Разные задачи

Доказать неравенство Бернулли:

где числа $\alpha , \beta , \gamma , \ldots , \lambda$ одного знака и больше, чем $-1$.

Пользуясь неравенством Бернулли, доказать, что при $n$ целом $\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} > 1-\frac{1}{n}$, если $n > 1$.

Доказать, что $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} > \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}$, если $n > 1$.

Доказать, что $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} < \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n}$.

Величина $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ возрастает, а величина $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ убывает при возрастании целого числа $n$. Отсюда и из очевидного неравенства $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} < \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ вывести, что обе эти величины при $n \to \infty$ стремятся к общему пределу. Этот предел обозначается через $e$:

Доказать равенство:

предполагая, что предел в правой части существует.

Доказать равенство:

предполагая, что $\lim_{n \to \infty } \frac{u_{n}}{v_{n}}$ существует и что $v_{1}+v_{2}+v_{3}+\ldots +v_{n} \to \infty$ при $n \to \infty$, а числа $v_{n}$ положительны.

Доказать равенство:

предполагая, что предел в правой части существует и $v_{n} \to \infty$ при $n \to \infty$, а $v_{n} > v_{n-1}$.

При $m$ целом положительном доказать равенство:

При том же условии доказать равенство:

Доказать равенство:

$m$ — целое $\geq 0$.

Доказать равенство:

$m$ — целое $\geq 0$.

Найти $\lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{n} \left(\sqrt{1+\frac{k}{n^{2}}}-1\right)$.

Найти $\lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{n} \left(\sqrt[3]{1+\frac{k^{2}}{n^{3}}}-1\right)$.

Из неравенств $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} < e < \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$ следует, что

Исходя отсюда, доказать равенство:

Здесь $C$ — постоянная, называемая постоянной Эйлера, а $\varepsilon (n) \to 0$ при $n \to \infty$.

Пользуясь предыдущим результатом, доказать равенство:

Исходя из равенства $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+x)}{x} = 1$, найти

Пользуясь формулой $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, доказать, что

Доказать, что при $n \to \infty$

Доказать, что

Доказать равенство

Доказать равенство $\lim_{n \to \infty } \left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{6}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n(n+1)/2}\right) = \frac{1}{3}$.

Доказать равенство $\lim_{n \to \infty } \frac{2^{3}-1}{2^{3}+1} \cdot \frac{3^{3}-1}{3^{3}+1} \cdots \frac{n^{3}-1}{n^{3}+1} = \frac{2}{3}$.

Доказать равенство $\lim_{n \to \infty } (1+x)(1+x^{2})(1+x^{4}) \cdots (1+x^{2^{n}}) = \frac{1}{1-x}$; $\left|x\right| < 1$.

Доказать равенство $\lim_{n \to \infty } \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{4} \cdots \cos \frac{x}{2^{n}} = \frac{\sin x}{x}$ (Эйлер).

Доказать равенство

(Виет).

Последовательность значений $u_{n}$ дается формулами: $u_{1} = \sqrt{2}$, $u_{2} = \sqrt{2+\sqrt{2}}$, $u_{3} = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$ и вообще $u_{n} = \sqrt{2+u_{n-1}}$. Заменив последнюю двойку под радикалом на 4, убедиться, что $u_{n}$ ограничено. Доказав, что $\lim_{n \to \infty } u_{n}$ существует, найти его из равенства $u_{n}^{2} = 2+u_{n-1}$.

Последовательность $v_{n}$ задана равенствами:

Заменив под последним корнем число $a$ величиной $a+x$, где $x$ — положительный корень уравнения $x^{2} = a+x$, убедиться, что $v_{n}$ ограничено, и доказать, что $v_{n} \to x$ при $n \to \infty$.

Последовательность чисел задается равенствами

Найти выражение $x_{n}$ через $a$ и $b$ и найти $\lim_{n \to \infty } x_{n}$.

Даны числа $a$ и $b$, где $a > b > 0$. Затем составляются новые пары чисел по формулам: $a_{n+1} = \frac{a_{n}+b_{n}}{2}$, $b_{n+1} = \frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+b_{n}}$. При этом $a_{0} = a$ и $b_{0} = b$. Доказать, что $a_{n} b_{n} = ab$, что

и, наконец, что $\lim_{n \to \infty } a_{n} = \lim_{n \to \infty } b_{n} = \sqrt{ab}$.

По двум данным положительным числам $a$ и $b$ можно построить ряд новых чисел с помощью равенств: $a_{0} = a$, $b_{0} = b$, $a_{1} = \frac{a_{0}+b_{0}}{2}$, $b_{1} = \sqrt{a_{0} b_{0}}$, и вообще, $a_{n+1} = \frac{a_{n}+b_{n}}{2}$, $b_{n+1} = \sqrt{a_{n} b_{n}}$. Доказать, что при $n \to \infty$ числа $a_{n}$ и $b_{n}$ стремятся к общему пределу. (Арифметико-геометрическое среднее Гаусса.)

Две последовательности чисел составляются по формулам:

При этом $a_{0} = a$, $b_{0} = b$ — данные положительные числа. Найти $\lim_{n \to \infty } a_{n}$, равный $\lim_{n \to \infty } b_{n}$, полагая $a = b \cos \varphi$ при $a < b$ и $a = b \operatorname {ch} \varphi$ при $a > b$.

Последовательность чисел составляется по формулам: $x_{n} = \frac{1}{2}\left(x_{n-1}+\frac{a}{x_{n-1}}\right)$, где $a > 0$ — данное число, а $x_{0}$ — произвольное положительное число. Доказать, что $x_{n} \to \sqrt{a}$ при $n \to \infty$.

Числа последовательности составляются по такому закону: $x_{0}$ — произвольное положительное число, а дальнейшие находятся по формуле

где $a$ — данное положительное число. Доказать, что $x_{n} \to \sqrt{a}$ при $n \to \infty$.

Доказать, что последовательности, составляемые подобно прежним по формуле $x_{n+1} = \frac{1}{3}\left(2x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{2}}\right)$ или по формуле $x_{n+1} = \frac{x_{n}(x_{n}^{3}+2a)}{2x_{n}^{3}+a}$, стремятся к $\sqrt[3]{a}$.

Последовательность $y_{n}$ определяется следующим способом: $y_{1} = \frac{x}{2}$, где $0 < x < 1$; $y_{2} = \frac{x}{2}+\frac{y_{1}^{2}}{2}$, и вообще $y_{n} = \frac{x}{2}+\frac{y_{n-1}^{2}}{2}$. Доказать, что $y_{n}$ — ограниченная монотонная величина, и найти $\lim_{n \to \infty } y_{n}$.

$y_{1} = \frac{x}{2}$, где $0 < x < 1$; $y_{2} = \frac{x}{2}-\frac{y_{1}^{2}}{2}$; ; $y_{n} = \frac{x}{2}-\frac{y_{n-1}^{2}}{2}$. Показать, что $\lim_{n \to \infty } y_{n}$ существует и равен $\sqrt{1+x}-1$.