Асимптотика интегралов высокой кратности

Докажите, что

Толщина арбузной корки равна $\frac{1}{20}$ радиуса арбуза (считаемого шаром). Какой процент от объёма арбуза составляет корка

Докажите, что для любого наперёд заданного радиуса $R$ в кубе $\left[0,1\right]^{n}$ достаточно большой размерности $n$ найдётся трёхмерное сечение, содержащее трёхмерный шар радиуса $R$. Таким образом, земной шар можно поместить в «n-мерный кубометр».

Пусть $I=\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right], \quad r \in \mathbb {R}, \quad \omega \in \mathbb {R}^{n}, \quad \omega \neq 0$. Пусть далее $H_{n-1}(\omega , r)=\left\{ x \in I^{n} \mid (x, \omega )=r\right\}$ - сечение куба $I^{n}$ гиперплоскостью $(x, \omega )=r$.

Попавшую в 1000 -мерное пространство Алису спросили, как делать тонкие стеклянные обручи (сферические пояса), чтобы их ширина равнялась $\frac{1}{10}$ диаметра. «Нет ничего проще, - ответила Алиса, - нужно выдувать сферы, а потом отрезать лишнее» (рис. 13). Каков будет процент отходов

Рис. 13

при этой технологии?

Пусть $a \in \mathbb {R}^{n},\left\| a\right\| =1$. В шаре $B^{n}$ случайным образом выбирается точка $x$. Что вероятнее при больших $n:\left|(a, x)\right|<10^{-3}$ или $\left|(a, x)\right|>10^{-3}$ ?

На сфере $S^{n-1}$ случайным образом выбирают две точки. Пусть $L_{n}$ - среднее значение расстояния между ними. Докажите, что $\lim L_{n} \rightarrow \sqrt{2}$. Этот результат свидетельствует, что при больших $n$ радиусы, проведённые в две случайно взятые на сфере точки, «как правило», почти ортогональны.

Пусть $P_{n}$ - нормированная мера Лебега на сфере $S^{n-1}(\sqrt{n})$. Докажите, что координаты на этой сфере «асимптотически распределены по нормальному закону», т.е. для любых $a, b \in \mathbb {R}, a<b$, справедливо соотношение

Пусть функция $f$ непрерывна на замкнутом шаре $\vec{B}^{n}$, $M=\max_{\overline{B^{n}}}\left|f\right|$, и при любых $\omega \in S^{n-1}$ и $r \in [0,1]$ справедлива оценка $\left|f(r \omega )-f(\omega )\right| \leqslant h(1-r)$, где $h$ - возрастающая непрерывная на промежутке $\left[0,1\right]$ функция, обращающаяся в нуль в нуле. Докажите, что среднее значение функции $f$ на шаре $B^{n}$ и на сфере $S^{n-1}$ близки в следующем смысле: при любом $\varepsilon \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$

Докажите, что при любом $q \in \mathbb {R}$ интегралы $\int_{\mathbb {R}^{n}}\left|x_{1} \ldots x_{n}\right|^{\frac{q}{n}} d \gamma_{n}(x)$ имеют при $n \rightarrow \infty$ конечный положительный предел.

Докажите, что при любых $q \in \mathbb {R}, 0<p<\infty$

Пусть $\tilde{\gamma }_{n}$ - мера в $\mathbb {R}^{n}$ с плотностью $\left(\frac{n}{2 \pi }\right)^{n / 2} e^{-n\left\| x\right\|^{2} / 2}$;

Докажите, что при любых $q \in \mathbb {R}, 0<p \leqslant \infty$

(определение меры $\tilde{\gamma }_{n}$ см. в задаче 6.13).

Докажите, что $\int_{\mathbb {R}^{n}}\left\| x\right\|^{q} d \gamma_{n}(x) \underset {n \rightarrow \infty }{\sim } n^{q / 2}(q \in \mathbb {R})$.

Докажите, что при любом $q \in \mathbb {R}$

Для положительных последовательностей $\left\{ a_{n}\right\} ,\left\{ b_{n}\right\}$ запись $a_{n} \asymp b_{n}$ означает, что

(последовательности $\left\{ a_{n}\right\} ,\left\{ b_{n}\right\}$ одного порядка). В аналогичном смысле это обозначение используется нами не только для последовательностей, но и для произвольных семейств положительных чисел.

Пусть $\quad q \in \mathbb {R}, \quad m, n \in \mathbb {N}, \quad 2 \leqslant m \leqslant n, \quad m+q>0, \quad x \in \mathbb {R}^{n}$, $x=\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)$,

Докажите, что

Докажите, что при любых $q \in \mathbb {R}, 0<p<\infty$

Рассмотрите последовательно случаи

Докажите, что при любых $q \in \mathbb {R}, 0<p<\infty$

Пусть $A$ и $B$ - выпуклые центрально симметричные (с центром в нуле) компакты в $\mathbb {R}^{n}$. Можно ли утверждать, что $\lambda_{n}(A) \leqslant \lambda_{n}(B)$, если всякое центральное сечение множества $A$ гиперплоскостью имеет лебегову меру (размерности $n-1$) меньшую, чем такое же сечение множества $B$ ? (Сравните при больших $n$ сечения единичного куба и шара, имеющего единичный объём).

Пусть $a_{n}, b_{n}, c_{n}$-- средние значения функции $\frac{1}{\left\| x\right\|_{1}}$ на множествах $O_{n}, B^{n},\left[-1,1\right]^{n}$, где $O_{n}$ есть $n$-мерный октаэдр: $O_{n}=\left\{ \left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \mid \sum_{1 \leqslant k \leqslant n}\left|x_{k}\right| \leqslant 1\right\}$. Докажите, что

Пусть $I_{n}, J_{n}, K_{n}$ - средние значения функции $\frac{\left\| x\right\|_{2}^{2}}{\left\| x\right\|_{1}}$ на октаэдре $O_{n}$, шаре $B^{n}$ и кубе $\left[-1,1\right]^{n}$ соответственно. Докажите, что

Пусть $O_{n}+\varepsilon B^{n}-\varepsilon$-окрестность октаэдра $O_{n}$.

Докажите, что $\lambda_{n}\left(A_{n}\right) \sim 2\left(\frac{2}{\pi }\right)^{n+1}$, где

Пусть $V_{n}$ - центрально симметричное относительно нуля выпуклое множество, содержащееся в кубе $(-1,1)^{n}$. Докажите, что если $\lambda_{n}\left(V_{n}\right)>\left(\frac{3}{2}\right)^{n}$, то при достаточно большом $n$ множество $2 V_{n}$ содержит такую точку $a=\left(a_{1}, \ldots , a_{n}\right)$ с целочисленными координатами, что $\sum_{1 \leqslant k \leqslant n}\left|a_{k}\right|>\frac{n}{10}$.

Найдите асимптотику интегралов

Докажите, что при $n \rightarrow +\infty$

Пусть $f \geqslant 0, \int_{-\infty }^{+\infty } f(t) d t=1,0<p<\infty$. Докажите, что при $n \rightarrow +\infty \left(\right.$ далее $\left.x=\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right) \in \mathbb {R}^{n}\right)$

Пусть $p>1, f \in \mathscr {L}^{p}(0,1),\left\| f\right\|_{p} \neq 0$. Докажите, что при $n \rightarrow \infty$

(коэффициенты соотношения $\asymp$ зависят от $f$ и $p$).

Пусть $F$ - убывающая функция распределения измеримой на $(0,1)$ функции $f$. Как известно, если $f \in \mathscr {L}^{p}(0,1)$, то $F(t)=o\left(1 / t^{p}\right)$ при $t \rightarrow +\infty$ (см. задачу 3.13). Предположим, что $F$ удовлетворяет лишь более слабому условию: $F(t)=O\left(1 / t^{p}\right)$ при $t \rightarrow +\infty$. Докажите, что в этом случае при $p>1$

Докажите, что для любого $n$ и любого вектора $a \in \mathbb {R}^{n}$ справедливо неравенство

где $A_{p}, B_{p}$ - положительные постоянные, зависящие только от $p>0$ (ср. с задачей 3.37 а)).