Банк задач по математике

Задача VIII.5.1

Множество $E \subset \mathbb {R}^{n}$ называется $\varepsilon$ -различимым, если расстояние между любыми двумя его точками не меньше $\varepsilon$ . Пусть

M(A, \varepsilon )=\max \left\{ \operatorname {card}(E) \mid E \subset A, \text{ множество } E \varepsilon \text{-различимо }\right\}

максимальная мощность $\varepsilon$ -различимого подмножества множества $A$ . Докажите, что

N(A, \varepsilon ) \leqslant M(A, \varepsilon ) \leqslant N\left(A, \frac{\varepsilon }{2}\right)

?

Задача VIII.5.2

(а)(б)

Пусть $A$ - ограниченное подмножество пространства $\mathbb {R}^{n}$ .

?

(а)

Докажите, что если $A$ имеет внутреннюю точку, то

H(A, \varepsilon ) \sim n \log _{2} \frac{1}{\varepsilon } \quad (\varepsilon \rightarrow +0) .

(б)

Напомним, что внешней мерой $\lambda_{n}^{*}(A)$ множества $A \subset \mathbb {R}^{n}$ называется величина

\lambda _{n}^{*}(A)=\inf \left\{ \lambda _{n}(G) \mid A \subset G \subset \mathbb {R}^{n}, G \text{ открыто }\right\}

Докажите, что если $\lambda_{n}^{*}(A)>0$ , то $N(A, \varepsilon ) \geqslant C \varepsilon^{-n}$ , где $C$ - некоторая положительная постоянная.

Задача VIII.5.3

Найдите асимптотику (при $\varepsilon \rightarrow +0$ ) $\varepsilon$ -энтропии множеств:

?

(а)

$\left\{ 2^{-n} \mid n \in \mathbb {N}\right\}$ ;

(б)

$\left\{ n^{-\alpha } \mid n \in \mathbb {N}\right\} \quad (\alpha >0)$ ;

(в)

$\left\{ n^{-n} \mid n \in \mathbb {N}\right\}$ ;

(г)

$\left\{ 2^{-n^{2}} \mid n \in \mathbb {N}\right\}$ ;

(д)

$\left\{ \left.\frac{1}{\ln (n+1)} \right\rvert \, n \in \mathbb {N}\right\}$ .

Задача VIII.5.4

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{n}$ - ограниченное множество, $0<\lambda_{n}(E)<\infty$ , $M(E, \varepsilon )$ - максимальное число $\varepsilon$ -различимых точек, лежащих в $E$ . Докажите, что

\frac{1}{\varepsilon ^{n}} \frac{\lambda _{n}(E)}{\alpha _{n}} \leqslant M(E, \varepsilon ) \leqslant \frac{2^{n}}{\varepsilon ^{n}} \frac{\lambda _{n}\left(E_{\varepsilon / 2}\right)}{\alpha _{n}},

где $E_{\varepsilon / 2}$ - $(\varepsilon / 2)$ -окрестность множества $E, \quad \alpha_{n}$ - объём $n$ -мерного единичного шара.

Метрической размерностью $M-\operatorname {dim}(A)$ и метрическим порядком $r(A)$ ограниченного подмножества $A$ пространства $\mathbb {R}^{n}$ называются величины

M-\operatorname {dim}(A)=\varlimsup _{\varepsilon \rightarrow +0} \frac{H(A, \varepsilon )}{\log _{2}(1 / \varepsilon )}, \quad r(A)=\varliminf _{\varepsilon \rightarrow +0} \frac{H(A, \varepsilon )}{\log _{2}(1 / \varepsilon )}

?

Задача VIII.5.5

(а)(б)

Найдите метрические размерности и метрические порядки графиков следующих функций:

?

(а)

$f(x)=\sin \pi x, \quad 0 \leqslant x \leqslant 1$ ;

(б)

$f(x)=\sin \frac{\pi }{x}, \quad 0<x \leqslant 1$ .

Задача VIII.5.6

(а)(б)(в)

Найдите метрические размерности и метрические порядки следующих множеств:

?

(а)

$A \times [-1,1] \subset \mathbb {R}^{2}$ , где $A=\left\{ n^{-1 / 2} \mid n \in \mathbb {N}\right\}$ ;

(б)

графика функции $f(x)=\sin \frac{\pi }{x^{2}}, 0<x \leqslant 1$ ;

(в)

$\bigcup_{n \geqslant 1} S\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ , где $S(r)$ - окружность с центром в нуле и радиу $\operatorname {com} r$ .

Задача VIII.5.7

(а)(б)(в)

Найдите метрические размерности и метрические порядки следующих множеств:

?

(а)

$A \times [-1,1] \subset \mathbb {R}^{2}$ , где $A=\left\{ \left.\frac{1}{\ln (n+1)} \right\rvert \, n \in \mathbb {N}\right\}$ ;

(б)

графика функции $f(x)=\sin \left(\pi e^{1 / x}\right), 0<x \leqslant 1$ ;

(в)

$\bigcup_{n>1} S\left(\frac{1}{\ln n}\right)$ (обозначение $S(r)$ см. в задаче 5.6 в)).

Задача VIII.5.8

Найдите метрическую размерность и метрический порядок канторова множества (см. задачу I.1.29).

?

Задача VIII.5.9

Найдите асимптотику $\varepsilon$ -энтропии множества

A=\left\{ \left.\sum _{k \geqslant 0} \frac{\varepsilon _{k}}{k!} \right\rvert \, \varepsilon _{k}=0 \text{ или } 1\right\} .

?

Задача VIII.5.10

(а)(б)

Определим возрастающую последовательность $\left\{ n_{k}\right\}$ натуральных чисел, положив $n_{k}=k+m!$ , если $m!\leqslant k<(m+1)!$ , и рассмотрим множество

A=\left\{ \sum \varepsilon _{k} 2^{-n_{k}} \mid \varepsilon _{k}=0 \text{ или } 1\right\} .

Пусть, далее,

A_{l}=A+\ldots +A=\left\{ x_{1}+\ldots +x_{l} \mid x_{1}, \ldots , x_{l} \in A\right\} .

Докажите, что

?

(а)

$M-\operatorname {dim}(A)=1, r(A)=\frac{1}{2}$ ;

(б)

$\lambda \left(A_{l}\right)=0$ при любом $l \in \mathbb {N}$ .

Задача VIII.5.11

Пусть $\Psi :[0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty )$ - такая строго возрастающая функция, что $\Psi (\mathbb {N}) \subset \mathbb {N}$ . Рассмотрим множество

A=\left\{ \sum \varepsilon _{k} 2^{-\Psi (k)} \mid \varepsilon _{k}=0 \text{ или } 1\right\} .

Докажите, что $H(A, \varepsilon ) \sim \Psi^{-1}\left(\log_{2} \frac{1}{\varepsilon }\right)$ при $\varepsilon \rightarrow +0$ .

?

Задача VIII.5.12

Найдите метрическую размерность и метрический порядок множества

A=\left\{ (x, y) \in \mathbb {R}^{2} \mid x=\sum \varepsilon _{k} 2^{-k}, \quad \varepsilon _{k}=0,1 ; \, y=\sum \eta _{k} 3^{-k}, \quad \eta _{k}=0,1,2 ; \text{ цифры } \varepsilon _{k}, \eta _{k} \text{ имеют одинаковую чётность при каждом } k\right\}

(кривая Хиронака).

?

Задача VIII.5.13

(а)(б)(в)

Пусть $A \subset \mathbb {R}, A_{m}=A+\ldots +A$ ( $m$ слагаемых). Докажите, что

?

(а)

если $r(A)=0$ , то $\lambda \left(A_{m}\right)=0$ для любого $m \in \mathbb {N}$ ;

(б)

если $r(A)<\frac{1}{m}$ , то $\lambda \left(A_{m}\right)=0$ .

(в)

Верно ли, что если $r(A)>\frac{1}{2}$ , то $\lambda (A+A)>0$ ? (Рассмотрите множество из задачи 5.3 д).)

Примечание.

?

Меры Хаусдорфа. Пусть $A \subset \mathbb {R}^{n}, p, \varepsilon >0$ . Положим

v_{p}(A, \varepsilon )=\inf \left\{ \sum _{k \geqslant 1} r_{k}^{p} \mid A \subset \bigcup _{k \geqslant 1} B\left(x_{k}, r_{k}\right), r_{k}<\varepsilon \right\} .

Отметим, что в определении $v_{p}(A, \varepsilon )$ нижняя грань вычисляется по всевозможным счётным покрытиям множества $A$ шарами, в том числе и такими, центры которых не принадлежат $A$ . Функция $v_{p}$ , определённая на системе всех подмножеств пространства $\mathbb {R}^{n}$ равенством

v_{p}(A)=\sup \left\{ v_{p}(A, \varepsilon ) \mid \varepsilon >0\right\} =\lim _{\varepsilon \rightarrow +0} v_{p}(A, \varepsilon )

называется $p$ -мерной (внешней) мерой Хаусдорфа.

Задача VIII.5.14

Пусть $p>0$ . Докажите, что

?

(а)

если множество $A$ счётно, то $v_{p}(A)=0$ ;

(б)

если $A \subset A^{\prime }$ , то $v_{p}(A) \leqslant v_{p}\left(A^{\prime }\right)$ ;

(в)

если $A \subset \bigcup A_{k}$ , то $v_{p}(A) \leqslant \sum v_{p}\left(A_{k}\right)$ ;

(г)

если расстояние между множествами $A$ и $B$ положительно, т.е. $d=\inf \left\{ \left\| x-y\right\| \mid x \in A, y \in B\right\} >0$ , то

\begin{gathered} v_{p}(A \cup B, \varepsilon )=v_{p}(A, \varepsilon )+v_{p}(B, \varepsilon ) \quad \text{ при } \quad \varepsilon <\frac{d}{2} \quad \text{ и } \\ v_{p}(A \cup B)=v_{p}(A)+v_{p}(B) ; \end{gathered}

(д)

мера $v_{p}$ инвариантна относительно изометрий.

Задача VIII.5.15

(а)(б)(в)

Пусть $A \subset \mathbb {R}^{n}$ . Докажите, что

?

(а)

если $0<p<n$ и $v_{p}(A)<\infty$ , то $\lambda_{n}(A)=0$ ;

(б)

если $p>n$ , то $v_{p}(A)=0$ ;

(в)

$v_{n}(A)=0$ тогда и только тогда, когда $\lambda_{n}(A)=0$ .

Задача VIII.5.16

(а)(б)

Пусть $A \subset S^{n-1}, \mu_{n-1}$ - лебегова мера на $S^{n-1}$ («плющадь поверхности»). Докажите, что

?

(а)

если $0<p<n-1$ и $v_{p}(A)=0$ , то $\mu_{n-1}(A)=0$ ;

(б)

$v_{n-1}(A)=0$ тогда и только тогда, когда $\mu_{n-1}(A)=0$ .

Задача VIII.5.17

(а)(б)

Докажите, что

?

(а)

если $0<p<q$ , то $\nu_{p}(A) \geqslant \nu_{q}(A)$ ;

(б)

если $0<\nu_{p}(A)<\infty$ , то $\nu_{q}(A)=0$ при $q>p$ и $\nu_{q}(A)=\infty$ при $q<p$ .

Число $p=\inf \left\{ q \mid v_{q}(A)=0\right\} =\sup \left\{ q \mid v_{q}(A)=\infty \right\}$ называется хаусдорфовой размерностью множества $A$ . Мы будем обозначать его символом $\operatorname {dim}_{H}(A)$ .

Задача VIII.5.18

(а)(б)

?

(а)

Докажите, что для любого ограниченного множества $A \subset \mathbb {R}^{n}$ справедливо неравенство

\operatorname {dim}_{H}(A) \leqslant r(A)=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0} \frac{H(A, \varepsilon )}{\log _{2}(1 / \varepsilon )} .

(б)

Пусть $A_{k} \subset \mathbb {R}^{n}(k=1,2, \ldots )$ . Докажите, что

\operatorname {dim}_{H}\left(\bigcup _{k \geqslant 1} A_{k}\right)=\sup _{k \geqslant 1} \operatorname {dim}_{H}\left(A_{k}\right) .

Задача VIII.5.19

Диаметром ограниченного множества $C \subset \mathbb {R}^{n}$ называется число $\operatorname {diam}(C)=\sup \left\{ \left\| x-y\right\| \mid x, y \in C\right\}$ . Пусть $p>0, A \subset \mathbb {R}^{n}$ . Определим модифицированную $p$ -мерную меру Хаусдорфа $\widetilde{v}_{p}(A)$ следующим образом:

\tilde{v}_{p}(A)=\sup _{\varepsilon >0} \inf \left\{ \sum _{k \geqslant 1}\left(\operatorname {diam}\left(C_{k}\right)\right)^{p} \mid A \subset \bigcup _{k \geqslant 1} C_{k}, \operatorname {diam}\left(C_{k}\right)<\varepsilon \right\} .

Докажите, что $\nu_{p}(A) \leqslant \widetilde{\nu }_{p}(A) \leqslant 2^{p} \nu_{p}(A)$ и, следовательно, в определении хаусдорфовой размерности вместо $v_{p}$ можно использовать $\widetilde{v}_{p}$ .

?

Задача VIII.5.20

(а)(б)(в)

Найдите хаусдорфову размерность $p$ и вычислите меру Хаусдорфа $\nu_{p}$ следующих множеств:

?

(а)

отрезка $\left[a, b\right]$ ;

(б)

окружности $S^{1}$ ;

(в)

открытого подмножества $G$ пространства $\mathbb {R}^{n}$ .

Задача VIII.5.21

Найдите хаусдорфову размерность $p$ и вычислите $v_{p}(C)$ для канторова множества $C$ . Докажите, что функция $\varphi$ , определяемая равенством

\varphi (x)=2^{p} v_{p}(C \cap [0, x]) \quad (0 \leqslant x \leqslant 1),

совпадает с канторовой функцией (см. определение перед задачей III.3.14).

?

Задача VIII.5.22

(а)(б)(в)

Найдите $\operatorname {dim}_{H}(A)$ и $M-\operatorname {dim}(A)$ для следующих множеств:

?

(а)

$A=C$ - канторово множество;

(б)

$A=A_{0}$ , где $A_{0}=\left\{ \left.1+\frac{1}{\ln (n+1)} \right\rvert \, n \in \mathbb {N}\right\}$ ;

(в)

$A=C \cup A_{0}$ .

Примечание.

?

Однородное обобщённое канторово множество, построенное на отрезке $\left[0,1\right]$ по определяющей последовательности $\left\{ 2^{-n p}\right\}_{n} \geqslant 0$ , где $p>1$ , будем обозначать символом $K(p)$ . Заметим, что $K\left(\log_{2} 3\right)=C$ - классическое канторово множество.

Задача VIII.5.23

Пусть $E \subset [0,1]$ - однородное обобщённое канторово множество, $0<v_{p}(E)<\infty , \sigma_{E}$ - соответствующая ему канторова функция (см. III.3.17). Докажите, что

v_{p}(E \cap [0, x])=v_{p}(E) \sigma _{E}(x) \quad (0 \leqslant x \leqslant 1) .

?

Задача VIII.5.24

(а)(б)(в)(г)

Пусть $0<p \leqslant 1, E \subset \mathbb {R}$ - однородное обобщённое канторово множество, $l_{n}$ - длина промежутков $n$ -го ранга. Докажите, что

?

(а)

если $\underline{\lim } 2^{n} l_{n}^{p}=0$ , то $v_{p}(E)=0$ ;

(б)

если $\lim 2^{n} l_{n}^{p}>0$ , то $v_{p}(E)>0$ ;

(в)

$v_{p}(E)=\infty$ тогда и только тогда, когда $2^{n} l_{n}^{p} \rightarrow \infty$ ;

(г)

$\operatorname {dim}_{H}(E \times E)=2 \operatorname {dim}_{H}(E)$ .

Задача VIII.5.25

(а)(б)

Пусть $E$ - однородное обобщённое канторово множество, $\sigma$ - соответствующая ему канторова функция (см. III.3.17), и пусть

I_{E}(t)=\iint _{E \times E} \frac{d \sigma (x) d \sigma (y)}{\left|x-y\right|^{t}}-\text{ «интеграл } t \text{-энергии». }

Докажите, что

?

(а)

если $I_{E}(t)<\infty$ , то $t \leqslant \operatorname {dim}_{H}(E)$ ;

(б)

если $t<\operatorname {dim}_{H}(E)$ , то $I_{E}(t)<\infty$ .

Покажите, что при $t=\operatorname {dim}_{H}(E)$ интеграл $I_{E}(t)$ может быть как конечным, так и бесконечным (рассмотрите определяющую последовательность $l_{n}=n^{p} 3^{-n}$ при различных $p$ ).

Задача VIII.5.26

(а)(б)(в)

Пусть $A$ - множество из задачи 5.10.

?

(а)

Проверьте, что $A$ - однородное обобщённое канторово множество, и найдите его определяющую последовательность $\left\{ l_{n}\right\}_{n \geqslant 0}$ .

(б)

Найдите хаусдорфову размерность $p$ множества $A$ .

(в)

Найдите $\varlimsup 2^{n} l_{n}^{p}$ .

Задача VIII.5.27

(а)(б)

Пусть $A, B$ - однородные обобщённые канторовы множества с определяющими последовательностями $\left\{ 3^{-n} /(n+1)\right\}_{n \geqslant 0}$ и $\left\{ 3^{-n} \sqrt{n+1}\right\}_{n \geqslant 0}$ соответственно, и пусть $p=\operatorname {dim}_{H}(A), q=\operatorname {dim}_{H}(B)$ . Докажите, что

?

(а)

$p=q=\log_{3} 2$ (напомним, что $\log_{3} 2$ - хаусдорфова размерность канторова множества);

(б)

$v_{p}(A)=0, v_{p}(B)=+\infty$ и, следовательно, при любом $t>0$ величины $v_{t}(A), v_{t}(B)$ могут принимать лишь значения 0 или $+\infty$ .

Задача VIII.5.28

Пусть $n \in \mathbb {N}, E \subset \left\{ 0, \ldots , n-1\right\} , m=\operatorname {card}(E), 1 \leqslant m<n$ . Найдите хаусдорфову размерность множества

A=\left\{ \left.\sum _{k \geqslant 1} \frac{a_{k}}{n^{k}} \right\rvert \, a_{k} \in E \text{ при любом } k \in \mathbb {N}\right\} .

?

Задача VIII.5.29

Пусть

A=\left\{ \left.\sum \frac{a_{k}}{10^{k}} \right\rvert \, a_{k} \in \{ 0,1,2,3,4

при любом k Nright .

Найдите $\operatorname {dim}_{H}(A)$ и $\operatorname {dim}_{H}(A+A)$ и убедитесь в том, что $\operatorname {dim}_{H}(A)>\frac{1}{2}$ , но $\operatorname {dim}_{H}(A+A)<1$ .

?

Задача VIII.5.30

Множество $E \subset \mathbb {R}^{n}$ называется $\theta$ -равномерно суперпористым, $0<\theta <1$ , если для любых $x \in \mathbb {R}^{n}, r>0$ найдётся такая точка $y \in B(x, r)$ , что $E \cap B(y, \theta r)=\varnothing$ . Докажите, что существует такое число $d(\theta )<n$ , что всякое $\theta$ -равномерно суперпористое множество имеет хаусдорфову размерность не больше чем $d(\theta )$ .

?

Задача VIII.5.31

Множество $B \subset \mathbb {R}^{n}$ будем называть гомотетичным множеству $A \subset \mathbb {R}^{n}$ , если $B=x_{0}+t A$ , где $t>0$ . Число $t$ будем называть коэффициентом гомотетичности. Рассмотрим центрально симметричное выпуклое компактное множество $A$ с непустой внутренностью. Будем исчерпывать открытое ограниченное множество $G \subset \mathbb {R}^{n}$ множествами, гомотетичными $A$ , следующим образом. На первом шаге рассмотрим содержащееся в $\bar{G}$ гомотетичное $A$ множество $B$ с максимальным коэффициентом гомотетичности (как легко убедиться, такое множество существует). Положим $G_{1}=G \backslash B$ . Заменив $G$ на $G_{1}$ и повторив процедуру, получим множество $G_{2}$ и т.д. Рассмотрим пересечение $C=\bigcap_{k \geqslant 1} G_{k}$ .

Докажите, что $\operatorname {dim}_{H}(C) \leqslant d(n)<n$ , где $d(n)$ - некоторое число, не зависящее от выбора $A$ и $G$ . Иными словами, множество $G$ исчерпывается множествами, гомотетичными $A$ , с точностью до остатка, хаусдорфова размерность которого «существенно меньше» $n$ .

?

Задача VIII.5.32

Пусть $K$ - обобщённое однородное канторово множество, $\operatorname {dim}_{H}(K)>\frac{1}{2}$ . Докажите, что существует такая непрерывная функция $\varphi : \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ , что $\lim_{z \rightarrow \infty } z \varphi (z)=1$ и $\varphi$ голоморфна вне множества $K \times K$ (ср. с задачей 4.11).

?

ε-энтропия и меры Хаусдорфа