Функции нескольких переменных. Их производные и дифференциалы

Показать, что

Показать, что

а величина

всё же смысла не имеет.

Показать, что если $x \to \infty$ и $y \to \infty$ так, что отношение $\frac{y}{x}$ имеет любое данное постоянное значение, то $\frac{1}{1+(x^{2}-y)} \to 0$. В то же время эта величина может не стремиться ни к какому пределу, если отношение $\frac{y}{x}$ не постоянное.

Показать, что $f(x)$, определённая равенством

равна единице, если $x$ — рациональное число, и нулю, если $x$ — иррациональное число; $m$ и $n$ — натуральные числа.

Показать, что в любой окрестности точки $(0,0)$ функция $f(x,y)$, определённая равенствами

принимает всякое значение в интервале $(-1,1)$. При этом под окрестностью точки $(0,0)$ подразумевается любая область (круг, прямоугольник и т.п.), содержащая точку $(0,0)$ внутри.

Функция определена равенствами:

Показать, что эта функция непрерывна относительно каждой из переменных $x$ и $y$ в отдельности, не будучи в окрестности точки $(0,0)$ непрерывной функцией обеих переменных при их совместном изменении.

Показать, что функция, определённая при $x^{2}+y^{2} > 0$ равенством $f(x,y) = e^{x/(x^{2}+y^{2})}$, принимает каждое положительное значение в любой области, внутри которой содержится точка $(0,0)$.

Найти частные производные от функции $u = x^{3}+y^{3}-3xy$.

Найти частные производные от функции $u = 2x^{3}-3x^{2}y^{2}+3y^{3}$.

Найти частные производные от функции $u = xy+xz+yz$.

Найти частные производные от функции $u = x^{y}$.

Найти частные производные от функции $u = x^{3}+yz^{2}+3xy-x+z$.

Найти частные производные от функции $u = e^{xy}$.

Найти частные производные от функции $u = \operatorname {arctg} \frac{x}{y}$.

Найти частные производные от функции $u = xy-\frac{3}{x}+\frac{5}{y}$.

Найти частные производные от функции $u = x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+xz+yz$.

Найти частные производные от функции $u = (xy)^{z}$.

Найти частные производные от функции $u = z^{xy}$.

Найти полный дифференциал от функции $u = \sin (x^{2}+y^{2})$.

Найти полный дифференциал от функции $u = \operatorname {arctg} \frac{x}{y}$.

Найти полный дифференциал от функции $u = \ln \operatorname {tg} \frac{x}{y}$.

Найти полный дифференциал от функции $u = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.

Найти полный дифференциал от функции $u = \ln (x+y+z)$.

Найти полный дифференциал от функции $u = x^{y}$.

Проверить на примере теорему Эйлера непосредственным вычислением производных: $u = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \ln \frac{x}{y}$.

Проверить теорему Эйлера непосредственным вычислением производных: $u = \frac{x}{y}e^{x/z}$.

Проверить теорему Эйлера непосредственным вычислением производных: $u = \sin \frac{x+y+z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$.

Проверить теорему Эйлера непосредственным вычислением производных: $u = \frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.

Проверить теорему Эйлера непосредственным вычислением производных: $u = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.

Проверить теорему Эйлера непосредственным вычислением производных: $u = \operatorname {arctg} \frac{x}{y}$.

Найти производную функции $f = 4x^{3}-2xy+3y^{3}$ в точке $(1,2)$ по направлению $\frac{\pi }{3}$ к оси $Ox$.

Найти производную функции $f = 5x+10x^{2}y+y^{5}$ в точке $(1,2)$ по направлению, идущему к точке $(5,-1)$.

Найти производную функции $f = x^{2}+y^{2}$ в точке $(1,2)$ по направлению прямой $3x+4y = 11$:

Написать выражение производной функции $f(x,y)$:

Найти производную функции $f = x^{3}+2xy^{2}+3yz^{2}$ в точке $(3,3,1)$ по направлению вектора $2\overrightarrow {i}+2\overrightarrow {j}+\overrightarrow {k}$.

Найти производную функции $F = \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$ по направлению внешней нормали к поверхности $F = \mathrm{const}$.

Найти $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$, $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$, $\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$; $u = \frac{1}{2}\ln (x^{2}+y^{2})$.

Найти $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$, $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$, $\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$; $u = \operatorname {arctg} \frac{x+y}{1-xy}$.

Найти $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$, $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$, $\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$; $u = x\sin (x+y)+y\cos (x+y)$.

Найти $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$, если $u = x^{y}$.

Найти $\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{2} \partial y}$, если $u = \ln (x+y)$.

Найти $\frac{\partial^{4} u}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$, если $u = \ln (x^{2}+y^{2})$.

Найти $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$, $\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$, $\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}$, если $u = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.

Найти $\frac{\partial^{3} u}{\partial x \partial y \partial z}$, если $u = e^{xyz}$.

Найти $d^{2}u$, если $u = x^{2}-xy+2y^{2}+3x-5y+7$.

Найти $d^{2}u$, если $u = x^{2}y^{2}$.

Найти $d^{2}u$, если $u = e^{xy}$.

Найти $d^{2}u$, если $u = \frac{1}{2}\ln (x^{2}+y^{2})$.

Найти $d^{2}u$, если $u = \sin (x+y+z)$.

Найти $d^{4}u$, если $u = x^{4}+4x^{3}y+2xy^{2}z-3xyz^{2}+z^{4}$.

Найти $d^{4}u$, если $u = x^{4}-3x^{2}y^{2}+y^{4}+5xyz-x^{3}-y^{3}+x^{2}-xy+y^{2}+2x-5y$.

Найти $d^{4}u$, если $u = x^{4}+3x^{3}y+z^{4}-x^{2}y+z^{3}$.

Найти $d^{3}u$, если $u = xyz$.

Найти $d^{4}u$, если $u = \ln (2x+3y-z)$.

Найти частные производные, вычислив сначала полные дифференциалы нужного порядка: $u = \sin (2x+y)$; найти $\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}$ и $\frac{\partial^{3} u}{\partial x \partial y^{2}}$.

Найти частные производные, вычислив сначала полные дифференциалы нужного порядка: $u = \cos (x+y)$; найти $\frac{\partial^{4} u}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$.

Найти частные производные, вычислив сначала полные дифференциалы нужного порядка: $u = \ln (ax+by+cz)$; найти $\frac{\partial^{4} u}{\partial x^{4}}$ и $\frac{\partial^{4} u}{\partial x^{2} \partial y^{2}}$.

Найти частные производные, вычислив сначала полные дифференциалы нужного порядка: $u = e^{x+2y+3z}$; найти $\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}$ и $\frac{\partial^{3} u}{\partial x \partial y \partial z}$.

Найти полные дифференциалы первых двух порядков для сложной функции $u = \varphi (t)$; $t = xy$.

Найти полные дифференциалы первых двух порядков для сложной функции $u = \varphi (t)$; $t = x^{2}+y^{2}$.

Найти полные дифференциалы первых двух порядков для сложной функции $u = \varphi (t)$; $t = x^{2}+y^{2}+z^{2}$.

Найти полные дифференциалы первых двух порядков для сложной функции $u = \varphi (\xi ,\eta )$; $\xi = ax+by+cz$, $\eta = a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z$.

Найти полные дифференциалы первых двух порядков для сложной функции $u = \varphi (\xi ,\eta ,\zeta )$; $\xi = ax$, $\eta = by$, $\zeta = cz$.

Найти производные первых двух порядков от функции $u = \varphi (\xi ,\eta )$; $\xi = x+y$, $\eta = x-y$.

Найти производные первых двух порядков от функции $u = \varphi (\xi ,\eta )$; $\xi = x^{2}+y^{2}$, $\eta = xy$.

Найти производные порядка $n$ от $u = \varphi (t)$, где $t = ax+by+cz$.

Найти $\frac{\partial^{n} u}{\partial x^{n}}$, если $u = \varphi (\xi ,\eta ,\zeta )$, $\xi = ax$, $\eta = by$, $\zeta = cz$.

Показать, что если $x^{2} = \eta \xi$, $y^{2} = \zeta \xi$, $z^{2} = \xi \eta$, то

Полагая $x = \rho \cos \varphi$, $y = \rho \sin \varphi$, найти

Полагая $x = \rho \sin \varphi \cos \psi$, $y = \rho \sin \varphi \sin \psi$, $z = \rho \cos \varphi$, вычислить величину функционального определителя (якобиана)

Положив $r^{2} = a^{2}+\rho^{2}-2a\rho \cos \varphi$, найти $\frac{D(\rho ,\varphi ,\psi )}{D(\rho ,r,\psi )}$.

Полагая $x = \xi \eta \zeta$, $y = \xi \eta -\xi \eta \zeta$, $z = \eta -\xi \eta$, найти якобиан $\frac{D(x,y,z)}{D(\xi ,\eta ,\zeta )}$.

Доказать, что при $x = \cos \varphi$, $y = \sin \varphi \cos \theta$, $z = \sin \varphi \sin \theta \cos \psi$ якобиан равен $-\sin^{3}\varphi \sin^{2}\theta \sin \psi$.

Доказать, что при

где $r^{2} = x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$; справедливо равенство

Доказать, что

Здесь $v = v(x^{1},x^{2},\ldots ,x_{n};y^{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$ — функция с непрерывными вторыми производными.

Доказать, что для однородных функций $\varphi (x,y,z)$ измерения $n$ справедливо равенство

Проверить, что $\frac{\partial u}{\partial t} = a^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$, если $u = \frac{1}{\sqrt{t}} e^{-x^{2}/(4a^{2}t)}$.

Проверить, что $x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+z\frac{\partial u}{\partial z} = 0$, если $u = \left(\frac{x}{y}\right)^{z/y}$.

Вычислить $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-2\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$, если $u = \varphi (x+y)$.

Вычислить $x^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-2xy\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$, если $u = f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$.

Вычислить $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\right)^{2}$, если $u = \varphi (xy)$.

Функция, называемая потенциалом шара $x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}$, определяется равенствами:

Проверить, что $u$ и её первые производные непрерывны при любых $x$, $y$ и $z$ и что лапласиан

смотря по тому, лежит ли точка $M(x,y,z)$ вне шара $x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}$ или внутри его.

Проверить равенство

Проверить равенство $\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{3}{x+y+z}$; $u = \ln (x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz)$.

Проверить равенство $\frac{1}{x}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{y}\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{z}{y^{2}}$; $z = y\varphi (x^{2}-y^{2})$.

Проверить равенство $x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y} = xy+u$; $u = xy+x\varphi \left(\frac{y}{x}\right)$.

Проверить равенство $\frac{\partial^{2} \ln r}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \ln r}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \ln r}{\partial z^{2}} = \frac{1}{r^{2}}$; $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.

Проверить равенство $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-2\alpha \frac{\partial u}{\partial y} = \alpha^{2}u$; $u = e^{-\alpha x}\varphi (x-y)$.

Проверить равенство $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = -2\varphi ''$; $u = \varphi (y-x)-x\varphi '(y-x)$.

Проверить равенство $(x^{2}-y^{2})\frac{\partial z}{\partial x}+xy\frac{\partial z}{\partial y} = xyz$; $z = e^{y}\varphi \left(ye^{x^{2}/(2y^{2})}\right)$.

Проверить равенство $x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y} = u-x^{2}-y^{2}$; $u = x\varphi \left(\frac{y}{x}\right)-x^{2}-y^{2}$.

Проверить равенство $\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = a^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$; $u = \varphi (x+at)+\psi (x-at)$.

Проверить равенство $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$; $u = \ln (x^{2}+y^{2})$.

Проверить равенство $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = 0$; $u = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$.

Проверить равенство $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = a^{2}u$; $u = \frac{1}{r}(Ae^{-ar}+Be^{ar})$, где $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.

Проверить равенство $\frac{\partial^{2} \ln z}{\partial x \partial y} = 2z$; $z = \frac{\varphi '(x)\psi '(x)}{(\varphi (x)+\psi (y))^{2}}$.

Проверить равенство $x^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2xy\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$, если $u = x\varphi \left(\frac{y}{x}\right)$.

Проверить равенство $x^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2xy\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y} = n^{2}u$, где $u = x^{n}\varphi \left(\frac{y}{x}\right)+y^{-n}\psi \left(\frac{y}{x}\right)$.

Проверить равенство $x^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2xy\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = n(n-1)u$, где $u = x^{n}\varphi \left(\frac{y}{x}\right)+x^{1-n}\psi \left(\frac{y}{x}\right)$.

Проверить равенство $\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$, если $u = f\left(x+\varphi (y)\right)$.

Проверить равенство $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-2\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$, если $u = x\varphi (x+y)+y\psi (x+y)$.

Проверить равенство

где $u = \varphi (ay+bx)\psi (bx-ay)$.