Банк задач по математике

Задача 1085

У параболы $y = \frac{4x-x^{2}}{4}$ проведены касательные в точках $(0,0)$ , $(2,1)$ , $(4,0)$ . Найти их углы наклона к оси $Ox$ .

?

Примечание.

?

Если $y = f(x)$ — уравнение кривой, а функция $f(x)$ имеет производную $y' = f'(x)$ , то кривая имеет касательную в точке с абсциссой $x$ . Если $\alpha$ — угол наклона касательной, т.е. угол от положительного направления оси $Ox$ до касательной, то $\operatorname {tg} \alpha = f'(x)$ . В силу этого уравнение касательной к кривой имеет вид

Y-y = y'(X-x),

а уравнение нормали таково:

Y-y = -\frac{1}{y'}(X-x).

Здесь $(x,y)$ — точка касания, а $(X,Y)$ — точка на касательной или нормали.

Задача 1086

Найти угол наклона касательной к гиперболе $xy = a^{2}$ в точке $(a,a)$ .

?

Задача 1087

Под каким углом кривая $y = \ln x$ пересекает ось $Ox$ ?

?

Задача 1088

Тот же вопрос для синусоиды $y = \sin x$ .

?

Задача 1089

При каком значении $A$ синусоида $y = A \sin \frac{x}{a}$ пересекает $Oy$ под углом $45°$ ?

?

Задача 1090

При каком $a$ кривая $y = a^{x}$ пересекает ось $Oy$ под углом $\frac{\pi }{4}$ ?

?

Задача 1091

Под каким углом пересекаются с осью $Oy$ кривые

y = \sin x \sqrt{3}, \quad y = \frac{x}{1+x^{2}}, \quad y = \frac{x}{\sqrt{3+x^{2}}}.

?

Задача 1092

При каком значении $a$ кривая $y = \frac{ax-x^{3}}{4}$ пересекает ось $Ox$ под углом $45°$ ?

?

Задача 1093

Доказать, что у параболы $y = ax^{2}$ подкасательная равна половине абсциссы.

?

Примечание.

?

Если $M(x,y)$ — точка касания кривой $y=f(x)$ , $P$ — её проекция на ось $Ox$ , а касательная и нормаль к кривой в точке $M$ пересекают $Ox$ соответственно в точках $T$ и $N$ , то получающиеся отрезки имеют названия: $TP$ — подкасательная, $PN$ — поднормаль, $TM$ — касательная, $MN$ — нормаль. Они выражаются через $y$ и $y'$ , взятые в точке касания, по формулам:

TP = \frac{y}{y'}, \quad PN = yy', \quad TM = \frac{y}{y'}\sqrt{1+y'^{2}}, \quad MN = y\sqrt{1+y'^{2}}.

Задача 1094

Доказать, что у параболы $y^{2} = 2px$ поднормаль постоянна, независимо от выбора точки касания.

?

Задача 1095

Доказать, что у кривой $y = a^{x}$ подкасательная имеет постоянную длину.

?

Задача 1096

Доказать, что у параболы $y^{2} = 2px$ подкасательная равна удвоенной абсциссе точки касания.

?

Задача 1097

Доказать, что у цепной линии $y = a \operatorname {ch} \frac{x}{a}$ ордината есть среднее геометрическое между нормалью и величиной $a$ .

?

Задача 1098

Доказать, что у кривых $y = ax^{n}$ отношение подкасательной к абсциссе точки касания есть величина постоянная.

?

Задача 1099

Найти уравнение касательной к параболе $y = 3x-x^{2}$ в точке $(1,2)$ .

?

Задача 1100

Найти касательную к параболе

y = \frac{x^{2}-3x+3}{3},

параллельную прямой $y = x$ .

?

Задача 1101

Доказать, что касательная к гиперболе $xy = a^{2}$ образует с осями координат треугольник постоянной площади.

?

Задача 1102

Доказать, что у астроиды

x^{2/3}+y^{2/3} = a^{2/3}

длина отрезка касательной между осями есть величина постоянная.

?

Задача 1103

При каком соотношении между коэффициентами парабола $y = ax^{2}+bx+c$ касается оси $Ox$ ?

?

Задача 1104

Тот же вопрос для параболы 3-го порядка $y = x^{3}+px+q$ .

?

Задача 1105

При каком значении $a$ кривая $y = a^{x}$ касается прямой $y = x$ ? Найти точку касания.

?

Задача 1106

Последовательность чисел составляется по такому закону:

x_{1} = a, \quad x_{2} = a^{a}, \quad x_{3} = a^{a^{a}}, \ldots

и вообще $x_{n} = a^{x_{n-1}}$ . Доказать, рассматривая линии $y = a^{x}$ и $y = x$ , что при $e^{-e} < a < e^{1/e}$ величина $x_{n}$ стремится к определённому пределу, когда $n \to \infty$ .

?

Задача 1107

Эллипс задан уравнениями

\begin{cases} x = a\cos t, \\ y = b\sin t. \end{cases}

Найти угол касательной к нему с осью $Ox$ .

?

Задача 1108

Астроида задана уравнениями

\begin{cases} x = a\cos ^{3} t, \\ y = a\sin ^{3} t. \end{cases}

Найти угол касательной к ней с осью $Ox$ в точке, где $t = \frac{3\pi }{4}$ .

?

Задача 1109

Циклоида задана уравнениями

\begin{cases} x = a(t-\sin t), \\ y = a(1-\cos t). \end{cases}

Найти угол наклона касательной к ней.

?

Задача 1110

Циклоида образована качением круга по прямой. Доказать, что нормаль к циклоиде проходит через точку касания круга и прямой.

?

Задача 1111

Найти касательную к кривой

\begin{cases} x = t^{2}-3t+4, \\ y = t^{2}-4t+4 \end{cases}

в точке $(2,1)$ .

?

Задача 1112

На кривой

\begin{cases} x = 2t^{3}-9t^{2}+12t-1, \\ y = t^{2}+t+1 \end{cases}

найти точки, касательные в которых параллельны оси $Oy$ .

?

Задача 1113

Найти наклон касательной к кривой

\begin{cases} x = t^{4}-2t^{3}-t^{2}+4t-2, \\ y = t^{4}+2t^{3}-t^{2}-4t-2, \end{cases}

если $(0,0)$ — точка касания.

?

Геометрическое значение производной