Суммируемые функции

Пусть объединение любых трёх множеств семейства $E_{1}, \ldots , E_{N}$ совпадает с промежутком $\left[0,1\right]$. Положим

Выразите через $S_{1}$ и $S_{2}$ интеграл $\mathcal{Y}=\int_{0}^{1}\left(\sum_{k=1}^{N} \chi_{E_{k}}(x)\right)^{3} d x$.

Пусть каждая точка промежутка $\left[0,1\right]$ принадлежит по крайней мере $k$ множествам $E_{1}, \ldots , E_{N}$. Докажите, что для некоторого $n$ справедливо неравенство $\lambda \left(E_{n}\right) \geqslant \frac{k}{N}$.

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{m}, \lambda_{m}(E)<\infty , f \in \mathscr {L}^{0}(E)$. Докажите эквивалентность следующих условий:

1. $f \in \mathscr {L}(E)$;

2. $\sum_{k \geqslant 1} \lambda_{m}(E(\left|f\right| \geqslant k))<\infty$;

3. $\sum_{k \geqslant 1} k \lambda_{m}(E(k \leqslant \left|f\right|<k+1))<\infty$.

Пусть множества $E_{k} \subset \mathbb {R}^{m}(k \in \mathbb {N})$ удовлетворяют условию $\sum_{k \geqslant 1} \lambda_{m}\left(E_{k}\right)<\infty$, и пусть

Докажите что множества $A_{n}, B_{n}$ измеримы и

Пусть $x_{n}>0, x_{n} \rightarrow 0, f(t)=\operatorname {card}\left\{ n \in \mathbb {N} \mid x_{n}>t\right\}$. Докажите, что $\int_{0}^{+\infty } f(t) d t=\sum x_{n}$.

Может ли всюду дифференцируемая на $\left[0,1\right]$ функция иметь производную, не суммируемую на $\left[0,1\right]$ ?

При каких $p \in \mathbb {R}$ следующие функции суммируемы на полуоси ($0,+\infty$)

Суммируемы ли указанные ниже функции $f$ на квадрате $\left[-1,1\right] \times [-1,1]$ ? Найдите повторные интегралы

если:

При каких $p \in \mathbb {R}$ функция $f(x, y)=\left|1-x y\right|^{-p}$ суммируема на множестве $E$ в следующих случаях:

Пусть $p, t>0, E \subset \mathbb {R}^{m}, f \in \mathscr {L}^{0}(E)$. Докажите, что

В частности, при $p=2$ мы получаем неравенство Чебышёва:

Докажите, что если $\left|f\right|^{p} \in \mathscr {L}(E)\left(p>0, E \subset \mathbb {R}^{m}\right)$, то

Приведите пример, показывающий, что обратное утверждение неверно.

Пусть $p>0, E \subset \mathbb {R}^{m}, f \in \mathscr {L}^{0}(E)$ и $\lambda_{m}(E(\left|f\right| \geqslant t))=O\left(t^{-p}\right)$ при $t \rightarrow +\infty$. Докажите, что если $\lambda_{m}(E)<\infty$, то $\left|f\right|^{p-\varepsilon } \in \mathscr {L}(E)$ при любом $\varepsilon \in (0, p)$.

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{m}, f \in \mathscr {L}(E)$. Докажите, что

Пусть $f, g \in \mathscr {L}^{0}(E), f, g \geqslant 0$. Докажите, что если $\int_{E} g(x) d x=1$ и $\int_{E} g(x) f(x) d x<\infty$, то

Можно ли отказаться от условия $\int_{E} g(x) f(x) d x<\infty$ ?

Пусть $f$ - измеримая на $\mathbb {R}$ неотрицательная функция. Докажите, что при всяком $\varepsilon >0$ справедливы неравенства:

Пусть $f$ - суммируемая на $\mathbb {R}$ неотрицательная функция, $\left\{ \left(a_{n}, b_{n}\right)\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ - двусторонняя последовательность интервалов. Предположим, что существует такое $\delta >0$, что $a_{n+1} \geqslant b_{n}+\delta$ при всех $n \in \mathbb {Z}$. Докажите, что тогда

Пусть $x \in \mathbb {R}, x=\left[x\right]+\sum \varepsilon_{k} 2^{-k}$ - двоичное представление числа $x$.

Пусть $x \in \mathbb {R}, x=\left[x\right]+\sum \varepsilon_{k} \cdot 10^{-k}$ - десятичное представление числа $x$. Пусть $j$ - одна из цифр $0,1, \ldots , 9$, и пусть

Найдите интегралы ($k, m \in \mathbb {N}, k \neq m$)

Пусть $a \in \mathbb {R}, a \neq 0, a \neq 1, x=\sum_{k \geqslant 1} \varepsilon_{k}(x) \cdot 10^{-k}$ - десятичное представление числа $x, x \in (0,1)$. Положим

Докажите, что функция $f$ измерима, и найдите $\int_{0}^{1} f(x) d x$.

При построении канторова множества из промежутка $\left[0,1\right]$ последовательно удалялись интервалы длины $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}$ и т.д. (см. текст перед задачей I.1.29). Пусть $f(x)=n$ на интервалах длины $3^{-n}, f(x)=0$ на канторовом множестве.

Пусть $K$ - замкнутое подмножество промежутка $\left[a, b\right]$,

• расстояние от точки $y \in \mathbb {R}$ до множества $K$. Докажите, что при любом $s>0$ функция

суммируема на $K$.

Докажите, что для неотрицательной функции $f$ справедливы равенства $(0<a \leqslant \infty )$

Вычислите интеграл ($p>-1$)

Напомним, что символ $\mu_{m-1}$ обозначает меру Лебега (площадь поверхности) на сфере $S^{m-1}=\left\{ x \in \mathbb {R}^{m} \mid \left\| x\right\| =1\right\}$.

Докажите по индукции справедливость равенств ($m \geq 2$)

Пусть непрерывная на $\mathbb {R}^{m}$ функция $f$ удовлетворяет условию $f(t x)=t f(x)>0$ при $x \neq 0, t>0, A$ - невырожденное линейное преобразование в $\mathbb {R}^{m}$. Докажите, что

При решении задач $3.29-3.31$ полезно использовать формулу (см. задачу 3.26 б))

где $f$ - измеримая неотрицательная на промежутке $\langle a, b\rangle$ ($0 \leqslant a<b \leqslant \infty$) функция, $\alpha_{m}=\lambda_{m}\left(B^{m}\right)=\pi^{m / 2} / \Gamma \left(\frac{m}{2}+1\right)$.

Пусть $E$ - измеримое подмножество полуоси $(0,+\infty )$, $A_{E}=\left\{ x \in \mathbb {R}^{m} \mid \left\| x\right\| \in E\right\}$. Докажите, что

В задачах 3.31 и др. символом $\gamma_{m}$ обозначена стандартная гауссова мера в $\mathbb {R}^{m}$, т.е. мера с плотностью

Чему равен «гауссов объём» шара $B(0, r)$ ?

Пусть $a>0, K_{a}$ - конус в пространстве $\mathbb {R}^{4}$ :

Найдите $\gamma_{4}\left(K_{a}\right)$.

Вычислите объём обобщённого тора $T \subset \mathbb {R}^{4}$

где $B$ - круг с центром в точке $(0, a)$ и радиусом $R \leqslant a$.

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{2}$ - компактное множество, лежащее в верхней полуплоскости. Если $T_{0}$ - тело в $\mathbb {R}^{3}$, получаемое вращением множества $A$ вокруг оси $x_{1}$, то по теореме Гульдина $\lambda_{3}\left(T_{0}\right)=\lambda_{2}(A) 2 \pi y_{c}$, где $y_{c}$ - ордината центра тяжести множества $A$. Считая, что $\mathbb {R}^{2}$ канонически вложено в $\mathbb {R}^{4}$, рассмотрим тело $T$ в $\mathbb {R}^{4}$, «получающееся при вращении $A$ вокруг оси $x_{1}$ »:

Докажите, что справедлива следующая модификация теоремы Гульдина:

где $\rho$ - «радиус инерции» множества $A$ относительно оси $x_{1}$, т.е. положительное число, определяемое равенством

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{2}$ - компактное множество, лежащее в верхней полуплоскости. Считая, что $\mathbb {R}^{2}$ канонически вложено в $\mathbb {R}^{m}$, рассмотрим в $\mathbb {R}^{m}$ множество $T$ - «тело, полученное при вращении $A$ вокруг оси $x_{1}$ »:

Докажите, что

Вычислите интеграл

Найдите лебегову меру множества

Пусть $F \in C(\mathbb {R}), a \in \mathbb {R}^{m}$. Сведите интегралы от $F((x, a))$ по единичному шару и по единичной сфере в $\mathbb {R}^{m}$ к интегралам по отрезку $\left[-1,1\right]$.

Пусть $a \in \mathbb {R}^{m}, A: \mathbb {R}^{m} \rightarrow \mathbb {R}^{m}$ - невырожденное линейное преобразование, $F \in C(\mathbb {R})$. Докажите, что

где $c=\left\| \left(A^{-1}\right)^{*}(a)\right\| , \sigma_{m-1}=\mu_{m-1}\left(S^{m-1}\right)$.

Пусть $\theta$ - угол между ненулевыми векторами $a, b \in \mathbb {R}^{m} (0 \leqslant \theta \leqslant \pi )$. Докажите, что

Пусть $I_{m}=\int_{0}^{\infty } \gamma_{m}(B(0, r))\left(1-\gamma_{m}(B(0, r))\right) d r$. Докажите, что

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{m}$ - открытое звёздное относительно нуля множество,

• калибровочная функция множества $A$, и пусть $\mu$ - такая вер оятностная мера на $\mathbb {R}^{m}$, что $\int_{\mathbb {R}^{m}}\left|(x, y)\right| d \mu (x)<+\infty$ при любом $y \in \mathbb {R}^{m}$.

Докажите, что

Пусть функция $f$ суммируема на кубе $Q=[0,1)^{m}$ и имеет период 1 по каждой переменной. Докажите, что

Пусть $T$ - произвольное выпуклое компактное тело в $\mathbb {R}^{m}$, $V=\lambda_{m}(T)$. Докажите, что если $(m-1)$-мерный объём проекции $T$ на любую гиперплоскость не меньше $S$, то $\operatorname {diam} T \leqslant m V / S$.

Пусть $T \subset \mathbb {R}^{m}$ - выпуклое компактное центрально симметричное относительно нуля тело, $\mathscr {E}$ - эллипсоид максимального объёма, содержащийся в $T$ :

Докажите, что $T \subset \sqrt{m} \mathscr {E}$.

Пусть $K \subset \mathbb {C}$ - замкнутое ограниченное множество положительной (плоской) меры. Определим функцию $\varphi$ равенством

Докажите, что

Отождествляя естественным образом $\mathbb {C}^{2}$ с $\mathbb {R}^{4}$, рассмотрим на сфере $S^{3}$ функции $\varphi_{m, n}(m, n=0,1,2, \ldots )$, определяемые равенствами $\varphi_{m, n}\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)=\xi_{1}^{m} \xi_{2}^{n}$.