in A\right\} .

Докажите, что справедлива следующая модификация теоремы Гульдина:

\lambda _{4}(T)=\lambda _{2}(A) \cdot 4 \pi \rho ^{2},

где $\rho$ - «радиус инерции» множества $A$ относительно оси $x_{1}$ , т.е. положительное число, определяемое равенством

\rho ^{2}=\frac{1}{\lambda _{2}(A)} \iint _{A} y^{2} d x d y

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.34

(а)(б)

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{2}$ - компактное множество, лежащее в верхней полуплоскости. Считая, что $\mathbb {R}^{2}$ канонически вложено в $\mathbb {R}^{m}$ , рассмотрим в $\mathbb {R}^{m}$ множество $T$ - «тело, полученное при вращении $A$ вокруг оси $x_{1}$ »:

T=\left\{ \left(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{m}\right) \in \mathbb {R}^{m} \mid \left(x_{1}, \sqrt{x_{2}^{2}+\ldots +x_{m}^{2}}\right) \in A\right\} .

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\lambda_{m}(T)=\sigma_{m-2} \iint_{A} x_{2}^{m-2} d x_{1} d x_{2}$ ;

(б)

$\gamma_{m}(T)=\frac{\sigma_{m-2}}{(2 \pi )^{m / 2}} \iint_{A} e^{-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right) / 2} x_{2}^{m-2} d x_{1} d x_{2}$ ,

где $\sigma_{m-2}$ - площадь сферы $S^{m-2}, \gamma_{m}(T)$ - «гауссов объём» множества $T$ .

Задача VIII.3.35

Вычислите интеграл

\int _{\mathbb {R}^{m}} \exp \left(-\sum _{1 \leqslant j \leqslant k \leqslant m} \sum _{j} x_{j} x_{k}\right) d x .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.36

Найдите лебегову меру множества

\left\{ \left(x_{1}, \ldots , x_{m}\right) \in \mathbb {R}^{m} \mid \sum _{1 \leqslant k \leqslant m}\left|x_{k}\right|^{p} \leqslant 1\right\} \quad (p>0) .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.37

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Вычислите интеграл

\mathcal{Y}=\frac{1}{\sigma _{m-1}} \int _{S^{m-1}}\left|(x, a)\right|^{p} d \mu _{m-1}(x)

(б)

Докажите, что при $m, n \in \mathbb {N}, 1 \leqslant n \leqslant m, n+q>0$ , справедливо равенство

\frac{1}{\sigma _{m-1}} \int _{S^{m-1}}\left(x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}\right)^{q / 2} d \mu _{m-1}(x)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+q}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{m+q}{2}\right)}-\frac{\Gamma \left(\frac{m}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \quad \left(\underset {n \rightarrow \infty }{\sim }\left(\frac{n}{m}\right)^{q / 2}\right)

Задача VIII.3.38

Пусть $F \in C(\mathbb {R}), a \in \mathbb {R}^{m}$ . Сведите интегралы от $F((x, a))$ по единичному шару и по единичной сфере в $\mathbb {R}^{m}$ к интегралам по отрезку $\left[-1,1\right]$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.39

Пусть $a \in \mathbb {R}^{m}, A: \mathbb {R}^{m} \rightarrow \mathbb {R}^{m}$ - невырожденное линейное преобразование, $F \in C(\mathbb {R})$ . Докажите, что

\int _{S^{m-1}} F\left(\frac{(x, a)}{\left\| A(x)\right\| }\right) \frac{d \mu _{m-1}(x)}{\left\| A(x)\right\| ^{m}}=\frac{\sigma _{m-1}}{\left|\operatorname {det}(A)\right|} \int _{-1}^{1} F(c t)\left(1-t^{2}\right)^{m-3 / 2} d t

где $c=\left\| \left(A^{-1}\right)^{*}(a)\right\| , \sigma_{m-1}=\mu_{m-1}\left(S^{m-1}\right)$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.40

Пусть $\theta$ - угол между ненулевыми векторами $a, b \in \mathbb {R}^{m} (0 \leqslant \theta \leqslant \pi )$ . Докажите, что

\int _{S^{m-1}} \operatorname {sign}(a, x) \operatorname {sign}(b, x) d \mu _{m-1}(x)=\left(1-\frac{2}{\pi } \theta \right) \sigma _{m-1}

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.41

(а)(б)

Пусть $I_{m}=\int_{0}^{\infty } \gamma_{m}(B(0, r))\left(1-\gamma_{m}(B(0, r))\right) d r$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$I_{m}=\frac{1}{2} \int_{\mathbb {R}^{m}} \int_{\mathbb {R}^{m}}|\left\| x\right\| -\left\| y\right\| | d \gamma_{m}(x) d \gamma_{m}(y)$ ;

(б)

$I_{m} \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2 \pi }}$ .

Задача VIII.3.42

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{m}$ - открытое звёздное относительно нуля множество,

q_{A}(x)=\inf \left\{ t>0 \mid t^{-1} x \in A\right\} \quad \left(x \in \mathbb {R}^{m}\right)

калибровочная функция множества $A$ , и пусть $\mu$ - такая вер оятностная мера на $\mathbb {R}^{m}$ , что $\int_{\mathbb {R}^{m}}\left|(x, y)\right| d \mu (x)<+\infty$ при любом $y \in \mathbb {R}^{m}$ .

Докажите, что

\int _{0}^{+\infty } \mu (t A)(1-\mu (t A)) d t=\frac{1}{2} \int _{\mathbb {R}^{m}} \int _{\mathbb {R}^{m}}\left|q_{A}(x)-q_{A}(y)\right| d \mu (x) d \mu (y)<+\infty

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.43

(а)(б)

Пусть функция $f$ суммируема на кубе $Q=[0,1)^{m}$ и имеет период 1 по каждой переменной. Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

при сдвиге $Q$ на любой вектор интеграл $\int_{Q} f(x) d x$ не изменяется, т. е. при любом $a \in \mathbb {R}^{m}$

\int _{Q} f(x) d x=\int _{a+Q} f(x) d x, \quad \text{ где } \quad a+Q=\left\{ a+y \mid y \in Q\right\}

(б)

если $A$ - произвольная целочисленная матрица размера $m \times m$ с определителем, равным единице, то

\int _{Q} f(x) d x=\int _{A(Q)} f(x) d x

Верно ли это утверждение, если определитель матрицы $A$ равен единице, но её элементы могут не быть целочисленными?

Задача VIII.3.44

Пусть $T$ - произвольное выпуклое компактное тело в $\mathbb {R}^{m}$ , $V=\lambda_{m}(T)$ . Докажите, что если $(m-1)$ -мерный объём проекции $T$ на любую гиперплоскость не меньше $S$ , то $\operatorname {diam} T \leqslant m V / S$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.45

Пусть $T \subset \mathbb {R}^{m}$ - выпуклое компактное центрально симметричное относительно нуля тело, $\mathscr {E}$ - эллипсоид максимального объёма, содержащийся в $T$ :

\mathscr {E} \subset T, \quad \lambda _{m}(\mathscr {E})=\sup \left\{ \lambda _{m}(E) \mid E \subset T, \quad E-\text{ эллипсоид }\right\} .

Докажите, что $T \subset \sqrt{m} \mathscr {E}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.3.46

(а)(б)

Пусть $K \subset \mathbb {C}$ - замкнутое ограниченное множество положительной (плоской) меры. Определим функцию $\varphi$ равенством

\varphi (z)=\iint _{K} \frac{d \xi d \eta }{z-(\xi +i \eta )} \quad (z \in \mathbb {C})

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\varphi \in C(\mathbb {C}), z \varphi (z) \rightarrow \lambda_{2}(K)$ при $z \rightarrow \infty$ ;

(б)

функция $\varphi$ голоморфна вне $K$ .

Задача VIII.3.47

(а)(б)(в)

Отождествляя естественным образом $\mathbb {C}^{2}$ с $\mathbb {R}^{4}$ , рассмотрим на сфере $S^{3}$ функции $\varphi_{m, n}(m, n=0,1,2, \ldots )$ , определяемые равенствами $\varphi_{m, n}\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)=\xi_{1}^{m} \xi_{2}^{n}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Вычислите интегралы

\int _{S^{3}}\left|\varphi _{m, n}\left(\xi _{1}, \xi _{2}\right)\right|^{2} d \mu _{3}\left(\xi _{1}, \xi _{2}\right) \quad (m, n=0,1,2, \ldots )

(б)

докажите, что система $\left\{ \varphi_{m, n}\right\}_{m, n=0}^{\infty }$ ортогональна;

(в)

докажите, что если ряд $\sum_{m, n \geqslant 0} a_{m, n} \varphi_{m, n}$ равномерно сходится на $\overline{B^{4}}$ и его сумма равна $f$ , то справедливо следующее обобщение интегральной формулы Коши:

f\left(\xi _{1}, \xi _{2}\right)=\frac{1}{2 \pi ^{2}} \int _{S^{3}} \frac{f\left(z_{1}, z_{2}\right)}{\left(1-\xi _{1} \bar{z}_{1}-\xi _{2} \bar{z}_{2}\right)^{2}} d \mu _{3}\left(z_{1}, z_{2}\right)

где $\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) \in B^{4}, B^{4}=\left\{ \left(\xi_{1}, \xi_{2}\right) \in \mathbb {C}^{2} \mid \left|\xi_{1}\right|^{2}+\left|\xi_{2}\right|^{2}<1\right\}$ .

VIII.4 · Интеграл Стилтьеса[14/93%]

Задача VIII.4.1

Пусть $-\infty <a<b \leqslant \infty$ . Докажите, что

\int _{(a, b)^{m}} h\left(\max _{1 \leqslant k \leqslant m} x_{k}\right) d x=m \int _{a}^{b}(t-a)^{m-1} h(t) d t

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.4.2

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Пусть

O_{m}(r)=\left\{ \left(x_{1}, \ldots , x_{m}\right) \in \mathbb {R}^{m} \mid \sum _{1 \leqslant k \leqslant m}\left|x_{k}\right| \leqslant r\right\} .

Докажите, что

\int _{O_{m}(r)} h\left(\sum _{1 \leqslant k \leqslant m}\left|x_{k}\right|\right) d x=\frac{2^{m}}{(m-1)!} \int _{0}^{r} t^{m-1} h(t) d t

(б)

Пусть $a=\left(a_{1}, \ldots , a_{m}\right) \in \mathbb {R}_{+}^{m}, E=\left\{ x \in \mathbb {R}_{+}^{m} \mid (x, a)>1\right\}$ . Вычислите интеграл $\int_{E} e^{-(a, x)} d x$ .

Задача VIII.4.3

Докажите, что при $p>0$

\int _{\mathbb {R}^{m}} h\left(\left(\sum _{1 \leqslant k \leqslant m}\left|x_{k}\right|^{p}\right)^{1 / p}\right) d x=m C_{m}(p) \int _{0}^{\infty } t^{m-1} h(t) d t

где $C_{m}(p)=\lambda_{m}\left\{ \left(x_{1}, \ldots , x_{m}\right) \in \mathbb {R}^{m} \mid \left|x_{1}\right|^{p}+\ldots +\left|x_{m}\right|^{p} \leqslant 1\right\}$ (по поводу значения $C_{m}(p)$ см. задачу 3.36).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.4.4

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{m}, g_{E}(t)=\lambda_{m}(E \cap B(0, t))(t>0)$ . Докажите, что

\int _{E} h(\left\| x\right\| ) d x=\int _{0}^{\infty } h(t) d g_{E}(t)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.4.5

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{m}, \quad f \in \mathscr {L}^{0}(E)$ , и пусть для любого $t>0 \lambda_{m}\left\{ x \in E \mid \left|f(x)\right|>t\right\} <+\infty$ . Докажите, что для любой неотрицательной функции $\varphi \in C(\mathbb {R})$ справедливо равенство

\int _{E} \varphi (\left|f(x)\right|) d x=-\int _{0}^{+\infty } \varphi (t) d F(t)

где $F$ - убывающая функция распределения функции $f$ (см. определение перед задачей 2.8).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.4.6

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{2}$ - выпуклое ограниченное множество, $\rho (x)= =\inf \left\{ \left\| x-y\right\| \mid y \in A\right\}$ - расстояние от точки $x \in \mathbb {R}^{2}$ до $A$ . Найдите интеграл $\int_{\mathbb {R}^{2}} e^{-\rho (x)} d x$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.4.7

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{m}, f, g$ - неотрицательные, почти везде конечные на $E$ функции, имеющие убывающие функции распределения $F$ и $G$ соответственно. Допустим, что в точке $t_{0}>0$ разность $F-G$ меняст знак с «-» на «+», т.е. $F(t) \leqslant G(t)$ при $t \in \left(0, t_{0}\right)$ и $F(t) \geqslant G(t)$ при $t>t_{0}$ . Пусть, наконец, $\Delta =\left\{ p>0 \mid f^{p}, g^{p} \in \mathscr {L}(E)\right\}$ . Докажите, что функция

\varphi (p)=\frac{1}{p t_{0}^{p}} \int _{E}\left(f^{p}(x)-g^{p}(x)\right) d x

возрастает на множестве $\Delta$ . В частности, если $\int_{E} f^{p_{0}}(x) d x \geqslant \int_{E} g^{p_{0}}(x) d x$ , то $\int_{E} f^{p}(x) d x \geqslant \int_{E} g^{p}(x) d x$ для всех $p>p_{0}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.4.8

Используя результат предыдущей задачи, докажите, что $\int_{0}^{+\infty }\left|\frac{\sin x}{x}\right|^{p} d x<\frac{\pi }{\sqrt{2 p}}$ при $p>2$ , а при $1<p<2$ справедливо противоположное неравенство.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.4.9

(а)(б)(в)(г)(д)

Пусть $\sigma$ - канторова функция (см. задачу III.3.14). Вычислите интегралы

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{1} x d \sigma (x)$ ;

(б)

$\int_{0}^{1} x^{2} d \sigma (x)$ ;

(в)

$\int_{0}^{1} \sigma (x) d x$ ;

(г)

$\int_{0}^{1} \sigma (x) d \sigma (x)$ ;

(д)

$\int_{0}^{1} \sigma (1-x) d \sigma (x)$ .

Задача VIII.4.10

(а)(б)(в)

Пусть $C$ - канторово множество, $\sigma$ - канторова функция. При каких $p \in \mathbb {R}$ конечны интегралы

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{d \sigma (x) d \sigma (y)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p / 2}}$ ;

(б)

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{d \sigma (x) d \sigma (y)}{\left((x-u)^{2}+(y-v)^{2}\right)^{p / 2}}$ , где $(u, v) \in C \times C$ ;

(в)

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{d \sigma (x) d \sigma (y)}{\left|x-y\right|^{p}}$ ? (Обобщение утверждения в) см. в задаче 5.25.)

Задача VIII.4.11

(а)(б)

Пусть $C$ - канторово множество, $\sigma$ - канторова функция. Определим функцию $\varphi$ равенством

\varphi (z)=\int _{0}^{1} \int _{0}^{1} \frac{d \sigma (\xi ) d \sigma (\eta )}{z-(\xi +i \eta )} \quad (z \in \mathbb {C})

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\varphi \in C(\mathbb {C}), z \varphi (z) \rightarrow 1$ при $z \rightarrow \infty$ ;

(б)

функция $\varphi$ голоморфна вне множества $C \times C$ (сравните с задачей 3.46).

Задача VIII.4.12

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{m}, B \subset \mathbb {R}^{n}$ - выпуклые компактные центрально симметричные множества. Какую долю объёма множества $A \times B$ составляет объём выпуклой оболочки множества $(A \times \left\{ 0\right\} ) \cup (\left\{ 0\right\} \times B)$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.4.13

Пусть $p>1, E \subset \mathbb {R}^{m}, f \in \mathscr {L}^{0}(E)$ , и пусть $f^{*}$ - невозрастающая перестановка функции $\left|f\right|$ . Докажите, что если конечен интеграл

I_{p}(f)=\int _{0}^{+\infty } f^{*}(t) t^{\frac{1}{p}-1} d t, \text{ то } \int _{E}\left|f(x)\right|^{p} d x<\infty

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.4.14

Сохраняя обозначения предыдущей задачи, положим для $n \in \mathbb {Z}$

\begin{array}{ll} E_{n}=\left\{ x \in E \mid 2^{n}<\left|f(x)\right|\right\} , & S=\sum _{n \in \mathbb {Z}} 2^{n}\left(\lambda _{m}\left(E_{n}\right)\right)^{1 / p} ; \\ e_{n}=\left\{ x \in E \mid 2^{n}<\left|f(x)\right| \leqslant 2^{n+1}\right\} , & s=\sum _{n \in \mathbb {Z}} 2^{n}\left(\lambda _{m}\left(e_{n}\right)\right)^{1 / p} . \end{array}

Докажите, что $(s<+\infty ) \Rightarrow \left(I_{p}(f)<+\infty \right) \Rightarrow (S<+\infty )$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

VIII.5 · ε-энтропия и меры Хаусдорфа[32/97%]

Задача VIII.5.1

Множество $E \subset \mathbb {R}^{n}$ называется $\varepsilon$ -различимым, если расстояние между любыми двумя его точками не меньше $\varepsilon$ . Пусть

M(A, \varepsilon )=\max \left\{ \operatorname {card}(E) \mid E \subset A, \text{ множество } E \varepsilon \text{-различимо }\right\}

максимальная мощность $\varepsilon$ -различимого подмножества множества $A$ . Докажите, что

N(A, \varepsilon ) \leqslant M(A, \varepsilon ) \leqslant N\left(A, \frac{\varepsilon }{2}\right)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.5.2

(а)(б)

Пусть $A$ - ограниченное подмножество пространства $\mathbb {R}^{n}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Докажите, что если $A$ имеет внутреннюю точку, то

H(A, \varepsilon ) \sim n \log _{2} \frac{1}{\varepsilon } \quad (\varepsilon \rightarrow +0) .

(б)

Напомним, что внешней мерой $\lambda_{n}^{*}(A)$ множества $A \subset \mathbb {R}^{n}$ называется величина

\lambda _{n}^{*}(A)=\inf \left\{ \lambda _{n}(G) \mid A \subset G \subset \mathbb {R}^{n}, G \text{ открыто }\right\}

Докажите, что если $\lambda_{n}^{*}(A)>0$ , то $N(A, \varepsilon ) \geqslant C \varepsilon^{-n}$ , где $C$ - некоторая положительная постоянная.

Задача VIII.5.3

(а)(б)(в)(г)(д)

Найдите асимптотику (при $\varepsilon \rightarrow +0$ ) $\varepsilon$ -энтропии множеств:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\left\{ 2^{-n} \mid n \in \mathbb {N}\right\}$ ;

(б)

$\left\{ n^{-\alpha } \mid n \in \mathbb {N}\right\} \quad (\alpha >0)$ ;

(в)

$\left\{ n^{-n} \mid n \in \mathbb {N}\right\}$ ;

(г)

$\left\{ 2^{-n^{2}} \mid n \in \mathbb {N}\right\}$ ;

(д)

$\left\{ \left.\frac{1}{\ln (n+1)} \right\rvert \, n \in \mathbb {N}\right\}$ .

Задача VIII.5.4

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{n}$ - ограниченное множество, $0<\lambda_{n}(E)<\infty$ , $M(E, \varepsilon )$ - максимальное число $\varepsilon$ -различимых точек, лежащих в $E$ . Докажите, что

\frac{1}{\varepsilon ^{n}} \frac{\lambda _{n}(E)}{\alpha _{n}} \leqslant M(E, \varepsilon ) \leqslant \frac{2^{n}}{\varepsilon ^{n}} \frac{\lambda _{n}\left(E_{\varepsilon / 2}\right)}{\alpha _{n}},

где $E_{\varepsilon / 2}$ - $(\varepsilon / 2)$ -окрестность множества $E, \quad \alpha_{n}$ - объём $n$ -мерного единичного шара.

Метрической размерностью $M-\operatorname {dim}(A)$ и метрическим порядком $r(A)$ ограниченного подмножества $A$ пространства $\mathbb {R}^{n}$ называются величины

M-\operatorname {dim}(A)=\varlimsup _{\varepsilon \rightarrow +0} \frac{H(A, \varepsilon )}{\log _{2}(1 / \varepsilon )}, \quad r(A)=\varliminf _{\varepsilon \rightarrow +0} \frac{H(A, \varepsilon )}{\log _{2}(1 / \varepsilon )}

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.5.5

(а)(б)

Найдите метрические размерности и метрические порядки графиков следующих функций:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$f(x)=\sin \pi x, \quad 0 \leqslant x \leqslant 1$ ;

(б)

$f(x)=\sin \frac{\pi }{x}, \quad 0<x \leqslant 1$ .

Задача VIII.5.6

(а)(б)(в)

Найдите метрические размерности и метрические порядки следующих множеств:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$A \times [-1,1] \subset \mathbb {R}^{2}$ , где $A=\left\{ n^{-1 / 2} \mid n \in \mathbb {N}\right\}$ ;

(б)

графика функции $f(x)=\sin \frac{\pi }{x^{2}}, 0<x \leqslant 1$ ;

(в)

$\bigcup_{n \geqslant 1} S\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ , где $S(r)$ - окружность с центром в нуле и радиу $\operatorname {com} r$ .

Задача VIII.5.7

(а)(б)(в)

Найдите метрические размерности и метрические порядки следующих множеств:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$A \times [-1,1] \subset \mathbb {R}^{2}$ , где $A=\left\{ \left.\frac{1}{\ln (n+1)} \right\rvert \, n \in \mathbb {N}\right\}$ ;

(б)

графика функции $f(x)=\sin \left(\pi e^{1 / x}\right), 0<x \leqslant 1$ ;

(в)

$\bigcup_{n>1} S\left(\frac{1}{\ln n}\right)$ (обозначение $S(r)$ см. в задаче 5.6 в)).

Задача VIII.5.8

Найдите метрическую размерность и метрический порядок канторова множества (см. задачу I.1.29).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.5.9

Найдите асимптотику $\varepsilon$ -энтропии множества

A=\left\{ \left.\sum _{k \geqslant 0} \frac{\varepsilon _{k}}{k!} \right\rvert \, \varepsilon _{k}=0 \text{ или } 1\right\} .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.5.10

(а)(б)

Определим возрастающую последовательность $\left\{ n_{k}\right\}$ натуральных чисел, положив $n_{k}=k+m!$ , если $m!\leqslant k<(m+1)!$ , и рассмотрим множество

A=\left\{ \sum \varepsilon _{k} 2^{-n_{k}} \mid \varepsilon _{k}=0 \text{ или } 1\right\} .

Пусть, далее,

A_{l}=A+\ldots +A=\left\{ x_{1}+\ldots +x_{l} \mid x_{1}, \ldots , x_{l} \in A\right\} .

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$M-\operatorname {dim}(A)=1, r(A)=\frac{1}{2}$ ;

(б)

$\lambda \left(A_{l}\right)=0$ при любом $l \in \mathbb {N}$ .

Задача VIII.5.11

Пусть $\Psi :[0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty )$ - такая строго возрастающая функция, что $\Psi (\mathbb {N}) \subset \mathbb {N}$ . Рассмотрим множество

A=\left\{ \sum \varepsilon _{k} 2^{-\Psi (k)} \mid \varepsilon _{k}=0 \text{ или } 1\right\} .

Докажите, что $H(A, \varepsilon ) \sim \Psi^{-1}\left(\log_{2} \frac{1}{\varepsilon }\right)$ при $\varepsilon \rightarrow +0$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.5.12

Найдите метрическую размерность и метрический порядок множества

A=\left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2} \mid x=\sum \varepsilon _{k} 2^{-k}, \quad \varepsilon _{k}=0,1 ; \, y=\sum \eta _{k} 3^{-k}, \quad \eta _{k}=0,1,2 ; \text{ цифры } \varepsilon _{k}, \eta _{k} \text{ имеют одинаковую чётность при каждом } k\right\}

(кривая Хиронака).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.5.13

(а)(б)(в)

Пусть $A \subset \mathbb {R}, A_{m}=A+\ldots +A$ ( $m$ слагаемых). Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $r(A)=0$ , то $\lambda \left(A_{m}\right)=0$ для любого $m \in \mathbb {N}$ ;

(б)

если $r(A)<\frac{1}{m}$ , то $\lambda \left(A_{m}\right)=0$ .

(в)

Верно ли, что если $r(A)>\frac{1}{2}$ , то $\lambda (A+A)>0$ ? (Рассмотрите множество из задачи 5.3 д).)

Примечание.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Меры Хаусдорфа. Пусть $A \subset \mathbb {R}^{n}, p, \varepsilon >0$ . Положим

v_{p}(A, \varepsilon )=\inf \left\{ \sum _{k \geqslant 1} r_{k}^{p} \mid A \subset \bigcup _{k \geqslant 1} B\left(x_{k}, r_{k}\right), r_{k}<\varepsilon \right\} .

Отметим, что в определении $v_{p}(A, \varepsilon )$ нижняя грань вычисляется по всевозможным счётным покрытиям множества $A$ шарами, в том числе и такими, центры которых не принадлежат $A$ . Функция $v_{p}$ , определённая на системе всех подмножеств пространства $\mathbb {R}^{n}$ равенством

v_{p}(A)=\sup \left\{ v_{p}(A, \varepsilon ) \mid \varepsilon >0\right\} =\lim _{\varepsilon \rightarrow +0} v_{p}(A, \varepsilon )

называется $p$ -мерной (внешней) мерой Хаусдорфа.

Задача VIII.5.14

(а)(б)(в)(г)(д)

Пусть $p>0$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если множество $A$ счётно, то $v_{p}(A)=0$ ;

(б)

если $A \subset A^{\prime }$ , то $v_{p}(A) \leqslant v_{p}\left(A^{\prime }\right)$ ;

(в)

если $A \subset \bigcup A_{k}$ , то $v_{p}(A) \leqslant \sum v_{p}\left(A_{k}\right)$ ;

(г)

если расстояние между множествами $A$ и $B$ положительно, т.е. $d=\inf \left\{ \left\| x-y\right\| \mid x \in A, y \in B\right\} >0$ , то

\begin{gathered} v_{p}(A \cup B, \varepsilon )=v_{p}(A, \varepsilon )+v_{p}(B, \varepsilon ) \quad \text{ при } \quad \varepsilon <\frac{d}{2} \quad \text{ и } \\ v_{p}(A \cup B)=v_{p}(A)+v_{p}(B) ; \end{gathered}

(д)

мера $v_{p}$ инвариантна относительно изометрий.

Задача VIII.5.15

(а)(б)(в)

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{n}$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $0<p<n$ и $v_{p}(A)<\infty$ , то $\lambda_{n}(A)=0$ ;

(б)

если $p>n$ , то $v_{p}(A)=0$ ;

(в)

$v_{n}(A)=0$ тогда и только тогда, когда $\lambda_{n}(A)=0$ .

Задача VIII.5.16

(а)(б)

Пусть $A \subset S^{n-1}, \mu_{n-1}$ - лебегова мера на $S^{n-1}$ («плющадь поверхности»). Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $0<p<n-1$ и $v_{p}(A)=0$ , то $\mu_{n-1}(A)=0$ ;

(б)

$v_{n-1}(A)=0$ тогда и только тогда, когда $\mu_{n-1}(A)=0$ .

Задача VIII.5.17

(а)(б)

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $0<p<q$ , то $\nu_{p}(A) \geqslant \nu_{q}(A)$ ;

(б)

если $0<\nu_{p}(A)<\infty$ , то $\nu_{q}(A)=0$ при $q>p$ и $\nu_{q}(A)=\infty$ при $q<p$ .

Число $p=\inf \left\{ q \mid v_{q}(A)=0\right\} =\sup \left\{ q \mid v_{q}(A)=\infty \right\}$ называется хаусдорфовой размерностью множества $A$ . Мы будем обозначать его символом $\operatorname {dim}_{H}(A)$ .

Задача VIII.5.18

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Докажите, что для любого ограниченного множества $A \subset \mathbb {R}^{n}$ справедливо неравенство

\operatorname {dim}_{H}(A) \leqslant r(A)=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0} \frac{H(A, \varepsilon )}{\log _{2}(1 / \varepsilon )} .

(б)

Пусть $A_{k} \subset \mathbb {R}^{n}(k=1,2, \ldots )$ . Докажите, что

\operatorname {dim}_{H}\left(\bigcup _{k \geqslant 1} A_{k}\right)=\sup _{k \geqslant 1} \operatorname {dim}_{H}\left(A_{k}\right) .

Задача VIII.5.19

Диаметром ограниченного множества $C \subset \mathbb {R}^{n}$ называется число $\operatorname {diam}(C)=\sup \left\{ \left\| x-y\right\| \mid x, y \in C\right\}$ . Пусть $p>0, A \subset \mathbb {R}^{n}$ . Определим модифицированную $p$ -мерную меру Хаусдорфа $\widetilde{v}_{p}(A)$ следующим образом:

\tilde{v}_{p}(A)=\sup _{\varepsilon >0} \inf \left\{ \sum _{k \geqslant 1}\left(\operatorname {diam}\left(C_{k}\right)\right)^{p} \mid A \subset \bigcup _{k \geqslant 1} C_{k}, \operatorname {diam}\left(C_{k}\right)<\varepsilon \right\} .

Докажите, что $\nu_{p}(A) \leqslant \widetilde{\nu }_{p}(A) \leqslant 2^{p} \nu_{p}(A)$ и, следовательно, в определении хаусдорфовой размерности вместо $v_{p}$ можно использовать $\widetilde{v}_{p}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.5.20

(а)(б)(в)

Найдите хаусдорфову размерность $p$ и вычислите меру Хаусдорфа $\nu_{p}$ следующих множеств:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

отрезка $\left[a, b\right]$ ;

(б)

окружности $S^{1}$ ;

(в)

открытого подмножества $G$ пространства $\mathbb {R}^{n}$ .

Задача VIII.5.21

Найдите хаусдорфову размерность $p$ и вычислите $v_{p}(C)$ для канторова множества $C$ . Докажите, что функция $\varphi$ , определяемая равенством

\varphi (x)=2^{p} v_{p}(C \cap [0, x]) \quad (0 \leqslant x \leqslant 1),

совпадает с канторовой функцией (см. определение перед задачей III.3.14).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.5.22

(а)(б)(в)

Найдите $\operatorname {dim}_{H}(A)$ и $M-\operatorname {dim}(A)$ для следующих множеств:

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$A=C$ - канторово множество;

(б)

$A=A_{0}$ , где $A_{0}=\left\{ \left.1+\frac{1}{\ln (n+1)} \right\rvert \, n \in \mathbb {N}\right\}$ ;

(в)

$A=C \cup A_{0}$ .

Примечание.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Однородное обобщённое канторово множество, построенное на отрезке $\left[0,1\right]$ по определяющей последовательности $\left\{ 2^{-n p}\right\}_{n} \geqslant 0$ , где $p>1$ , будем обозначать символом $K(p)$ . Заметим, что $K\left(\log_{2} 3\right)=C$ - классическое канторово множество.

Задача VIII.5.23

Пусть $E \subset [0,1]$ - однородное обобщённое канторово множество, $0<v_{p}(E)<\infty , \sigma_{E}$ - соответствующая ему канторова функция (см. III.3.17). Докажите, что

v_{p}(E \cap [0, x])=v_{p}(E) \sigma _{E}(x) \quad (0 \leqslant x \leqslant 1) .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.5.24

(а)(б)(в)(г)

Пусть $0<p \leqslant 1, E \subset \mathbb {R}$ - однородное обобщённое канторово множество, $l_{n}$ - длина промежутков $n$ -го ранга. Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $\underline{\lim } 2^{n} l_{n}^{p}=0$ , то $v_{p}(E)=0$ ;

(б)

если $\lim 2^{n} l_{n}^{p}>0$ , то $v_{p}(E)>0$ ;

(в)

$v_{p}(E)=\infty$ тогда и только тогда, когда $2^{n} l_{n}^{p} \rightarrow \infty$ ;

(г)

$\operatorname {dim}_{H}(E \times E)=2 \operatorname {dim}_{H}(E)$ .

Задача VIII.5.25

(а)(б)

Пусть $E$ - однородное обобщённое канторово множество, $\sigma$ - соответствующая ему канторова функция (см. III.3.17), и пусть

I_{E}(t)=\iint _{E \times E} \frac{d \sigma (x) d \sigma (y)}{\left|x-y\right|^{t}}-\text{ «интеграл } t \text{-энергии». }

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

если $I_{E}(t)<\infty$ , то $t \leqslant \operatorname {dim}_{H}(E)$ ;

(б)

если $t<\operatorname {dim}_{H}(E)$ , то $I_{E}(t)<\infty$ .

Покажите, что при $t=\operatorname {dim}_{H}(E)$ интеграл $I_{E}(t)$ может быть как конечным, так и бесконечным (рассмотрите определяющую последовательность $l_{n}=n^{p} 3^{-n}$ при различных $p$ ).

Задача VIII.5.26

(а)(б)(в)

Пусть $A$ - множество из задачи 5.10.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Проверьте, что $A$ - однородное обобщённое канторово множество, и найдите его определяющую последовательность $\left\{ l_{n}\right\}_{n \geqslant 0}$ .

(б)

Найдите хаусдорфову размерность $p$ множества $A$ .

(в)

Найдите $\varlimsup 2^{n} l_{n}^{p}$ .

Задача VIII.5.27

(а)(б)

Пусть $A, B$ - однородные обобщённые канторовы множества с определяющими последовательностями $\left\{ 3^{-n} /(n+1)\right\}_{n \geqslant 0}$ и $\left\{ 3^{-n} \sqrt{n+1}\right\}_{n \geqslant 0}$ соответственно, и пусть $p=\operatorname {dim}_{H}(A), q=\operatorname {dim}_{H}(B)$ . Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$p=q=\log_{3} 2$ (напомним, что $\log_{3} 2$ - хаусдорфова размерность канторова множества);

(б)

$v_{p}(A)=0, v_{p}(B)=+\infty$ и, следовательно, при любом $t>0$ величины $v_{t}(A), v_{t}(B)$ могут принимать лишь значения 0 или $+\infty$ .

Задача VIII.5.28

Пусть $n \in \mathbb {N}, E \subset \left\{ 0, \ldots , n-1\right\} , m=\operatorname {card}(E), 1 \leqslant m<n$ . Найдите хаусдорфову размерность множества

A=\left\{ \left.\sum _{k \geqslant 1} \frac{a_{k}}{n^{k}} \right\rvert \, a_{k} \in E \text{ при любом } k \in \mathbb {N}\right\} .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.5.29

Пусть

A=\left\{ \left.\sum \frac{a_{k}}{10^{k}} \right\rvert \, a_{k} \in \{ 0,1,2,3,4

при любом k Nright .

Найдите $\operatorname {dim}_{H}(A)$ и $\operatorname {dim}_{H}(A+A)$ и убедитесь в том, что $\operatorname {dim}_{H}(A)>\frac{1}{2}$ , но $\operatorname {dim}_{H}(A+A)<1$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.5.30

Множество $E \subset \mathbb {R}^{n}$ называется $\theta$ -равномерно суперпористым, $0<\theta <1$ , если для любых $x \in \mathbb {R}^{n}, r>0$ найдётся такая точка $y \in B(x, r)$ , что $E \cap B(y, \theta r)=\varnothing$ . Докажите, что существует такое число $d(\theta )<n$ , что всякое $\theta$ -равномерно суперпористое множество имеет хаусдорфову размерность не больше чем $d(\theta )$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.5.31

Множество $B \subset \mathbb {R}^{n}$ будем называть гомотетичным множеству $A \subset \mathbb {R}^{n}$ , если $B=x_{0}+t A$ , где $t>0$ . Число $t$ будем называть коэффициентом гомотетичности. Рассмотрим центрально симметричное выпуклое компактное множество $A$ с непустой внутренностью. Будем исчерпывать открытое ограниченное множество $G \subset \mathbb {R}^{n}$ множествами, гомотетичными $A$ , следующим образом. На первом шаге рассмотрим содержащееся в $\bar{G}$ гомотетичное $A$ множество $B$ с максимальным коэффициентом гомотетичности (как легко убедиться, такое множество существует). Положим $G_{1}=G \backslash B$ . Заменив $G$ на $G_{1}$ и повторив процедуру, получим множество $G_{2}$ и т.д. Рассмотрим пересечение $C=\bigcap_{k \geqslant 1} G_{k}$ .

Докажите, что $\operatorname {dim}_{H}(C) \leqslant d(n)<n$ , где $d(n)$ - некоторое число, не зависящее от выбора $A$ и $G$ . Иными словами, множество $G$ исчерпывается множествами, гомотетичными $A$ , с точностью до остатка, хаусдорфова размерность которого «существенно меньше» $n$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.5.32

Пусть $K$ - обобщённое однородное канторово множество, $\operatorname {dim}_{H}(K)>\frac{1}{2}$ . Докажите, что существует такая непрерывная функция $\varphi : \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ , что $\lim_{z \rightarrow \infty } z \varphi (z)=1$ и $\varphi$ голоморфна вне множества $K \times K$ (ср. с задачей 4.11).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

VIII.6 · Асимптотика интегралов высокой кратности[32/100%]

Задача VIII.6.1

(а)(б)(в)

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\frac{1}{\alpha_{n}} \int_{B^{n}} x_{1}^{2} d x=\frac{1}{n+2}$ ;

(б)

$\frac{1}{\alpha_{n}} \int_{B^{n}}\left|x_{n}\right| d x \underset {n \rightarrow \infty }{\sim } \sqrt{\frac{2}{\pi n}}$ ;

(в)

$\frac{1}{\alpha_{n}} \int_{B^{n}}\left|x_{1}\right|^{p} d x \underset {n \rightarrow \infty }{\sim } \frac{\Gamma \left(\frac{1+p}{2}\right)}{\sqrt{\pi }}\left(\frac{2}{n}\right)^{p / 2} \quad (p>-1)$ .

Задача VIII.6.2

(а)(б)

Толщина арбузной корки равна $\frac{1}{20}$ радиуса арбуза (считаемого шаром). Какой процент от объёма арбуза составляет корка

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

в трёхмерном пространстве?

(б)

в 100 -мерном пространстве?

Задача VIII.6.3

Докажите, что для любого наперёд заданного радиуса $R$ в кубе $\left[0,1\right]^{n}$ достаточно большой размерности $n$ найдётся трёхмерное сечение, содержащее трёхмерный шар радиуса $R$ . Таким образом, земной шар можно поместить в «n-мерный кубометр».

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.6.4

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Шар $B^{n}(r)$ касается всех рёбер $n$ -мерного куба $\left[-1,1\right]^{n}$ . Сравните при больших $n$ объём куба и объём шара.

(б)

Куб $\left[-1,1\right]^{n}$ разбивается координатными плоскостями на $2^{n}$ кубов. В каждый из них мы вписываем шар, а затем рассматриваем шар $B^{n}(\rho )$ , касающийся внешним образом всех шаров, вписанных в кубы. При каких $n$ справедливо включение $B^{n}(\rho ) \subset [-1,1]^{n}$ ? Что больше при больших $n$ : объём куба $\left[-1,1\right]^{n}$ или объём шара $B^{n}(\rho )$ ?

Задача VIII.6.5

(а)(б)(в)

Пусть $I=\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right], \quad r \in \mathbb {R}, \quad \omega \in \mathbb {R}^{n}, \quad \omega \neq 0$ . Пусть далее $H_{n-1}(\omega , r)=\left\{ x \in I^{n} \mid (x, \omega )=r\right\}$ - сечение куба $I^{n}$ гиперплоскостью $(x, \omega )=r$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Докажите, что

\lambda _{n-1}\left(H_{n-1}(\omega , r)\right)=\frac{2}{\pi }\left\| \omega \right\| \int _{0}^{+\infty } \cos (2 r t) \prod _{j=1}^{n} \frac{\sin \left(\omega _{j} t\right)}{\omega _{j} t} d t

(б)

Найдите предел при $n \rightarrow +\infty$ меры центрального сечения, ортогонального главной диагонали куба, т.е. предел величины $\lambda_{n-1}\left(H_{n-1}((1, \ldots , 1), 0)\right)$ .

(в)

Докажите, что $\lambda_{n-1}\left(H_{n-1}(\omega , r)\right) \leqslant \sqrt{2}$ для всех $n=2,3, \ldots$ , $r \in \mathbb {R}$ и $\omega \in \mathbb {R}^{n}, \omega \neq 0$ . Для каких сечений будет равенство?

Задача VIII.6.6

Попавшую в 1000 -мерное пространство Алису спросили, как делать тонкие стеклянные обручи (сферические пояса), чтобы их ширина равнялась $\frac{1}{10}$ диаметра. «Нет ничего проще, - ответила Алиса, - нужно выдувать сферы, а потом отрезать лишнее» (рис. 13). Каков будет процент отходов

Рис. 13

при этой технологии?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.6.7

Пусть $a \in \mathbb {R}^{n},\left\| a\right\| =1$ . В шаре $B^{n}$ случайным образом выбирается точка $x$ . Что вероятнее при больших $n:\left|(a, x)\right|<10^{-3}$ или $\left|(a, x)\right|>10^{-3}$ ?

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.6.8

На сфере $S^{n-1}$ случайным образом выбирают две точки. Пусть $L_{n}$ - среднее значение расстояния между ними. Докажите, что $\lim L_{n} \rightarrow \sqrt{2}$ . Этот результат свидетельствует, что при больших $n$ радиусы, проведённые в две случайно взятые на сфере точки, «как правило», почти ортогональны.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.6.9

Пусть $P_{n}$ - нормированная мера Лебега на сфере $S^{n-1}(\sqrt{n})$ . Докажите, что координаты на этой сфере «асимптотически распределены по нормальному закону», т.е. для любых $a, b \in \mathbb {R}, a<b$ , справедливо соотношение

P_{n}\left\{ \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \in S^{n-1}(\sqrt{n}) \mid a<x_{n}<b\right\} \underset {n \rightarrow \infty }{\longrightarrow } \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int _{a}^{b} e^{-\frac{t^{2}}{2}} d t .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.6.10

Пусть функция $f$ непрерывна на замкнутом шаре $\vec{B}^{n}$ , $M=\max_{\overline{B^{n}}}\left|f\right|$ , и при любых $\omega \in S^{n-1}$ и $r \in [0,1]$ справедлива оценка $\left|f(r \omega )-f(\omega )\right| \leqslant h(1-r)$ , где $h$ - возрастающая непрерывная на промежутке $\left[0,1\right]$ функция, обращающаяся в нуль в нуле. Докажите, что среднее значение функции $f$ на шаре $B^{n}$ и на сфере $S^{n-1}$ близки в следующем смысле: при любом $\varepsilon \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$

\left|\frac{1}{\alpha _{n}} \int _{B^{n}} f(x) d x-\frac{1}{\sigma _{n}} \int _{S^{n-1}} f(\omega ) d \mu _{n-1}(\omega )\right| \leqslant 2\left(M(1-\varepsilon )^{n}+h(\varepsilon )\right) .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.6.11

Докажите, что при любом $q \in \mathbb {R}$ интегралы $\int_{\mathbb {R}^{n}}\left|x_{1} \ldots x_{n}\right|^{\frac{q}{n}} d \gamma_{n}(x)$ имеют при $n \rightarrow \infty$ конечный положительный предел.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.6.12

Докажите, что при любых $q \in \mathbb {R}, 0<p<\infty$

\frac{1}{\alpha _{n}} \int _{B^{n}}\left\| x\right\| _{p}^{q} d x \underset {n \rightarrow \infty }{\sim } \frac{1}{\sigma _{n-1}} \int _{S^{n-1}}\left\| x\right\| _{p}^{q} d \mu _{n-1}(x)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.6.13

(а)(б)(в)

Пусть $\tilde{\gamma }_{n}$ - мера в $\mathbb {R}^{n}$ с плотностью $\left(\frac{n}{2 \pi }\right)^{n / 2} e^{-n\left\| x\right\|^{2} / 2}$ ;

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

убедитесь, что $\widetilde{\gamma }_{n}\left(\mathbb {R}^{n}\right)=1$ ;

(б)

найдите предел $\lim_{n \rightarrow \infty } \widetilde{\gamma }_{n}\left(B^{n}\right)$ ;

(в)

докажите, что при $0<\varepsilon <1$

\int _{|\left\| x\right\| -1|>\varepsilon } d \widetilde{\gamma }_{n}(x)<2 \sqrt{n} \cdot e^{-n \varepsilon ^{2} / 2}

Задача VIII.6.14

Докажите, что при любых $q \in \mathbb {R}, 0<p \leqslant \infty$

\int _{\mathbb {R}^{n}}\left\| x\right\| _{p}^{q} d \tilde{\gamma }_{n}(x) \underset {n \rightarrow \infty }{\sim } \frac{1}{\sigma _{n-1}} \int _{S^{n-1}}\left\| x\right\| _{p}^{q} d \mu _{n-1}(x)

(определение меры $\tilde{\gamma }_{n}$ см. в задаче 6.13).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.6.15

Докажите, что $\int_{\mathbb {R}^{n}}\left\| x\right\|^{q} d \gamma_{n}(x) \underset {n \rightarrow \infty }{\sim } n^{q / 2}(q \in \mathbb {R})$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.6.16

Докажите, что при любом $q \in \mathbb {R}$

\int _{\mathbb {R}^{n}}\left\| x\right\| _{\infty }^{q} d \gamma _{n}(x) \underset {n \rightarrow \infty }{\sim }(2 \ln n)^{q / 2}

Для положительных последовательностей $\left\{ a_{n}\right\} ,\left\{ b_{n}\right\}$ запись $a_{n} \asymp b_{n}$ означает, что

0<\inf _{n} \frac{a_{n}}{b_{n}} \leqslant \sup _{n} \frac{a_{n}}{b_{n}}<\infty

(последовательности $\left\{ a_{n}\right\} ,\left\{ b_{n}\right\}$ одного порядка). В аналогичном смысле это обозначение используется нами не только для последовательностей, но и для произвольных семейств положительных чисел.

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.6.17

(а)(б)

Пусть $\quad q \in \mathbb {R}, \quad m, n \in \mathbb {N}, \quad 2 \leqslant m \leqslant n, \quad m+q>0, \quad x \in \mathbb {R}^{n}$ , $x=\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$ ,

\mathcal{Y}_{m, n}=\frac{1}{\sigma _{n-1}} \int _{S^{n-1}} \max _{1 \leqslant k \leqslant m}\left|x_{k}\right|^{q} d \mu _{n-1}(x)

Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\mathcal{Y}_{m, n} \asymp \binom {\ln m}{n}^{q / 2}$ ;

(б)

$\mathcal{Y}_{m, n} \underset {m \rightarrow \infty }{\sim }\left(\frac{2 \ln m}{n}\right)^{q / 2}$ .

Задача VIII.6.18

(а)(б)(в)(г)

Докажите, что при любых $q \in \mathbb {R}, 0<p<\infty$

\mathcal{Y}_{n}(p, q)=\int _{\mathbb {R}^{n}}\left\| x\right\| _{p}^{q} d \gamma _{n}(x) \asymp n^{q / p} .

Рассмотрите последовательно случаи

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$q>0, \quad 0<p \leqslant 2$ ;

(б)

$0<q \leqslant p, \quad p \geqslant 2$ ;

(в)

$2 \leqslant p \leqslant q$ ;

(г)

$q<0$ .

Задача VIII.6.19

Докажите, что при любых $q \in \mathbb {R}, 0<p<\infty$

\frac{1}{\sigma _{n-1}} \int _{S^{n-1}}\left\| x\right\| _{p}^{q} d \mu _{n-1}(x) \asymp n^{\frac{q}{p}-\frac{q}{2}}

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.6.20

(а)(б)

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Докажите, что радиус шара $B^{n}\left(r_{n}\right)$ , объём которого равен единице, выражается формулой

r_{n}=\sqrt{\frac{n}{2 \pi e}}\left(1+a \frac{\ln n}{n}+\frac{b}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right),

и найдите коэффициенты $a$ и $b$ . К чему стремится мера Лебега (размерности $n-1$ ) сечения этого шара гиперплоскостью, проходящсй через его центр?

(б)

Найдите асимптотику радиуса $\rho_{n}$ шара $B^{n}\left(\rho_{n}\right)$ , гауссовский объём которого равен $\frac{1}{2}$ .

Задача VIII.6.21

Пусть $A$ и $B$ - выпуклые центрально симметричные (с центром в нуле) компакты в $\mathbb {R}^{n}$ . Можно ли утверждать, что $\lambda_{n}(A) \leqslant \lambda_{n}(B)$ , если всякое центральное сечение множества $A$ гиперплоскостью имеет лебегову меру (размерности $n-1$ ) меньшую, чем такое же сечение множества $B$ ? (Сравните при больших $n$ сечения единичного куба и шара, имеющего единичный объём).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.6.22

Пусть $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ -- средние значения функции $\frac{1}{\left\| x\right\|_{1}}$ на множествах $O_{n}, B^{n},\left[-1,1\right]^{n}$ , где $O_{n}$ есть $n$ -мерный октаэдр: $O_{n}=\left\{ \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \mid \sum_{1 \leqslant k \leqslant n}\left|x_{k}\right| \leqslant 1\right\}$ . Докажите, что

a_{n}=\frac{n}{n-1}, \quad b_{n} \asymp \frac{1}{\sqrt{n}}, \quad c_{n} \asymp \frac{1}{n} .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.6.23

(а)(б)(в)

Пусть $I_{n}, J_{n}, K_{n}$ - средние значения функции $\frac{\left\| x\right\|_{2}^{2}}{\left\| x\right\|_{1}}$ на октаэдре $O_{n}$ , шаре $B^{n}$ и кубе $\left[-1,1\right]^{n}$ соответственно. Докажите, что

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$I_{n} \sim \frac{2}{n}$ ;

(б)

$J_{n} \asymp \frac{1}{\sqrt{n}}$ ;

(в)

$K_{n} \asymp 1$ .

Задача VIII.6.24

(а)(б)

Пусть $O_{n}+\varepsilon B^{n}-\varepsilon$ -окрестность октаэдра $O_{n}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

Найдите предел $\lim_{n \rightarrow +\infty }\left(\frac{\lambda_{n}\left(O_{n}+\varepsilon B^{n}\right)}{\alpha_{n}}\right)^{1 / n}$ .

(б)

Найдите асимптотику отношения $\frac{\lambda_{n}\left(O_{n}+\varepsilon B^{n}\right)}{\alpha_{n}}$ при $n \rightarrow +\infty$ .

Задача VIII.6.25

Докажите, что $\lambda_{n}\left(A_{n}\right) \sim 2\left(\frac{2}{\pi }\right)^{n+1}$ , где

A_{n}=\left\{ \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \in \mathbb {R}^{n} \mid x_{k}+x_{k+1} \leqslant 1 \quad (1 \leqslant k<n) ; \, x_{1} \geqslant 0, \ldots , x_{n} \geqslant 0\right\} .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.6.26

Пусть $V_{n}$ - центрально симметричное относительно нуля выпуклое множество, содержащееся в кубе $(-1,1)^{n}$ . Докажите, что если $\lambda_{n}\left(V_{n}\right)>\left(\frac{3}{2}\right)^{n}$ , то при достаточно большом $n$ множество $2 V_{n}$ содержит такую точку $a=\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)$ с целочисленными координатами, что $\sum_{1 \leqslant k \leqslant n}\left|a_{k}\right|>\frac{n}{10}$ .

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.6.27

(а)(б)

Найдите асимптотику интегралов

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\int_{\left[\frac{1}{n}, 1\right]^{n}} \frac{\min x_{k}}{\max x_{k}} d x$ ;

(б)

$\int_{\left[\frac{1}{n}, 1\right]^{n}} \max_{\overline{\min } x_{k}} d x$ .

Задача VIII.6.28

(а)(б)(в)(г)

Докажите, что при $n \rightarrow +\infty$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\frac{1}{\sqrt{n}} \int_{\left[0,1\right]^{n}}\left\| x\right\| d x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}$ ;

(б)

$\int_{\left[0,1\right]^{n}} f\left(\frac{x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}\right) d x \rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right) \quad (f \in C(\left[0,1\right]))$ ;

(в)

$\int_{\left[0,1\right]^{n}} f\left(\sqrt[n]{x_{1} \ldots x_{n}}\right) d x \rightarrow f\left(\frac{1}{e}\right) \quad (f \in C(\left[0,1\right]))$ ;

(г)

$\int_{\mathbb {R}^{n}} f\left(\frac{\left|x_{1}\right|+\ldots +\left|x_{n}\right|}{n}\right) d \gamma_{n}(x) \rightarrow f\left(\sqrt{\frac{2}{\pi }}\right)\left(f \in C\left(\mathbb {R}^{n}\right), \sup \left|f\right|<\infty \right)$ .

Задача VIII.6.29

(а)(б)(в)

Пусть $f \geqslant 0, \int_{-\infty }^{+\infty } f(t) d t=1,0<p<\infty$ . Докажите, что при $n \rightarrow +\infty \left(\right.$ далее $\left.x=\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \in \mathbb {R}^{n}\right)$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

$\quad \int_{\left\| x\right\|_{p} \leqslant c} f\left(x_{1}\right) \cdot f\left(x_{2}\right) \ldots f\left(x_{n}\right) d x \rightarrow 0$ при любом $c>0$ ;

(б)

$\int_{\left\| x\right\|_{p} \leqslant n^{\theta }} f\left(x_{1}\right) \cdot f\left(x_{2}\right) \ldots f\left(x_{n}\right) d x \rightarrow 0$ при любом $\theta \in \left(0, \frac{1}{p}\right)$ .

(в)

Можно ли в п. б) заменить $n^{\theta }$ на $\left(n \omega_{n}\right)^{1 / p}$ , где $\omega_{n}>0, \omega_{n} \rightarrow 0$ ?

Задача VIII.6.30

Пусть $p>1, f \in \mathscr {L}^{p}(0,1),\left\| f\right\|_{p} \neq 0$ . Докажите, что при $n \rightarrow \infty$

I_{n}=\int _{(0,1)^{n}}\left(\sum _{k=1}^{n}\left|f\left(x_{k}\right)\right|^{p}\right)^{1 / p} d x \asymp n^{1 / p}

(коэффициенты соотношения $\asymp$ зависят от $f$ и $p$ ).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

Задача VIII.6.31

(а)(б)

Пусть $F$ - убывающая функция распределения измеримой на $(0,1)$ функции $f$ . Как известно, если $f \in \mathscr {L}^{p}(0,1)$ , то $F(t)=o\left(1 / t^{p}\right)$ при $t \rightarrow +\infty$ (см. задачу 3.13). Предположим, что $F$ удовлетворяет лишь более слабому условию: $F(t)=O\left(1 / t^{p}\right)$ при $t \rightarrow +\infty$ . Докажите, что в этом случае при $p>1$

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику

(а)

интеграл $I_{n}$ из предыдущей задачи допускает оценку

I_{n}=O\left((n \ln (n+1))^{1 / p}\right) ;

(б)

эта оценка точна в следующем смысле:

\text{ если } \quad F(t) \asymp 1 / t^{p} \quad \text{ при } \quad t \rightarrow +\infty , \quad \text{ то } \quad I_{n} \asymp (n \ln (n+1))^{1 / p} .

Задача VIII.6.32

Докажите, что для любого $n$ и любого вектора $a \in \mathbb {R}^{n}$ справедливо неравенство

A_{p}\left\| a\right\| \leqslant \left(2^{-n} \int _{\left[-1,1\right]^{n}}\left|(x, a)\right|^{p} d x\right)^{1 / p} \leqslant B_{p}\left\| a\right\|

где $A_{p}, B_{p}$ - положительные постоянные, зависящие только от $p>0$ (ср. с задачей 3.37 а)).

Происхождение: Изложено по оригинальному источнику