VIII.4

Интеграл Стилтьеса

[14/93%]
Показать
LaTeX
Задача VIII.4.1

Пусть −∞<a<b⩽∞-\infty <a<b \leqslant \infty. Докажите, что

∫(a,b)mh(max⁡1⩽k⩽mxk)dx=m∫ab(t−a)m−1h(t)dt \int _{(a, b)^{m}} h\left(\max _{1 \leqslant k \leqslant m} x_{k}\right) d x=m \int _{a}^{b}(t-a)^{m-1} h(t) d t
?
Задача VIII.4.2
?
(а)

Пусть

Om(r)={(x1,…,xm)∈Rm∣∑1⩽k⩽m∣xk∣⩽r}. O_{m}(r)=\left\{ \left(x_{1}, \ldots , x_{m}\right) \in \mathbb {R}^{m} \mid \sum _{1 \leqslant k \leqslant m}\left|x_{k}\right| \leqslant r\right\} .

Докажите, что

∫Om(r)h(∑1⩽k⩽m∣xk∣)dx=2m(m−1)!∫0rtm−1h(t)dt \int _{O_{m}(r)} h\left(\sum _{1 \leqslant k \leqslant m}\left|x_{k}\right|\right) d x=\frac{2^{m}}{(m-1)!} \int _{0}^{r} t^{m-1} h(t) d t
(б)

Пусть a=(a1,…,am)∈R+m,E={x∈R+m∣(x,a)>1}a=\left(a_{1}, \ldots , a_{m}\right) \in \mathbb {R}_{+}^{m}, E=\left\{ x \in \mathbb {R}_{+}^{m} \mid (x, a)>1\right\}. Вычислите интеграл ∫Ee−(a,x)dx\int_{E} e^{-(a, x)} d x.

Задача VIII.4.3

Докажите, что при p>0p>0

∫Rmh((∑1⩽k⩽m∣xk∣p)1/p)dx=mCm(p)∫0∞tm−1h(t)dt \int _{\mathbb {R}^{m}} h\left(\left(\sum _{1 \leqslant k \leqslant m}\left|x_{k}\right|^{p}\right)^{1 / p}\right) d x=m C_{m}(p) \int _{0}^{\infty } t^{m-1} h(t) d t

где Cm(p)=λm{(x1,…,xm)∈Rm∣∣x1∣p+…+∣xm∣p⩽1}C_{m}(p)=\lambda_{m}\left\{ \left(x_{1}, \ldots , x_{m}\right) \in \mathbb {R}^{m} \mid \left|x_{1}\right|^{p}+\ldots +\left|x_{m}\right|^{p} \leqslant 1\right\} (по поводу значения Cm(p)C_{m}(p) см. задачу 3.36).

?
Задача VIII.4.4

Пусть E⊂Rm,gE(t)=λm(E∩B(0,t))(t>0)E \subset \mathbb {R}^{m}, g_{E}(t)=\lambda_{m}(E \cap B(0, t))(t>0). Докажите, что

∫Eh(∥x∥)dx=∫0∞h(t)dgE(t) \int _{E} h(\left\| x\right\| ) d x=\int _{0}^{\infty } h(t) d g_{E}(t)
?
Задача VIII.4.5

Пусть E⊂Rm,f∈L0(E)E \subset \mathbb {R}^{m}, \quad f \in \mathscr {L}^{0}(E), и пусть для любого t>0λm{x∈E∣∣f(x)∣>t}<+∞t>0 \lambda_{m}\left\{ x \in E \mid \left|f(x)\right|>t\right\} <+\infty. Докажите, что для любой неотрицательной функции φ∈C(R)\varphi \in C(\mathbb {R}) справедливо равенство

∫Eφ(∣f(x)∣)dx=−∫0+∞φ(t)dF(t) \int _{E} \varphi (\left|f(x)\right|) d x=-\int _{0}^{+\infty } \varphi (t) d F(t)

где FF - убывающая функция распределения функции ff (см. определение перед задачей 2.8).

?
Задача VIII.4.6

Пусть A⊂R2A \subset \mathbb {R}^{2} - выпуклое ограниченное множество, ρ(x)==inf⁡{∥x−y∥∣y∈A}\rho (x)= =\inf \left\{ \left\| x-y\right\| \mid y \in A\right\} - расстояние от точки x∈R2x \in \mathbb {R}^{2} до AA. Найдите интеграл ∫R2e−ρ(x)dx\int_{\mathbb {R}^{2}} e^{-\rho (x)} d x.

?
Задача VIII.4.7

Пусть E⊂Rm,f,gE \subset \mathbb {R}^{m}, f, g - неотрицательные, почти везде конечные на EE функции, имеющие убывающие функции распределения FF и GG соответственно. Допустим, что в точке t0>0t_{0}>0 разность F−GF-G меняст знак с «-» на «+», т.е. F(t)⩽G(t)F(t) \leqslant G(t) при t∈(0,t0)t \in \left(0, t_{0}\right) и F(t)⩾G(t)F(t) \geqslant G(t) при t>t0t>t_{0}. Пусть, наконец, Δ={p>0∣fp,gp∈L(E)}\Delta =\left\{ p>0 \mid f^{p}, g^{p} \in \mathscr {L}(E)\right\}. Докажите, что функция

φ(p)=1pt0p∫E(fp(x)−gp(x))dx \varphi (p)=\frac{1}{p t_{0}^{p}} \int _{E}\left(f^{p}(x)-g^{p}(x)\right) d x

возрастает на множестве Δ\Delta. В частности, если ∫Efp0(x)dx⩾∫Egp0(x)dx\int_{E} f^{p_{0}}(x) d x \geqslant \int_{E} g^{p_{0}}(x) d x, то ∫Efp(x)dx⩾∫Egp(x)dx\int_{E} f^{p}(x) d x \geqslant \int_{E} g^{p}(x) d x для всех p>p0p>p_{0}.

?
Задача VIII.4.8

Используя результат предыдущей задачи, докажите, что ∫0+∞∣sin⁡xx∣pdx<π2p\int_{0}^{+\infty }\left|\frac{\sin x}{x}\right|^{p} d x<\frac{\pi }{\sqrt{2 p}} при p>2p>2, а при 1<p<21<p<2 справедливо противоположное неравенство.

?
Задача VIII.4.9

Пусть σ\sigma - канторова функция (см. задачу III.3.14). Вычислите интегралы

?
(а)

∫01xdσ(x)\int_{0}^{1} x d \sigma (x);

(б)

∫01x2dσ(x)\int_{0}^{1} x^{2} d \sigma (x);

(в)

∫01σ(x)dx\int_{0}^{1} \sigma (x) d x;

(г)

∫01σ(x)dσ(x)\int_{0}^{1} \sigma (x) d \sigma (x);

(д)

∫01σ(1−x)dσ(x)\int_{0}^{1} \sigma (1-x) d \sigma (x).

Задача VIII.4.10

Пусть CC - канторово множество, σ\sigma - канторова функция. При каких p∈Rp \in \mathbb {R} конечны интегралы

?
(а)

∫01∫01dσ(x)dσ(y)(x2+y2)p/2\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{d \sigma (x) d \sigma (y)}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p / 2}};

(б)

∫01∫01dσ(x)dσ(y)((x−u)2+(y−v)2)p/2\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{d \sigma (x) d \sigma (y)}{\left((x-u)^{2}+(y-v)^{2}\right)^{p / 2}}, где (u,v)∈C×C(u, v) \in C \times C;

(в)

∫01∫01dσ(x)dσ(y)∣x−y∣p\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{d \sigma (x) d \sigma (y)}{\left|x-y\right|^{p}} ? (Обобщение утверждения в) см. в задаче 5.25.)

Задача VIII.4.11

Пусть CC - канторово множество, σ\sigma - канторова функция. Определим функцию φ\varphi равенством

φ(z)=∫01∫01dσ(ξ)dσ(η)z−(ξ+iη)(z∈C) \varphi (z)=\int _{0}^{1} \int _{0}^{1} \frac{d \sigma (\xi ) d \sigma (\eta )}{z-(\xi +i \eta )} \quad (z \in \mathbb {C})

Докажите, что

?
(а)

φ∈C(C),zφ(z)→1\varphi \in C(\mathbb {C}), z \varphi (z) \rightarrow 1 при z→∞z \rightarrow \infty;

(б)

функция φ\varphi голоморфна вне множества C×CC \times C (сравните с задачей 3.46).

Задача VIII.4.12

Пусть A⊂Rm,B⊂RnA \subset \mathbb {R}^{m}, B \subset \mathbb {R}^{n} - выпуклые компактные центрально симметричные множества. Какую долю объёма множества A×BA \times B составляет объём выпуклой оболочки множества (A×{0})∪({0}×B)(A \times \left\{ 0\right\} ) \cup (\left\{ 0\right\} \times B) ?

?
Задача VIII.4.13

Пусть p>1,E⊂Rm,f∈L0(E)p>1, E \subset \mathbb {R}^{m}, f \in \mathscr {L}^{0}(E), и пусть f∗f^{*} - невозрастающая перестановка функции ∣f∣\left|f\right|. Докажите, что если конечен интеграл

Ip(f)=∫0+∞f∗(t)t1p−1dt, то ∫E∣f(x)∣pdx<∞ I_{p}(f)=\int _{0}^{+\infty } f^{*}(t) t^{\frac{1}{p}-1} d t, \text{ то } \int _{E}\left|f(x)\right|^{p} d x<\infty
?
Задача VIII.4.14

Сохраняя обозначения предыдущей задачи, положим для n∈Zn \in \mathbb {Z}

En={x∈E∣2n<∣f(x)∣},S=∑n∈Z2n(λm(En))1/p;en={x∈E∣2n<∣f(x)∣⩽2n+1},s=∑n∈Z2n(λm(en))1/p. \begin{array}{ll} E_{n}=\left\{ x \in E \mid 2^{n}<\left|f(x)\right|\right\} , & S=\sum _{n \in \mathbb {Z}} 2^{n}\left(\lambda _{m}\left(E_{n}\right)\right)^{1 / p} ; \\ e_{n}=\left\{ x \in E \mid 2^{n}<\left|f(x)\right| \leqslant 2^{n+1}\right\} , & s=\sum _{n \in \mathbb {Z}} 2^{n}\left(\lambda _{m}\left(e_{n}\right)\right)^{1 / p} . \end{array}

Докажите, что (s<+∞)⇒(Ip(f)<+∞)⇒(S<+∞)(s<+\infty ) \Rightarrow \left(I_{p}(f)<+\infty \right) \Rightarrow (S<+\infty ).

?