Банк задач по математике

Задача VIII.2.1

(а)(б)

Пусть $f$ - произвольная (не обязательно измеримая) функция, заданная и почти везде конечная на произвольном множестве $E \subset \mathbb {R}^{m}$ . Докажите, что при любом $\varepsilon >0$

?

(а)

функция $x \mapsto g(x)=\sup \left\{ f(y) \mid y \in E,\left\| x-y\right\| <\varepsilon \right\}$ есть сужение на $E$ некоторой функции, измеримой на $\mathbb {R}^{m}$ (возможно, принимающей и бесконечные значения);

(б)

при $m=1$ функция

x \mapsto h(x)=\sup \left\{ f(y) \mid y \in E \cap (x, x+\varepsilon )\right\}

есть сужение на $E$ некоторой функции, измеримой на $\mathbb {R}$ .

Задача VIII.2.2

(а)(б)

Пусть $f$ - произвольная определённая на $\mathbb {R}$ функция с конечными значениями. Докажите, что

?

(а)

функция $\overline{f^{\prime }}$ , где

\overline{f^{\prime }}(x)=\varlimsup _{y \rightarrow x} \frac{f(y)-f(x)}{y-x},

измерима;

(б)

множество точек, в которых функция $f$ имеет производную, измеримо.

Задача VIII.2.3

(а)(б)

Пусть $f$ - определённая на $\mathbb {R}$ функция с конечными значениями. Докажите, что

?

(а)

функция $\overline{f^{\prime }}{ }_{+}$ , где $\overline{f^{\prime }}{ }_{+}(x)=\varlimsup_{y \rightarrow x+0} \frac{f(y)-f(x)}{y-x}$ , измерима, если измерима функция $f$ ;

(б)

если $E \subset \mathbb {R}$ - множество, не имеющее, как и его дополнение, внутренних точек, а $f=\chi_{E}$ , то

\bar{f}_{+}^{\prime }(x)=\begin{cases} 0, & \text{ при } x \in E ; \\ +\infty , & \text{ при } x \notin E . \end{cases}

Таким образом, функция $\overline{f^{\prime }}+$ может быть неизмеримой, если неизмерима функция $f$ .

Задача VIII.2.4

Пусть $f \in \mathscr {L}^{0}(E),\left|f\right| \leqslant 1$ почти везде на $E \subset \mathbb {R}^{m}$ . Докажите, что ссли $\left|f\right|<1$ на множестве положительной меры, то найдутся такие не эквивалентные друг другу функции $f_{1}, f_{2} \in \mathscr {L}^{0}(E)$ , удовлетворяющие условиям $\left|f_{1}\right| \leqslant 1,\left|f_{2}\right| \leqslant 1$ почти везде на $E$ , что $f=\frac{1}{2}\left(f_{1}+f_{2}\right)$ .

?

Задача VIII.2.5

Приведите пример определённой на $\mathbb {R}$ монотонной функции, не эквивалентной непрерывной функции ни на каком (непустом) интервале.

?

Задача VIII.2.6

Функция Дирихле (равная единице в рациональных точках и нулю в иррациональных точках вещественной прямой) разрывна в каждой точке, но эквивалентна непрерывной функции. Существует ли такая функция из $\mathscr {L}^{0}(\left[0,1\right])$ , что любая эквивалентная ей на $\left[0,1\right]$ функция разрывна в каждой точке этого промежутка?

?

Задача VIII.2.7

(а)(б)(в)

Пусть $C$ - канторово множество, $f$ - канторова функция (см. задачу III.3.14), и пусть $g(x)=\frac{1}{2}(x+f(x))(x \in [0,1])$ . Докажите, что

?

(а)

функция $g$ строго возрастает;

(б)

$\lambda (g(C))>0$ ;

(в)

найдётся такое (измеримое!) множество $H \subset C$ , что множество $g(H)$ неизмеримо.

Примечание.

?

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{m}, f \in \mathscr {L}^{0}(E)$ . С функцией $f$ можно связать две монотонные функции $F_{f}, F^{f}$ , определяемые равенствами

\begin{array}{ll} F_{f}(t)=\lambda _{m}(\mathbb {E}\left[f<t\right]) & \text{ при } t \in \mathbb {R}, \\ F^{f}(t)=\lambda _{m}(\mathbb {E}\left[\left|f\right|>t\right]) & \text{ при } t>0 . \end{array}

При этом в первом случае мы предполагаем, что при всех $t \lambda_{m}(\mathbb {E}\left[f<t\right])<\infty$ , а во втором - что $\lambda_{m}(\mathbb {E}\left[\left|f\right|>t\right])<\infty$ при всех $t>0$ . Очевидно, иногда какую-то из функций $F_{f}, F^{f}$ или ни одну из них невозможно определить. Однако если $\lambda_{m}(E)<\infty$ , то обе они имеют смысл. Важно отметить, что в случае суммируемости функции $\left|f\right|$ или хотя бы суммируемости некоторой её положительной степени определена функция $F^{f}$ , даже если мера $E$ бесконечна. Ясно, что функция $F_{f}$ возрастает, а $F^{f}$ - убывает. Функции $F_{f}$ и $F^{f}$ называются функциями распределения (возрастающей и убывающей соответственно) функции $f$ . Функции $f$ и $g$ , имеющие одинаковые возрастающие функции распределения, называются равноизмеримы $м u$ (при этом не предполагается, что $f$ и $g$ определены на одном и том же множестве).

Задача VIII.2.8

Докажите, что возрастающая функция распределения непрерывна слева. Когда она непрерывна в точке $t_{0} \in \mathbb {R}$ ?

?

Задача VIII.2.9

(а)(б)(в)(г)

Найдите возрастающие функции распределения на $\left[0,2 \pi \right]$ функций

?

(а)

$\sin x$ ;

(б)

$\cos x$ ;

(в)

$\sin \frac{3 x}{2}$ ;

(г)

$\sin \left(2 x-\frac{\pi }{4}\right)$ .

Задача VIII.2.10

(а)(б)

Равноизмеримы ли функции $\sin x$ и $\sin (n x+\alpha )(n \in \mathbb {N}, \alpha \in \mathbb {R})$ на множествах

?

(а)

$\left[0,2 \pi \right]$ ;

(б)

$\left[0, \pi \right]$ ?

Задача VIII.2.11

(а)(б)

Пусть $F$ - возрастающая функция распределения функции $f \in \mathscr {L}^{0}([0, T)), C, x_{0} \in \mathbb {R}$ .

?

(а)

Найдите возрастающие функции распределения функций $f+C$ , $C f(C>0), f^{3}$ .

(б)

Пусть $\widetilde{f}$ - продолжение функции $f$ на множество $\mathbb {R}$ с периодом $T, g(x)=\widetilde{f}\left(x-x_{0}\right) \quad (x \in [0, T))$ . Найдите возрастающую функцию распределения функции $g$ .

Задача VIII.2.12

(а)(б)(в)

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{m}, \lambda_{m}(E)=1, f \in \mathscr {L}^{0}(E)$ .

?

(а)

Докажите, что существует единственное число $t_{0}$ , такое что $\lambda_{m}\left(E\left(f \geqslant t_{0}\right)\right) \geqslant \frac{1}{2}$ и $\lambda_{m}\left(E\left(f \geqslant t_{0}+\varepsilon \right)\right)<\frac{1}{2}$ для любого $\varepsilon >0$ .

(б)

Докажите, что $\lambda_{m}\left(E\left(f \leqslant t_{0}\right)\right) \geqslant \frac{1}{2}$ .

(в)

Число $M$ , удовлетворяющее неравенствам

\lambda _{m}(E(f \geqslant M)) \geqslant \frac{1}{2}, \quad \lambda _{m}(E(f \leqslant M)) \geqslant \frac{1}{2},

называется медианой функции $f$ . Единственна ли медиана?

Примечание.

?

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{m}, f \in \mathscr {L}^{0}(E)$ . Положим

\begin{aligned} f^{*}(\tau )= & \inf \left\{ t \mid \lambda _{m}(\mathbb {E}\left[f>t\right]) \leqslant \tau \right\} \\ & \text{ для } \tau \geqslant 0 . \end{aligned}

Функция $f^{*}$ называется невозрастающей перестановкой функции $f$ (рис. 12).

Рис. 12

Задача VIII.2.13

(а)(б)

?

(а)

Докажите, что функции $f$ и $f^{*}$ равноизмеримы. Предполагая, что функция распределения $F_{f}$ функции $f$ строго возрастает и непрерывна, выясните, как связаны $F_{f}$ и $f^{*}$ .

(б)

Докажите, что если функция $f$ вогнута (выпукла) на конечном интервале, то такой же будет и функция $f^{*}$ .

Задача VIII.2.14

(а)(б)(в)

Найдите невозрастающие перестановки следующих функций:

?

(а)

$\sin x$ на $\left[0,2 \pi \right]$ ;

(б)

$\sin \frac{x}{2}$ на $\left[0,2 \pi \right]$ ;

(в)

$\operatorname {tg} x$ на $(0, \pi )$ .

Задача VIII.2.15

Найдите невозрастающую перестановку функции

f(x, y)=x^{2}+y^{2} \quad \left(x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right)

?

Задача VIII.2.16

Пусть

f(x)=\sum _{1 \leqslant k \leqslant n} \frac{a_{k}}{x-c_{k}}, \quad \text{ где } \quad a_{1}>0, \ldots , a_{n}>0,

$c_{1}, \ldots , c_{n} \in \mathbb {R}$ . Докажите, что при любом $t>0$

\lambda \left\{ x \in \mathbb {R} \mid f(x)>t\right\} =\frac{A}{t}, \quad \lambda \left\{ x \in \mathbb {R} \mid f(x)<-t\right\} =\frac{A}{t},

где $A=a_{1}+\ldots +a_{n}$ .

?

Задача VIII.2.17

Пусть $E \subset \mathbb {R}^{m}, \lambda_{m}(E)=1, f \in \mathscr {L}^{0}(E)$ и пусть

0<A \leqslant \int _{E}\left|f(x)\right| d x, \quad \int _{E}\left|f(x)\right|^{2} d x \leqslant C^{2} A^{2}

при некотором $C \geqslant 1$ . Оцените снизу меру множества

E_{A}=\left\{ x \in E \mid \left|f(x)\right|>\frac{A}{2}\right\} .

?

Задача VIII.2.18

Пусть функция $f$ непрерывно дифференцируема $n$ раз на промежутке $I$ и $\left|f^{(n)}(x)\right| \geqslant \Delta >0$ для всех $x \in I$ . Докажите, что

\lambda \left\{ x \in I \mid \left|f(x)\right| \leqslant t\right\} \leqslant 2 n^{2}\left(\frac{t}{\Delta }\right)^{1 / n} .

?

Измеримые функции