Банк задач по математике

Задача 1340

Принять $y$ за новую независимую переменную и преобразовать уравнение $y''-xy'^{3}+e^{y}y'^{3} = 0$ .

?

Примечание.

?

Иногда приходится менять роль переменных, принимая за неизвестные переменные те, которые раньше считались функциями. От этого выражения, содержащие производные, обыкновенно меняют вид.

Если независимая переменная $x$ заменяется новой независимой переменной $t$ с помощью равенства $x = \varphi (t)$ , то удобнее всего пользоваться формулами

y_{x}' = \frac{1}{\varphi '(t)}\frac{dy}{dt}, \qquad y_{x}'' = \frac{1}{\varphi '(t)}\left(\frac{1}{\varphi '(t)} \cdot \frac{dy}{dt}\right)', \qquad y_{x}''' = \frac{1}{\varphi '}\left(\frac{1}{\varphi '}\left(\frac{1}{\varphi '} \cdot \frac{dy}{dt}\right)'\right)', \ \ldots

Здесь в левых частях производные взяты по $x$ , а в правых частях производные берутся по $t$ .

В частности, если за новую переменную берётся $y$ , то, полагая $x = \varphi (y)$ , можем применить прежние формулы, где теперь

\frac{dy}{dt} = 1; \quad \varphi (t) = x; \quad \varphi '(t) = x'; \quad \ldots

Таким образом получаются равенства:

y' = \frac{1}{x'}, \quad y'' = -\frac{x''}{x'^{3}}, \quad y''' = \frac{3x''^{2}-x'x'''}{x'^{5}}, \ \ldots

Задача 1341

Преобразовать уравнение $y'y'''-3y''^{2} = 0$ , приняв независимую переменную $x$ за функцию от $y$ .

?

Задача 1342

Таким же образом преобразовать уравнение

y'^{2}y^{\mathrm{IV}}-10y'y''y'''+15y''^{3} = 0.

?

Задача 1343

В уравнении $(1-x^{2})\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-x\frac{dy}{dx}+a^{2}y = 0$ положить $x = \cos t$ .

?

Задача 1344

В уравнении $x^{2}y''+3xy'+y = 0$ положить $x = e^{t}$ .

?

Задача 1345

В уравнении $x^{3}y'''+2x^{2}y''-xy'+y = 0$ положить $t = \ln x$ .

?

Задача 1346

В уравнении $(x+a)^{3}y'''+3(a+x)^{2}y''+(a+x)y'+by = 0$ положить $\ln (a+x) = t$ .

?

Задача 1347

В уравнении $(1+x^{2})^{2}y''+2x(1+x^{2})y'+y = 0$ положить $x = \operatorname {tg} t$ .

?

Задача 1348

Показать, что подстановкой $x = \frac{1}{2}\ln \operatorname {tg} 2t$ уравнение

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+2\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{e^{2x}+e^{-2x}}\frac{dy}{dx}+\frac{4m^{2}y}{(e^{2x}+e^{-2x})^{2}} = 0

преобразуется в уравнение $y''+4m^{2}y = 0$ .

?

Задача 1349

Подстановкой $x = \sqrt{1-t^{2}}$ преобразовать уравнение

(x-x^{3})y''+(1-3x^{2})y'-xy = 0.

Доказать, что новое уравнение будет того же вида, что и прежнее.

?

Задача 1350

Преобразовать уравнение

(1-x^{2})^{2}y'''-2x(1-x^{2})y'+\frac{2xy}{1-x} = 0,

положив $x = \frac{e^{2t}-1}{e^{2t}+1}$ .

?

Примечание.

?

В следующих задачах удобно воспользоваться независимыми от выбора аргумента формулами, выражающими производные через дифференциалы:

y' = \frac{dy}{dx}, \qquad y'' = \frac{dx \, d^{2}y-dy \, d^{2}x}{dx^{3}}, \ \ldots

Задача 1351

Преобразовать выражение $\frac{xy'-y}{\sqrt{1+y'^{2}}}$ к полярным координатам, положив $x = r\cos \varphi$ , $y = r\sin \varphi$ .

?

Задача 1352

Тот же вопрос для выражения $\frac{x+yy'}{xy'-y}$ .

?

Задача 1353

Тот же вопрос для выражения $\frac{(1+y'^{2})^{3/2}}{y''}$ .

?

Задача 1354

В уравнении $(1-x^{2})^{2}(a-y'') = by$ положить

x = \operatorname {th} \xi , \qquad y = \frac{a\eta }{\operatorname {ch} \xi },

где $\xi$ — аргумент, а $\eta$ — функция.

?

Задача 1355

В уравнении $2y''+(x+y)(1-y')^{3} = 0$ положить $x-y = u$ , $x+y = v$ и принять $u$ за аргумент, а $v$ — за функцию.

?

Задача 1356

Преобразовать уравнение $y'' = \frac{A}{(x-\alpha )^{2}(x-\beta )^{2}}y$ , положив $u = \frac{y}{x-\beta }$ , $t = \ln \frac{x-\alpha }{x-\beta }$ и приняв $t$ за аргумент, а $u$ — за функцию.

?

Задача 1357

Преобразовать уравнение

x\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-\frac{dy}{dx}+xy = 0,

взяв за новый аргумент $t = \frac{x^{2}}{4}$ .

?

Задача 1358

Преобразовать уравнение

xy\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-x\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}+y\frac{dy}{dx} = 0,

взяв за аргумент $y$ и за новую функцию $z = \ln \frac{y}{x}$ .

?

Задача 1359

Переменная $x$ есть функция от $t$ . Вместо неё вводится новая функция с помощью дробно-линейной подстановки

y = \frac{\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta },

где $\alpha \delta -\beta \gamma \neq 0$ . Доказать равенство

\frac{x'''}{x'}-\frac{3}{2}\left(\frac{x''}{x'}\right)^{2} = \frac{y'''}{y'}-\frac{3}{2}\left(\frac{y''}{y'}\right)^{2}

(Шварц).

?

Задача 1360

В уравнении $9y''^{2}y^{\mathrm{V}}-45y''y'''y^{\mathrm{IV}}+40y'''^{3} = 0$ переменные $x$ и $y$ подвергаются гомографическому преобразованию по формулам:

y = \frac{a_{1}X+b_{1}Y+c_{1}}{aX+bY+c}, \qquad x = \frac{a_{2}X+b_{2}Y+c_{2}}{aX+bY+c}.

Доказать, что вид уравнения не изменится.

?

Примечание.

?

В следующих задачах требуется преобразовать выражение, содержащее частные производные по $x$ и по $y$ , вводя новые независимые переменные. Если новые переменные даны равенствами $u = \varphi (x,y)$ , $v = \psi (x,y)$ , то по правилу дифференцирования сложной функции имеем

\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial \varphi }{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial \psi }{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial \varphi }{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial \psi }{\partial y}.

Эти равенства позволяют от производных по $x$ и по $y$ перейти к производным по $u$ и $v$ . Следуя тому же пути дальше, можно выразить и производные высших порядков.

Задача 1361

В уравнении $y\frac{\partial z}{\partial x}-x\frac{\partial z}{\partial y} = 0$ ввести новые независимые переменные $u$ и $v$ , положив $u=x$ , $v=x^{2}+y^{2}$ .

?

Задача 1362

В уравнении $x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}-z = 0$ положить $u=x$ , $v=\frac{y}{x}$ и принять $u$ и $v$ за новые независимые переменные.

?

Задача 1363

Такой же вопрос для уравнения

(x+mz)\frac{\partial z}{\partial x}+(y+nz)\frac{\partial z}{\partial y} = 0,

где $u=x$ , $v=\frac{y+nz}{x+mz}$ .

?

Задача 1364

Преобразовать к полярным координатам, положив $x = r\cos \varphi$ , $y = r\sin \varphi$ , выражение $w = x\frac{\partial u}{\partial y}-y\frac{\partial u}{\partial x}$ .

?

Задача 1365

Преобразовать к полярным координатам, положив $x = r\cos \varphi$ , $y = r\sin \varphi$ , выражение $w = x\frac{\partial u}{\partial x}-y\frac{\partial u}{\partial y}$ .

?

Задача 1366

Преобразовать к полярным координатам, положив $x = r\cos \varphi$ , $y = r\sin \varphi$ , выражение $w = \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}$ .

?

Задача 1367

Преобразовать к полярным координатам, положив $x = r\cos \varphi$ , $y = r\sin \varphi$ , выражение $w = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ .

?

Задача 1368

Преобразовать к полярным координатам, положив $x = r\cos \varphi$ , $y = r\sin \varphi$ , выражение

w = y^{2}\frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2}}-2xy\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}+x^{2}\frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2}}-x\frac{\partial z}{\partial x}-y\frac{\partial z}{\partial y}.

?

Задача 1369

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные, преобразовать уравнение $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-a^{2}\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0$ ; $u = y+ax$ , $v = y-ax$ .

?

Задача 1370

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные, преобразовать уравнение $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+m^{2}z = 0$ ; $2x = u^{2}-v^{2}$ , $y = uv$ .

?

Задача 1371

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные, преобразовать уравнение $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+2xy^{2}\frac{\partial z}{\partial x}+2(y-y^{3})\frac{\partial z}{\partial y}+x^{2}y^{2}z = 0$ ; $x = uv$ , $y = \frac{1}{v}$ .

?

Задача 1372

При помощи подстановки вида $u = x+\alpha y$ , $v = x+\beta y$ преобразовать уравнение

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2}}-(a+b)\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}+ab\frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2}} = 0

к виду

\frac{\partial ^{2} z}{\partial u \partial v} = 0.

?

Задача 1373

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные, а $w$ — за новую функцию, преобразовать к новым переменным уравнение $\frac{\partial z}{\partial y}+\frac{1}{2}y\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = \frac{1}{x}$ ; $u = \frac{x}{y}$ , $v = x$ , $w = xz-y$ .

?

Задача 1374

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные, а $w$ — за новую функцию, преобразовать к новым переменным уравнение $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}-2\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = 0$ ; $u = x+y$ , $v = \frac{y}{x}$ , $w = \frac{z}{x}$ .

?

Задача 1375

Приняв $u$ и $v$ за новые независимые переменные, а $w$ — за новую функцию, преобразовать к новым переменным уравнение $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+2\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0$ ; $u = x+y$ , $v = x-y$ , $w = xy-z$ .

?

Задача 1376

Какой вид принимает уравнение $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+u = 0$ , если $u = \varphi (r)$ , где $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ?

?

Задача 1377

Тот же вопрос для уравнения

\frac{\partial ^{4} u}{\partial x^{4}}+2\frac{\partial ^{4} u}{\partial x^{2} \partial y^{2}}+\frac{\partial ^{4} u}{\partial y^{4}} = 0.

?

Задача 1378

Какой вид принимает уравнение $\frac{\partial^{2} w}{\partial x \partial y}+aw = 0$ , если $w = \varphi (u)$ , где $u = (x-x_{0})(y-y_{0})$ ?

?

Задача 1379

Какой вид принимает уравнение $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}+u = 0$ , если $u = \varphi (r)$ , $r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ?

?

Задача 1380

Выражения

\Delta _{1}v = \left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial v}{\partial z}\right)^{2}

и

\Delta _{2}v = \frac{\partial ^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} v}{\partial y^{2}}+\frac{\partial ^{2} v}{\partial z^{2}}

преобразовать к сферическим координатам, полагая

x = r\sin \theta \cos \varphi , \qquad y = r\sin \theta \sin \varphi , \qquad z = v\cos \theta .

?

Задача 1381

Если $x = \varphi (u,v)$ , $y = \psi (u,v)$ и притом $\frac{\partial \varphi }{\partial u} = \frac{\partial \psi }{\partial v}$ , $\frac{\partial \varphi }{\partial v} = -\frac{\partial \psi }{\partial u}$ , то

\frac{\partial ^{2} w}{\partial u^{2}}+\frac{\partial ^{2} w}{\partial v^{2}} = \left(\frac{\partial ^{2} w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2} w}{\partial y^{2}}\right)\left(\left(\frac{\partial \varphi }{\partial u}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi }{\partial v}\right)^{2}\right).

Доказать.

?

Задача 1382

Доказать, что, вводя новые переменные по формулам

X = \frac{dy}{dx}, \qquad Y = x\frac{dy}{dx}-y,

получим, что $x = \frac{dY}{dX}$ , $y = X\frac{dY}{dX}-Y$ .

?

Задача 1383

Преобразование Ампера состоит в том, что новые переменные вводятся формулами:

X = x, \qquad Y = \frac{\partial z}{\partial y}, \qquad Z = z-y\frac{\partial z}{\partial y}.

Доказать, что при этом получаются равенства:

\frac{\partial Z}{\partial X} = \frac{\partial z}{\partial x}, \qquad \frac{\partial Z}{\partial Y} = -y, \qquad z = Z-Y\frac{\partial Z}{\partial Y}.

?

Задача 1384

Преобразование Лежандра состоит в том, что вместо переменных $x$ , $y$ и $z$ вводятся новые по формулам $X = p$ , $Y = q$ , $Z = px+qy-z$ , где $p = \frac{\partial z}{\partial x}$ и $q = \frac{\partial z}{\partial y}$ . Доказать, что для производных от новых переменных получаются равенства:

\frac{\partial Z}{\partial X} = x, \qquad \frac{\partial Z}{\partial Y} = y,

\frac{\partial ^{2} Z}{\partial X^{2}} = \frac{t}{rt-s^{2}}, \qquad \frac{\partial ^{2} Z}{\partial X \partial Y} = -\frac{s}{rt-s^{2}}, \qquad \frac{\partial ^{2} Z}{\partial Y^{2}} = \frac{r}{rt-s^{2}},

где

r = \frac{\partial ^{2} z}{\partial x^{2}}, \qquad s = \frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}, \qquad t = \frac{\partial ^{2} z}{\partial y^{2}}.

?

Замена переменных