Глава 3

Дифференциальное исчисление

[668/69%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

3.1 · Теория пределов[116/100%]

Задача 717

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{x^{4}+3 x^{2}}{x^{5}+x^{3}+2 x^{2}}$ .

Задача 718

Найти предел $\lim_{x \to 1} \frac{x^{4}+2 x^{2}-3}{x^{2}-3 x+2}$ .

Задача 719

Найти предел $\lim_{x \to 1} \frac{3 x^{4}-4 x^{3}+1}{(x-1)^{2}}$ .

Задача 720

Найти предел $\lim_{x \to 4} \frac{x^{2}-6 x+8}{x^{2}-5 x+4}$ .

Задача 721

Найти предел $\lim_{x \to 1} \frac{x^{n}-1}{x-1}$ ; $n$ — целое.

Задача 722

Найти предел $\lim_{x \to 1} \frac{x^{m}-1}{x^{n}-1}$ ; $m$ и $n$ — целые.

Задача 723

Найти предел $\lim_{x \to 1} \left(\frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^{3}}\right)$ .

Задача 724

Найти предел $\lim_{x \to 1} \left(\frac{a}{1-x^{a}} - \frac{b}{1-x^{b}}\right)$ ; $a$ и $b$ — целые.

Задача 725

Найти предел $\lim_{x \to 1} \frac{(x^{n}-1)(x^{n-1}-1) \ldots (x^{n-k+1}-1)}{(x-1)(x^{2}-1) \ldots (x^{k}-1)}$ .

Задача 726

Найти предел $\lim_{x \to 1} \frac{x^{p/q}-1}{x^{r/s}-1}$ .

Задача 727

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1+x}-1}{x}$ .

Задача 728

Найти предел $\lim_{x \to -1} \frac{1+\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt[5]{x}}$ .

Задача 729

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}$ .

Задача 730

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \frac{n^{2}+n+1}{(n-1)^{2}}$ .

Задача 731

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{n^{4}+n^{2}+1}$ .

Задача 732

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt[3]{n^{2}+n}}{n+2}$ .

Задача 733

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt{n^{3}+1}+\sqrt{n}}{4 \sqrt{n^{2}+n}-n}$ .

Задача 734

Найти предел $\lim_{x \to \pm \infty } \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x+1}$ .

Задача 735

Найти предел $\lim_{x \to \pm \infty } \frac{\sqrt{x^{2}+3 x}}{\sqrt[3]{x^{3}-2 x^{2}}}$ .

Задача 736

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \left(\frac{1+2+3+\ldots +n}{n+2} - \frac{n}{2}\right)$ .

Задача 737

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \frac{1-2+3-\ldots -2 n}{\sqrt{n^{2}+1}}$ .

Задача 738

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \left(\left(a+\frac{1}{n}\right)^{2} + \left(a+\frac{2}{n}\right)^{2} + \ldots + \left(a+\frac{n-1}{n}\right)^{2}\right)$ .

Примечание.

В этой задаче, а также и в следующих (739--741) удобно пользоваться формулой для суммы квадратов натуральных чисел:

1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +(n-1)^{2} = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6},

легко доказываемой методом математической индукции.

Задача 739

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \frac{1+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2}}{n^{3}}$ .

Задача 740

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \left(\frac{1+2^{2}+\ldots +n^{2}}{n^{2}} - \frac{n}{3}\right)$ .

Задача 741

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \frac{1^{2}+3^{2}+5^{2}+\ldots +(2n-1)^{2}}{n^{3}}$ .

Задача 742

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \frac{1 \cdot 2+2 \cdot 3+\ldots +n(n+1)}{n^{3}}$ .

Задача 743

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x+x^{2}}-1}{x}$ .

Задача 744

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+x^{2}}}{\sqrt{1+x}-1}$ .

Задача 745

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{3+x+x^{2}}-\sqrt{9-2 x+x^{2}}}{x^{2}-3 x+2}$ .

Задача 746

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{5 x}{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}$ .

Задача 747

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1+3 x^{2}}-1}{x^{2}+x^{3}}$ .

Задача 748

Найти предел $\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt[3]{1+2 x}+1}{\sqrt[3]{2+x}+x}$ .

Задача 749

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1+3 x}-\sqrt{1-2 x}}{x+x^{2}}$ .

Задача 750

Найти предел $\lim_{x \to \pm \infty } \left(\sqrt{x^{2}+1}-1\right)$ .

Задача 751

Найти предел $\lim_{x \to \infty } \left(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}\right)$ .

Задача 752

Найти предел $\lim_{x \to \infty } \left(\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}\right)$ .

Задача 753

Найти предел $\lim_{x \to \infty } \left(\sqrt[3]{1-x^{3}}+x\right)$ .

Задача 754

Найти предел $\lim_{x \to +\infty } x \left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)$ .

Задача 755

Найти предел $\lim_{x \to \infty } \left((x+1)^{2/3}-(x-1)^{2/3}\right)$ .

Задача 756

Найти предел $\lim_{x \to \infty } \left(x^{4/3}-(x^{2}-1)^{2/3}\right)$ .

Задача 757

Найти предел $\lim_{x \to +\infty } x^{3/2} \left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2\sqrt{x}\right)$ .

Задача 758

Найти предел $\lim_{x \to +\infty } x^{3} \left(\sqrt{x^{2}+\sqrt{x^{4}+1}}-x\sqrt{2}\right)$ .

Задача 759

Найти предел $\lim_{x \to +\infty } \left(\sqrt[n]{(x+a_{1})(x+a_{2}) \ldots (x+a_{n})}-x\right)$ .

Задача 760

Найти предел $\lim_{x \to \infty } x^{4/3} \left(\sqrt[3]{x^{2}+1}-\sqrt[3]{x^{2}-1}\right)$ .

Задача 761

Определить $\lambda$ и $\mu$ из условия

\lim _{x \to \infty } \left(\sqrt[3]{1-x^{3}}-\lambda x-\mu \right) = 0.

Задача 762

Определить $\lambda$ и $\mu$ из условия

\lim _{x \to +\infty } \left(\sum _{\nu =1}^{n} \sqrt{a_{\nu } x^{2}+b_{\nu } x+c_{\nu }}-\lambda x-\mu \right) = 0, \quad a_{\nu } > 0.

Задача 763

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{a+x}-\sqrt[n]{a-x}}{x}$ ( $n$ — целое, положительное).

Задача 764

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+3x}+\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[5]{1+x}-\sqrt[7]{1+x}}{\sqrt[4]{1+2x}+x-\sqrt[6]{1+x}}$ .

Задача 765

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{a^{2}+a x+x^{2}}-\sqrt[3]{a^{2}-a x+x^{2}}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}$ .

Задача 766

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\left(\sqrt{1+x^{2}}+x\right)^{n}-\left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)^{n}}{x}$ .

Задача 767

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \frac{a^{n}}{1+a^{n}}$ ; $a > 0$ .

Задача 768

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \frac{a^{n}}{1+a^{2n}}$ ; $a > 0$ .

Задача 769

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \frac{a^{n}-a^{-n}}{a^{n}+a^{-n}}$ ; $a > 0$ .

Задача 770

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \frac{a^{n}}{(1+a)(1+a^{2}) \cdots (1+a^{n})}$ ; $a > 0$ .

Задача 771

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x}$ .

Задача 772

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x}$ .

Задача 773

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\operatorname {tg} x}$ .

Задача 774

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin mx}{\sin nx}$ .

Задача 775

Найти предел $\lim_{x \to \pi } \frac{\sin mx}{\sin nx}$ , где $m$ и $n$ — целые числа.

Задача 776

Найти предел $\lim_{x \to 0} x \operatorname {ctg} x$ .

Задача 777

Найти предел $\lim_{n \to \infty } 2^{n} \sin \frac{x}{2^{n}}$ .

Задача 778

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}$ .

Задача 779

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\cos mx-\cos nx}{x^{2}}$ .

Задача 780

Найти предел $\lim_{x \to 1} (1-x) \operatorname {tg} \frac{\pi x}{2}$ .

Задача 781

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname {tg} x-\sin x}{x^{3}}$ .

Задача 782

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (a+x)-\sin (a-x)}{x}$ .

Задача 783

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin (a+x)+\sin (a-x)-2 \sin a}{x^{2}}$ .

Задача 784

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\cos (a+x)+\cos (a-x)-2 \cos a}{1-\cos x}$ .

Задача 785

Найти предел $\lim_{x \to \infty } \left(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x}\right)$ .

Задача 786

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos x}-1}{x^{2}}$ .

Задача 787

Найти предел $\lim_{x \to \pi /2} \frac{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}{\cos x}$ .

Задача 788

Найти предел $\lim_{x \to \pi /3} \frac{\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)}{1-2\cos x}$ .

Задача 789

Найти предел $\lim_{x \to \pi /4} \frac{\sqrt{2}\cos x-1}{1-\operatorname {tg}^{2} x}$ .

Задача 790

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+\operatorname {tg} x}-\sqrt{1-\operatorname {tg} x}}{\sin x}$ .

Задача 791

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[m]{\cos \alpha x}-\sqrt[m]{\cos \beta x}}{x^{2}}$ .

Задача 792

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x-\sqrt[3]{\cos x}}{\sin^{2} x}$ .

Задача 793

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x \sqrt{\cos 2x}}{x^{2}}$ .

Задача 794

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-\cos x}{\sin^{2} \frac{x}{2}}$ .

Задача 795

Найти предел $\lim_{x \to \infty } \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x}$ .

Задача 796

Найти предел $\lim_{x \to \infty } \left(\frac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+1}$ .

Задача 797

Найти предел $\lim_{x \to \infty } \left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}}\right)^{x^{4}}$ .

Задача 798

Найти предел $\lim_{x \to 0} (1+\operatorname {tg} x)^{\operatorname {ctg} x}$ .

Задача 799

Найти предел $\lim_{x \to 0} (1+3 \operatorname {tg}^{2} x)^{\operatorname {ctg}^{2} x}$ .

Задача 800

Найти предел $\lim_{x \to 0} \left(\frac{\cos x}{\cos 2x}\right)^{1/x^{2}}$ .

Задача 801

Найти предел $\lim_{m \to \infty } \left(\cos \frac{x}{m}\right)^{m}$ .

Задача 802

Найти предел $\lim_{m \to \infty } \left(\cos \frac{x}{\sqrt{m}}\right)^{m}$ .

Задача 803

Найти предел $\lim_{m \to \infty } \left(\cos \frac{x}{m}+\lambda \sin \frac{x}{m}\right)^{m}$ .

Задача 804

Найти предел $\lim_{x \to a} \left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)^{1/(x-a)}$ .

Задача 805

Найти предел $\lim_{m \to \infty } \left(\frac{\sin \left(a+\frac{b}{m}\right)}{\sin a}\right)^{m}$ .

Задача 806

Найти предел $\lim_{x \to \pi /4} \operatorname {tg} x^{\operatorname {tg} 2x}$ .

Задача 807

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \left(\sin \frac{n+1}{n-1} \frac{\pi }{2}\right)^{\operatorname {tg} \frac{n+1}{n-1} \frac{\pi }{2}}$ .

Задача 808

Найти предел $\lim_{x \to 0} \left(\operatorname {tg}\left(\frac{\pi }{4}+x\right)\right)^{\operatorname {ctg} 2x}$ .

Задача 809

Найти предел $\lim_{x \to \infty } \left(\frac{x^{2}+x+1}{2x^{2}-x+1}\right)^{x^{2}}$ .

Задача 810

Найти предел $\lim_{x \to \pi /4} \left(\operatorname {tg}\left(\frac{\pi }{8}+x\right)\right)^{\operatorname {tg} 2x}$ .

Задача 811

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \left(\sin \left(\frac{2n+1}{2n-1} \cdot \frac{\pi }{4}\right)\right)^{\operatorname {tg} \frac{n+1}{n+3} \cdot \frac{\pi }{2}}$ ; $n$ — целое положительное.

Задача 812

Найти предел $\lim_{x \to e} \frac{\ln x-1}{x-e}$ .

Задача 813

Найти предел $\lim_{x \to 10} \frac{\lg x-1}{x-10}$ .

Задача 814

Найти предел $\lim_{x \to \pi /4} \frac{\ln \operatorname {tg} x}{\cos 2x}$ .

Задача 815

Найти предел $\lim_{n \to \infty } n^{2} \ln \cos \frac{\pi }{n}$ .

Задача 816

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\ln \cos \alpha x}{\ln \cos \beta x}$ .

Задача 817

Найти предел $\lim_{n \to \infty } n \ln \operatorname {tg}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{n}\right)$ .

Задача 818

Найти предел $\lim_{x \to \pi /4} \frac{\ln \operatorname {tg} x}{1-\operatorname {ctg} x}$ .

Задача 819

Найти предел $\lim_{x \to +\infty } \frac{\ln (e^{x}+1)}{x}$ .

Задача 820

Найти предел $\lim_{x \to +\infty } \frac{\ln (1+e^{\alpha x})}{\ln (1+e^{\beta x})}$ ; $\alpha > 0$ , $\beta > 0$ .

Задача 821

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \left(a^{1/n}-1\right) n$ .

Задача 822

Найти предел $\lim_{n \to \infty } n^{2}\left(\sqrt[n]{a}-\sqrt[n+1]{a}\right)$ ; $a > 0$ .

Задача 823

Найти предел $\lim_{n \to \infty } n^{2} \left(a^{1/n}+a^{-1/n}-2\right)$ .

Задача 824

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{a^{x}-b^{x}}{x}$ ; $a > 0$ , $b > 0$ .

Задача 825

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{e^{\alpha x}-e^{\beta x}}{x}$ .

Задача 826

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{e^{\alpha x}-e^{\beta x}}{\sin \alpha x-\sin \beta x}$ .

Задача 827

Найти предел $\lim_{x \to c} \frac{a^{x}-a^{c}}{x-c}$ ; $a > 0$ .

Задача 828

Найти предел $\lim_{n \to \infty } (1+a^{n})^{1/n}$ ; $a > 0$ .

Задача 829

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^{n}$ ; $a > 0$ , $b > 0$ .

Задача 830

Найти предел $\lim_{n \to \infty } \left(\frac{\sqrt[n]{a_{1}}+\sqrt[n]{a_{2}}+\ldots +\sqrt[n]{a_{m}}}{m}\right)^{n}$ ; все $a_{i} > 0$ .

Задача 831

Найти предел $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+x+x^{2})+\ln (1-x+x^{2})}{x^{2}}$ .

Задача 832

Найти предел $\lim_{x \to \infty } x \ln \frac{2a+x}{a+x}$ .

3.2 · Разные задачи[37/14%]

Задача 833

Доказать неравенство Бернулли:

(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma ) \ldots (1+\lambda ) > 1+\alpha +\beta +\gamma +\ldots +\lambda ,

где числа $\alpha , \beta , \gamma , \ldots , \lambda$ одного знака и больше, чем $-1$ .

Задача 834

Пользуясь неравенством Бернулли, доказать, что при $n$ целом $\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} > 1-\frac{1}{n}$ , если $n > 1$ .

Задача 835

Доказать, что $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} > \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}$ , если $n > 1$ .

Задача 836

Доказать, что $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} < \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n}$ .

Задача 837

Величина $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ возрастает, а величина $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ убывает при возрастании целого числа $n$ . Отсюда и из очевидного неравенства $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} < \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ вывести, что обе эти величины при $n \to \infty$ стремятся к общему пределу. Этот предел обозначается через $e$ :

\lim _{n \to \infty } \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = e.

Задача 838

Доказать равенство:

\lim _{n \to \infty } \frac{u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots +u_{n}}{n} = \lim _{n \to \infty } u_{n},

предполагая, что предел в правой части существует.

Задача 839

Доказать равенство:

\lim _{n \to \infty } \frac{u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots +u_{n}}{v_{1}+v_{2}+v_{3}+\ldots +v_{n}} = \lim _{n \to \infty } \frac{u_{n}}{v_{n}},

предполагая, что $\lim_{n \to \infty } \frac{u_{n}}{v_{n}}$ существует и что $v_{1}+v_{2}+v_{3}+\ldots +v_{n} \to \infty$ при $n \to \infty$ , а числа $v_{n}$ положительны.

Задача 840

Доказать равенство:

\lim _{n \to \infty } \frac{u_{n}}{v_{n}} = \lim _{n \to \infty } \frac{u_{n}-u_{n-1}}{v_{n}-v_{n-1}},

предполагая, что предел в правой части существует и $v_{n} \to \infty$ при $n \to \infty$ , а $v_{n} > v_{n-1}$ .

Задача 841

При $m$ целом положительном доказать равенство:

\lim _{n \to \infty } \frac{1^{m}+2^{m}+3^{m}+\ldots +n^{m}}{n^{m+1}} = \frac{1}{m+1}.

Задача 842

При том же условии доказать равенство:

\lim _{n \to \infty } \left(\frac{1^{m}+2^{m}+3^{m}+\ldots +n^{m}}{n^{m}} - \frac{n}{m+1}\right) = \frac{1}{2}.

Задача 843

Доказать равенство:

\lim _{n \to \infty } \left(\frac{1^{m}+3^{m}+5^{m}+\ldots +(2n-1)^{m}}{n^{m}} - \frac{2^{m} n}{m+1}\right) = 0;

$m$ — целое $\geq 0$ .

Задача 844

Доказать равенство:

\lim _{n \to \infty } \frac{1^{m}+3^{m}+5^{m}+\ldots +(2n-1)^{m}}{n^{m+1}} = \frac{2^{m}n}{m+1};

$m$ — целое $\geq 0$ .

Задача 845

Найти $\lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{n} \left(\sqrt{1+\frac{k}{n^{2}}}-1\right)$ .

Задача 846

Найти $\lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{n} \left(\sqrt[3]{1+\frac{k^{2}}{n^{3}}}-1\right)$ .

Задача 847

Из неравенств $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} < e < \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ следует, что

\frac{1}{n+1} < \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}.

Исходя отсюда, доказать равенство:

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{n} = \ln n+C+\varepsilon (n).

Здесь $C$ — постоянная, называемая постоянной Эйлера, а $\varepsilon (n) \to 0$ при $n \to \infty$ .

Задача 848

Пользуясь предыдущим результатом, доказать равенство:

\lim _{n \to \infty } \left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n}\right) = \ln 2.

Задача 849

Исходя из равенства $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+x)}{x} = 1$ , найти

\lim _{n \to \infty } \left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2}{n^{2}}\right) \ldots \left(1+\frac{n}{n^{2}}\right).

Задача 850

Пользуясь формулой $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , доказать, что

\lim _{n \to \infty } \left(\sin \frac{a}{n^{2}}+\sin \frac{3a}{n^{2}}+\ldots +\sin \frac{(2n-1)a}{n^{2}}\right) = a.

Задача 851

Доказать, что при $n \to \infty$

\cos \frac{a}{n\sqrt{n}} \cdot \cos \frac{2a}{n\sqrt{n}} \cdots \cos \frac{na}{n\sqrt{n}} \to e^{-a^{2}/6}.

Задача 852

Доказать, что

\lim _{n \to \infty } \frac{1}{n} \left(\cos \frac{\pi }{4n}+\cos \frac{3\pi }{4n}+\ldots +\cos \frac{(2n+1)\pi }{4n}\right) = \frac{2}{\pi }.

Задача 853

Доказать равенство

\lim _{n \to \infty } \left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right) = \frac{1}{2}.

Задача 854

Доказать равенство $\lim_{n \to \infty } \left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{6}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n(n+1)/2}\right) = \frac{1}{3}$ .

Задача 855

Доказать равенство $\lim_{n \to \infty } \frac{2^{3}-1}{2^{3}+1} \cdot \frac{3^{3}-1}{3^{3}+1} \cdots \frac{n^{3}-1}{n^{3}+1} = \frac{2}{3}$ .

Задача 856

Доказать равенство $\lim_{n \to \infty } (1+x)(1+x^{2})(1+x^{4}) \cdots (1+x^{2^{n}}) = \frac{1}{1-x}$ ; $\left|x\right| < 1$ .

Задача 857

Доказать равенство $\lim_{n \to \infty } \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{4} \cdots \cos \frac{x}{2^{n}} = \frac{\sin x}{x}$ (Эйлер).

Задача 858

Доказать равенство

\lim _{n \to \infty } \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdots \frac{2}{\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\ldots +\sqrt{2}}}}}_{n \text{ корней}}} = \frac{\pi }{2}

(Виет).

Задача 859

Последовательность значений $u_{n}$ дается формулами: $u_{1} = \sqrt{2}$ , $u_{2} = \sqrt{2+\sqrt{2}}$ , $u_{3} = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$ и вообще $u_{n} = \sqrt{2+u_{n-1}}$ . Заменив последнюю двойку под радикалом на 4, убедиться, что $u_{n}$ ограничено. Доказав, что $\lim_{n \to \infty } u_{n}$ существует, найти его из равенства $u_{n}^{2} = 2+u_{n-1}$ .

Примечание.

Еще легче находится этот предел из равенства $u_{n} = 2\cos \frac{\pi }{2^{n+1}}$ .

Задача 860

Последовательность $v_{n}$ задана равенствами:

v_{1} = \sqrt{a}, \quad v_{2} = \sqrt{a+\sqrt{a}}, \quad v_{3} = \sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a}}}, \ldots ; \quad a > 0.

Заменив под последним корнем число $a$ величиной $a+x$ , где $x$ — положительный корень уравнения $x^{2} = a+x$ , убедиться, что $v_{n}$ ограничено, и доказать, что $v_{n} \to x$ при $n \to \infty$ .

Задача 861

Последовательность чисел задается равенствами

x_{0} = a; \quad x_{1} = b; \quad x_{2} = \frac{x_{0}+x_{1}}{2}, \ldots , x_{n} = \frac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2}.

Найти выражение $x_{n}$ через $a$ и $b$ и найти $\lim_{n \to \infty } x_{n}$ .

Задача 862

Даны числа $a$ и $b$ , где $a > b > 0$ . Затем составляются новые пары чисел по формулам: $a_{n+1} = \frac{a_{n}+b_{n}}{2}$ , $b_{n+1} = \frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+b_{n}}$ . При этом $a_{0} = a$ и $b_{0} = b$ . Доказать, что $a_{n} b_{n} = ab$ , что

\frac{a_{n}-\sqrt{a_{n} b_{n}}}{a_{n}+\sqrt{a_{n} b_{n}}} = \left(\frac{a-\sqrt{ab}}{a+\sqrt{ab}}\right)^{2^{n}}

и, наконец, что $\lim_{n \to \infty } a_{n} = \lim_{n \to \infty } b_{n} = \sqrt{ab}$ .

Задача 863

По двум данным положительным числам $a$ и $b$ можно построить ряд новых чисел с помощью равенств: $a_{0} = a$ , $b_{0} = b$ , $a_{1} = \frac{a_{0}+b_{0}}{2}$ , $b_{1} = \sqrt{a_{0} b_{0}}$ , и вообще, $a_{n+1} = \frac{a_{n}+b_{n}}{2}$ , $b_{n+1} = \sqrt{a_{n} b_{n}}$ . Доказать, что при $n \to \infty$ числа $a_{n}$ и $b_{n}$ стремятся к общему пределу. (Арифметико-геометрическое среднее Гаусса.)

Задача 864

Две последовательности чисел составляются по формулам:

a_{n} = \frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}, \qquad b_{n} = \sqrt{a_{n} b_{n-1}}.

При этом $a_{0} = a$ , $b_{0} = b$ — данные положительные числа. Найти $\lim_{n \to \infty } a_{n}$ , равный $\lim_{n \to \infty } b_{n}$ , полагая $a = b \cos \varphi$ при $a < b$ и $a = b \operatorname {ch} \varphi$ при $a > b$ .

Задача 865

Последовательность чисел составляется по формулам: $x_{n} = \frac{1}{2}\left(x_{n-1}+\frac{a}{x_{n-1}}\right)$ , где $a > 0$ — данное число, а $x_{0}$ — произвольное положительное число. Доказать, что $x_{n} \to \sqrt{a}$ при $n \to \infty$ .

Задача 866

Числа последовательности составляются по такому закону: $x_{0}$ — произвольное положительное число, а дальнейшие находятся по формуле

x_{n+1} = \frac{x_{n}(x_{n}^{2}+3a)}{3x_{n}^{2}+a},

где $a$ — данное положительное число. Доказать, что $x_{n} \to \sqrt{a}$ при $n \to \infty$ .

Примечание.

Закон составления чисел $x_{n}$ здесь сложней, чем предыдущий, но зато числа $x_{n}$ быстрее приближаются к $\sqrt{a}$ , чем раньше, особенно если $x_{0}$ взять близким к $\sqrt{a}$ .

Задача 867

Доказать, что последовательности, составляемые подобно прежним по формуле $x_{n+1} = \frac{1}{3}\left(2x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{2}}\right)$ или по формуле $x_{n+1} = \frac{x_{n}(x_{n}^{3}+2a)}{2x_{n}^{3}+a}$ , стремятся к $\sqrt[3]{a}$ .

Задача 868

Последовательность $y_{n}$ определяется следующим способом: $y_{1} = \frac{x}{2}$ , где $0 < x < 1$ ; $y_{2} = \frac{x}{2}+\frac{y_{1}^{2}}{2}$ , и вообще $y_{n} = \frac{x}{2}+\frac{y_{n-1}^{2}}{2}$ . Доказать, что $y_{n}$ — ограниченная монотонная величина, и найти $\lim_{n \to \infty } y_{n}$ .

Задача 869

$y_{1} = \frac{x}{2}$ , где $0 < x < 1$ ; $y_{2} = \frac{x}{2}-\frac{y_{1}^{2}}{2}$ ; ; $y_{n} = \frac{x}{2}-\frac{y_{n-1}^{2}}{2}$ . Показать, что $\lim_{n \to \infty } y_{n}$ существует и равен $\sqrt{1+x}-1$ .

3.3 · Понятие о функции. Непрерывность. Графическое представление функций[98/26%]

Задача 870

Из кусков, длина которых равна $1$ дм, $2$ дм, $1$ дм и вес которых равен $2$ кг, $3$ кг и $1$ кг, составлен один сплошной брус $AC$ . Найти вес отрезка $AB$ этого бруса как функцию его длины $x$ , где $x$ считается от точки $A$ — начала куска весом в $2$ кг.

Задача 871

В каких промежутках можно рассматривать функции $y$ , $z$ , $u$ и $v$ , определяемые равенствами:

y = \sqrt{1-x^{2}}, \qquad z = \ln (x^{2}-3x+2),

u = \ln (x^{2}-1), \qquad v = \ln (x+1)+\ln (x-1)?

Задача 872

В каких промежутках можно рассматривать функции

y = \arccos \frac{3}{x}, \qquad z = \arcsin \frac{2x}{1+x^{2}}?

Задача 873

В каких промежутках можно рассматривать функции, определенные равенствами:

y = \begin{cases} x \ln x, & x \neq 0; \\ 0, & x = 0; \end{cases} \qquad z = \begin{cases} \frac{1}{2} x \ln x^{2}, & x \neq 0; \\ 0, & x = 0. \end{cases}

Задача 874

Функция задана равенствами:

f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \leq x < 1; \\ 3-x, & 1 \leq x \leq 2. \end{cases}

Будет ли $f(x)$ непрерывна во всём сегменте $0 \leq x \leq 2$ ?

Задача 875

При каком $a$ функция $y$ , заданная равенствами

y = \begin{cases} x \ln (x^{2}), & x \neq 0; \\ a, & x = 0, \end{cases}

непрерывна в промежутке $(-\infty , \infty )$ ?

Задача 876

Обозначая через $\left[a\right]$ целую часть $a$ , определить, при каких значениях $x$ имеет разрыв функция $y$ , определенная равенством

y = \sqrt{x}-\left[\sqrt{x}\right].

Задача 877

При каком значении $x$ функция $e^{1/x}$ имеет разрыв и каков этот разрыв?

Задача 878

Какой разрыв и при каком $x$ имеет функция

y = \frac{1}{1+2^{1/(x-1)}}.

Задача 879

При каких значениях $x$ имеют разрыв функции

u = \frac{x}{x^{2}-4}, \quad v = \frac{x^{2}+3}{x^{2}-3}, \quad w = \frac{1}{x-x^{3}}?

Задача 880

При каких значениях $x$ имеет разрыв функция $\frac{\operatorname {tg} 3x}{\operatorname {tg} 2x}$ ?

Задача 881

При каких значениях $x$ имеет разрыв функция $\frac{x}{\sin x}$ ?

Задача 882

При каких значениях $x$ имеет разрыв функция $\ln \ln (1+x^{2})$ ?

Задача 883

При каких значениях $x$ имеет разрыв функция $\frac{\cos \frac{\pi x}{2}}{x^{2}(x-1)}$ ?

Задача 884

Имеет ли разрыв функция, определенная равенствами

y = \begin{cases} e^{-1/x^{2}}, & x \neq 0; \\ 0, & x = 0? \end{cases}

Задача 885

Построить по точкам график целой функции 2-й степени (параболы) $y = \frac{x^{2}}{4}$ .

Задача 886

Построить по точкам график целой функции 2-й степени (параболы) $y = -\frac{x^{2}}{2}$ .

Задача 887

Построить по точкам график целой функции 2-й степени (параболы) $y = \frac{x^{2}-3x}{4}$ .

Задача 888

Построить по точкам график целой функции 2-й степени (параболы) $y = \frac{4x-x^{2}}{3}$ .

Задача 889

Построить по точкам графики функций $y = ax^{2}$ при $a = 4, 2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ .

Задача 890

Построить по точкам графики функций $y = ax^{2}+x-1$ при $a = 1, \frac{1}{4}, \frac{1}{20}$ , и прямую $x = y+1$ .

Задача 891

Воспользовавшись тождеством

ax^{2}+bx+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+\frac{4ac-b^{2}}{4a} \quad (a \neq 0),

построить график функции $y = ax^{2}+bx+c$ .

Задача 892

Построить график целой рациональной функции степени выше второй (параболы высших порядков) $y = \frac{x^{3}}{10}$ .

Задача 893

Построить график целой рациональной функции степени выше второй (параболы высших порядков) $y = \frac{x^{3}-9x}{10}$ .

Задача 894

Построить график целой рациональной функции степени выше второй (параболы высших порядков) $y = \frac{x^{4}}{10}$ .

Задача 895

Построить график целой рациональной функции степени выше второй (параболы высших порядков) $y = \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{24}$ .

Задача 896

Построить график целой рациональной функции степени выше второй (параболы высших порядков) $y = \frac{x^{4}+15x}{30}$ .

Задача 897

Построить график целой рациональной функции степени выше второй (параболы высших порядков) $y = \frac{4x-5x^{3}+x^{5}}{10}$ .

Задача 898

Построить график целой рациональной функции степени выше второй (параболы высших порядков) $y = \frac{x^{6}}{100}$ .

Задача 899

Построить график целой рациональной функции степени выше второй (параболы высших порядков) $y = \frac{x^{7}}{100}$ .

Задача 900

Построить гиперболу, являющуюся графиком дробной функции $y = \frac{1}{x}$ .

Задача 901

Построить гиперболу, являющуюся графиком дробной функции $y = \frac{x}{x-1}$ .

Задача 902

Построить гиперболу, являющуюся графиком дробной функции $y = \frac{x^{2}+1}{x}$ .

Задача 903

Построить гиперболу, являющуюся графиком дробной функции $y = 2x-1+\frac{1}{x+1}$ .

Задача 904

Построить график дробной функции, имеющей асимптоту, параллельную оси $Ox$ : $y = \frac{1}{1+x^{2}}$ (локон Марии Аньези).

Задача 905

Построить график дробной функции, имеющей асимптоту, параллельную оси $Ox$ : $y = \frac{x}{1+x^{2}}$ (серпентин Ньютона).

Задача 906

Построить график дробной функции, имеющей асимптоту, параллельную оси $Ox$ : $y = \frac{x^{2}-2x+1}{x^{2}+1}$ .

Задача 907

Построить график дробной функции, имеющей асимптоты, параллельные осям: $y = \frac{1}{x^{2}}$ .

Задача 908

Построить график дробной функции, имеющей асимптоты, параллельные осям: $y = \frac{1}{1-x^{2}}$ .

Задача 909

Построить график дробной функции, имеющей асимптоты, параллельные осям: $y = \frac{x}{3-x^{2}}$ .

Задача 910

Построить график дробной функции, имеющей асимптоты, параллельные осям: $y = \frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}$ .

Задача 911

Построить график дробной функции, имеющей асимптоты, параллельные осям: $y = \frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}$ .

Задача 912

Построить график дробной функции, имеющей асимптоты, параллельные осям: $y = \frac{2}{(3-x^{2})(5-x^{2})}$ .

Задача 913

Построить график дробной функции, имеющей вертикальную и наклонную асимптоты: $y = x+\frac{1}{x^{2}}$ .

Задача 914

Построить график дробной функции, имеющей вертикальную и наклонную асимптоты: $y = x+\frac{2x}{x^{2}-1}$ .

Задача 915

Построить график иррациональной функции $y = \pm \sqrt{x-2}$ (парабола).

Задача 916

Построить график иррациональной функции $y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{25-x^{2}}$ (эллипс).

Задача 917

Построить график иррациональной функции $y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{x^{2}-1}$ (гипербола).

Задача 918

Построить график иррациональной функции $y = \pm \frac{x\sqrt{x}}{2}$ (парабола Нейля).

Задача 919

Построить график иррациональной функции $y = \pm x \sqrt{\frac{x}{4-x}}$ (циссоида Диоклеса).

Задача 920

Построить график иррациональной функции $y = \pm \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$ .

Задача 921

Построить график иррациональной функции $y = x^{2/3}$ .

Задача 922

Построить график иррациональной функции $y = \pm x^{3/4}$ .

Задача 923

Построить график трансцендентной функции $y = a^{x}$ при $a > 1$ и при $a < 1$ .

Задача 924

Построить график трансцендентной функции $y = e^{-x^{2}}$ .

Задача 925

Построить график трансцендентной функции $y = e^{1/x}$ .

Задача 926

Построить график трансцендентной функции $y = e^{-1/x^{2}}$ .

Задача 927

Построить график трансцендентной функции $y = \ln x$ .

Задача 928

Построить график трансцендентной функции $y = A \sin x$ при $A = \frac{1}{2}, 1$ и $2$ .

Задача 929

Построить график трансцендентной функции $y = \sin \frac{x}{a}$ при $a = \frac{1}{2}, 1$ и $2$ .

Задача 930

Построить график трансцендентной функции $y = \cos x$ .

Задача 931

Построить график трансцендентной функции $y = \sin (x+a)$ .

Задача 932

Построить график трансцендентной функции $y = \frac{\sin x}{x}$ .

Задача 933

Построить график трансцендентной функции $y = e^{-ax} \sin bx$ .

Задача 934

Построить график трансцендентной функции $y = \sin x^{2}$ .

Задача 935

Построить график трансцендентной функции $y = \operatorname {tg} x$ .

Задача 936

Построить график трансцендентной функции $y = \frac{1}{\cos x}$ .

Задача 937

Построить график трансцендентной функции $y = x \sin \frac{1}{x}$ .

Задача 938

Построить график функции $y = \arcsin x$ .

Задача 939

Построить график функции $y = \arccos x$ .

Задача 940

Построить график функции $y = \operatorname {arctg} x$ .

Задача 941

Построить график функции $y = \operatorname {arcctg} x$ .

Задача 942

Построить график функции $y = \operatorname {arctg} \frac{1}{x}$ .

Задача 943

Построить график функции $y = \operatorname {arcctg} \frac{1}{x}$ .

Задача 944

Построить график функции $y = \arcsin (\sin x)$ .

Задача 945

Построить график функции $y = \arccos (\cos x)$ .

Задача 946

Построить график функции $y = \operatorname {arctg}(\operatorname {tg} x)$ .

Задача 947

Доказать равенство

\operatorname {arctg} x+\operatorname {arctg} \frac{1}{x} = \begin{cases} \frac{\pi }{2}, & \text{при } x > 0; \\ -\frac{\pi }{2}, & \text{при } x < 0. \end{cases}

Задача 948

Доказать равенство $\operatorname {arctg} x+\operatorname {arctg} y = \operatorname {arctg} \frac{x+y}{1-xy}+\varepsilon \pi$ , где

\begin{cases} \varepsilon = 0, & \text{если } xy < 1; \\ \varepsilon = -1, & \text{если } xy > 1 \text{ и } x < 0; \\ \varepsilon = 1, & \text{если } xy > 1 \text{ и } x > 0. \end{cases}

Задача 949

Доказать равенство $\arcsin x+\arcsin y = \eta \arcsin \left(x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\right)+\varepsilon \pi$ , где

\begin{cases} \eta = 1, \varepsilon = 0, & \text{если } xy < 0 \text{ или } x^{2}+y^{2} \leq 1; \\ \eta = -1, \varepsilon = -1, & \text{если } x^{2}+y^{2} > 1 \text{ и } x < 0, y < 0; \\ \eta = -1, \varepsilon = 1, & \text{если } x^{2}+y^{2} > 1 \text{ и } x > 0, y > 0. \end{cases}

Задача 950

Доказать равенство

\operatorname {arctg} x+\operatorname {arctg} \frac{1-x}{1+x} = \begin{cases} \frac{\pi }{4}, & \text{если } -1 < x < \infty ; \\ -\frac{3\pi }{4}, & \text{если } -\infty < x < -1. \end{cases}

Задача 951

Доказать равенство $\arccos x+\arccos \left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{3-3x^{2}}\right) = \frac{\pi }{3}$ при $\frac{1}{2} \leq x \leq 1$ .

Задача 952

Доказать равенство $\arcsin \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{2}} = \frac{3\pi }{4}-x$ , если $\frac{\pi }{4} < x < \frac{5\pi }{4}$ .

Задача 953

Доказать равенство $\frac{\pi }{4} = 4 \operatorname {arctg} \frac{1}{5}-\operatorname {arctg} \frac{1}{239}$ .

Задача 954

Доказать равенство $2 \operatorname {arctg} x+\arcsin \frac{2x}{1+x^{2}} = \pi$ при $x > 1$ .

Задача 955

Доказать равенство $\frac{2x-1}{2}-\frac{1}{\pi } \operatorname {arctg}\left(\operatorname {tg} \frac{2x-1}{2} \pi \right) = \left[x\right]$ , т.е. целой части от $x$ , если $x$ — не целое.

Задача 956

Доказать, что сумма

\arcsin x+3 \arccos x+\arcsin \left(2x\sqrt{1-x^{2}}\right)

при $x^{2} < \frac{1}{2}$ не зависит от $x$ .

Задача 957

Решить уравнение $x^{3}-7x+5 = 0$ построением графика функции $y = \frac{x^{3}-7x+5}{6}$ .

Задача 958

Решить уравнение $x^{3}+3x+2 = 0$ , построив график функции $y = \frac{x^{3}+3x+2}{10}$ .

Задача 959

Решить уравнение $x^{4}-7x-5 = 0$ , построив графики двух функций: $y = \frac{x^{4}}{10}$ и $y = \frac{7x+5}{10}$ .

Задача 960

Решить графически уравнение $x^{4}-4x^{3}+7x^{2}-3x+2 = 0$ , построив графики двух функций: $y = \frac{x^{2}-4x+7}{5}$ и $y = \frac{3x-2}{5x^{2}}$ .

Задача 961

Решить уравнение $2^{x} = 4x$ , построив графики функций $y = \frac{2^{x}}{4}$ и $y = x$ .

Задача 962

Решить графически систему двух уравнений:

\begin{cases} x^{2}+y = 10, \\ x+y^{2} = 4. \end{cases}

Задача 963

Решить уравнение $x = \operatorname {tg} x$ графическим путём.

Задача 964

То же для уравнения $e^{x} = \sin x$ .

Задача 965

Найти первые два положительных корня уравнения $x \cos x = 1$ , построив графики функций $y = \cos x$ и $y = \frac{1}{x}$ .

Задача 966

Последовательность чисел составляется по такому закону:

x_{1} = \frac{1}{2} e^{-x_{0}}, \qquad x_{2} = \frac{1}{2} e^{-x_{1}}, \qquad x_{3} = \frac{1}{2} e^{-x_{2}}, \qquad \ldots ,

где $x_{0}$ — произвольное вещественное число. Доказать, что при $n \to \infty$ , $x_{n} \to \xi$ , где $\xi$ — единственный корень уравнения $2\xi = e^{-\xi }$ .

Задача 967

Числа последовательности составляются по следующему закону:

x_{n+1} = \frac{\alpha x_{n}+\beta }{\gamma x_{n}+\delta },

где $\alpha , \beta , \gamma , \delta$ — данные вещественные числа, такие, что $\alpha \delta -\beta \gamma = 1$ , $\gamma \neq 0$ ; $(\alpha +\delta )^{2} \geq 4$ . Число $x_{0}$ выбирается так, что $\gamma x_{0}+\delta \neq 0$ . Найти $\lim_{n \to \infty } x_{n}$ .

3.4 · Нахождение производных[117/97%]

Задача 968

Найти производную от функции $y = 2x^{3}-5x^{2}+7x-12$ .

Задача 969

Найти производную от функции $y = x^{4}-3x^{2}+17$ .

Задача 970

Найти производную от функции $y = x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{4}$ .

Задача 971

Найти производную от функции $y = x^{3}(x^{2}-1)^{2}$ .

Задача 972

Найти производную от функции $y = \frac{x-1}{x+1}$ .

Задача 973

Найти производную от функции $y = \frac{x}{1-x^{2}}$ .

Задача 974

Найти производную от функции $y = \frac{3x-1}{x^{5}}$ .

Задача 975

Найти производную от функции $y = \frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}$ .

Задача 976

Найти производную от функции $y = \sqrt{x}$ .

Задача 977

Найти производную от функции $y = \sqrt[3]{x}$ .

Задача 978

Найти производную от функции $y = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}$ .

Задача 979

Найти производную от функции $y = e^{x}(x^{2}-2x+2)$ .

Задача 980

Найти производную от функции $y = x \sin x$ .

Задача 981

Найти производную от функции $y = x^{2} \sin x+2x \cos x-2 \sin x$ .

Задача 982

Найти производную от функции $y = x \ln x-x$ .

Задача 983

Найти производную от функции $y = \frac{x^{3}}{3} \ln x-\frac{1}{9}x^{3}$ .

Задача 984

Найти производную от функции $y = \sqrt{x}+\ln x-\frac{1}{\sqrt{x}}$ .

Задача 985

Найти производную от функции $y = \frac{1}{\sin x}$ .

Задача 986

Найти производную от функции $y = \frac{1}{\cos x}$ .

Задача 987

Найти производную от функции $y = \frac{1}{\ln x}$ .

Задача 988

Найти производную от функции $y = \frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}$ .

Задача 989

Найти производную от функции $y = e^{x}(\sin x-\cos x)$ .

Задача 990

Найти производную от функции $y = (ax+b)^{n}$ .

Задача 991

Найти производную от функции $y = \sin^{3} x$ .

Задача 992

Найти производную от функции $y = (x^{2}-1)^{5}$ .

Задача 993

Найти производную от функции $y = \cos^{5} x$ .

Задача 994

Найти производную от функции $y = \sqrt{3x-5}$ .

Задача 995

Найти производную от функции $y = \sin 5x$ .

Задача 996

Найти производную от функции $y = \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ .

Задача 997

Найти производную от функции $y = e^{-x}$ .

Задача 998

Найти производную от функции $y = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ .

Задача 999

Найти производную от функции $y = \ln \sin x$ .

Задача 1000

Найти производную от функции $y = \frac{1}{(1+x^{2})\sqrt{1+x^{2}}}$ .

Задача 1001

Найти производную от функции $y = \ln \operatorname {tg} x$ .

Задача 1002

Найти производную от функции $y = x\sqrt{x^{2}+1}$ .

Задача 1003

Найти производную от функции $y = e^{-x^{2}}$ .

Задача 1004

Найти производную от функции $y = \sqrt{x+\sqrt{x}}$ .

Задача 1005

Найти производную от функции $y = \ln (x^{3}+x^{2})$ .

Задача 1006

Найти производную от функции $y = \sqrt[3]{(2x+1)^{2}}$ .

Задача 1007

Найти производную от функции $y = \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)$ .

Задача 1008

Найти производную от функции $y = \cos ax \cdot \sin bx$ .

Задача 1009

Найти производную от функции $y = \ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ .

Задача 1010

Найти производную от функции $y = e^{ax} \cdot \cos bx$ .

Задача 1011

Найти производную от функции $y = \ln \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}$ .

Задача 1012

Найти производную от функции $y = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$ .

Задача 1013

Найти производную от функции $y = \ln \operatorname {tg}\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)$ .

Задача 1014

Найти производную от функции $y = \frac{x^{4}}{4}\left((\ln x)^{2}-\frac{1}{2}\ln x+\frac{1}{8}\right)$ .

Задача 1015

Найти производную от функции $y = \ln \frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}$ .

Задача 1016

Найти производную от функции $y = \ln \frac{x^{2}+1+\sqrt{x^{4}+3x^{2}+1}}{x}$ .

Задача 1017

Найти производную от функции $y = \operatorname {ctg} \pi x+\frac{\cos \pi x}{2 \sin^{3} \pi x}$ .

Задача 1018

Найти производную от функции $y = e^{\sqrt[3]{x}}\left(\sqrt[3]{x^{2}}-2\sqrt[3]{x}+2\right)$ .

Задача 1019

Найти производную от функции $y = (x+2a)\sqrt{x^{2}-a^{2}}+a^{2} \ln \left(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right)$ .

Задача 1020

Найти производную от функции $y = \frac{\sin (2\ln x)-\cos (2\ln x)}{x^{2}}$ .

Задача 1021

Найти производную от функции $y = \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left(\sqrt{2} \cdot \operatorname {tg} x+\sqrt{1+2\operatorname {tg}^{2} x}\right)$ .

Задача 1022

Найти производную от функции $y = \ln \frac{1+\sqrt{x^{2}+1}}{x}-\sqrt{x^{2}+1}$ .

Задача 1023

Найти производную от функции $y = \ln \frac{3-x^{2}}{2-x^{2}}$ .

Задача 1024

Найти производную от функции $y = \frac{1}{2a}\left(\ln \frac{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}{a+x}-\frac{a}{a+x}\right)$ .

Задача 1025

Найти производную от функции $y = \ln \frac{1}{\sqrt{1-x^{4}}}$ .

Задача 1026

Найти производную от функции $y = \operatorname {tg} x+\operatorname {tg}^{3} x+\frac{3}{5}\operatorname {tg}^{5} x+\frac{1}{7}\operatorname {tg}^{7} x$ .

Задача 1027

Найти производную от функции $y = -\frac{\cos x}{2\sin^{2} x}+\frac{1}{2}\ln \operatorname {tg} \frac{x}{2}$ .

Задача 1028

Найти производную от функции $y = \frac{1}{2}\operatorname {tg}^{2} x+\ln \cos x$ .

Задача 1029

Найти производную от функции $y = \frac{\sin x}{2\cos^{2} x}-\frac{1}{2}\ln \operatorname {tg}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)$ .

Задача 1030

Найти производную от функции $y = \operatorname {tg} x \cdot \ln \cos x+\operatorname {tg} x-x$ .

Задача 1031

Найти производную от функции $y = \ln \frac{\sqrt{a+be^{x}}-\sqrt{a}}{\sqrt{a+be^{x}}+\sqrt{a}}$ .

Задача 1032

Найти производную от функции $y = \ln \frac{e^{x}+2+\sqrt{e^{2x}+4e^{x}+1}}{e^{x}+2-\sqrt{e^{2x}+4e^{x}+1}}$ .

Задача 1033

Найти производную от функции $y = (x-2)\sqrt{1+e^{x}}-\ln \frac{\sqrt{1+e^{x}}-1}{\sqrt{1+e^{x}}+1}$ .

Задача 1034

Найти производную от функции $y = \ln \operatorname {tg} \frac{x}{2}-\operatorname {ctg} x \cdot \ln (1+\sin x)-x$ .

Задача 1035

Найти производную от функции $y = \ln \frac{a+b\cos nx+\sqrt{b^{2}-a^{2}}\sin nx}{a+b\cos nx}$ .

Задача 1036

Найти производную от функции $y = (1-\sqrt{1-x})\ln x+2\sqrt{1-x}-2\ln (1+\sqrt{1-x})$ .

Задача 1037

Найти производную от функции $y = \frac{x^{2}\ln x}{a+bx^{2}}-\frac{1}{b}\ln \sqrt{a+bx^{2}}$ .

Задача 1038

Найти производную от функции $y = \sqrt{x}\ln \left(\sqrt{x}+\sqrt{x+a}\right)-\sqrt{x+a}$ .

Задача 1039

Найти производную от функции $y = \frac{1}{a}\operatorname {arctg} \frac{x}{a}$ .

Задача 1040

Найти производную от функции $y = \arcsin \frac{x}{a}$ .

Задача 1041

Найти производную от функции $y = \arcsin \frac{1}{x}$ .

Задача 1042

Найти производную от функции $y = (\arcsin x)^{2}$ .

Задача 1043

Найти производную от функции $y = \arcsin \sin x$ .

Задача 1044

Найти производную от функции $y = \arccos \frac{1}{x}$ .

Задача 1045

Найти производную от функции $y = \sqrt{x^{2}-a^{2}}+a \arcsin \frac{a}{x}$ .

Задача 1046

Найти производную от функции $y = \arccos \frac{2-x}{x\sqrt{2}}$ .

Задача 1047

Найти производную от функции $y = \arcsin \sqrt{1-x^{2}}$ .

Задача 1048

Найти производную от функции $y = \operatorname {arctg} \frac{x+1}{x-1}$ ; $x \neq 1$ .

Задача 1049

Найти производную от функции $y = \frac{2}{\sqrt{3}} \operatorname {arctg} \frac{2x+1}{\sqrt{3}}$ .

Задача 1050

Найти производную от функции $y = \arccos (3x-4x^{3})$ .

Задача 1051

Найти производную от функции $y = \arcsin \frac{2x}{1+x^{2}}$ .

Задача 1052

Найти производную от функции $y = \arcsin \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$ .

Задача 1053

Найти производную от функции $y = \frac{1}{\sqrt{3}} \operatorname {arctg} \frac{x\sqrt{3}}{1-x^{2}}$ .

Задача 1054

Найти производную от функции $y = \frac{1}{\sqrt{ab}} \operatorname {arctg}\left(\sqrt{\frac{b}{a}} \operatorname {tg} x\right)$ .

Задача 1055

Найти производную от функции $y = \frac{2}{3} \operatorname {arctg} x+\frac{1}{3} \operatorname {arctg} \frac{x}{1-x^{2}}$ .

Задача 1056

Найти производную от функции $y = \frac{1}{4\sqrt{2}} \ln \frac{x^{2}+x\sqrt{2}+1}{x^{2}-x\sqrt{2}+1}+\frac{1}{2\sqrt{2}} \operatorname {arctg} \frac{x\sqrt{2}}{1-x^{2}}$ .

Задача 1057

Найти производную от функции $y = \frac{2}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}} \operatorname {arctg}\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}} \operatorname {tg} \frac{x}{2}\right)$ ; $a > b \geq 0$ .

Задача 1058

Найти производную от функции $y = \frac{2}{3} \operatorname {arctg}\left(\frac{5}{3} \operatorname {tg} \frac{x}{2}+\frac{4}{3}\right)$ .

Задача 1059

Найти производную от функции $y = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \arcsin x+\ln \sqrt{1-x^{2}}$ .

Задача 1060

Найти производную от функции $y = \sqrt{ax-x^{2}}-a \operatorname {arctg} \sqrt{\frac{a-x}{x}}$ .

Задача 1061

Найти производную от функции $y = \ln \frac{\sqrt{x^{2}-x+1}}{x}-\frac{\ln (x^{2}-x+1)}{x}+\sqrt{3} \operatorname {arctg} \frac{2x-1}{\sqrt{3}}$ .

Задача 1062

Найти производную от функции $y = \sqrt{x}-\sqrt{1-x} \cdot \arcsin \sqrt{x}$ .

Задача 1063

Найти производную от функции $y = \frac{3x+2}{4x^{2}}\sqrt{x-1}+\frac{3}{4} \operatorname {arctg} \sqrt{x-1}$ .

Задача 1064

Найти производную от функции $y = \ln \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}-\frac{1}{x^{3}} \operatorname {arctg} x-\frac{1}{2x^{2}}$ .

Задача 1065

Найти производную от функции $y = \sqrt{(a-x)(x-b)}-(a-b) \operatorname {arctg} \sqrt{\frac{a-x}{x-b}}$ .

Задача 1066

Найти производную от функции $y = \arcsin (\sin x-\cos x)+\ln \left(\sin x+\cos x+\sqrt{\sin 2x}\right)$ .

Задача 1067

Найти производную от функции $y = 2\operatorname {arctg} \frac{\sqrt{2\operatorname {tg} x}}{1-\operatorname {tg} x}+\ln \frac{1+\sqrt{2\operatorname {tg} x}+\operatorname {tg} x}{1-\sqrt{2\operatorname {tg} x}+\operatorname {tg} x}$ .

Задача 1068

Найти производную от функции $y = \ln \left(\operatorname {tg} x+\sqrt{2+\operatorname {tg}^{2} x}\right)+\operatorname {arctg} \frac{\operatorname {tg} x}{\sqrt{2+\operatorname {tg}^{2} x}}$ .

Задача 1069

Найти производную от функции $y = x \operatorname {arctg}(1+\sqrt{x})+\ln (x+2\sqrt{x}+x)-\sqrt{x}$ .

Задача 1070

Найти производную от функции $y = x \arcsin \sqrt{\frac{x}{x+1}}+\operatorname {arctg} \sqrt{x}-\sqrt{x}$ .

Задача 1071

Найти производную от функции $y = \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\ln \sqrt{\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-\sqrt{1-x}}}$ .

Задача 1072

Найти производную от функции $y = (x^{2}+1)(\operatorname {arctg} x)^{2}-2x \cdot \operatorname {arctg} x+\ln (1+x^{2})$ .

Задача 1073

Найти производную от функции $y = \ln \frac{\sqrt[4]{1+x^{4}}+x}{\sqrt[4]{1+x^{4}}-x}-2\operatorname {arctg} \frac{\sqrt[4]{1+x^{4}}}{x}$ .

Задача 1074

Найти производную от функции $y = x^{x}$ .

Задача 1075

Найти производную от функции $y = x^{\sin x}$ .

Задача 1076

Найти производную от функции $y = \left|x\right|$ .

Задача 1077

Найти производную от функции $y = x^{2} \sin \frac{1}{x}$ .

Задача 1078

Из равенства $1+x+x^{2}+\ldots +x^{n} = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}$ найти формулу для суммы $1+2x+3x^{2}+\ldots +nx^{n-1}$ .

Задача 1079

Из равенства

\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2x+\ldots +\cos nx = \frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right)x}{2\sin \frac{x}{2}}

найти формулу для $\sin x+2\sin 2x+\ldots +n\sin nx$ .

Задача 1080

Из равенства

\cos x+\cos 3x+\ldots +\cos (2n-1)x = \frac{\sin 2nx}{2\sin x}

получить формулу для суммы

\sin x+3\sin 3x+\ldots +(2n-1)\sin (2n-1)x.

Задача 1081

Из формулы

2^{m-1} \sin x \cdot \sin \left(x+\frac{\pi }{m}\right) \cdot \sin \left(x+\frac{2\pi }{m}\right) \cdots \sin \left(x+\frac{(m-1)\pi }{m}\right) = \sin mx

вывести формулу

\operatorname {ctg} x+\operatorname {ctg}\left(x+\frac{\pi }{m}\right)+\operatorname {ctg}\left(x+\frac{2\pi }{m}\right)+\ldots +\operatorname {ctg}\left(x+\frac{m-1}{m}\pi \right) = m \operatorname {ctg} mx.

Получить отсюда, что

\frac{1}{\sin ^{2} x}+\frac{1}{\sin ^{2}\left(x+\frac{\pi }{m}\right)}+\ldots +\frac{1}{\sin ^{2}\left(x+\frac{m-1}{m}\pi \right)} = \frac{m^{2}}{\sin ^{2} mx}.

Задача 1082

Вывести непосредственно из определения производной функции: $\arcsin x$ ; $\operatorname {arctg} x$ (см. задачи 948 и 949).

Задача 1083

Проверить, что если $xy = 1$ , то

\frac{dx}{\sqrt{1+x^{4}}}+\frac{dy}{\sqrt{1+y^{4}}} = 0.

Задача 1084

Если $x\sqrt{1-y^{4}} = y\sqrt{2}$ , то

\frac{dy}{\sqrt{1-y^{4}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{dx}{\sqrt{1+x^{4}}}.

Доказать.

3.5 · Геометрическое значение производной[29/66%]

Задача 1085

У параболы $y = \frac{4x-x^{2}}{4}$ проведены касательные в точках $(0,0)$ , $(2,1)$ , $(4,0)$ . Найти их углы наклона к оси $Ox$ .

Примечание.

Если $y = f(x)$ — уравнение кривой, а функция $f(x)$ имеет производную $y' = f'(x)$ , то кривая имеет касательную в точке с абсциссой $x$ . Если $\alpha$ — угол наклона касательной, т.е. угол от положительного направления оси $Ox$ до касательной, то $\operatorname {tg} \alpha = f'(x)$ . В силу этого уравнение касательной к кривой имеет вид

Y-y = y'(X-x),

а уравнение нормали таково:

Y-y = -\frac{1}{y'}(X-x).

Здесь $(x,y)$ — точка касания, а $(X,Y)$ — точка на касательной или нормали.

Задача 1086

Найти угол наклона касательной к гиперболе $xy = a^{2}$ в точке $(a,a)$ .

Задача 1087

Под каким углом кривая $y = \ln x$ пересекает ось $Ox$ ?

Задача 1088

Тот же вопрос для синусоиды $y = \sin x$ .

Задача 1089

При каком значении $A$ синусоида $y = A \sin \frac{x}{a}$ пересекает $Oy$ под углом $45°$ ?

Задача 1090

При каком $a$ кривая $y = a^{x}$ пересекает ось $Oy$ под углом $\frac{\pi }{4}$ ?

Задача 1091

Под каким углом пересекаются с осью $Oy$ кривые

y = \sin x \sqrt{3}, \quad y = \frac{x}{1+x^{2}}, \quad y = \frac{x}{\sqrt{3+x^{2}}}.

Задача 1092

При каком значении $a$ кривая $y = \frac{ax-x^{3}}{4}$ пересекает ось $Ox$ под углом $45°$ ?

Задача 1093

Доказать, что у параболы $y = ax^{2}$ подкасательная равна половине абсциссы.

Примечание.

Если $M(x,y)$ — точка касания кривой $y=f(x)$ , $P$ — её проекция на ось $Ox$ , а касательная и нормаль к кривой в точке $M$ пересекают $Ox$ соответственно в точках $T$ и $N$ , то получающиеся отрезки имеют названия: $TP$ — подкасательная, $PN$ — поднормаль, $TM$ — касательная, $MN$ — нормаль. Они выражаются через $y$ и $y'$ , взятые в точке касания, по формулам:

TP = \frac{y}{y'}, \quad PN = yy', \quad TM = \frac{y}{y'}\sqrt{1+y'^{2}}, \quad MN = y\sqrt{1+y'^{2}}.

Задача 1094

Доказать, что у параболы $y^{2} = 2px$ поднормаль постоянна, независимо от выбора точки касания.

Задача 1095

Доказать, что у кривой $y = a^{x}$ подкасательная имеет постоянную длину.

Задача 1096

Доказать, что у параболы $y^{2} = 2px$ подкасательная равна удвоенной абсциссе точки касания.

Задача 1097

Доказать, что у цепной линии $y = a \operatorname {ch} \frac{x}{a}$ ордината есть среднее геометрическое между нормалью и величиной $a$ .

Задача 1098

Доказать, что у кривых $y = ax^{n}$ отношение подкасательной к абсциссе точки касания есть величина постоянная.

Задача 1099

Найти уравнение касательной к параболе $y = 3x-x^{2}$ в точке $(1,2)$ .

Задача 1100

Найти касательную к параболе

y = \frac{x^{2}-3x+3}{3},

параллельную прямой $y = x$ .

Задача 1101

Доказать, что касательная к гиперболе $xy = a^{2}$ образует с осями координат треугольник постоянной площади.

Задача 1102

Доказать, что у астроиды

x^{2/3}+y^{2/3} = a^{2/3}

длина отрезка касательной между осями есть величина постоянная.

Задача 1103

При каком соотношении между коэффициентами парабола $y = ax^{2}+bx+c$ касается оси $Ox$ ?

Задача 1104

Тот же вопрос для параболы 3-го порядка $y = x^{3}+px+q$ .

Задача 1105

При каком значении $a$ кривая $y = a^{x}$ касается прямой $y = x$ ? Найти точку касания.

Задача 1106

Последовательность чисел составляется по такому закону:

x_{1} = a, \quad x_{2} = a^{a}, \quad x_{3} = a^{a^{a}}, \ldots

и вообще $x_{n} = a^{x_{n-1}}$ . Доказать, рассматривая линии $y = a^{x}$ и $y = x$ , что при $e^{-e} < a < e^{1/e}$ величина $x_{n}$ стремится к определённому пределу, когда $n \to \infty$ .

Задача 1107

Эллипс задан уравнениями

\begin{cases} x = a\cos t, \\ y = b\sin t. \end{cases}

Найти угол касательной к нему с осью $Ox$ .

Задача 1108

Астроида задана уравнениями

\begin{cases} x = a\cos ^{3} t, \\ y = a\sin ^{3} t. \end{cases}

Найти угол касательной к ней с осью $Ox$ в точке, где $t = \frac{3\pi }{4}$ .

Задача 1109

Циклоида задана уравнениями

\begin{cases} x = a(t-\sin t), \\ y = a(1-\cos t). \end{cases}

Найти угол наклона касательной к ней.

Задача 1110

Циклоида образована качением круга по прямой. Доказать, что нормаль к циклоиде проходит через точку касания круга и прямой.

Задача 1111

Найти касательную к кривой

\begin{cases} x = t^{2}-3t+4, \\ y = t^{2}-4t+4 \end{cases}

в точке $(2,1)$ .

Задача 1112

На кривой

\begin{cases} x = 2t^{3}-9t^{2}+12t-1, \\ y = t^{2}+t+1 \end{cases}

найти точки, касательные в которых параллельны оси $Oy$ .

Задача 1113

Найти наклон касательной к кривой

\begin{cases} x = t^{4}-2t^{3}-t^{2}+4t-2, \\ y = t^{4}+2t^{3}-t^{2}-4t-2, \end{cases}

если $(0,0)$ — точка касания.

3.6 · Производные высших порядков[85/62%]

Задача 1114

Показать, что кривая $y = \ln x$ выпукла вверх.

Примечание.

Производная от первой производной, т.е. $(y')'$ или $(f'(x))'$ , называется второй производной и обозначается через $y''$ или $f''(x)$ . Производная от второй производной называется третьей производной и т.д. Во избежание смешения с показателем степени показатели производной обозначают числом, поставленным в скобки. Иногда применяют также римские цифры. Если в данной точке кривой $y = f(x)$ величина $y'' > 0$ , то кривая обращена выпуклостью вниз, т.е. в сторону отрицательного направления оси $Oy$ . Если же $y'' < 0$ , то кривая в окрестности данной точки обращена выпуклостью вверх. Если при переходе через данное значение $x$ величина $y''$ меняет знак, то точка на кривой при этом $x$ есть точка перегиба.

Задача 1115

Показать, что кривая $y = a^{x}$ выпукла вниз.

Задача 1116

Показать, что синусоида $y = \sin x$ выпукла вверх, если $y > 0$ , и вниз, если $y < 0$ .

Задача 1117

Показать, что тангенсоида $y = \operatorname {tg} x$ выпукла вниз там, где $y > 0$ , и вверх там, где $y < 0$ .

Задача 1118

Исследовать направление выпуклости кривой $y = ax^{3}+bx$ при $a > 0$ .

Задача 1119

Найти точки перегиба кривой $y = e^{-x^{2}}$ .

Задача 1120

Тот же вопрос для кривой $y = \frac{1}{1+x^{2}}$ .

Задача 1121

Найти $y^{(5)}$ для функции $y = x^{5}$ .

Примечание.

Производные высших порядков обыкновенно находятся последовательным дифференцированием. Иногда при этом обнаруживается закономерность, позволяющая написать производную высшего порядка, не находя предыдущих. К числу таких случаев относится формула Лейбница для производной порядка $n$ от произведения двух функций:

(uv)^{(n)} = uv^{(n)}+C_{n}^{1}u'v^{(n-1)}+C_{n}^{2}u''v^{(n-2)}+\ldots +u^{(n)}v.

Здесь $C_{n}^{1}, C_{n}^{2}, \ldots$ — биномиальные коэффициенты.

Задача 1122

Найти $y^{(7)}$ для функции $y = x^{6}$ .

Задача 1123

Найти $y^{(6)}$ для функции $y = (3x+5)^{2}(2x^{2}+3)(x+7)^{2}$ .

Задача 1124

Найти $y'''$ для функции $y = \sqrt[5]{x^{3}}$ .

Задача 1125

Найти $y'''$ для функции $y = x^{5} \ln x$ .

Задача 1126

Найти $y'''$ для функции $y = a^{3x}$ .

Задача 1127

Найти $y^{\mathrm{IV}}$ для функции $y = \frac{a}{x^{m}}$ .

Задача 1128

Найти $y'''$ для функции $y = \frac{x^{3}}{x-1}$ .

Задача 1129

Найти $y^{\mathrm{IV}}$ для функции $y = x^{2}e^{2x}$ .

Задача 1130

Найти $y^{\mathrm{IV}}$ для функции $y = x^{2}\cos 3x$ .

Задача 1131

Найти $y^{(50)}$ для функции $y = x^{2}e^{2x}$ .

Задача 1132

Найти $y^{(40)}$ для функции $y = x^{2}\sin x$ .

Задача 1133

Найти $y^{\mathrm{IV}}$ для функции $y = e^{x}\sin x$ .

Задача 1134

Найти $y'''$ для функции $y = \operatorname {arctg}\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ .

Задача 1135

Найти $y^{\mathrm{IV}}$ для функции $y = x\sqrt{x^{2}+1}+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ .

Задача 1136

Полагая $y = e^{x}\sin x$ , $z = e^{x}\cos x$ , доказать равенства $y'' = 2z$ , $z'' = -2y$ .

Задача 1137

Доказать, что функция $y = Ce^{-x}+C_{1}e^{-2x}$ удовлетворяет уравнению $y''+3y'+2y = 0$ .

Задача 1138

Полагая $y$ равным одной из функций: $\sin (m \arcsin x)$ , $\cos (m \arcsin x)$ , $\sin (m \arccos x)$ , $\cos (m \arccos x)$ , доказать, что $(1-x^{2})y''-xy'+m^{2}y = 0$ .

Задача 1139

Доказать, что функция $y = e^{-x}\cos x$ удовлетворяет уравнению $y^{\mathrm{IV}}+4y = 0$ .

Задача 1140

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \frac{1+x}{1-x}$ .

Задача 1141

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \frac{x}{a+bx}$ .

Задача 1142

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \frac{\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }$ .

Задача 1143

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \frac{1}{x(x+1)}$ .

Задача 1144

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \sqrt{x}$ .

Задача 1145

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \sin^{2} x$ .

Задача 1146

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = x^{3}e^{mx}$ .

Задача 1147

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = x^{2}\sin ax$ .

Задача 1148

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = x^{3}\ln x$ .

Задача 1149

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \ln (ax+b)$ .

Задача 1150

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \ln \frac{1+x}{1-x}$ .

Задача 1151

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \sin^{3} ax$ .

Задача 1152

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \frac{\ln (1+x)}{1+x}$ .

Задача 1153

Доказать равенство $\left(e^{ax}\sin (bx+c)\right)^{(n)} = e^{ax}(a^{2}+b^{2})^{n/2}\sin (bx+n\varphi +c)$ , где

\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \qquad \cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.

Задача 1154

Доказать равенство $\left(\frac{x^{4}+1}{x^{3}-x}\right)^{(n)} = (-1)^{n-1}n!\left(\frac{1}{x^{n+1}}-\frac{1}{(x-1)^{n+1}}-\frac{1}{(x+1)^{n+1}}\right)$ ; $n > 1$ .

Задача 1155

Доказать равенство $(\sin^{4} x+\cos^{4} x)^{(n)} = 4^{n-1}\cos \left(4x+\frac{n\pi }{2}\right)$ .

Задача 1156

Полагая $y = \cos (m \ln x)$ , доказать, что

x^{2}y^{(n+2)}+(2n+1)xy^{(n+1)}+(n^{2}+m^{2})y^{(n)} = 0.

Задача 1157

Полагая $y = \operatorname {arctg} x$ , доказать, что

y^{(n)} = (n-1)! \cos ^{n} y \cdot \sin n\left(y+\frac{\pi }{2}\right).

Задача 1158

Полагая $y = x^{m} \ln x$ , доказать, что

y^{(n)} = m(m-1) \ldots (m-n+1) x^{m-n} \times \left(\ln x+\frac{1}{m}+\frac{1}{m-1}+\ldots +\frac{1}{m-n+1}\right),

при $n \leq m$ . Если $n = m+1$ , то

(x^{m} \ln x)^{(m+1)} = \frac{m!}{x}.

Задача 1159

Доказать, что производная $y^{(n)}$ сложной функции $y = f(u)$ , где $u = x^{2}$ , выражается формулой

y^{(n)} = 2^{n}x^{n}f^{(n)}+2^{n-2}\frac{n(n-1)}{1}x^{n-2}f^{(n-1)}+2^{n-4}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1 \cdot 2}x^{n-4}f^{(n-2)}+\ldots .

Задача 1160

(а)(б)(в)

Производная порядка $n$ от $e^{-x^{2}}$ имеет вид $e^{-x^{2}}H_{n}(x)$ , где $H_{n}(x)$ — полином, называемый полиномом Чебышёва--Эрмита. Доказать справедливость равенств:

(а)

$H_{n+1}(x)+2xH_{n}(x)+2nH_{n-1}(x) = 0$ .

(б)

$H_{n}(x)-H_{n-1}'(x)+2xH_{n-1}(x) = 0$ .

(в)

$H_{n}''(x)-2xH_{n}'(x)+2nH_{n}(x) = 0$ .

Задача 1161

Доказать для полиномов Чебышёва--Эрмита формулу

H_{n} = (-1)^{n}\left((2x)^{n}-\frac{n(n-1)}{1}(2x)^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1 \cdot 2}(2x)^{n-4}-\ldots \right).

Задача 1162

Полиномы Лагерра $L_{n}(x)$ определяются формулой

(x^{n}e^{-x})^{(n)} = e^{-x}L_{n}(x).

Доказать равенства:

xL_{n}''(x)+(1-x)L_{n}'(x)+nL_{n}(x) = 0,

L_{n+1}(x)-(2n+1-x)L_{n}(x)+n^{2}L_{n-1}(x) = 0,

L_{n}(x) = (-1)^{n}\left(x^{n}-\frac{n^{2}}{1}x^{n-1}+\frac{n^{2}(n-1)^{2}}{1 \cdot 2}x^{n-2}-\ldots \right).

Задача 1163

Полиномы Лежандра определяются равенством

P_{n}(x) = \frac{1}{2^{n}n!}\left((x^{2}-1)^{n}\right)^{(n)}.

Доказать равенства:

(x^{2}-1)P_{n}''(x)+2xP_{n}'(x)-n(n+1)P_{n}(x) = 0,

(n+1)P_{n+1}(x)-(2n+1)xP_{n}(x)+nP_{n-1}(x) = 0.

Задача 1164

Полиномы Чебышёва $T_{n}(x)$ определяются равенством

T_{n}(x) = \frac{1}{2^{n-1}}\cos (n \arccos x) = \frac{1}{2^{n-1}}\left(\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)^{n}+\left(x-\sqrt{x^{2}-1}\right)^{n}\right)

(полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля). Доказать равенство

(x^{2}-1)\frac{d^{m+2}T_{n}(x)}{dx^{m+2}}+(2m+1)x\frac{d^{m+1}T_{n}(x)}{dx^{m+1}}+(m^{2}-n^{2})\frac{d^{m}T_{n}(x)}{dx^{m}} = 0.

Задача 1165

Производная порядка $n$ от $\arcsin x$ имеет вид

p_{n}(x)(1-x^{2})^{\frac{1-2n}{2}},

где $p_{n}(x)$ — полином. Доказать равенство

(1-x^{2})p_{n}''(x)+(2n-3)xp_{n}'(x)-(n-1)^{2}p_{n}(x) = 0.

Задача 1166

Для полиномов предыдущей задачи доказать равенства:

p_{2m+1}(x) = A\left(1+\sum _{\nu =1}^{m} \frac{m^{2}(m-1)^{2} \ldots (m-\nu +1)^{2}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (2\nu )}(2x)^{2\nu }\right),

p_{2m}(x) = Ax\left(1+\sum _{\nu =1}^{m-1} \frac{(m-1)^{2}(m-2)^{2} \ldots (m-\nu )^{2}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (2\nu +1)}(2x)^{2\nu }\right).

Здесь $A = \left(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2m-1)\right)^{2}$ .

Задача 1167

(а)(б)

Справедливо равенство

\frac{d^{n}e^{1/x}}{dx^{n}} = \frac{(-1)^{n}p_{n}(x)}{x^{2n}}e^{1/x},

где $p_{n}(x)$ — полином. Доказать равенства:

(а)

$x^{2}p_{n}''-\left((2n-2)x+1\right)p_{n}'+n(n-1)p_{n} = 0$ ,

(б)

$p_{n} = 1+\frac{n}{1}(n-1)x+\frac{n(n-1)}{1 \cdot 2}(n-1)(n-2)x^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3}(n-1)(n-2)(n-3)x^{3}+\ldots$ .

Задача 1168

Доказать равенство $\frac{d^{n}(x^{n-1}e^{1/x})}{dx^{n}} = \frac{(-1)^{n}}{x^{n+1}}e^{1/x}$ .

Задача 1169

(а)(б)(в)

В равенстве $\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)^{(n)} = \frac{p_{n}(x)}{(1+x^{2})^{n+1}}$ числитель $p_{n}(x)$ — полином степени $n$ . Доказать равенства:

(а)

$p_{n+1}+(2n+2)xp_{n}+n(n+1)(1+x^{2})p_{n-1} = 0$ ,

(б)

$\frac{dp_{n}}{dx}+n(n+1)p_{n-1} = 0$ ,

(в)

$(1+x^{2})p_{n}''-2nxp_{n}'+n(n+1)p_{n} = 0$ .

Задача 1170

Для предыдущих полиномов доказать формулы:

p_{2m} = (-1)^{m}(2m)!\left(\frac{(1+xi)^{2m+1}+(1-xi)^{2m+1}}{2}\right),

p_{2m-1} = (-1)^{m}(2m-1)!\left(\frac{(1+xi)^{2m}-(1-xi)^{2m}}{2i}\right).

Задача 1171

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = e^{\alpha t}\cos \beta t, \\ y = e^{\alpha t}\sin \beta t. \end{cases}

Найти $y_{x}''$ .

Примечание.

При параметрическом задании связи между переменными $x = \varphi (t)$ , $y = f(t)$ производные $y_{x}'$ , $y_{x}''$ , $y_{x}'''$ , следует находить, основываясь на инвариантности первого дифференциала: $y_{x}' = \frac{dy}{dx}$ , $y_{x}'' = \frac{dy_{x}'}{dx}$ , $y_{x}''' = \frac{dy_{x}''}{dx}$ .

Задача 1172

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\left(\cos t-\ln \operatorname {ctg} \frac{t}{2}\right), \\ y = a \sin t. \end{cases}

Найти $y_{x}'''$ .

Задача 1173

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\cos ^{3} t, \\ y = a\sin ^{3} t. \end{cases}

Найти $y_{x}'''$ .

Задача 1174

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = \frac{a\cos t}{\sqrt{\cos 2t}}, \\ y = \frac{a\sin t}{\sqrt{\cos 2t}}. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

Задача 1175

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\cos \varphi \sqrt[n]{\cos n\varphi }, \\ y = a\sin \varphi \sqrt[n]{\cos n\varphi }. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

Задача 1176

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a(1+\cos t)\cos t, \\ y = a(1-\cos t)\sin t. \end{cases}

Найти $\frac{d^{3}y}{dx^{3}}$ .

Задача 1177

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = \frac{a\cos t}{1+2\cos t}, \\ y = \frac{a\sin t}{1+2\cos t}. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

Задача 1178

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\cos ^{5} t, \\ y = a\sin ^{5} t. \end{cases}

Найти $\frac{d^{3}y}{dx^{3}}$ .

Задача 1179

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a(t+\sin t)+b\sin \frac{t}{2}, \\ y = a(2+\cos t)+b\cos \frac{t}{2}. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

Задача 1180

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = (2n+1)\cos t-\cos (2n+1)t, \\ y = (2n+1)\sin t-\sin (2n+1)t. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

Задача 1181

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\cos t, \\ y = b\sin t. \end{cases}

Найти $\frac{d^{4}y}{dx^{4}}$ .

Задача 1182

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\sin t(2-\sin ^{2} t), \\ y = b\sin ^{2} t \cdot \cos t. \end{cases}

Найти $\frac{d^{3}y}{dx^{3}}$ .

Задача 1183

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a(t-\sin t), \\ y = a\cos t. \end{cases}

Найти $\frac{d^{4}y}{dx^{4}}$ .

Задача 1184

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\cos t+(at+b)\sin t, \\ y = a\sin t-(at+b)\cos t. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

Задача 1185

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a(\cos t+t\sin t), \\ y = a(\sin t-t\cos t). \end{cases}

Найти $\frac{d^{3}y}{dx^{3}}$ .

Задача 1186

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\left(e^{t}(\sin t+\cos t)-1\right), \\ y = a\left(e^{t}(\sin t-\cos t)+1\right). \end{cases}

Найти $\frac{d^{3}y}{dx^{3}}$ .

Задача 1187

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a \frac{e^{t/2}}{\sqrt{\cos t-\sin t}}, \\ y = at-a\ln \sqrt{\cos t-\sin t}. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

Задача 1188

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = 2t\cos t+(t^{2}-2)\sin t, \\ y = 2t\sin t-(t^{2}-2)\cos t. \end{cases}

Найти $\frac{d^{3}y}{dx^{3}}$ .

Задача 1189

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\left(\frac{\sin t}{\cos ^{2} t}-\ln \operatorname {tg}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{t}{2}\right)\right), \\ y = \frac{a}{\cos ^{3} t}. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

Задача 1190

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\left(\frac{\sin t}{\cos ^{2} t}+\ln \operatorname {tg}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{t}{2}\right)\right), \\ y = \frac{a}{\cos ^{3} t}. \end{cases}

Найти $\frac{d^{3}y}{dx^{3}}$ .

Задача 1191

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = \frac{t+t^{3}}{1+t^{4}}, \\ y = \frac{t-t^{3}}{1+t^{4}}. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

Задача 1192

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = \frac{a}{1+t^{2}}, \\ y = bt-\frac{bt}{2(1+t^{2})}. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

Задача 1193

Доказать, что при $x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}-1 = 0$ имеет место равенство $\frac{dx}{\sqrt{1-x^{4}}}+\frac{dy}{\sqrt{1-y^{4}}} = 0$ .

Задача 1194

Доказать, что при $a+b(x+y)+cxy = m(x-y)$ имеет место равенство

\frac{dx}{a+2bx+cx^{2}} = \frac{dy}{a+2by+cy^{2}}.

Задача 1195

Проверить, что если $y = \sqrt{\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}}$ , то

\frac{dy}{\sqrt{1-x^{4}}}+\frac{dx}{\sqrt{1-y^{4}}} = 0.

Задача 1196

Проверить, что если $A(a-cxy) = b+c(x+y)$ , то

\frac{dx}{a+bx+cx^{2}} = \frac{dy}{a+by+cy^{2}} = 0.

Задача 1197

Проверить, что если $x$ и $y$ связаны уравнением

x\sqrt{a+by+cy^{2}}+y\sqrt{a+bx+cx^{2}} = A(x-y),

то

\frac{dx}{x\sqrt{a+bx+cx^{2}}} = \frac{dy}{y\sqrt{a+by+cy^{2}}}.

Задача 1198

Если $P(x)$ и $Q(x)$ — полиномы, такие, что

\sqrt{1-P^{2}(x)} = Q(x)\sqrt{1-x^{2}},

то $\frac{dP(x)}{\sqrt{1-P^{2}(x)}} = n \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$ , причём $n$ — целое число. Доказать.

3.7 · Функции нескольких переменных. Их производные и дифференциалы[102/60%]

Задача 1199

Показать, что

\lim _{y \to 0} \lim _{x \to 0} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = -1, \qquad \lim _{x \to 0} \lim _{y \to 0} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = 1.

Задача 1200

Показать, что

\lim _{x \to \infty } \lim _{y \to \infty } \frac{x^{2}+y^{2}}{1+(x-y)^{4}} = \lim _{y \to \infty } \lim _{x \to \infty } \frac{x^{2}+y^{2}}{1+(x-y)^{4}},

а величина

\lim _{x,y \to \infty } \frac{x^{2}+y^{2}}{1+(x-y)^{4}}

всё же смысла не имеет.

Задача 1201

Показать, что если $x \to \infty$ и $y \to \infty$ так, что отношение $\frac{y}{x}$ имеет любое данное постоянное значение, то $\frac{1}{1+(x^{2}-y)} \to 0$ . В то же время эта величина может не стремиться ни к какому пределу, если отношение $\frac{y}{x}$ не постоянное.

Задача 1202

Показать, что $f(x)$ , определённая равенством

f(x) = \lim _{n \to \infty } \lim _{m \to \infty } \cos ^{m} n! \, 2\pi x,

равна единице, если $x$ — рациональное число, и нулю, если $x$ — иррациональное число; $m$ и $n$ — натуральные числа.

Задача 1203

Показать, что в любой окрестности точки $(0,0)$ функция $f(x,y)$ , определённая равенствами

f(0,0) = 0, \qquad f(x,y) = \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \quad \text{при } x^{2}+y^{2} > 0,

принимает всякое значение в интервале $(-1,1)$ . При этом под окрестностью точки $(0,0)$ подразумевается любая область (круг, прямоугольник и т.п.), содержащая точку $(0,0)$ внутри.

Задача 1204

Функция определена равенствами:

f(x,y) = \frac{xy}{x^{2}+y^{2}} \quad \text{при } x^{2}+y^{2} > 0, \qquad f(0,0) = 0.

Показать, что эта функция непрерывна относительно каждой из переменных $x$ и $y$ в отдельности, не будучи в окрестности точки $(0,0)$ непрерывной функцией обеих переменных при их совместном изменении.

Задача 1205

Показать, что функция, определённая при $x^{2}+y^{2} > 0$ равенством $f(x,y) = e^{x/(x^{2}+y^{2})}$ , принимает каждое положительное значение в любой области, внутри которой содержится точка $(0,0)$ .

Задача 1206

Найти частные производные от функции $u = x^{3}+y^{3}-3xy$ .

Задача 1207

Найти частные производные от функции $u = 2x^{3}-3x^{2}y^{2}+3y^{3}$ .

Задача 1208

Найти частные производные от функции $u = xy+xz+yz$ .

Задача 1209

Найти частные производные от функции $u = x^{y}$ .

Задача 1210

Найти частные производные от функции $u = x^{3}+yz^{2}+3xy-x+z$ .

Задача 1211

Найти частные производные от функции $u = e^{xy}$ .

Задача 1212

Найти частные производные от функции $u = \operatorname {arctg} \frac{x}{y}$ .

Задача 1213

Найти частные производные от функции $u = xy-\frac{3}{x}+\frac{5}{y}$ .

Задача 1214

Найти частные производные от функции $u = x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+xz+yz$ .

Задача 1215

Найти частные производные от функции $u = (xy)^{z}$ .

Задача 1216

Найти частные производные от функции $u = z^{xy}$ .

Задача 1217

Найти полный дифференциал от функции $u = \sin (x^{2}+y^{2})$ .

Задача 1218

Найти полный дифференциал от функции $u = \operatorname {arctg} \frac{x}{y}$ .

Задача 1219

Найти полный дифференциал от функции $u = \ln \operatorname {tg} \frac{x}{y}$ .

Задача 1220

Найти полный дифференциал от функции $u = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ .

Задача 1221

Найти полный дифференциал от функции $u = \ln (x+y+z)$ .

Задача 1222

Найти полный дифференциал от функции $u = x^{y}$ .

Задача 1223

Проверить на примере теорему Эйлера непосредственным вычислением производных: $u = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \ln \frac{x}{y}$ .

Примечание.

Если при увеличении всех переменных в $t$ раз функция умножается на $t^{n}$ , то она называется однородной функцией измерения $n$ . Так, например, если

f(tx,ty,tz) = t^{n}f(x,y,z),

то $f(x,y,z)$ — однородная функция измерения $n$ . По теореме Эйлера, если $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})$ — однородная функция степени $n$ , то имеет место равенство

x_{1}\frac{\partial f}{\partial x_{1}}+x_{2}\frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\ldots +x_{m}\frac{\partial f}{\partial x_{m}} = nf(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}).

Задача 1224

Проверить теорему Эйлера непосредственным вычислением производных: $u = \frac{x}{y}e^{x/z}$ .

Задача 1225

Проверить теорему Эйлера непосредственным вычислением производных: $u = \sin \frac{x+y+z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ .

Задача 1226

Проверить теорему Эйлера непосредственным вычислением производных: $u = \frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ .

Задача 1227

Проверить теорему Эйлера непосредственным вычислением производных: $u = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ .

Задача 1228

Проверить теорему Эйлера непосредственным вычислением производных: $u = \operatorname {arctg} \frac{x}{y}$ .

Задача 1229

Найти производную функции $f = 4x^{3}-2xy+3y^{3}$ в точке $(1,2)$ по направлению $\frac{\pi }{3}$ к оси $Ox$ .

Задача 1230

Найти производную функции $f = 5x+10x^{2}y+y^{5}$ в точке $(1,2)$ по направлению, идущему к точке $(5,-1)$ .

Задача 1231

(а)(б)

Найти производную функции $f = x^{2}+y^{2}$ в точке $(1,2)$ по направлению прямой $3x+4y = 11$ :

(а)

в сторону возрастающих $x$ -ов;

(б)

в сторону убывающих $x$ -ов.

Задача 1232

(а)(б)

Написать выражение производной функции $f(x,y)$ :

(а)

по направлению касательной к кривой $\varphi (x,y) = C$ ;

(б)

по направлению нормали к кривой $\varphi (x,y) = C$ .

Задача 1233

Найти производную функции $f = x^{3}+2xy^{2}+3yz^{2}$ в точке $(3,3,1)$ по направлению вектора $2\overrightarrow {i}+2\overrightarrow {j}+\overrightarrow {k}$ .

Задача 1234

Найти производную функции $F = \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$ по направлению внешней нормали к поверхности $F = \mathrm{const}$ .

Задача 1235

Найти $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ , $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ , $\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ ; $u = \frac{1}{2}\ln (x^{2}+y^{2})$ .

Задача 1236

Найти $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ , $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ , $\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ ; $u = \operatorname {arctg} \frac{x+y}{1-xy}$ .

Задача 1237

Найти $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ , $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ , $\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ ; $u = x\sin (x+y)+y\cos (x+y)$ .

Задача 1238

Найти $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ , если $u = x^{y}$ .

Задача 1239

Найти $\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{2} \partial y}$ , если $u = \ln (x+y)$ .

Задача 1240

Найти $\frac{\partial^{4} u}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$ , если $u = \ln (x^{2}+y^{2})$ .

Задача 1241

Найти $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ , $\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ , $\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}$ , если $u = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ .

Задача 1242

Найти $\frac{\partial^{3} u}{\partial x \partial y \partial z}$ , если $u = e^{xyz}$ .

Задача 1243

Найти $d^{2}u$ , если $u = x^{2}-xy+2y^{2}+3x-5y+7$ .

Задача 1244

Найти $d^{2}u$ , если $u = x^{2}y^{2}$ .

Задача 1245

Найти $d^{2}u$ , если $u = e^{xy}$ .

Задача 1246

Найти $d^{2}u$ , если $u = \frac{1}{2}\ln (x^{2}+y^{2})$ .

Задача 1247

Найти $d^{2}u$ , если $u = \sin (x+y+z)$ .

Задача 1248

Найти $d^{4}u$ , если $u = x^{4}+4x^{3}y+2xy^{2}z-3xyz^{2}+z^{4}$ .

Задача 1249

Найти $d^{4}u$ , если $u = x^{4}-3x^{2}y^{2}+y^{4}+5xyz-x^{3}-y^{3}+x^{2}-xy+y^{2}+2x-5y$ .

Задача 1250

Найти $d^{4}u$ , если $u = x^{4}+3x^{3}y+z^{4}-x^{2}y+z^{3}$ .

Задача 1251

Найти $d^{3}u$ , если $u = xyz$ .

Задача 1252

Найти $d^{4}u$ , если $u = \ln (2x+3y-z)$ .

Задача 1253

Найти частные производные, вычислив сначала полные дифференциалы нужного порядка: $u = \sin (2x+y)$ ; найти $\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}$ и $\frac{\partial^{3} u}{\partial x \partial y^{2}}$ .

Задача 1254

Найти частные производные, вычислив сначала полные дифференциалы нужного порядка: $u = \cos (x+y)$ ; найти $\frac{\partial^{4} u}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$ .

Задача 1255

Найти частные производные, вычислив сначала полные дифференциалы нужного порядка: $u = \ln (ax+by+cz)$ ; найти $\frac{\partial^{4} u}{\partial x^{4}}$ и $\frac{\partial^{4} u}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$ .

Задача 1256

Найти частные производные, вычислив сначала полные дифференциалы нужного порядка: $u = e^{x+2y+3z}$ ; найти $\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}$ и $\frac{\partial^{3} u}{\partial x \partial y \partial z}$ .

Задача 1257

Найти полные дифференциалы первых двух порядков для сложной функции $u = \varphi (t)$ ; $t = xy$ .

Задача 1258

Найти полные дифференциалы первых двух порядков для сложной функции $u = \varphi (t)$ ; $t = x^{2}+y^{2}$ .

Задача 1259

Найти полные дифференциалы первых двух порядков для сложной функции $u = \varphi (t)$ ; $t = x^{2}+y^{2}+z^{2}$ .

Задача 1260

Найти полные дифференциалы первых двух порядков для сложной функции $u = \varphi (\xi ,\eta )$ ; $\xi = ax+by+cz$ , $\eta = a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z$ .

Задача 1261

Найти полные дифференциалы первых двух порядков для сложной функции $u = \varphi (\xi ,\eta ,\zeta )$ ; $\xi = ax$ , $\eta = by$ , $\zeta = cz$ .

Задача 1262

Найти производные первых двух порядков от функции $u = \varphi (\xi ,\eta )$ ; $\xi = x+y$ , $\eta = x-y$ .

Задача 1263

Найти производные первых двух порядков от функции $u = \varphi (\xi ,\eta )$ ; $\xi = x^{2}+y^{2}$ , $\eta = xy$ .

Задача 1264

Найти производные порядка $n$ от $u = \varphi (t)$ , где $t = ax+by+cz$ .

Задача 1265

Найти $\frac{\partial^{n} u}{\partial x^{n}}$ , если $u = \varphi (\xi ,\eta ,\zeta )$ , $\xi = ax$ , $\eta = by$ , $\zeta = cz$ .

Задача 1266

Показать, что если $x^{2} = \eta \xi$ , $y^{2} = \zeta \xi$ , $z^{2} = \xi \eta$ , то

x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+z\frac{\partial u}{\partial z} = \xi \frac{\partial u}{\partial \xi }+\eta \frac{\partial u}{\partial \eta }+\zeta \frac{\partial u}{\partial \zeta }.

Задача 1267

Полагая $x = \rho \cos \varphi$ , $y = \rho \sin \varphi$ , найти

\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial \rho } & \frac{\partial x}{\partial \varphi } \\ \frac{\partial y}{\partial \rho } & \frac{\partial y}{\partial \varphi } \end{vmatrix}.

Задача 1268

Полагая $x = \rho \sin \varphi \cos \psi$ , $y = \rho \sin \varphi \sin \psi$ , $z = \rho \cos \varphi$ , вычислить величину функционального определителя (якобиана)

\frac{D(x,y,z)}{D(\rho ,\varphi ,\psi )} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial \rho } & \frac{\partial x}{\partial \varphi } & \frac{\partial x}{\partial \psi } \\ \frac{\partial y}{\partial \rho } & \frac{\partial y}{\partial \varphi } & \frac{\partial y}{\partial \psi } \\ \frac{\partial z}{\partial \rho } & \frac{\partial z}{\partial \varphi } & \frac{\partial z}{\partial \psi } \end{vmatrix}.

Задача 1269

Положив $r^{2} = a^{2}+\rho^{2}-2a\rho \cos \varphi$ , найти $\frac{D(\rho ,\varphi ,\psi )}{D(\rho ,r,\psi )}$ .

Задача 1270

Полагая $x = \xi \eta \zeta$ , $y = \xi \eta -\xi \eta \zeta$ , $z = \eta -\xi \eta$ , найти якобиан $\frac{D(x,y,z)}{D(\xi ,\eta ,\zeta )}$ .

Задача 1271

Доказать, что при $x = \cos \varphi$ , $y = \sin \varphi \cos \theta$ , $z = \sin \varphi \sin \theta \cos \psi$ якобиан равен $-\sin^{3}\varphi \sin^{2}\theta \sin \psi$ .

Задача 1272

Доказать, что при

u_{1} = \frac{x_{1}}{\sqrt{1-r^{2}}}, \qquad u_{2} = \frac{x_{2}}{\sqrt{1-r^{2}}}, \qquad u_{3} = \frac{x_{3}}{\sqrt{1-r^{2}}},

где $r^{2} = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ ; справедливо равенство

\frac{D(u_{1},u_{2},u_{3})}{D(x_{1},x_{2},x_{3})} = (1-r^{2})^{-5/2}.

Задача 1273

Доказать, что

\frac{D\left(\frac{\partial v}{\partial x_{1}},\frac{\partial v}{\partial x_{2}},\ldots ,\frac{\partial v}{\partial x_{n}}\right)}{D(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})} = \frac{D\left(\frac{\partial v}{\partial y_{1}},\frac{\partial v}{\partial y_{2}},\ldots ,\frac{\partial v}{\partial y_{n}}\right)}{D(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}.

Здесь $v = v(x^{1},x^{2},\ldots ,x_{n};y^{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$ — функция с непрерывными вторыми производными.

Задача 1274

Доказать, что для однородных функций $\varphi (x,y,z)$ измерения $n$ справедливо равенство

\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}+z\frac{\partial }{\partial z}\right)^{m} \varphi = n(n-1) \ldots (n-m+1)\varphi .

Задача 1275

Проверить, что $\frac{\partial u}{\partial t} = a^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ , если $u = \frac{1}{\sqrt{t}} e^{-x^{2}/(4a^{2}t)}$ .

Задача 1276

Проверить, что $x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+z\frac{\partial u}{\partial z} = 0$ , если $u = \left(\frac{x}{y}\right)^{z/y}$ .

Задача 1277

Вычислить $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-2\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ , если $u = \varphi (x+y)$ .

Задача 1278

Вычислить $x^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-2xy\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ , если $u = f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ .

Задача 1279

Вычислить $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right)^{2}$ , если $u = \varphi (xy)$ .

Задача 1280

Функция, называемая потенциалом шара $x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}$ , определяется равенствами:

u = \begin{cases} 2\pi a^{2}-\frac{2\pi }{3}(x^{2}+y^{2}+z^{2}), & \text{при } x^{2}+y^{2}+z^{2} < a^{2}; \\ \frac{4\pi a^{3}}{3\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, & \text{при } x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq a^{2}. \end{cases}

Проверить, что $u$ и её первые производные непрерывны при любых $x$ , $y$ и $z$ и что лапласиан

\Delta u = \frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2} u}{\partial z^{2}} = 0 \quad \text{или } -4\pi ,

смотря по тому, лежит ли точка $M(x,y,z)$ вне шара $x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}$ или внутри его.

Задача 1281

Проверить равенство

\left(x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}+z\frac{\partial }{\partial z}\right)^{2} u = 0, \qquad u = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Задача 1282

Проверить равенство $\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{3}{x+y+z}$ ; $u = \ln (x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz)$ .

Задача 1283

Проверить равенство $\frac{1}{x}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{y}\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{z}{y^{2}}$ ; $z = y\varphi (x^{2}-y^{2})$ .

Задача 1284

Проверить равенство $x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y} = xy+u$ ; $u = xy+x\varphi \left(\frac{y}{x}\right)$ .

Задача 1285

Проверить равенство $\frac{\partial^{2} \ln r}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \ln r}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \ln r}{\partial z^{2}} = \frac{1}{r^{2}}$ ; $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ .

Задача 1286

Проверить равенство $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-2\alpha \frac{\partial u}{\partial y} = \alpha^{2}u$ ; $u = e^{-\alpha x}\varphi (x-y)$ .

Задача 1287

Проверить равенство $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = -2\varphi ''$ ; $u = \varphi (y-x)-x\varphi '(y-x)$ .

Задача 1288

Проверить равенство $(x^{2}-y^{2})\frac{\partial z}{\partial x}+xy\frac{\partial z}{\partial y} = xyz$ ; $z = e^{y}\varphi \left(ye^{x^{2}/(2y^{2})}\right)$ .

Задача 1289

Проверить равенство $x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y} = u-x^{2}-y^{2}$ ; $u = x\varphi \left(\frac{y}{x}\right)-x^{2}-y^{2}$ .

Задача 1290

Проверить равенство $\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = a^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ ; $u = \varphi (x+at)+\psi (x-at)$ .

Задача 1291

Проверить равенство $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$ ; $u = \ln (x^{2}+y^{2})$ .

Задача 1292

Проверить равенство $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = 0$ ; $u = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ .

Задача 1293

Проверить равенство $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = a^{2}u$ ; $u = \frac{1}{r}(Ae^{-ar}+Be^{ar})$ , где $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ .

Задача 1294

Проверить равенство $\frac{\partial^{2} \ln z}{\partial x \partial y} = 2z$ ; $z = \frac{\varphi '(x)\psi '(x)}{(\varphi (x)+\psi (y))^{2}}$ .

Задача 1295

Проверить равенство $x^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2xy\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$ , если $u = x\varphi \left(\frac{y}{x}\right)$ .

Задача 1296

Проверить равенство $x^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2xy\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y} = n^{2}u$ , где $u = x^{n}\varphi \left(\frac{y}{x}\right)+y^{-n}\psi \left(\frac{y}{x}\right)$ .

Задача 1297

Проверить равенство $x^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2xy\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = n(n-1)u$ , где $u = x^{n}\varphi \left(\frac{y}{x}\right)+x^{1-n}\psi \left(\frac{y}{x}\right)$ .

Задача 1298

Проверить равенство $\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ , если $u = f\left(x+\varphi (y)\right)$ .

Задача 1299

Проверить равенство $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-2\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$ , если $u = x\varphi (x+y)+y\psi (x+y)$ .

Задача 1300

Проверить равенство

a^{2}\left(u\frac{\partial ^{2} u}{\partial x^{2}}-\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}\right) = b^{2}\left(u\frac{\partial ^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}\right),

где $u = \varphi (ay+bx)\psi (bx-ay)$ .

3.8 · Дифференцирование неявных функций[39/79%]

Задача 1301

$x^{3}+y^{3}-3axy = 0$ . Найти $y'$ при $x=y$ .

Примечание.

Уравнение $f(x,y) = 0$ , имеющее решением пару чисел $(x_{0},y_{0})$ , определяет в окрестности числа $x_{0}$ величину $y$ как функцию от $x$ , если частная производная $\frac{\partial f}{\partial y}$ отлична от нуля в точке $(x_{0},y_{0})$ и непрерывна в её окрестности. Последовательные производные от $y$ по $x$ могут быть получены из равенств:

\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}y' = 0,

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x^{2}}+2\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}y'+\frac{\partial ^{2} f}{\partial y^{2}}y'^{2}+\frac{\partial f}{\partial y}y'' = 0,

\frac{\partial ^{3} f}{\partial x^{3}}+3\frac{\partial ^{3} f}{\partial x^{2} \partial y}y'+3\frac{\partial ^{3} f}{\partial x \partial y^{2}}y'^{2}+\frac{\partial ^{3} f}{\partial y^{3}}y'^{3}+3\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}y''+3\frac{\partial ^{2} f}{\partial y^{2}}y'y''+\frac{\partial f}{\partial y}y''' = 0.

Подобным путём можно вычислять и производные от неявных функций, заданных одним уравнением с несколькими переменными.

Если несколько неявных функций заданы несколькими уравнениями, то при вычислении производных иногда удобно пользоваться дифференциалами. При этом следует иметь в виду, что дифференциалы высших порядков от тех переменных, которые приняты за независимые, равны нулю.

Задача 1302

$x^{3}+y^{3}-3axy = 0$ . Найти $x$ , при котором $y' = 0$ .

Задача 1303

$x^{y} = y^{x}$ . Найти $y'$ при $x \neq y$ .

Задача 1304

$x\sin y-\cos y+\cos 2y = 0$ . Найти $y'$ .

Задача 1305

$x = y-\alpha \sin y$ . Найти $y'$ и $y''$ .

Задача 1306

$x^{2}+2xy+y^{2}-4x+2y-2 = 0$ . Найти $y'''$ при $x=1$ , $y=1$ .

Задача 1307

$x+y = e^{x-y}$ . Найти $y''$ .

Задача 1308

$\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \operatorname {arctg} \frac{y}{x}$ . Найти $y''$ .

Задача 1309

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2} = R^{2}$ . Считая здесь $x$ независимой переменной, а $y$ — функцией, взять четвёртую производную от обеих частей уравнения.

Задача 1310

Для уравнения $x(x^{2}+y^{2})-a(x^{2}-y^{2}) = 0$ при $x=0$ , $y=0$ формула $\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}y' = 0$ не даёт возможности найти $y'$ ; однако $y'$ можно найти и здесь из формулы

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x^{2}}+2\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}y'+\frac{\partial ^{2} f}{\partial y^{2}}y'^{2}+\frac{\partial f}{\partial y}y'' = 0.

Найти $y'$ .

Задача 1311

$(x^{2}+y^{2}-bx)^{2} = a^{2}(x^{2}+y^{2})$ . Найти $y'$ при $x=0$ , $y=0$ .

Задача 1312

Тот же вопрос для уравнения $x^{3}+y^{3}-3xy = 0$ .

Задача 1313

Даны уравнения $x^{2}-y^{2}+z^{2} = 1$ , $y^{2}-2x+z = 0$ . Найти $y'$ и $z''$ при $x=1$ , $y=1$ , $z=1$ .

Задача 1314

\begin{cases} x^{3}+y^{3}+z^{3} = a^{3}, \\ x^{2}+y^{2}+z^{2} = b^{2}. \end{cases}

Найти $y'$ и $z'$ .

Задача 1315

Из уравнений $x^{2}+y^{2}-z^{2} = 0$ , $x^{2}+2y^{2}+3z^{2} = 1$ найти $d^{2}y$ и $d^{2}z$ , если $x$ — независимая переменная.

Задача 1316

Из уравнений $x^{2}+y^{2} = 2z^{2}$ , $x^{2}+2y^{2}+z^{2} = 4$ найти $\frac{dx}{dz}$ и $\frac{d^{2}y}{dz^{2}}$ в точке $(1,-1,1)$ , если $z$ — независимая переменная.

Задача 1317

$x+y+z = a$ , $x^{3}+y^{3}+z^{3} = 3xyz$ . Найти производные от $y$ и $z$ .

Задача 1318

В точке $(1,1,-2)$ найти первые и вторые производные от $y$ и $z$ , если $x+y+z = 0$ , $x^{3}+y^{3}-z^{3} = 10$ .

Задача 1319

$x^{2}+y^{2}+z^{2} = 2z$ . Найти $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$ .

Задача 1320

$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3z = 0$ . Найти $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ .

Задача 1321

$x^{2}-2y^{2}+z^{2}-4x+2z-5 = 0$ . Найти $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ .

Задача 1322

$x\cos y+y\cos z+z\cos x = a$ . Найти $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$ .

Задача 1323

$xy+xz+yz = 1$ . Найти $dz$ и $d^{2}z$ .

Задача 1324

Найти $d^{2}z$ , если $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$ .

Задача 1325

Найти $d^{2}z$ , если $\cos^{2} x+\cos^{2} y+\cos^{2} z = 1$ .

Задача 1326

Найти $d^{2}z$ в точке $x=a$ , $y=a$ , $z=0$ , если $x^{3}+z^{3}-3axz = y^{3}$ .

Задача 1327

Найти вторые частные производные $z$ , если эта функция от $x$ и $y$ определяется уравнением $y = x\varphi (z)+\psi (z)$ .

Задача 1328

Показать, что $x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+z\frac{\partial u}{\partial z} = 0$ , если $uv = 3x-2y+z$ , $v^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2}$ .

Задача 1329

$xu+yv = 0$ , $uv-xy = 5$ ; при $x=1$ , $y=-1$ принимаем $u=v=2$ . Найти $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ и $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ .

Задача 1330

$x = \varphi (t)$ , $y = \psi (t)$ , $z = kt^{2}$ . Найти производные от $x$ и $y$ по $z$ .

Задача 1331

$x = a\cos u \sin v$ , $y = b\cos u \cos v$ , $z = c\sin u$ . Найти $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$ .

Задача 1332

Показать, что если $F(x,y,z) = 0$ , то $\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} = -1$ .

Задача 1333

(а)(б)

Функция $u$ задана формулой $u = x^{3}y^{2}z$ , причём переменные $x$ , $y$ и $z$ связаны уравнением $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 3xyz$ . Определить $\frac{\partial u}{\partial x}$ в точке $(1,1,1)$ , когда:

(а)

независимые переменные — $x$ и $y$ ;

(б)

независимые переменные — $x$ и $z$ .

Задача 1334

Показать, что $z$ , определённая как функция от $x$ и $y$ уравнением $x-az = \varphi (y-bz)$ , где $\varphi$ — любая дифференцируемая функция, удовлетворяет уравнению в частных производных

a\frac{\partial z}{\partial x}+b\frac{\partial z}{\partial y} = 1,

называемому уравнением цилиндрических поверхностей.

Задача 1335

Показать, что $z$ , заданный как функция от $x$ и $y$ уравнением $z = x\varphi \left(\frac{z}{y}\right)$ , удовлетворяет уравнению конических поверхностей

x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y} = z.

Задача 1336

Показать, что при соблюдении уравнений

z = \alpha x+y\varphi (\alpha )+\psi (\alpha ),

0 = x+y\varphi '(\alpha )+\psi '(\alpha ),

$z$ удовлетворяет уравнению

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2}}\frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}\right)^{2} = 0.

Задача 1337

Показать, что при $y = x\varphi (z)+\psi (z)$ удовлетворяется уравнение

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2}}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}-2\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2}}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2} = 0.

Задача 1338

Функция $z$ от $x$ и $y$ задана уравнениями:

(z-\varphi (\alpha ))^{2} = x^{2}(y^{2}-\alpha ^{2}),

(z-\varphi (\alpha ))\varphi '(\alpha ) = \alpha x^{2}.

Показать, что

\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y} = xy.

Задача 1339

Даны уравнения:

z = \frac{\psi (\alpha )}{(x+\alpha )^{2}\psi '(\alpha )}+\frac{1}{x+\alpha }, \qquad y+\ln \left((x+\alpha )^{2}\psi '(\alpha )\right) = 0.

Показать, что

\left(z-\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}+\frac{\partial z}{\partial x} = 0.

3.9 · Замена переменных[45/82%]

Задача 1340

Принять $y$ за новую независимую переменную и преобразовать уравнение $y''-xy'^{3}+e^{y}y'^{3} = 0$ .

Примечание.

Иногда приходится менять роль переменных, принимая за неизвестные переменные те, которые раньше считались функциями. От этого выражения, содержащие производные, обыкновенно меняют вид.

Если независимая переменная $x$ заменяется новой независимой переменной $t$ с помощью равенства $x = \varphi (t)$ , то удобнее всего пользоваться формулами

y_{x}' = \frac{1}{\varphi '(t)}\frac{dy}{dt}, \qquad y_{x}'' = \frac{1}{\varphi '(t)}\left(\frac{1}{\varphi '(t)} \cdot \frac{dy}{dt}\right)', \qquad y_{x}''' = \frac{1}{\varphi '}\left(\frac{1}{\varphi '}\left(\frac{1}{\varphi '} \cdot \frac{dy}{dt}\right)'\right)', \ \ldots

Здесь в левых частях производные взяты по $x$ , а в правых частях производные берутся по $t$ .

В частности, если за новую переменную берётся $y$ , то, полагая $x = \varphi (y)$ , можем применить прежние формулы, где теперь

\frac{dy}{dt} = 1; \quad \varphi (t) = x; \quad \varphi '(t) = x'; \quad \ldots

Таким образом получаются равенства:

y' = \frac{1}{x'}, \quad y'' = -\frac{x''}{x'^{3}}, \quad y''' = \frac{3x''^{2}-x'x'''}{x'^{5}}, \ \ldots

Задача 1341

Преобразовать уравнение $y'y'''-3y''^{2} = 0$ , приняв независимую переменную $x$ за функцию от $y$ .

Задача 1342

Таким же образом преобразовать уравнение

y'^{2}y^{\mathrm{IV}}-10y'y''y'''+15y''^{3} = 0.

Задача 1343

В уравнении $(1-x^{2})\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-x\frac{dy}{dx}+a^{2}y = 0$ положить $x = \cos t$ .

Задача 1344

В уравнении $x^{2}y''+3xy'+y = 0$ положить $x = e^{t}$ .

Задача 1345

В уравнении $x^{3}y'''+2x^{2}y''-xy'+y = 0$ положить $t = \ln x$ .

Задача 1346

В уравнении $(x+a)^{3}y'''+3(a+x)^{2}y''+(a+x)y'+by = 0$ положить $\ln (a+x) = t$ .

Задача 1347

В уравнении $(1+x^{2})^{2}y''+2x(1+x^{2})y'+y = 0$ положить $x = \operatorname {tg} t$ .

Задача 1348

Показать, что подстановкой $x = \frac{1}{2}\ln \operatorname {tg} 2t$ уравнение

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+2\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{e^{2x}+e^{-2x}}\frac{dy}{dx}+\frac{4m^{2}y}{(e^{2x}+e^{-2x})^{2}} = 0

преобразуется в уравнение $y''+4m^{2}y = 0$ .

Задача 1349

Подстановкой $x = \sqrt{1-t^{2}}$ преобразовать уравнение

(x-x^{3})y''+(1-3x^{2})y'-xy = 0.

Доказать, что новое уравнение будет того же вида, что и прежнее.

Задача 1350

Преобразовать уравнение

(1-x^{2})^{2}y'''-2x(1-x^{2})y'+\frac{2xy}{1-x} = 0,

положив $x = \frac{e^{2t}-1}{e^{2t}+1}$ .

Примечание.

В следующих задачах удобно воспользоваться независимыми от выбора аргумента формулами, выражающими производные через дифференциалы:

y' = \frac{dy}{dx}, \qquad y'' = \frac{dx \, d^{2}y-dy \, d^{2}x}{dx^{3}}, \ \ldots

Задача 1351

Преобразовать выражение $\frac{xy'-y}{\sqrt{1+y'^{2}}}$ к полярным координатам, положив $x = r\cos \varphi$ , $y = r\sin \varphi$ .

Задача 1352

Тот же вопрос для выражения $\frac{x+yy'}{xy'-y}$ .

Задача 1353

Тот же вопрос для выражения $\frac{(1+y'^{2})^{3/2}}{y''}$ .

Задача 1354

В уравнении $(1-x^{2})^{2}(a-y'') = by$ положить

x = \operatorname {th} \xi , \qquad y = \frac{a\eta }{\operatorname {ch} \xi },

где $\xi$ — аргумент, а $\eta$ — функция.

Задача 1355

В уравнении $2y''+(x+y)(1-y')^{3} = 0$ положить $x-y = u$ , $x+y = v$ и принять $u$ за аргумент, а $v$ — за функцию.

Задача 1356

Преобразовать уравнение $y'' = \frac{A}{(x-\alpha )^{2}(x-\beta )^{2}}y$ , положив $u = \frac{y}{x-\beta }$ , $t = \ln \frac{x-\alpha }{x-\beta }$ и приняв $t$ за аргумент, а $u$ — за функцию.

Задача 1357

Преобразовать уравнение

x\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-\frac{dy}{dx}+xy = 0,

взяв за новый аргумент $t = \frac{x^{2}}{4}$ .

Задача 1358

Преобразовать уравнение

xy\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-x\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}+y\frac{dy}{dx} = 0,

взяв за аргумент $y$ и за новую функцию $z = \ln \frac{y}{x}$ .

Задача 1359

Переменная $x$ есть функция от $t$ . Вместо неё вводится новая функция с помощью дробно-линейной подстановки

y = \frac{\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta },

где $\alpha \delta -\beta \gamma \neq 0$ . Доказать равенство

\frac{x'''}{x'}-\frac{3}{2}\left(\frac{x''}{x'}\right)^{2} = \frac{y'''}{y'}-\frac{3}{2}\left(\frac{y''}{y'}\right)^{2}

(Шварц).

Задача 1360

В уравнении $9y''^{2}y^{\mathrm{V}}-45y''y'''y^{\mathrm{IV}}+40y'''^{3} = 0$ переменные $x$ и $y$ подвергаются гомографическому преобразованию по формулам:

y = \frac{a_{1}X+b_{1}Y+c_{1}}{aX+bY+c}, \qquad x = \frac{a_{2}X+b_{2}Y+c_{2}}{aX+bY+c}.

Доказать, что вид уравнения не изменится.

Примечание.

В следующих задачах требуется преобразовать выражение, содержащее частные производные по $x$ и по $y$ , вводя новые независимые переменные. Если новые переменные даны равенствами $u = \varphi (x,y)$ , $v = \psi (x,y)$ , то по правилу дифференцирования сложной функции имеем

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial \varphi }{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial \psi }{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial \varphi }{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial \psi }{\partial y}.

Эти равенства позволяют от производных по $x$ и по $y$ перейти к производным по $u$ и $v$ . Следуя тому же пути дальше, можно выразить и производные высших порядков.

Задача 1361

В уравнении $y\frac{\partial z}{\partial x}-x\frac{\partial z}{\partial y} = 0$ ввести новые независимые переменные $u$ и $v$ , положив $u=x$ , $v=x^{2}+y^{2}$ .

Задача 1362

В уравнении $x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}-z = 0$ положить $u=x$ , $v=\frac{y}{x}$ и принять $u$ и $v$ за новые независимые переменные.

Задача 1363

Такой же вопрос для уравнения

(x+mz)\frac{\partial z}{\partial x}+(y+nz)\frac{\partial z}{\partial y} = 0,

где $u=x$ , $v=\frac{y+nz}{x+mz}$ .

Задача 1364

Преобразовать к полярным координатам, положив $x = r\cos \varphi$ , $y = r\sin \varphi$ , выражение $w = x\frac{\partial u}{\partial y}-y\frac{\partial u}{\partial x}$ .

Задача 1365

Преобразовать к полярным координатам, положив $x = r\cos \varphi$ , $y = r\sin \varphi$ , выражение $w = x\frac{\partial u}{\partial x}-y\frac{\partial u}{\partial y}$ .

Задача 1366

Преобразовать к полярным координатам, положив $x = r\cos \varphi$ , $y = r\sin \varphi$ , выражение $w = \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}$ .

Задача 1367

Преобразовать к полярным координатам, положив $x = r\cos \varphi$ , $y = r\sin \varphi$ , выражение $w = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ .

Задача 1368

Преобразовать к полярным координатам, положив $x = r\cos \varphi$ , $y = r\sin \varphi$ , выражение

w = y^{2}\frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2}}-2xy\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}+x^{2}\frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2}}-x\frac{\partial z}{\partial x}-y\frac{\partial z}{\partial y}.

Задача 1369

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные, преобразовать уравнение $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-a^{2}\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0$ ; $u = y+ax$ , $v = y-ax$ .

Задача 1370

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные, преобразовать уравнение $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+m^{2}z = 0$ ; $2x = u^{2}-v^{2}$ , $y = uv$ .

Задача 1371

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные, преобразовать уравнение $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+2xy^{2}\frac{\partial z}{\partial x}+2(y-y^{3})\frac{\partial z}{\partial y}+x^{2}y^{2}z = 0$ ; $x = uv$ , $y = \frac{1}{v}$ .

Задача 1372

При помощи подстановки вида $u = x+\alpha y$ , $v = x+\beta y$ преобразовать уравнение

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2}}-(a+b)\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}+ab\frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2}} = 0

к виду

\frac{\partial ^{2} z}{\partial u \partial v} = 0.

Задача 1373

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные, а $w$ — за новую функцию, преобразовать к новым переменным уравнение $\frac{\partial z}{\partial y}+\frac{1}{2}y\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{1}{x}$ ; $u = \frac{x}{y}$ , $v = x$ , $w = xz-y$ .

Задача 1374

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные, а $w$ — за новую функцию, преобразовать к новым переменным уравнение $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}-2\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = 0$ ; $u = x+y$ , $v = \frac{y}{x}$ , $w = \frac{z}{x}$ .

Задача 1375

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные, а $w$ — за новую функцию, преобразовать к новым переменным уравнение $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+2\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0$ ; $u = x+y$ , $v = x-y$ , $w = xy-z$ .

Задача 1376

Какой вид принимает уравнение $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+u = 0$ , если $u = \varphi (r)$ , где $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ?

Задача 1377

Тот же вопрос для уравнения

\frac{\partial ^{4} u}{\partial x^{4}}+2\frac{\partial ^{4} u}{\partial x^{2} \partial y^{2}}+\frac{\partial ^{4} u}{\partial y^{4}} = 0.

Задача 1378

Какой вид принимает уравнение $\frac{\partial^{2} w}{\partial x \partial y}+aw = 0$ , если $w = \varphi (u)$ , где $u = (x-x_{0})(y-y_{0})$ ?

Задача 1379

Какой вид принимает уравнение $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}+u = 0$ , если $u = \varphi (r)$ , $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ?

Задача 1380

Выражения

\Delta _{1}v = \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial v}{\partial z}\right)^{2}

\Delta _{2}v = \frac{\partial ^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} v}{\partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2} v}{\partial z^{2}}

преобразовать к сферическим координатам, полагая

x = r\sin \theta \cos \varphi , \qquad y = r\sin \theta \sin \varphi , \qquad z = v\cos \theta .

Задача 1381

Если $x = \varphi (u,v)$ , $y = \psi (u,v)$ и притом $\frac{\partial \varphi }{\partial u} = \frac{\partial \psi }{\partial v}$ , $\frac{\partial \varphi }{\partial v} = -\frac{\partial \psi }{\partial u}$ , то

\frac{\partial ^{2} w}{\partial u^{2}}+\frac{\partial ^{2} w}{\partial v^{2}} = \left(\frac{\partial ^{2} w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} w}{\partial y^{2}}\right)\left(\left(\frac{\partial \varphi }{\partial u}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi }{\partial v}\right)^{2}\right).

Доказать.

Задача 1382

Доказать, что, вводя новые переменные по формулам

X = \frac{dy}{dx}, \qquad Y = x\frac{dy}{dx}-y,

получим, что $x = \frac{dY}{dX}$ , $y = X\frac{dY}{dX}-Y$ .

Задача 1383

Преобразование Ампера состоит в том, что новые переменные вводятся формулами:

X = x, \qquad Y = \frac{\partial z}{\partial y}, \qquad Z = z-y\frac{\partial z}{\partial y}.

Доказать, что при этом получаются равенства:

\frac{\partial Z}{\partial X} = \frac{\partial z}{\partial x}, \qquad \frac{\partial Z}{\partial Y} = -y, \qquad z = Z-Y\frac{\partial Z}{\partial Y}.

Задача 1384

Преобразование Лежандра состоит в том, что вместо переменных $x$ , $y$ и $z$ вводятся новые по формулам $X = p$ , $Y = q$ , $Z = px+qy-z$ , где $p = \frac{\partial z}{\partial x}$ и $q = \frac{\partial z}{\partial y}$ . Доказать, что для производных от новых переменных получаются равенства:

\frac{\partial Z}{\partial X} = x, \qquad \frac{\partial Z}{\partial Y} = y,

\frac{\partial ^{2} Z}{\partial X^{2}} = \frac{t}{rt-s^{2}}, \qquad \frac{\partial ^{2} Z}{\partial X \partial Y} = -\frac{s}{rt-s^{2}}, \qquad \frac{\partial ^{2} Z}{\partial Y^{2}} = \frac{r}{rt-s^{2}},

где

r = \frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2}}, \qquad s = \frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}, \qquad t = \frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2}}.