Мера Лебега

Пусть $E_{k} \subset (0,1)(k=1,2, \ldots , N), \sum_{k=1}^{N} \lambda \left(E_{k}\right)>N-1$. Докажите, что

Пусть $E \subset S^{1}, z_{1}, \ldots , z_{N} \in S^{1}, \mu$ - мера Лебега на $S^{1}$ («длина дуги»). Докажите, что если

то повёрнутое надлежащим образом множество $E$ содержит все точки $z_{1}, \ldots , z_{N}$, т.е. найдётся такая точка $z_{0} \in S^{1}$, что $z_{0} z_{k} \in E$ при $k=1, \ldots , N$.

Какова мера множества тех точек из интервала $(0,1)$, у которых при разложении в десятичную дробь

Какова мера множества чисел из интервала $(0,1)$, в десятичной записи которых присутствует цифра 0 ?

Пусть $E_{k} \subset (0,1)(k \in \mathbb {N})$. Верно ли, что существует такая подпоследовательность $\left\{ E_{k_{j}}\right\}$, что $\lambda \left(\bigcap_{j} E_{k_{j}}\right)>0$, если выполнено одно из условий:

Пусть $\theta_{k}>0, \sum \theta_{k}<+\infty$. Рассмотрим множество

Докажите, что $\lambda (A)=0$. В частности, если $r>2$, то для почти каждого $x \in \mathbb {R}$ найдётся такое число $c_{x}>0$, что $\left|x-\frac{p}{q}\right| \geqslant \frac{c_{x}}{q^{r}}$ для всех $p \in \mathbb {Z}$, $q \in \mathbb {N}$.

Пусть $0<\theta <1, E \subset \mathbb {R}^{m}, 0<\lambda_{m}(E)<\infty$. Докажите, что найдётся такой куб $\Delta$, что $\theta \lambda_{m}(\Delta )<\lambda_{m}(E \cap \Delta )$.

Пусть $E \subset \mathbb {R}, E^{c}=\mathbb {R} \backslash E, E_{t}=\left\{ t+x \mid x \in E\right\}$ - сдвиг множества $E$. Докажите, что если $\lambda (E)>0$ и $\lambda \left(E^{c}\right)>0$, то $\lambda \left(E_{t} \cap E^{c}\right)>0$ при некотором $t \in \mathbb {R}$.

Пусть $E, E_{0} \subset \mathbb {R}$ - произвольные измеримые множества положительной меры. Докажите, что

Пусть $E \subset \mathbb {R}, \lambda (E)>0$. Докажите, что если $\frac{1}{2}(x+y) \in E$ для любых точек $x, y \in E$, то $E$ - промежуток (сравните с задачей I.1.21).

Найдите лебегову меру ортогональной проекции декартова квадрата канторова множества на произвольную прямую.

Пусть $v=\left\{ n_{k}\right\}$ - строго возрастающая последовательность натуральных чисел и $E_{\nu }=\left\{ \sum \varepsilon_{k} 2^{-n_{k}} \mid \varepsilon_{k}=0\right.$ или 1$\}$ (см. задачу I.1.34).

Пусть $E=\left\{ \left.\sum_{k \geqslant 1} \frac{\varepsilon_{k}}{k!} \right\rvert \, \varepsilon_{k}=0\right.$ или 1$\}$. Докажите, что $E-$ однородное обобщённое канторово множество нулевой меры (см. определение перед задачей I.1.29). Какова его определяющая последовательность $\left\{ l_{n}\right\}_{n \geqslant 0}$ ? Верно ли, что мера множества $E+E+\ldots +E$ ($m$ слагаемых) равна нулю при любом $m \in \mathbb {N}$ ?

Докажите, что обобщённое канторово множество с постоянным отношенисм (см. определение перед задачей I.1.29) имеет нулевую меру.

Постройте однородное обобщённое канторово множество $E \subset [0,1]$ положительной меры. Покажите, что она может быть сколь угодно близкой к единице.

Докажите существование такого множества $A \subset [0,1]$, что $\lambda (A \cap \Delta )>0$ и $\lambda (\Delta \backslash A)>0$ для любого (непустого) интервала $\Delta \subset (0,1)$.

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{2}$ - выпуклое компактное множество, $A_{\varepsilon }$ -$\varepsilon$-окрестность множества $A$, т. е. множество $\bigcup_{x \in A} B(x, \varepsilon )$. Докажите, что $\lambda_{2}\left(A_{\varepsilon }\right)=a+b \varepsilon +c \varepsilon^{2}$, и найдите коэффициенты $a, b, c$.

Пусть $A, B$ - выпуклые компактные множества в $\mathbb {R}^{3}$, причём $A \subset B$. Докажите, что площадь границы множества $A$ не больше площади границы множества $B$.

Докажите, что всякое (непустое) открытое подмножество пространства $\mathbb {R}^{m}$ может быть представлено в виде объединения последовательности попарно непересекающихся шаров и множества нулевой меры.

Докажите, что объединение произвольного (даже несчётного) семейства невырожденных сегментов измеримо.

Пусть $\left\{ E_{n}\right\}$ - последовательность попарно конгруэнтных подмножеств множества $S^{1}$, удовлетворяющая условиям (см. задачу I.1.20):

Докажите, что множества $E_{n}$ не могут быть измеримыми.

Под сдвигом на $\theta$ по модулю 1 будем понимать отображение $x \mapsto \left\{ x+\theta \right\} , x \in [0,1)$, где $\left\{ y\right\}$ - дробная часть числа $y$. Заменяя поворот окружности на угол $2 \pi \theta$ сдвигом на $\theta$ по модулю 1 , постройте по аналогии с задачами I.1.20 и VIII.1.22 неизмеримое подмножество промежутка $[0,1)$.

Используя результат задачи 1.23 , покажите, что множество $E \subset \mathbb {R}$, имеющее положительную меру, содержит неизмеримое подмножество.

Пусть $\mathfrak {A}$ - система подмножеств множества $\mathbb {N}$, удовлетворяющая условиям*) : 1) если $\operatorname {card}(A)=\operatorname {card}(\mathbb {N} \backslash A)=\infty$, то $A \in \mathfrak {A}$ тогда и только тогда, когда $\mathbb {N} \backslash \boldsymbol {A} \notin \mathfrak {A}$; 2) если $A \in \mathfrak {A}, C \subset \mathbb {N}, \operatorname {card}(C)<\infty$, то $A \cup C \in \mathfrak {A}$ и $A \backslash C \in \mathfrak {A}$.

Докажите, что множество $E=\left\{ \sum_{k \in A} 2^{-k} \mid A \in \mathfrak {A}\right\}$ неизмеримо.

Будем говорить, что множество $E \subset \mathbb {R}^{m}$ порождает паркет, если его сдвиги на всевозможные векторы с целочисленными координатами покрывают $\mathbb {R}^{m}$ и не налегают друг на друга, т.е.

Докажите, что мера измеримого множества, порождающего паркет, равна единице.

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{m}, \lambda_{m}(E)>0, A$ - счётное плотное в $\mathbb {R}^{m}$ множество. Докажите, что $\lambda_{m}\left(\mathbb {R}^{m} \backslash \bigcup_{a \in A}(a+E)\right)=0$.

Имеется последовательность $m$-мерных шаров, радиусы которых стремятся к нулю, а суммарный объём бесконечен. Докажите, что в кубе можно так разместить конечное число этих шаров, что они заполнят $99 \%$ его объёма.

*) Существование такой системы множеств можно доказать с помощью леммы Цорна, см., например, с. 55 в [Ке].

Докажите, что если содержащиеся в квадрате попарно непересекающиеся круги покрывают его с точностью до множества меры нуль, то сумма длин граничных окружностей бесконечна.