Дифференцирование неявных функций

$x^{3}+y^{3}-3axy = 0$. Найти $y'$ при $x=y$.

$x^{3}+y^{3}-3axy = 0$. Найти $x$, при котором $y' = 0$.

$x^{y} = y^{x}$. Найти $y'$ при $x \neq y$.

$x\sin y-\cos y+\cos 2y = 0$. Найти $y'$.

$x = y-\alpha \sin y$. Найти $y'$ и $y''$.

$x^{2}+2xy+y^{2}-4x+2y-2 = 0$. Найти $y'''$ при $x=1$, $y=1$.

$x+y = e^{x-y}$. Найти $y''$.

$\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \operatorname {arctg} \frac{y}{x}$. Найти $y''$.

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2} = R^{2}$. Считая здесь $x$ независимой переменной, а $y$ — функцией, взять четвёртую производную от обеих частей уравнения.

Для уравнения $x(x^{2}+y^{2})-a(x^{2}-y^{2}) = 0$ при $x=0$, $y=0$ формула $\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}y' = 0$ не даёт возможности найти $y'$; однако $y'$ можно найти и здесь из формулы

Найти $y'$.

$(x^{2}+y^{2}-bx)^{2} = a^{2}(x^{2}+y^{2})$. Найти $y'$ при $x=0$, $y=0$.

Тот же вопрос для уравнения $x^{3}+y^{3}-3xy = 0$.

Даны уравнения $x^{2}-y^{2}+z^{2} = 1$, $y^{2}-2x+z = 0$. Найти $y'$ и $z''$ при $x=1$, $y=1$, $z=1$.

Найти $y'$ и $z'$.

Из уравнений $x^{2}+y^{2}-z^{2} = 0$, $x^{2}+2y^{2}+3z^{2} = 1$ найти $d^{2}y$ и $d^{2}z$, если $x$ — независимая переменная.

Из уравнений $x^{2}+y^{2} = 2z^{2}$, $x^{2}+2y^{2}+z^{2} = 4$ найти $\frac{dx}{dz}$ и $\frac{d^{2}y}{dz^{2}}$ в точке $(1,-1,1)$, если $z$ — независимая переменная.

$x+y+z = a$, $x^{3}+y^{3}+z^{3} = 3xyz$. Найти производные от $y$ и $z$.

В точке $(1,1,-2)$ найти первые и вторые производные от $y$ и $z$, если $x+y+z = 0$, $x^{3}+y^{3}-z^{3} = 10$.

$x^{2}+y^{2}+z^{2} = 2z$. Найти $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}$.

$x^{3}+y^{3}+z^{3}-3z = 0$. Найти $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.

$x^{2}-2y^{2}+z^{2}-4x+2z-5 = 0$. Найти $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.

$x\cos y+y\cos z+z\cos x = a$. Найти $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$.

$xy+xz+yz = 1$. Найти $dz$ и $d^{2}z$.

Найти $d^{2}z$, если $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} = 1$.

Найти $d^{2}z$, если $\cos^{2} x+\cos^{2} y+\cos^{2} z = 1$.

Найти $d^{2}z$ в точке $x=a$, $y=a$, $z=0$, если $x^{3}+z^{3}-3axz = y^{3}$.

Найти вторые частные производные $z$, если эта функция от $x$ и $y$ определяется уравнением $y = x\varphi (z)+\psi (z)$.

Показать, что $x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+z\frac{\partial u}{\partial z} = 0$, если $uv = 3x-2y+z$, $v^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2}$.

$xu+yv = 0$, $uv-xy = 5$; при $x=1$, $y=-1$ принимаем $u=v=2$. Найти $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ и $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$.

$x = \varphi (t)$, $y = \psi (t)$, $z = kt^{2}$. Найти производные от $x$ и $y$ по $z$.

$x = a\cos u \sin v$, $y = b\cos u \cos v$, $z = c\sin u$. Найти $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$.

Показать, что если $F(x,y,z) = 0$, то $\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} = -1$.

Функция $u$ задана формулой $u = x^{3}y^{2}z$, причём переменные $x$, $y$ и $z$ связаны уравнением $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 3xyz$. Определить $\frac{\partial u}{\partial x}$ в точке $(1,1,1)$, когда:

Показать, что $z$, определённая как функция от $x$ и $y$ уравнением $x-az = \varphi (y-bz)$, где $\varphi$ — любая дифференцируемая функция, удовлетворяет уравнению в частных производных

называемому уравнением цилиндрических поверхностей.

Показать, что $z$, заданный как функция от $x$ и $y$ уравнением $z = x\varphi \left(\frac{z}{y}\right)$, удовлетворяет уравнению конических поверхностей

Показать, что при соблюдении уравнений

$z$ удовлетворяет уравнению

Показать, что при $y = x\varphi (z)+\psi (z)$ удовлетворяется уравнение

Функция $z$ от $x$ и $y$ задана уравнениями:

Показать, что

Даны уравнения:

Показать, что