Банк задач по математике

Задача 1114

Показать, что кривая $y = \ln x$ выпукла вверх.

?

Примечание.

?

Производная от первой производной, т.е. $(y')'$ или $(f'(x))'$ , называется второй производной и обозначается через $y''$ или $f''(x)$ . Производная от второй производной называется третьей производной и т.д. Во избежание смешения с показателем степени показатели производной обозначают числом, поставленным в скобки. Иногда применяют также римские цифры. Если в данной точке кривой $y = f(x)$ величина $y'' > 0$ , то кривая обращена выпуклостью вниз, т.е. в сторону отрицательного направления оси $Oy$ . Если же $y'' < 0$ , то кривая в окрестности данной точки обращена выпуклостью вверх. Если при переходе через данное значение $x$ величина $y''$ меняет знак, то точка на кривой при этом $x$ есть точка перегиба.

Задача 1115

Показать, что кривая $y = a^{x}$ выпукла вниз.

?

Задача 1116

Показать, что синусоида $y = \sin x$ выпукла вверх, если $y > 0$ , и вниз, если $y < 0$ .

?

Задача 1117

Показать, что тангенсоида $y = \operatorname {tg} x$ выпукла вниз там, где $y > 0$ , и вверх там, где $y < 0$ .

?

Задача 1118

Исследовать направление выпуклости кривой $y = ax^{3}+bx$ при $a > 0$ .

?

Задача 1119

Найти точки перегиба кривой $y = e^{-x^{2}}$ .

?

Задача 1120

Тот же вопрос для кривой $y = \frac{1}{1+x^{2}}$ .

?

Задача 1121

Найти $y^{(5)}$ для функции $y = x^{5}$ .

?

Примечание.

?

Производные высших порядков обыкновенно находятся последовательным дифференцированием. Иногда при этом обнаруживается закономерность, позволяющая написать производную высшего порядка, не находя предыдущих. К числу таких случаев относится формула Лейбница для производной порядка $n$ от произведения двух функций:

(uv)^{(n)} = uv^{(n)}+C_{n}^{1}u'v^{(n-1)}+C_{n}^{2}u''v^{(n-2)}+\ldots +u^{(n)}v.

Здесь $C_{n}^{1}, C_{n}^{2}, \ldots$ — биномиальные коэффициенты.

Задача 1122

Найти $y^{(7)}$ для функции $y = x^{6}$ .

?

Задача 1123

Найти $y^{(6)}$ для функции $y = (3x+5)^{2}(2x^{2}+3)(x+7)^{2}$ .

?

Задача 1124

Найти $y'''$ для функции $y = \sqrt[5]{x^{3}}$ .

?

Задача 1125

Найти $y'''$ для функции $y = x^{5} \ln x$ .

?

Задача 1126

Найти $y'''$ для функции $y = a^{3x}$ .

?

Задача 1127

Найти $y^{\mathrm{IV}}$ для функции $y = \frac{a}{x^{m}}$ .

?

Задача 1128

Найти $y'''$ для функции $y = \frac{x^{3}}{x-1}$ .

?

Задача 1129

Найти $y^{\mathrm{IV}}$ для функции $y = x^{2}e^{2x}$ .

?

Задача 1130

Найти $y^{\mathrm{IV}}$ для функции $y = x^{2}\cos 3x$ .

?

Задача 1131

Найти $y^{(50)}$ для функции $y = x^{2}e^{2x}$ .

?

Задача 1132

Найти $y^{(40)}$ для функции $y = x^{2}\sin x$ .

?

Задача 1133

Найти $y^{\mathrm{IV}}$ для функции $y = e^{x}\sin x$ .

?

Задача 1134

Найти $y'''$ для функции $y = \operatorname {arctg}\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ .

?

Задача 1135

Найти $y^{\mathrm{IV}}$ для функции $y = x\sqrt{x^{2}+1}+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ .

?

Задача 1136

Полагая $y = e^{x}\sin x$ , $z = e^{x}\cos x$ , доказать равенства $y'' = 2z$ , $z'' = -2y$ .

?

Задача 1137

Доказать, что функция $y = Ce^{-x}+C_{1}e^{-2x}$ удовлетворяет уравнению $y''+3y'+2y = 0$ .

?

Задача 1138

Полагая $y$ равным одной из функций: $\sin (m \arcsin x)$ , $\cos (m \arcsin x)$ , $\sin (m \arccos x)$ , $\cos (m \arccos x)$ , доказать, что $(1-x^{2})y''-xy'+m^{2}y = 0$ .

?

Задача 1139

Доказать, что функция $y = e^{-x}\cos x$ удовлетворяет уравнению $y^{\mathrm{IV}}+4y = 0$ .

?

Задача 1140

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \frac{1+x}{1-x}$ .

?

Задача 1141

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \frac{x}{a+bx}$ .

?

Задача 1142

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \frac{\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }$ .

?

Задача 1143

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \frac{1}{x(x+1)}$ .

?

Задача 1144

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \sqrt{x}$ .

?

Задача 1145

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \sin^{2} x$ .

?

Задача 1146

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = x^{3}e^{mx}$ .

?

Задача 1147

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = x^{2}\sin ax$ .

?

Задача 1148

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = x^{3}\ln x$ .

?

Задача 1149

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \ln (ax+b)$ .

?

Задача 1150

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \ln \frac{1+x}{1-x}$ .

?

Задача 1151

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \sin^{3} ax$ .

?

Задача 1152

Найти общее выражение для величины $y^{(n)}$ при любом $n$ : $y = \frac{\ln (1+x)}{1+x}$ .

?

Задача 1153

Доказать равенство $\left(e^{ax}\sin (bx+c)\right)^{(n)} = e^{ax}(a^{2}+b^{2})^{n/2}\sin (bx+n\varphi +c)$ , где

\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \qquad \cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.

?

Задача 1154

Доказать равенство $\left(\frac{x^{4}+1}{x^{3}-x}\right)^{(n)} = (-1)^{n-1}n!\left(\frac{1}{x^{n+1}}-\frac{1}{(x-1)^{n+1}}-\frac{1}{(x+1)^{n+1}}\right)$ ; $n > 1$ .

?

Задача 1155

Доказать равенство $(\sin^{4} x+\cos^{4} x)^{(n)} = 4^{n-1}\cos \left(4x+\frac{n\pi }{2}\right)$ .

?

Задача 1156

Полагая $y = \cos (m \ln x)$ , доказать, что

x^{2}y^{(n+2)}+(2n+1)xy^{(n+1)}+(n^{2}+m^{2})y^{(n)} = 0.

?

Задача 1157

Полагая $y = \operatorname {arctg} x$ , доказать, что

y^{(n)} = (n-1)! \cos ^{n} y \cdot \sin n\left(y+\frac{\pi }{2}\right).

?

Задача 1158

Полагая $y = x^{m} \ln x$ , доказать, что

y^{(n)} = m(m-1) \ldots (m-n+1) x^{m-n} \times \left(\ln x+\frac{1}{m}+\frac{1}{m-1}+\ldots +\frac{1}{m-n+1}\right),

при $n \leq m$ . Если $n = m+1$ , то

(x^{m} \ln x)^{(m+1)} = \frac{m!}{x}.

?

Задача 1159

Доказать, что производная $y^{(n)}$ сложной функции $y = f(u)$ , где $u = x^{2}$ , выражается формулой

y^{(n)} = 2^{n}x^{n}f^{(n)}+2^{n-2}\frac{n(n-1)}{1}x^{n-2}f^{(n-1)}+2^{n-4}\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1 \cdot 2}x^{n-4}f^{(n-2)}+\ldots .

?

Задача 1160

(а)(б)(в)

Производная порядка $n$ от $e^{-x^{2}}$ имеет вид $e^{-x^{2}}H_{n}(x)$ , где $H_{n}(x)$ — полином, называемый полиномом Чебышёва--Эрмита. Доказать справедливость равенств:

?

(а)

$H_{n+1}(x)+2xH_{n}(x)+2nH_{n-1}(x) = 0$ .

(б)

$H_{n}(x)-H_{n-1}'(x)+2xH_{n-1}(x) = 0$ .

(в)

$H_{n}''(x)-2xH_{n}'(x)+2nH_{n}(x) = 0$ .

Задача 1161

Доказать для полиномов Чебышёва--Эрмита формулу

H_{n} = (-1)^{n}\left((2x)^{n}-\frac{n(n-1)}{1}(2x)^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1 \cdot 2}(2x)^{n-4}-\ldots \right).

?

Задача 1162

Полиномы Лагерра $L_{n}(x)$ определяются формулой

(x^{n}e^{-x})^{(n)} = e^{-x}L_{n}(x).

Доказать равенства:

xL_{n}''(x)+(1-x)L_{n}'(x)+nL_{n}(x) = 0,

L_{n+1}(x)-(2n+1-x)L_{n}(x)+n^{2}L_{n-1}(x) = 0,

L_{n}(x) = (-1)^{n}\left(x^{n}-\frac{n^{2}}{1}x^{n-1}+\frac{n^{2}(n-1)^{2}}{1 \cdot 2}x^{n-2}-\ldots \right).

?

Задача 1163

Полиномы Лежандра определяются равенством

P_{n}(x) = \frac{1}{2^{n}n!}\left((x^{2}-1)^{n}\right)^{(n)}.

Доказать равенства:

(x^{2}-1)P_{n}''(x)+2xP_{n}'(x)-n(n+1)P_{n}(x) = 0,

(n+1)P_{n+1}(x)-(2n+1)xP_{n}(x)+nP_{n-1}(x) = 0.

?

Задача 1164

Полиномы Чебышёва $T_{n}(x)$ определяются равенством

T_{n}(x) = \frac{1}{2^{n-1}}\cos (n \arccos x) = \frac{1}{2^{n-1}}\left(\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right)^{n}+\left(x-\sqrt{x^{2}-1}\right)^{n}\right)

(полиномы, наименее уклоняющиеся от нуля). Доказать равенство

(x^{2}-1)\frac{d^{m+2}T_{n}(x)}{dx^{m+2}}+(2m+1)x\frac{d^{m+1}T_{n}(x)}{dx^{m+1}}+(m^{2}-n^{2})\frac{d^{m}T_{n}(x)}{dx^{m}} = 0.

?

Задача 1165

Производная порядка $n$ от $\arcsin x$ имеет вид

p_{n}(x)(1-x^{2})^{\frac{1-2n}{2}},

где $p_{n}(x)$ — полином. Доказать равенство

(1-x^{2})p_{n}''(x)+(2n-3)xp_{n}'(x)-(n-1)^{2}p_{n}(x) = 0.

?

Задача 1166

Для полиномов предыдущей задачи доказать равенства:

p_{2m+1}(x) = A\left(1+\sum _{\nu =1}^{m} \frac{m^{2}(m-1)^{2} \ldots (m-\nu +1)^{2}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (2\nu )}(2x)^{2\nu }\right),

p_{2m}(x) = Ax\left(1+\sum _{\nu =1}^{m-1} \frac{(m-1)^{2}(m-2)^{2} \ldots (m-\nu )^{2}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (2\nu +1)}(2x)^{2\nu }\right).

Здесь $A = \left(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2m-1)\right)^{2}$ .

?

Задача 1167

(а)(б)

Справедливо равенство

\frac{d^{n}e^{1/x}}{dx^{n}} = \frac{(-1)^{n}p_{n}(x)}{x^{2n}}e^{1/x},

где $p_{n}(x)$ — полином. Доказать равенства:

?

(а)

$x^{2}p_{n}''-\left((2n-2)x+1\right)p_{n}'+n(n-1)p_{n} = 0$ ,

(б)

$p_{n} = 1+\frac{n}{1}(n-1)x+\frac{n(n-1)}{1 \cdot 2}(n-1)(n-2)x^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3}(n-1)(n-2)(n-3)x^{3}+\ldots$ .

Задача 1168

Доказать равенство $\frac{d^{n}(x^{n-1}e^{1/x})}{dx^{n}} = \frac{(-1)^{n}}{x^{n+1}}e^{1/x}$ .

?

Задача 1169

(а)(б)(в)

В равенстве $\left(\frac{1}{1+x^{2}}\right)^{(n)} = \frac{p_{n}(x)}{(1+x^{2})^{n+1}}$ числитель $p_{n}(x)$ — полином степени $n$ . Доказать равенства:

?

(а)

$p_{n+1}+(2n+2)xp_{n}+n(n+1)(1+x^{2})p_{n-1} = 0$ ,

(б)

$\frac{dp_{n}}{dx}+n(n+1)p_{n-1} = 0$ ,

(в)

$(1+x^{2})p_{n}''-2nxp_{n}'+n(n+1)p_{n} = 0$ .

Задача 1170

Для предыдущих полиномов доказать формулы:

p_{2m} = (-1)^{m}(2m)!\left(\frac{(1+xi)^{2m+1}+(1-xi)^{2m+1}}{2}\right),

p_{2m-1} = (-1)^{m}(2m-1)!\left(\frac{(1+xi)^{2m}-(1-xi)^{2m}}{2i}\right).

?

Задача 1171

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = e^{\alpha t}\cos \beta t, \\ y = e^{\alpha t}\sin \beta t. \end{cases}

Найти $y_{x}''$ .

?

Примечание.

?

При параметрическом задании связи между переменными $x = \varphi (t)$ , $y = f(t)$ производные $y_{x}'$ , $y_{x}''$ , $y_{x}'''$ , следует находить, основываясь на инвариантности первого дифференциала: $y_{x}' = \frac{dy}{dx}$ , $y_{x}'' = \frac{dy_{x}'}{dx}$ , $y_{x}''' = \frac{dy_{x}''}{dx}$ .

Задача 1172

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\left(\cos t-\ln \operatorname {ctg} \frac{t}{2}\right), \\ y = a \sin t. \end{cases}

Найти $y_{x}'''$ .

?

Задача 1173

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\cos ^{3} t, \\ y = a\sin ^{3} t. \end{cases}

Найти $y_{x}'''$ .

?

Задача 1174

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = \frac{a\cos t}{\sqrt{\cos 2t}}, \\ y = \frac{a\sin t}{\sqrt{\cos 2t}}. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

?

Задача 1175

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\cos \varphi \sqrt[n]{\cos n\varphi }, \\ y = a\sin \varphi \sqrt[n]{\cos n\varphi }. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

?

Задача 1176

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a(1+\cos t)\cos t, \\ y = a(1-\cos t)\sin t. \end{cases}

Найти $\frac{d^{3}y}{dx^{3}}$ .

?

Задача 1177

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = \frac{a\cos t}{1+2\cos t}, \\ y = \frac{a\sin t}{1+2\cos t}. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

?

Задача 1178

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\cos ^{5} t, \\ y = a\sin ^{5} t. \end{cases}

Найти $\frac{d^{3}y}{dx^{3}}$ .

?

Задача 1179

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a(t+\sin t)+b\sin \frac{t}{2}, \\ y = a(2+\cos t)+b\cos \frac{t}{2}. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

?

Задача 1180

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = (2n+1)\cos t-\cos (2n+1)t, \\ y = (2n+1)\sin t-\sin (2n+1)t. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

?

Задача 1181

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\cos t, \\ y = b\sin t. \end{cases}

Найти $\frac{d^{4}y}{dx^{4}}$ .

?

Задача 1182

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\sin t(2-\sin ^{2} t), \\ y = b\sin ^{2} t \cdot \cos t. \end{cases}

Найти $\frac{d^{3}y}{dx^{3}}$ .

?

Задача 1183

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a(t-\sin t), \\ y = a\cos t. \end{cases}

Найти $\frac{d^{4}y}{dx^{4}}$ .

?

Задача 1184

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\cos t+(at+b)\sin t, \\ y = a\sin t-(at+b)\cos t. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

?

Задача 1185

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a(\cos t+t\sin t), \\ y = a(\sin t-t\cos t). \end{cases}

Найти $\frac{d^{3}y}{dx^{3}}$ .

?

Задача 1186

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\left(e^{t}(\sin t+\cos t)-1\right), \\ y = a\left(e^{t}(\sin t-\cos t)+1\right). \end{cases}

Найти $\frac{d^{3}y}{dx^{3}}$ .

?

Задача 1187

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a \frac{e^{t/2}}{\sqrt{\cos t-\sin t}}, \\ y = at-a\ln \sqrt{\cos t-\sin t}. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

?

Задача 1188

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = 2t\cos t+(t^{2}-2)\sin t, \\ y = 2t\sin t-(t^{2}-2)\cos t. \end{cases}

Найти $\frac{d^{3}y}{dx^{3}}$ .

?

Задача 1189

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\left(\frac{\sin t}{\cos ^{2} t}-\ln \operatorname {tg}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{t}{2}\right)\right), \\ y = \frac{a}{\cos ^{3} t}. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

?

Задача 1190

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = a\left(\frac{\sin t}{\cos ^{2} t}+\ln \operatorname {tg}\left(\frac{\pi }{4}+\frac{t}{2}\right)\right), \\ y = \frac{a}{\cos ^{3} t}. \end{cases}

Найти $\frac{d^{3}y}{dx^{3}}$ .

?

Задача 1191

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = \frac{t+t^{3}}{1+t^{4}}, \\ y = \frac{t-t^{3}}{1+t^{4}}. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

?

Задача 1192

Кривая задана уравнениями

\begin{cases} x = \frac{a}{1+t^{2}}, \\ y = bt-\frac{bt}{2(1+t^{2})}. \end{cases}

Найти $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ .

?

Задача 1193

Доказать, что при $x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}-1 = 0$ имеет место равенство $\frac{dx}{\sqrt{1-x^{4}}}+\frac{dy}{\sqrt{1-y^{4}}} = 0$ .

?

Задача 1194

Доказать, что при $a+b(x+y)+cxy = m(x-y)$ имеет место равенство

\frac{dx}{a+2bx+cx^{2}} = \frac{dy}{a+2by+cy^{2}}.

?

Задача 1195

Проверить, что если $y = \sqrt{\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}}$ , то

\frac{dy}{\sqrt{1-x^{4}}}+\frac{dx}{\sqrt{1-y^{4}}} = 0.

?

Задача 1196

Проверить, что если $A(a-cxy) = b+c(x+y)$ , то

\frac{dx}{a+bx+cx^{2}} = \frac{dy}{a+by+cy^{2}} = 0.

?

Задача 1197

Проверить, что если $x$ и $y$ связаны уравнением

x\sqrt{a+by+cy^{2}}+y\sqrt{a+bx+cx^{2}} = A(x-y),

то

\frac{dx}{x\sqrt{a+bx+cx^{2}}} = \frac{dy}{y\sqrt{a+by+cy^{2}}}.

?

Задача 1198

Если $P(x)$ и $Q(x)$ — полиномы, такие, что

\sqrt{1-P^{2}(x)} = Q(x)\sqrt{1-x^{2}},

то $\frac{dP(x)}{\sqrt{1-P^{2}(x)}} = n \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$ , причём $n$ — целое число. Доказать.

?