Глава 13

Приближенные вычисления

[183/55%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

13.1 · Интерполирование. Теория погрешностей[35/94%]

Задача 5188

(а)(б)(в)

Полагая, что написанные числа верны только до последней значащей цифры, найти приближенные значения следующих величин:

(а)

$0{,}53784 \cdot 42{,}46578$ ;

(б)

$0{,}234 + 4{,}3758 + 15{,}372 \cdot 0{,}3762$ ;

(в)

$\sqrt{2{,}375} + \frac{0{,}375}{4{,}578}$ .

Задача 5189

Угол при измерении угломерным прибором оказался равным $32^{\circ }13'25'' \pm 10''$ . Какова относительная погрешность?

Задача 5190

Сторона квадрата приблизительно равна $1 \, \text{м}$ . С какой степенью точности ее надо измерить, чтобы погрешность площади была не больше $1 \, \text{см}^{2}$ ?

Задача 5191

Маятник длиною около $2 \, \text{м}$ совершил около 400 качаний. Зная, что длина его измерена с точностью до $1 \, \text{мм}$ , а общая продолжительность колебаний измерена с точностью до $0{,}5 \, c$ , определить, с какой точностью можно найти по этим данным величину ускорения $g$ , а также выяснить, какая ошибка измерения сильнее сказывается на результате.

Задача 5192

При измерении длины пролета строящегося моста на одном берегу реки отложена линия (базис), равная $200 \, \text{м} \pm 0{,}01 \, \text{м}$ . Измерены углы между базисом и направлениями из концов его на точку за рекой. Они оказались $90^{\circ }\pm 1'$ и $60^{\circ }\pm 1'$ . С какой степенью точности можно определить по этим данным длину пролета моста?

Задача 5193

При какой величине угла относительная ошибка вычисления катета прямоугольного треугольника по данному катету и противолежащему углу будет особенно мала, если пренебрегать ошибкой в измерении данного катета?

Задача 5194

В поле зрения зрительной трубы нивелира видны две горизонтальные линии. При рассмотрении в эту трубу вертикальной рейки с дециметровыми делениями между нитями видны 10 делений рейки, если рейка удалена на $50 \, \text{м}$ . При переносе рейки в другой пункт между теми же делениями видны $25 \pm 0{,}2$ деления. Каково расстояние до нового положения рейки?

Задача 5195

В пятизначных логарифмических таблицах даны десятичные логарифмы чисел с точностью до $\frac{1}{2} \cdot 10^{-5}$ . Как велика может быть погрешность при нахождении числа по логарифму, если число заключено между числами 300 и 400?

Задача 5196

Тот же вопрос в применении к таблице логарифмов синусов и логарифмов тангенсов, если угол около $45^{\circ }$ .

Задача 5197

Длина периметра правильного вписанного 96-угольника, которой пользовался Архимед при вычислении $\pi$ , выражается при $r=1$ формулой

P = 96 \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}.

Если вычислять непосредственно по этой формуле, желая получить $P$ с точностью до $0{,}001$ , с какой точностью надо производить вычисление подкоренных величин?

Задача 5198

Гипсометрическая формула, по которой определяют высоту места над землей, такова:

p = p_{0} e^{-\frac{h}{18\, 400(1-at)}}.

При этом $p_{0}$ — давление на поверхности земли, $p$ — давление в данном месте на высоте $h$ , $a = \frac{1}{273}$ , $t$ — температура по Цельсию. Определить, какова погрешность в определении высоты, если $t=0^{\circ }$ , а величина $p = 500 \, \text{мм}$ с точностью до $1 \, \text{мм}$ .

Задача 5199

Найти целую функцию от $x$ , по возможности низкой степени, принимающую при $x=2, 4, 5, 10$ соответственно значения $3, 7, 9, 19$ .

Задача 5200

Найти целую функцию от $x$ , по возможности низкой степени, принимающую при $x=2, 4, 5, 10, 15$ соответственно значения $3, 7, 9, 19, 0$ .

Задача 5201

Найти целую функцию от $x$ , по возможности низкой степени, принимающую при $x=1,2,3,4,5$ , соответственно значения $2, 1, -1, 5, 0$ .

Задача 5202

Найти многочлен $f(x)$ , по возможности низкой степени, принимающий при $x = -2, -1, 0, 1, 2$ те же значения, что и функция $y = \sin \dfrac {\pi x}{2}$ . Определить величину разности $f(x) - y$ при значениях $x$ , равных $\dfrac {1}{2}, \dfrac {5}{3}, 10$ .

Задача 5203

Найти многочлен $f(x)$ , по возможности низкой степени, принимающий при $x=-2, -\dfrac {4}{3}, 0, \dfrac {4}{3}, 2$ те же значения, что и функция $y = \cos \dfrac {\pi x}{4}$ . Определить значения разности $f(x) - y$ при значениях $x$ , равных $-1, 3, 10$ .

Задача 5204

Для функции $y = x^{3} - 3x^{2} + 5x - 7$ при $x=0$ вычислены значения разностей $\Delta y_{0} = +3$ , $\Delta^{2} y_{0} = 0$ , $\Delta^{3} y_{0} = 5$ , соответствующие приращению $h_{0}=1$ аргумента. Требуется вычислить разности $\overline{\Delta y_{0}}$ , $\overline{\Delta^{2} y_{0}}$ , $\overline{\Delta^{3} y_{0}}$ , соответствующие приращению аргумента $h_{1} = \dfrac {1}{10}$ .

Задача 5205

Для функции $y = 2x^{4} - x^{3} + 3x^{2} - 1$ при $x=0$ вычислены разности $\Delta y_{0} = 4$ , $\Delta^{2} y_{0} = 28$ , $\Delta^{3} y_{0} = 66$ , $\Delta^{4} y_{0} = 48$ , соответствующие приращению $h_{0}=1$ аргумента. Требуется вычислить разности $\overline{\Delta y_{0}}$ , $\overline{\Delta^{2} y_{0}}$ , $\overline{\Delta^{3} y_{0}}$ , $\overline{\Delta^{4} y_{0}}$ , соответствующие приращению аргумента $h_{1} = \dfrac {1}{10}$ .

Задача 5206

Найти уравнение прямой, для которой сумма квадратов расстояний до точек $(3,2)$ , $(7,5)$ , $(12,9)$ , $(-3,-2)$ была бы наименьшей.

Задача 5207

Найти уравнение параболы второго порядка так, чтобы сумма квадратов расстояний до нее по вертикали от точек $(-3,4)$ , $(-2,2)$ , $(-1,1)$ , $(0,0)$ , $(1,1)$ , $(2,2)$ , $(3,3)$ была бы наименьшей.

Задача 5208

Пользуясь таблицей

$x$	$\ln x$	$10^{10} \Delta \ln x$	$10^{10} \Delta ^{2} \ln x$
1, 005	3{,}002166059	4, 319, 184{,}7	$-4\, 291{,}3$
1, 006	3{,}002597978	4, 314, 893{,}4	$-4\, 282{,}8$

вычислить $\ln 1005{,}237$ , определив точность вычислений. Числа таблицы даны с точностью до $\frac{1}{2}$ последнего знака.

Задача 5209

Пользуясь таблицей задачи 5208, найти $x$ по данному $\ln x = 3{,}002268651$ .

Задача 5210

Пользуясь таблицей

$u$	$\ln \operatorname {sh} u$	$10^{5} \Delta \ln \operatorname {sh} u$	$\ln \operatorname {ch} u$	$10^{5} \Delta \ln \operatorname {ch} u$
0{,}500	9{,}71692	94{,}0	0{,}05217	20{,}1
0{,}501	9{,}71786	93{,}8	0{,}05237	20{,}1
0{,}502	9{,}71879	93{,}7	0{,}05257	20{,}1
0{,}503	9{,}71973	93{,}5	0{,}05277	20{,}2
0{,}504	9{,}72066	93{,}3	0{,}05297	20{,}2

найти $\operatorname {sh} 0{,}50235$ .

Задача 5211

Найти корень уравнения $\operatorname {ch} u = 1{,}1287$ . См. таблицу задачи 5210.

Задача 5212

При помощи данных таблицы

$x$	$\sin x$
$41^{\circ }$	0{,}6560590290
$42^{\circ }$	0{,}6691306064
$43^{\circ }$	0{,}6819983601
$44^{\circ }$	0{,}6946583705

вычислить с возможной точностью $\sin 41^{\circ }20'$ .

Задача 5213

По данным таблицы

$\varphi$	$F(\varphi ) = \int _{0}^{\varphi } \dfrac {d\varphi }{\sqrt{1 - \frac{1}{2}\sin ^{2}\varphi }}$
$21{,}0^{\circ }$	0{,}3706344
$21{,}5^{\circ }$	0{,}3796626
$22{,}0^{\circ }$	0{,}3887052
$22{,}5^{\circ }$	0{,}3977625

(таблица 13.1) вычислить $F(\varphi )$ при $\varphi = 21^{\circ }15'$ .

Задача 5214

По данным таблицы

$\varphi$	$F(\varphi ) = \int _{0}^{\varphi } \dfrac {d\varphi }{\sqrt{1 - \frac{1}{2}\sin ^{2}\varphi }}$
$28{,}0^{\circ }$	0{,}49846361
$28{,}5^{\circ }$	0{,}50772435
$29{,}0^{\circ }$	0{,}51700422
$29{,}5^{\circ }$	0{,}52630357

(таблица 13.2) вычислить корень уравнения $F(\varphi ) = 0{,}5$ .

Задача 5215

По данным таблицы

$x$	$\psi (x) = \dfrac {d \ln \Gamma (1+x)}{dx}$
0{,}71	0{,}2164501462
0{,}72	0{,}2242928871
0{,}73	0{,}2320769593
0{,}74	0{,}2398032061

(таблица 13.3) вычислить $\psi (0{,}715)$ . Для оценки погрешности следует принять в соображение, что $\psi '(x) = \dfrac {1}{(x+1)^{2}} + \dfrac {1}{(x+2)^{2}} + \ldots$

Задача 5216

По данным таблицы

$x$	$\psi (x) = \dfrac {d \ln \Gamma (1+x)}{dx}$
0{,}83	0{,}3068612
0{,}84	0{,}3140589
0{,}85	0{,}3212000
0{,}86	0{,}3282922

(таблица 13.4) вычислить корень уравнения $\psi (x) = 0{,}31$ .

Задача 5217

(а)(б)(в)

Пользуясь таблицей значений обратных величин целых чисел и интерполяционной формулой, взятой до четвертых разностей включительно, найти величины дроби $\dfrac {1}{12{,}5}$ с помощью формул:

(а)

Ньютона--Грегори при $y_{0} = \dfrac {1}{12}$ , $y_{1} = \dfrac {1}{13}$ , $y_{2} = \dfrac {1}{14}, \ldots$ ;

(б)

Ньютона--Гаусса и

(в)

Ньютона--Бесселя, сравнив полученные результаты с точной величиной.

Примечание.

Формула Ньютона--Грегори: $y_{x} = y_{0} + x \Delta y_{0} + \dfrac {x(x-1)}{2!}\Delta^{2} y_{0} + \dfrac {x(x-1)(x-2)}{3!}\Delta^{3} y_{0} + \ldots$

Формула Ньютона--Гаусса: $y_{x} = y_{0} + x \Delta y_{0} + \dfrac {x(x-1)}{2!}\Delta^{2} y_{-1} + \dfrac {x(x^{2}-1)}{3!}\Delta^{3} y_{-1} + \ldots$

Формула Ньютона--Бесселя: $y_{x} = \dfrac {1}{2}(y_{0}+y_{1}) + \left(x - \dfrac {1}{2}\right)\Delta y_{0} + \dfrac {x(x-1)}{2!} \cdot \dfrac {\Delta^{2} y_{-1} + \Delta^{2} y_{0}}{2} + \ldots$

Здесь $y_{0}, y_{1}, \ldots , y_{n}$ суть значения $y$ при $x=a, a+h, \ldots , a+nh$ ; величины $\Delta y_{0}, \Delta^{2} y_{0}, \ldots$ — последовательные разности.

Задача 5218

Подобный же вопрос для величины $\sqrt{12{,}25}$ ; $y_{0} = \sqrt{12}$ , $y_{1} = \sqrt{13}$ , $y_{2} = \sqrt{14}, \ldots$

Задача 5219

Из 1000 родившихся доживает до возраста 20 лет, 30 лет, 40 лет, 50 лет, 60 лет соответственно 560, 530, 480, 400 и 300 человек. Сколько людей из 1000 доживает до 35 и 45 лет?

Задача 5220

В некоторой местности числа людей, возрасты которых относятся к трем последовательным пятилетиям, такие:

37\, 237, \quad 40\, 118, \quad 42\, 652.

Сколько людей в возрасте среднего года второго пятилетия?

Задача 5221

Числа людей в возрастах 25--30, 30--35, 35--40, 40--45 лет соответственно таковы:

458\, 572, \quad 441\, 424, \quad 423\, 123, \quad 402\, 918.

Скольким людям идет 38-й год?

Задача 5222

Таблица содержит в одной колонне 20 последовательных значений функции. Суммы трех последовательных колонн таковы: $630\, 611$ , $1\, 946\, 935$ , $3\, 246\, 319$ . С какого числа начинается четвертая колонна?

13.2 · Приближенное вычисление интегралов[28/64%]

Задача 5223

Вычислить по способу трапеций интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac {dx}{1+x}$ , принимая число промежутков $n=4$ .

Задача 5224

Вычислить по способу трапеций интеграл $\displaystyle \int_{1}^{3} \dfrac {dx}{x+1}$ , принимая число промежутков $n=4$ .

Задача 5225

Вычислить по способу трапеций интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac {dx}{1+x^{2}}$ , принимая число промежутков $n=4$ .

Задача 5226

Вычислить по способу трапеций интеграл $\displaystyle \int_{0}^{\pi /2} \dfrac {\sin x}{x}\, dx$ , принимая число промежутков $n=4$ .

Задача 5227

Вычислить по способу трапеций интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac {\ln (1+x)}{1+x^{2}}\, dx$ , принимая число промежутков $n=6$ .

Задача 5228

Вычислить по способу трапеций интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac {\ln (1+x)}{x}\, dx$ , принимая число промежутков $n=6$ .

Задача 5229

Вычислить те же интегралы, что и в задачах 5223--5228, при $n=4$ по формуле Симпсона.

Задача 5230

Вычислить те же интегралы, что и в задачах 5223--5228, по формуле Котеса.

Задача 5231

Вычислить те же интегралы, что и в задачах 5223--5228, по способу Чебышева.

Задача 5232

Вычислить те же интегралы, что и в задачах 5223--5228, по способу Гаусса.

Задача 5233

После подстановки $x = \sin \varphi$ вычислить по способу Симпсона при $n=4$ интегралы:

\int _{0}^{1} \frac{x^{2}\, dx}{\sqrt{1-x^{2}}}; \qquad \int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{4}}}.

Задача 5234

Вычислить по способу Симпсона при $n=4$ интегралы $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{2}\, dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$ и $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{4}}}$ с подстановкой $1-x=u^{2}$ .

Задача 5235

После подстановки $x = \dfrac {1}{t}$ вычислить по способу Симпсона при $n=4$ интеграл $\displaystyle \int_{1}^{\infty } \frac{x^{2}\, dx}{\sqrt{1+x^{4}}}$ .

Задача 5236

С помощью формулы Симпсона и параметрического уравнения эллипса получить приближенную формулу для длины дуги четверти эллипса с полуосями $a$ и $b$ :

l = \frac{\pi }{12}\left(a+b+\sqrt{8(a^{2}+b^{2})}\right).

Задача 5237

Исследовать степень точности предыдущей формулы (задача 5236) при $b=0$ , при $b=a$ и при $b = \dfrac {a}{2}$ (в последнем случае сравнить с результатом формулы Симпсона при $n=4$ ).

Задача 5238

Доказать следующую формулу квадратур типа Гаусса:

\int _{-1}^{1} \frac{f(x)\, dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = \frac{\pi }{n} \sum _{\nu =1}^{n} f\left(\cos \frac{(2\nu -1)\pi }{2n}\right).

Задача 5239

Доказать следующую формулу квадратур типа Гаусса:

\int _{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}}\, f(x)\, dx = \frac{\pi }{n} \sum _{\nu =1}^{n} \sin ^{2}\frac{\nu \pi }{n}\, f\left(\cos \frac{\nu \pi }{n}\right).

Задача 5240

Доказать следующую формулу квадратур типа Гаусса (полагая $m=2n+1$ ):

\int _{-1}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\, f(x)\, dx = \frac{4\pi }{m}\sum _{\nu =1}^{n}\sin ^{2}\frac{\nu \pi }{m}\, f\left(\cos \frac{2\pi \nu }{m}\right).

Задача 5241

Доказать следующую формулу квадратур типа Гаусса:

\int _{0}^{1} \frac{f(x)\, dx}{\sqrt{x(1-x)}} = \frac{\pi }{n}\sum _{\nu =1}^{n} f\left(\cos ^{2}\frac{(2\nu -1)\pi }{4n}\right).

Задача 5242

Доказать следующую формулу квадратур типа Гаусса:

\int _{0}^{1} \sqrt{x(1-x)}\, f(x)\, dx = \frac{\pi }{4n}\sum _{\nu =1}^{n-1}\sin ^{2}\frac{\nu \pi }{n}\, f\left(\cos ^{2}\frac{\nu \pi }{n}\right).

Задача 5243

Доказать следующую формулу квадратур типа Гаусса (полагая $m=2n+1$ ):

\int _{0}^{1} \sqrt{\frac{1-x}{x}}\, f(x)\, dx = \frac{2\pi }{m}\sum _{\nu =1}^{n}\sin ^{2}\frac{\nu \pi }{m}\, f\left(\cos ^{2}\frac{\nu \pi }{m}\right).

Примечание.

Формулы 5239 и 5241 вполне точны, если $f(x)$ — многочлен степени меньшей, чем $2n-2$ . Остальные формулы этого параграфа (5238, 5240, 5242, 5243), если $f(x)$ — многочлен степени меньшей чем $2n$ .

Задача 5244

Пользуясь формулой 5242 (см. также замечание в задаче 5243) при $n=4$ , вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{x(1-x^{2})}\, dx$ .

Задача 5245

Пользуясь формулой 5240 (см. также замечание в задаче 5243) при $n=4$ , вычислить интеграл $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{4}}}\, dx$ .

Задача 5246

Доказать точность формулы

\int _{0}^{\infty } e^{-x} f(x)\, dx = \frac{2-\sqrt{2}}{4}f\left(2+\sqrt{2}\right) + \frac{2+\sqrt{2}}{4}f\left(2-\sqrt{2}\right),

где $f(x)$ — многочлен степени меньшей, чем четыре.

Задача 5247

Доказать точность формулы

\int _{-\infty }^{\infty } e^{-x^{2}} f(x)\, dx = \frac{\sqrt{\pi }}{6}\left(f\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}\right) + 4f(0) + f\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\right),

где $f(x)$ — многочлен степени меньшей, чем шесть.

Задача 5248

Применить формулу Грегори к вычислению интеграла $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{2}}$ , полагая $n=1$ , $h=0{,}1$ , ведя вычисление с семью знаками после запятой.

Примечание.

Формула Грегори (1670): $\dfrac {1}{h}\displaystyle \int_{a}^{a+nh} y\, dx = \dfrac {1}{2}y_{0} + y_{1} + \ldots + \dfrac {1}{2}y_{n} + \sum_{\nu } A_{\nu }\left(\Delta^{\nu }y_{n-\nu } + (-1)^{\nu }\Delta^{\nu }y_{0}\right)$ , где $A_{1} = -\dfrac {1}{12}$ , $A_{2} = -\dfrac {1}{24}$ , $A_{3} = -\dfrac {19}{720}$ , $A_{4} = -\dfrac {3}{160}$ , $A_{5} = -\dfrac {863}{60\, 480}, \ldots$

Задача 5249

То же для формулы Гаусса.

Примечание.

Формула Гаусса: $\dfrac {1}{h}\displaystyle \int_{a}^{a+nh} y\, dx = \dfrac {1}{2}y_{0} + y_{1} + \ldots + \dfrac {1}{2}y_{n} + \sum_{\nu } B_{\nu }\left(\dfrac {\Delta^{2\nu +1}y_{n-\nu } + \Delta^{2\nu +1}y_{n-\nu -1}}{2} - \dfrac {\Delta^{2\nu +1}y_{-\nu } + \Delta^{2\nu +1}y_{-\nu -1}}{2}\right)$ , где $B_{0} = -\dfrac {1}{12}$ , $B_{1} = \dfrac {11}{720}$ , $B_{2} = -\dfrac {191}{60\, 480}$ .

Задача 5250

Провести аналогичные вычисления (по формулам Грегори и Гаусса, задачи 5248--5249) для интеграла $\displaystyle \int_{100}^{110} \frac{dx}{x}$ .

13.3 · Формула Эйлера--Маклорена и подобные методы[18/17%]

Задача 5251

Доказать при $m>1$ формулу Эйлера--Маклорена:

\sum _{n=a}^{\infty } \frac{1}{n^{m}} = \frac{1}{(m-1)a^{m-1}} + \frac{1}{2}\frac{1}{a^{m}} + \frac{B_{1}}{2!}\frac{m}{a^{m+1}} - \frac{B_{2}}{4!}\frac{m(m+1)(m+2)}{a^{m+3}} + \ldots + (-1)^{p-1}\frac{B_{p}}{(2p)!}\frac{m(m+1)\ldots (m+2p-2)}{a^{m+2p-1}}\theta ; \quad 0 < \theta < 1,

где $B_{1}, B_{2}, B_{3}, \ldots$ — числа Бернулли.

Задача 5252

Полагая $\sigma_{m} = \sum_{n=10}^{\infty } \dfrac {1}{n^{m}}$ , доказать, что величины первых $\sigma_{m}$ , выраженные в единицах 15-го знака после запятой, таковы:

Задача 5253

Доказать равенство $\displaystyle \sum_{m=2}^{\infty }\sigma_{m} = \dfrac {1}{9}$ и, пользуясь им, проверить точность значений $\sigma_{m}$ , данных в предыдущей задаче (задача 5252).

Задача 5254

Пользуясь сходимостью ряда $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{n} - \ln \frac{n+1}{n}\right)$ , формулой Эйлера--Маклорена, а также тем, что

\sum _{n=m}^{\infty } u_{n} = \lim _{p\to \infty }\sum _{n=m}^{m+p} u_{n},

доказать равенство:

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{m} = C + \ln m + \frac{1}{2m} - \frac{B_{1}}{2}\cdot \frac{1}{m^{2}} + \ldots + (-1)^{p-1}\frac{B_{p-1}}{2p-2}\frac{1}{m^{2p-2}} + (-1)^{p}\frac{B_{p}}{2p}\frac{1}{m^{2p}}\cdot \theta ; \quad 0 < \theta < 1.

Задача 5255

Полагая в предыдущем результате (задача 5254) $m=3$ , $p=9$ , вычислить постоянную $C$ (постоянная Эйлера).

Задача 5256

Вычислить сумму $\displaystyle \sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{n}$ с точностью до $10^{-7}$ .

Задача 5257

Пользуясь формулой Эйлера--Маклорена, доказать равенство:

\sum _{n=1}^{m} \frac{1}{\sqrt{n}} = A + 2\sqrt{m} + \frac{1}{2\sqrt{m}} - \frac{B_{1}}{2!\, 2m\sqrt{m}} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{4!\, 2^{3}}\frac{B_{2}}{m^{3}\sqrt{m}} - \ldots + \frac{(-1)^{p}\cdot 1\cdot 3\ldots (4p-3)B_{p}}{(2p)!\, 2^{2p-1}m^{2p-\frac12}} + \frac{(-1)^{p+1}\cdot 1\cdot 3\ldots (4p-1)}{(2p+2)!\, 2^{2p+1}}\cdot \frac{B_{p+1}}{m^{2p+\frac32}}\cdot \theta ; \quad 0<\theta <1.

Задача 5258

Пользуясь формулой Эйлера--Маклорена, вычислить суммы рядов $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{3}}$ и $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\ln n}{n^{2}}$ с точностью до $10^{-7}$ .

Задача 5259

Пользуясь интегралами $\displaystyle \int_{0}^{\infty } e^{-mx}\, dx = \dfrac {1}{m}$ и $\displaystyle \int_{0}^{\infty } e^{-mx}\sin nx\, dx = \dfrac {n}{m^{2}+n^{2}}$ ( $m>0$ ), доказать равенство:

\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} - \ldots = \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-nx}}{e^{x}+1}\, dx.

Задача 5260

\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} + \frac{1}{2n+5} - \ldots = \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-2nx}}{e^{x}+e^{-x}}\, dx.

Задача 5261

\sum _{\nu =0}^{\infty } \frac{(-1)^{\nu }n}{n^{2}+(n+\nu +1)^{2}} = \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-nx}\sin nx}{e^{x}+1}\, dx.

Задача 5262

Пользуясь разложениями в ряды дробей $\frac{1}{e^{x}+1}$ и предыдущими результатами, доказать равенство:

\ln 2 = \sum _{\nu =1}^{n} \frac{(-1)^{\nu -1}}{\nu } + \frac{(-1)^{n}}{2n} + \frac{1}{2}\sum _{\mu =1}^{m-1}\frac{(-1)^{n+\mu }(2^{2\mu }-1)B_{\mu }}{n^{2\mu }\mu } + \theta \cdot (-1)^{n+m}\frac{(2^{2m}-1)\cdot B_{m}}{n^{2m}\cdot m}.

Примечание.

При любом вещественном $x$ справедливы формулы:

\frac{1}{e^{x}+1} = \frac{1}{2} + \sum _{\nu =1}^{n-1}(-1)^{\nu }\frac{(2^{2\nu }-1)B_{\nu }}{(2\nu )!}x^{2\nu -1} + \theta \cdot (-1)^{n}\cdot \frac{(2^{2n}-1)}{(2n)!}B_{n}\cdot x^{2n-1}.

\frac{1}{e^{x}-1} = \frac{1}{x} - \frac{1}{2} + \sum _{\nu =1}^{n-1}\frac{(-1)^{\nu -1}B_{\nu }}{(2\nu )!}x^{2\nu -1} + \theta \cdot (-1)^{n-1}\frac{B_{n}}{(2n)!}x^{2n-1}.

\frac{1}{e^{x}+e^{-x}} = \frac{1}{2}\sum _{\nu =0}^{n-1}\frac{(-1)^{\nu }E_{\nu }}{(2\nu )!}x^{2\nu } + \frac{\theta }{2}\cdot \frac{(-1)^{n}E_{n}}{(2n)!}x^{2n}.

Здесь $B_{n}$ и $E_{n}$ — числа Бернулли и Эйлера, $0 < \theta < 1$ .

Задача 5263

Пользуясь разложением в ряд дробей $\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}$ (см. замечание к задаче 5262) и предыдущими результатами, доказать равенство:

\frac{\pi }{4} = \sum _{\nu =1}^{n}\frac{(-1)^{\nu -1}}{2\nu -1} + n\sum _{\mu =1}^{m}\frac{(-1)^{n+\mu -1}E_{\mu -1}}{(2n)^{2\mu }} + \frac{n\theta \cdot (-1)^{n+m}\cdot E_{m}}{(2n)^{2m+2}}.

Задача 5264

Пользуясь этим и предыдущими результатами (см. замечание к задаче 5262), доказать равенство:

\frac{\pi }{2} = \sum _{\nu =1}^{n}\frac{2n}{n^{2}+\nu ^{2}} - \frac{2\pi }{e^{2\pi n}-1} + \frac{1}{2n} + \sum _{\mu =1}^{m}\frac{(-1)^{\mu -1}B_{2\mu -1}}{(2n^{2})^{2\mu -1}}\frac{1}{2\mu -1} + \frac{\theta (-1)^{m}}{(2n^{2})^{2m+1}}\frac{B_{2m+1}}{2m+1}.

Здесь $0 < \theta < 1$ . Последняя формула была дана Эйлером без указания остаточного члена.

Задача 5265

Доказать формулу:

\sum _{\nu =1}^{n} \frac{\ln \nu }{\nu } = C + \frac{1}{2}(\ln n)^{2} + \frac{\ln n}{2n} + \frac{1-\ln n}{12n^{2}} + \theta \frac{6\ln n - 11}{720 n^{4}},

где $C = -0{,}072815\ldots$ ; $0 < \theta < 1$ .

Задача 5266

Доказать равенство $\displaystyle \sum_{\nu =1}^{\infty } \frac{\ln \nu }{\nu^{2}} = 0{,}9375483\ldots$

Задача 5267

Доказать равенство $\displaystyle \sum_{\nu =1}^{\infty } \frac{(-1)^{\nu }\ln \nu }{\nu^{2}} = 0{,}1013166\ldots$

Задача 5268

Доказать равенство $\displaystyle \sum_{\nu =1}^{\infty } \frac{(-1)^{\nu -1}}{\sqrt{\nu }} = 0{,}604898\ldots$

13.4 · Усиление сходимости рядов[36/17%]

Задача 5269

Пусть $S = u_{0} - u_{1} + u_{2} - u_{3} + \ldots$ — сходящийся ряд, а числа $u_{0}, u_{1}, u_{2}, \ldots$ не обязательно положительны. Доказать равенство:

S = \frac{u_{0}}{2} - \frac{\Delta u_{0}}{2} + \frac{\Delta u_{1}}{2} - \ldots ,

где $\Delta u_{0}, \Delta u_{1}, \Delta u_{2}, \ldots$ — разности: $\Delta u_{0} = u_{1} - u_{0}$ , $\Delta u_{1} = u_{2} - u_{1}, \ldots$

Задача 5270

Повторным применением приема задачи 5269 доказать равенство:

S = \frac{1}{2}u_{0} - \frac{1}{4}\Delta u_{0} + \frac{1}{8}\Delta ^{2}u_{0} + \ldots + \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}\Delta ^{n-1}u_{0} + (-1)^{n}R_{n},

где $2^{n}R_{n} = \Delta^{n}u_{0} - \Delta^{n}u_{1} + \Delta^{n}u_{2} - \ldots$

Задача 5271

Если числа $\Delta^{n}u_{0}, \Delta^{n}u_{1}, \Delta^{n}u_{2}, \ldots$ (см. задачу 5270) одного знака и по абсолютной величине убывают, то $R_{n} = \dfrac {\theta \cdot \Delta^{n}u_{0}}{2^{n}}$ ; $\dfrac {1}{2} < \theta < 1$ .

Задача 5272

Полагая $S = u_{0} - u_{1} + u_{2} - u_{3} + \ldots + (-1)^{n}u_{n} + (-1)^{n+1}\rho_{n+1}$ , где $\rho_{n+1} = u_{n+1} - u_{n+2} + u_{n+3} - \ldots$ , доказать тождество

S = \frac{u_{0}}{2} - \frac{\Delta u_{0}}{2} + \frac{\Delta u_{1}}{2} - \ldots + (-1)^{m-1}\frac{\Delta u_{m-1}}{2} + (-1)^{m}\frac{\Delta \rho _{m}}{2}.

Задача 5273

Для величины $R_{n}$ в задаче 5270 доказать равенство:

2^{n}R_{n} = \Delta ^{n}\rho _{0},

где $\rho_{\nu } = u_{\nu } - u_{\nu +1} + u_{\nu +2} - \ldots$

Задача 5274

Доказать теорему: если ряд $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}u_{n}$ сходится, то

u_{0} - u_{1} + u_{2} - u_{3} + \ldots = \frac{1}{2}u_{0} - \frac{1}{4}\Delta u_{0} + \frac{1}{8}\Delta ^{2}u_{0} - \ldots ,

где ряд в правой части тоже сходится. (Преобразование Эйлера.)

Задача 5275

Пользуясь тождеством $a = \dfrac {a}{1+x} + \dfrac {ax}{1+x}$ , доказать тождество

u_{0}x - u_{1}x^{2} + u_{2}x^{3} - \ldots = \frac{u_{0}x}{1+x} - \frac{\Delta u_{0}\cdot x^{2}}{1+x} + \frac{\Delta u_{1}\cdot x^{3}}{1+x} - \ldots ,

где ряд $u_{0}x - u_{1}x^{2} + \ldots$ сходится по условию при $-1 < x < 1$ .

Задача 5276

При тех же условиях (см. задачу 5275) доказать равенство:

S = u_{0}y - \Delta u_{0}\cdot y^{2} + \Delta ^{2}u_{0}\cdot y^{3} - \ldots + (-1)^{n-1}\Delta ^{n-1}u_{0}\cdot y^{n} + (-1)^{n}R_{n},

где $y = \dfrac {x}{1+x}$ ; $\Delta u_{0}, \Delta^{2}u_{0}, \Delta^{3}u_{0}, \ldots$ — последовательные разности, а величина

(1+x)^{n}R_{n} = x^{n+1}\Delta ^{n}u_{0} - x^{n+2}\Delta ^{n}u_{1} + \ldots = x\left((-1)^{n}x^{n}\rho _{0} + (-1)^{n-1}x^{n-1}\rho _{1} + \ldots + \rho _{n}\right),

где $\rho_{p} = u_{p}x^{p} - u_{p+1}x^{p+1} + \ldots$

Задача 5277

Доказать, что

u_{0}x - u_{1}x^{2} + u_{2}x^{3} - \ldots = u_{0}\left(\frac{x}{1+x}\right) - \Delta u_{0}\left(\frac{x}{1+x}\right)^{2} + \Delta ^{2}u_{0}\left(\frac{x}{1+x}\right)^{3} - \ldots ,

если $0 < x < 1$ , а ряд в левой части сходится.

Задача 5278

Доказать при $m>0$ , $x>-\dfrac {1}{2}$ равенство:

\frac{x}{m} - \frac{x^{2}}{m+1}\frac{x^{2}}{m+2} - \ldots = \frac{1}{m}\frac{x}{1+x} + \frac{1}{m(m+1)}\left(\frac{x}{1+x}\right)^{2} + \frac{1\cdot 2}{m(m+1)(m+2)}\left(\frac{x}{1+x}\right)^{3} + \ldots

Задача 5279

Доказать равенство:

\operatorname {arctg} x = \frac{x}{1+x^{2}}\sum _{n=0}^{\infty } \frac{2\cdot 4\cdot 6\ldots 2n}{3\cdot 5\cdot 7\ldots (2n+1)}\cdot \left(\frac{x^{2}}{x^{2}+1}\right)^{n}.

Задача 5280

Найти преобразованием Эйлера с точностью до $10^{-5}$ сумму ряда $\ln 2 = 1 - \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{4} + \ldots$ (Первые несколько членов полезно суммировать непосредственно.)

Задача 5281

Найти преобразованием Эйлера с точностью до $10^{-5}$ сумму ряда $\dfrac {\pi }{4} = 1 - \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{5} - \dfrac {1}{7} + \ldots$ (Первые несколько членов полезно суммировать непосредственно.)

Задача 5282

Найти преобразованием Эйлера с точностью до $10^{-5}$ сумму ряда $1 - \dfrac {1}{3^{2}} + \dfrac {1}{5^{2}} - \dfrac {1}{7^{2}} + \ldots$ (Первые несколько членов полезно суммировать непосредственно.)

Задача 5283

Найти преобразованием Эйлера с точностью до $10^{-5}$ сумму ряда $1 - \dfrac {1}{2^{3}} + \dfrac {1}{3^{3}} - \dfrac {1}{4^{3}} + \ldots$ (Первые несколько членов полезно суммировать непосредственно.)

Задача 5284

Найти преобразованием Эйлера с точностью до $10^{-5}$ сумму ряда $\dfrac {1}{1\cdot 2\cdot 3} - \dfrac {1}{2\cdot 3\cdot 4} + \dfrac {1}{3\cdot 4\cdot 5} - \ldots$ (Первые несколько членов полезно суммировать непосредственно.)

Задача 5285

Найти преобразованием Эйлера с точностью до $10^{-5}$ сумму ряда $\dfrac {1}{\ln 10} - \dfrac {1}{\ln 11} + \dfrac {1}{\ln 12} - \dfrac {1}{\ln 13} + \ldots$ (Первые несколько членов полезно суммировать непосредственно.)

Задача 5286

Доказать, что, применяя преобразование Эйлера к ряду $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}$ , мы улучшаем сходимость, а применяя его к ряду $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}$ , ухудшаем.

Задача 5287

Полагая для ряда $\sum \dfrac {1}{n^{2}}$ , что $C_{n} = \dfrac {1}{n^{2} - \frac14}$ , доказать равенство:

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} = 2 - \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}(4n^{2}-1)}.

Примечание.

Преобразование Куммера. Если ряд $\sum u_{n}$ сходится, а ряд $\sum C_{n}$ имеет известную сумму $C$ и притом $\dfrac {u_{n}}{C_{n}} \to \gamma$ при $n \to \infty$ , то тождество $\sum_{n=0}^{\infty } u_{n} = C\gamma + \sum_{n=0}^{\infty }(u_{n} - C_{n}\gamma )$ заменяет данный ряд другим, более быстро сходящимся, так как $\dfrac {u_{n}-C_{n}\gamma }{u_{n}} \to 0$ при $n \to \infty$ .

В частности, если подобрать такой ряд чисел $p_{1}, p_{2}, p_{3}, \ldots$ , что $p_{n}u_{n} \to 0$ и $\dfrac {p_{n}u_{n}-p_{n+1}u_{n+1}}{u_{n+1}} \to 1$ , то можно положить $C_{n+1} = p_{n}u_{n} - p_{n+1}u_{n+1}$ , и тогда справедливо равенство

\sum _{n=1}^{\infty } u_{n} = (p_{1}+1)u_{1} + \sum _{n=1}^{\infty }(u_{n+1} - p_{n}u_{n} + p_{n+1}u_{n+1}),

выражающее преобразование Куммера.

Задача 5288

Доказать равенство:

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}(4n^{2}-1)} = -\frac{2}{9} - 9\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}(4n^{2}-1)(4n^{2}-9)}.

Задача 5289

Из ряда $\dfrac {\pi^{2}}{6} = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \dfrac {1}{n^{2}}$ , выбирая $p_{n}$ в форме $an+b+\dfrac {c}{n+d}$ , где $a,b,c,d$ — соответствующие коэффициенты, преобразованием Куммера получить равенство:

\pi ^{2} = 10 - \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{3}(n+1)^{3}}.

Задача 5290

Из ряда $\dfrac {\pi^{2}}{8} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty } \dfrac {1}{(2n+1)^{2}}$ преобразованием Куммера получить формулу:

\frac{3\pi ^{2}}{32} = 1 - 2\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{(4n^{2}-1)^{3}}.

Задача 5291

Доказать равенство:

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{3}} = \frac{5}{4} - \sum _{n=1}^{\infty } \frac{2n+1}{4n^{4}(n+1)^{4}}.

Задача 5292

Доказать равенство:

e = 2 + 2\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n!(n^{4}+n^{2}+1)}.

Задача 5293

Доказать равенство:

\ln 2 = \frac{3}{4} - \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{4n^{2}(n+1)^{2}}.

Задача 5294

Доказать равенство:

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{4n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{7}{96} - \frac{9}{2}\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)(2n+1)(2n+3)n^{2}(n+2)^{2}}.

Задача 5295

Доказать равенство:

\frac{\pi }{4} = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = 1 + 2\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{(4n^{2}-1)^{2}}.

Задача 5296

Доказать равенство:

\sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}} = \frac{3}{2} + 16\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}n}{(4n^{2}-1)^{3}}.

Задача 5297

Доказать равенство:

\sum _{n=0}^{\infty } u_{n} = \frac{3}{5} - 27\sum _{n=1}^{\infty } u_{n}\cdot \frac{4n-1}{(2n-1)^{2}(8n^{2}-12n+9)(8n^{2}+4n+5)},

где $u_{n} = (-1)^{n}\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5\ldots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\ldots 2n}\right)^{2}$ .

Задача 5298

Преобразование Куммера в его простейшей форме с пользой применяется к тригонометрическим рядам. Применяя преобразование такого типа, доказать при $0<x<\pi$ равенство:

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{n^{2}\sin nx}{n^{3}+1} = \frac{\pi -x}{2} - \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\sin nx}{n(n^{3}+1)}.

Задача 5299

Применяя преобразование Куммера, доказать при $0<x<\pi$ равенство:

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{n^{2}+1}{n^{3}+n+1}\cos nx = -\ln \left(2\sin \frac{x}{2}\right) - \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\cos nx}{n(n^{3}+n+1)}.

Задача 5300

Применяя преобразование Куммера, доказать при $0<x<\pi$ равенство:

\sum _{n=1}^{\infty } (-1)^{n-1}\frac{n+1}{n^{2}+1}\sin nx = \frac{1}{2}x + \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}(n-1)}{n(n^{2}+1)}\sin nx.

Задача 5301

Применяя преобразование Куммера, доказать при $0<x<\pi$ равенство:

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{n^{2}+1}{n^{4}+1}\cos nx = \frac{(\pi -x)^{2}}{4} - \frac{\pi ^{2}}{12} + \sum _{n=1}^{\infty } \frac{n^{2}-1}{n^{2}(n^{4}+1)}\cos nx.

Задача 5302

Доказать при $0<x<\pi$ равенство:

\sum _{n=0}^{\infty } \frac{n+1}{n^{2}+1}\sin (2n+1)x = \frac{\pi }{4} + \sum _{n=0}^{\infty } \frac{3n-1}{(n^{2}+1)(2n+1)}\sin (2n+1)x.

Задача 5303

Доказать, что функция $y = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \frac{\sin nx}{n^{2}+1}$ при $0<x<\pi$ удовлетворяет дифференциальному уравнению

y'' - y = -\frac{1}{2}\operatorname {ctg}\frac{x}{2}.

Задача 5304

Доказать, что функция $y = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \frac{n^{2}}{n^{3}+1}\sin 2nx$ при $0<x<\dfrac {\pi }{2}$ удовлетворяет уравнению

y^{\mathrm{VI}} + 64y = -\frac{16\cos x}{\sin ^{3}x}.

13.5 · Вычисление интегралов с помощью рядов[25/44%]

Задача 5305

Разложением подынтегральной функции найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\, dx$ с точностью до $10^{-5}$ .

Задача 5306

Разложением подынтегральной функции найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{1} \operatorname {ch}(x^{2})\, dx$ с точностью до $10^{-5}$ .

Задача 5307

Разложением подынтегральной функции найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin x}{x}\, dx$ с точностью до $10^{-5}$ .

Задача 5308

Разложением подынтегральной функции найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{\pi /2} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\, dx$ с точностью до $10^{-5}$ .

Задача 5309

Разложением подынтегральной функции найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{1/2} \frac{x\, dx}{\operatorname {ch} x}$ с точностью до $10^{-5}$ .

Задача 5310

Разложением подынтегральной функции найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{1{,}5} \frac{dx}{\sqrt[3]{27+x^{3}}}$ с точностью до $10^{-5}$ .

Задача 5311

В следующем интеграле полезно сначала выполнить замену переменных $x+1=e^{t}$ и лишь тогда разлагать в ряд: $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x\, dx}{(1+x)\ln (1+x)}$ .

Задача 5312

В следующем интеграле полезно сначала выполнить замену переменных $\operatorname {tg}x = u$ и лишь тогда разлагать в ряд: $\displaystyle \int_{0}^{\pi /4} \frac{x\, dx}{\operatorname {tg}x \cdot \cos^{2}x}$ .

Задача 5313

В следующем интеграле полезно сначала выполнить замену переменных $x = 2\operatorname {arctg}u$ и лишь тогда разлагать в ряд: $\displaystyle \int_{0}^{\pi /2} \frac{x\, dx}{\sin x}$ .

Задача 5314

Разложив в ряд, проинтегрировав и применяя затем преобразование Эйлера, вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{3}}$ с точностью до $10^{-5}$ .

Задача 5315

Разложив в ряд, проинтегрировав и применяя затем преобразование Эйлера, вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{4}}$ с точностью до $10^{-5}$ .

Задача 5316

Разлагая $x^{x} = e^{x\ln x}$ по степеням $x\ln x$ , получить равенство:

\int _{0}^{1} x^{x}\, dx = 1 - \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{3}} - \frac{1}{4^{4}} + \frac{1}{5^{5}} - \ldots = 0{,}7834305\ldots

Задача 5317

Положив $x = \sin \varphi$ и разлагая по степеням $\sin^{2}\varphi$ , доказать при $\left|k\right| < 1$ равенство:

\int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}} = \frac{\pi }{2}\left(1 + \left(\frac{1}{2}\right)^{2}k^{2} + \left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^{2}k^{4} + \left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}k^{6} + \ldots \right).

Задача 5318

Доказать асимптотическую формулу, весьма удобную при больших значениях параметра $n$ (здесь $\theta$ — некоторое число из промежутка $(0,1)$ ):

\int _{n}^{\infty } \frac{e^{-x}}{n+x}\, dx = e^{-n}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n^{2}} + \frac{2!}{n^{3}} - \ldots + \frac{(-1)^{m}m!}{n^{m+1}} + \theta \cdot \frac{(-1)^{m+1}(m+1)!}{n^{m+2}}\right).

Примечание.

Используется биномиальный ряд: $\dfrac {1}{(1+x)^{\sigma }} = 1 - \sigma x + \dfrac {\sigma (\sigma +1)}{2!}x^{2} - \ldots + (-1)^{n}\dfrac {\sigma (\sigma +1)\ldots (\sigma +n-1)}{n!}x^{n} + R_{n}$ , где $R_{n} = (-1)^{n+1}\cdot \theta \dfrac {\sigma (\sigma +1)\cdots (\sigma +n)}{(n+1)!}x^{n+1}$ , $0<\theta <1$ ; $\sigma > 0$ , $x$ — любое положительное число.

Задача 5319

\int _{0}^{\infty } \frac{e^{-x}}{n^{2}+x^{2}}\, dx = \frac{1}{n^{2}} - \frac{2!}{n^{4}} + \frac{4!}{n^{6}} - \ldots + (-1)^{m}\frac{(2m)!}{n^{2m+2}} + \theta \cdot \frac{(-1)^{m+1}(2m+2)!}{n^{2m+4}}.

Задача 5320

\int _{n}^{\infty } e^{-x^{2}}\, dx = \frac{e^{-n^{2}}}{2n}\left(1 - \frac{1}{2n^{2}} + \frac{1\cdot 3}{2^{2}n^{4}} - \ldots + (-1)^{m-1}\frac{1\cdot 3\ldots (2m-3)}{2^{m-1}n^{2m-2}} + R\right),

где $R = \theta \cdot \dfrac {(-1)^{m}\cdot 1\cdot 3\ldots (2m-1)}{2^{m}n^{2m}}$ .

Задача 5321

\int _{n}^{\infty } \frac{e^{-x}}{x^{\sigma }}\, dx = \frac{e^{-n}}{n^{\sigma }}\left(1 - \frac{\sigma }{n} + \frac{\sigma (\sigma +1)}{n^{2}} - \ldots + (-1)^{m}\frac{\sigma (\sigma +1)\ldots (\sigma +m-1)}{n^{m}} + R\right),

где $R = \theta \cdot (-1)^{m+1}\cdot \dfrac {\sigma (\sigma +1)\ldots (\sigma +m)}{n^{m+1}}$ .

Задача 5322

При вычислении интеграла $\displaystyle \int_{a}^{\infty } \frac{\sin x}{x}\, dx$ полезно положить сначала $x=a+t$ , а затем заменить величину $\dfrac {1}{a+t}$ интегралом $\displaystyle \int_{0}^{\infty } e^{-u(a+t)}\, du$ . Используя в дальнейшем, после перемены порядка интегрирования, предыдущие приемы, получить равенство:

\int _{a}^{\infty } \frac{\sin x}{x}\, dx = P\sin a + Q\cos a,

где

\begin{align} P & = \frac{1}{a^{2}} - \frac{3!}{a^{4}} + \ldots + (-1)^{n-1}\frac{(2n-1)!}{a^{2n}} + \theta \cdot (-1)^{n}\cdot \frac{(2n+1)!}{a^{2n+2}}, \\ Q & = \frac{1}{a} - \frac{2!}{a^{3}} + \ldots + (-1)^{n-1}\frac{(2n-2)!}{a^{2n-1}} + \theta \cdot (-1)^{n}\cdot \frac{(2n)!}{a^{2n+1}}. \end{align}

Задача 5323

Если $\varphi (x)$ — данная функция, а $n$ — параметр, стремящийся к бесконечности, то асимптотическая величина интегралов $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{n-1}\varphi (x)\, dx$ может изучаться подстановкой $x=e^{-t}$ . Затем для функции $\varphi (e^{-t})$ находится формула $\varphi (e^{-t}) = \sum_{\nu =1}^{m-1} a_{\nu }t^{\nu } + A\cdot \theta \cdot t^{m}$ , где $a_{\nu }$ и $A$ — соответствующие коэффициенты. Установить равенство (где $0<\theta <1$ ):

\int _{0}^{1} \frac{x^{n-1}\, dx}{1+x^{2}} = \frac{1}{2}\sum _{\nu =1}^{m-1} \frac{(-1)^{\nu }E_{\nu }}{(n-1)^{2\nu +1}} + \frac{\theta }{2}\cdot \frac{(-1)^{m}E_{m}}{(n-1)^{2m+1}},

где $E_{\nu }$ — числа Эйлера.

Задача 5324

Установить равенство (см. замечание к задаче 5323, где $0<\theta <1$ ):

\int _{0}^{1} \frac{x^{n-1}\, dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = \sqrt{\frac{\pi }{2n}}\left(1+\frac{1}{4n}+\frac{1}{32n^{2}}+O\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\right).

Задача 5325

Установить равенство (см. замечание к задаче 5323, где $0<\theta <1$ ):

\int _{0}^{1} \frac{x^{n-1}\, dx}{\sqrt{3+x^{2}}} = \frac{1}{2n} + \frac{1}{8n^{2}} - \frac{5}{32n^{3}} + \frac{7}{128n^{4}} + O\left(\frac{1}{n^{5}}\right).

Задача 5326

Доказать следующее равенство (где $0<\theta <1$ ):

\int _{1}^{\infty } \frac{e^{-2t\sqrt{x}}\, dt}{\sqrt{t^{2}-1}} = \frac{e^{-2\sqrt{x}}}{\sqrt[4]{x}\, 2\sqrt{\pi }}\left(\sum _{\nu =0}^{n-1}\frac{(-1)^{\nu }\cdot \Gamma ^{2}\left(\nu +\frac12\right)}{(4\sqrt{x})^{\nu }\, \Gamma (\nu +1)} + \frac{(-1)^{n}\theta \cdot \Gamma ^{2}\left(n+\frac12\right)}{(4\sqrt{x})^{n}\, \Gamma (n+1)}\right).

Задача 5327

Доказать следующее равенство (где $0<\theta <1$ ):

\sum _{0}^{\infty } \frac{x^{2\nu +1}}{1\cdot 3\ldots (2\nu +1)} = \sqrt{\frac{\pi }{2}}\, e^{\frac{x^{2}}{2}} - \frac{1}{x} + \sum _{\nu =1}^{n-1}(-1)^{\nu +1}\frac{(2\nu )!}{\nu !\, 2^{\nu }}\cdot \frac{1}{x^{2\nu +1}} + \theta \cdot (-1)^{n+1}\cdot \frac{(2n)!}{n!\, 2^{n}\cdot x^{2n+1}}.

Задача 5328

Доказать следующее равенство (где $0<\theta <1$ ):

1 + \frac{x}{1+\sigma } + \frac{x^{2}}{(1+\sigma )(2+\sigma )} + \ldots = \frac{\Gamma (1+\sigma )}{x^{\sigma }}e^{x} - \frac{\sigma }{x} + \frac{\sigma (1-\sigma )}{x^{2}} - \ldots + (-1)^{n}\frac{\sigma (1-\sigma )\ldots (n-1-\sigma )}{x^{n}} + \theta (-1)^{n+1}\frac{\sigma (1-\sigma )\ldots (n-\sigma )}{x^{n+1}}.

Задача 5329

Доказать, что длина $l$ четверти эллипса

x = \cos t, \qquad y = b\sin t

при малых значениях $b$ может быть дана формулой $l = 1 + \dfrac {1}{2}b^{2}\ln \dfrac {1}{6} + \theta (b)b^{3}$ , где $\theta (b)$ — функция, остающаяся конечной при $b \to 0$ .

13.6 · Решение численных уравнений[12/100%]

Задача 5330

Найти корни уравнения $x^{3} - 7x - 7 = 0$ с четырьмя знаками после запятой.

Задача 5331

Найти корни уравнения $x^{3} - 8x + 15 = 0$ с четырьмя знаками после запятой.

Задача 5332

Найти корни уравнения $x^{4} - 3x^{2} + 4x - 1 = 0$ с четырьмя знаками после запятой.

Задача 5333

Найти корни уравнения $x^{6} - 3x^{2} + x - 1 = 0$ с четырьмя знаками после запятой.

Задача 5334

Вычислить с точностью до $10^{-5}$ корень уравнения $x\ln x = 100$ .

Задача 5335

Вычислить с точностью до $10^{-5}$ корень уравнения $x = \cos x$ .

Задача 5336

Вычислить с точностью до $10^{-5}$ корень уравнения $x^{2} = 20\sin x$ .

Задача 5337

Вычислить с точностью до $10^{-5}$ корень уравнения $3x = e^{x}$ .

Задача 5338

Найти наименьший положительный корень уравнения $x = \operatorname {tg}x$ .

Задача 5339

Найти наименьший положительный корень уравнения $\operatorname {ch}x\cos x = 1$ .

Задача 5340

Найти наименьший положительный корень уравнения $1 - \dfrac {x^{2}}{1!^{2}} + \dfrac {x^{4}}{(2!)^{2}} - \dfrac {x^{6}}{(3!)^{2}} + \ldots = 0$ .

Задача 5341

В силу одного тождества Рамануджана

\frac{1}{e^{2\pi }-1} + \frac{2}{e^{4\pi }-1} + \frac{3}{e^{6\pi }-1} + \ldots = \frac{1}{24} - \frac{1}{8\pi }.

Поэтому число $e^{-2\pi }$ есть корень уравнения

\frac{x}{1-x} + \frac{2x^{2}}{1-x^{2}} + \frac{3x^{5}}{1-x^{3}} + \ldots = a,

где $a = \dfrac {1}{24} - \dfrac {1}{8\pi }$ . Пользуясь этим, найти равенство: $e^{-2\pi } = x = a - 3a^{2} + 14a^{3} - 82a^{4} + 546a^{5} + \ldots$

13.7 · Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений[29/62%]

Задача 5342

Найти разложение в степенной ряд общего интеграла уравнения $y' - xy = 1$ .

Задача 5343

Найти разложение в степенной ряд общего интеграла уравнения $(1+x)y' - ny = 0$ .

Задача 5344

Найти разложение в степенной ряд общего интеграла уравнения $y'' + y = 0$ .

Задача 5345

Найти разложение в степенной ряд общего интеграла уравнения $y'' - xy = 0$ .

Задача 5346

Доказать, что соответствующий частный интеграл дифференциального уравнения

x(x-1)y'' + \left((\alpha +\beta +1)x-\gamma \right)y' + \alpha \beta y = 0

может быть представлен указанным степенным рядом:

y = 1 + \frac{\alpha \cdot \beta }{1\cdot \gamma }x + \frac{\alpha (\alpha +1)}{1\cdot 2}\cdot \frac{\beta (\beta +1)}{\gamma (\gamma +1)}x^{2} + \frac{\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot \frac{\beta (\beta +1)(\beta +2)}{\gamma (\gamma +1)(\gamma +2)}x^{3} + \ldots

(гипергеометрический ряд Гаусса).

Задача 5347

Доказать, что соответствующий частный интеграл дифференциального уравнения

x^{2}y'' + xy' + (x^{2}-n^{2})y = 0

может быть представлен указанным степенным рядом:

y = \sum _{\nu =0}^{\infty } \frac{(-1)^{\nu }\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2\nu }}{\nu !\, \Gamma (n+\nu +1)}

(функция Бесселя $J_{n}(x)$ ).

Задача 5348

Доказать, что соответствующий частный интеграл дифференциального уравнения

x(x^{4}-1)u'' - (3x^{4}-1)u' + x^{3}u = 0

может быть представлен указанным степенным рядом:

u = 1 + \left(\frac{1}{4}\right)^{2}x^{4} + \left(\frac{1\cdot 5}{4\cdot 8}\right)^{2}x^{8} + \left(\frac{1\cdot 5\cdot 9}{4\cdot 8\cdot 12}\right)^{2}x^{12} + \ldots ; \qquad \left|x\right| < 1.

Задача 5349

Доказать, что соответствующий частный интеграл дифференциального уравнения

x^{2}(x^{4}-1)v''' + 3x(3x^{4}-1)v'' + (19x^{4}-1)v' + 8x^{3}v = 0

может быть представлен указанным степенным рядом:

v = 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^{3}x^{4} + \left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^{3}x^{8} + \left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^{3}x^{12} + \ldots ; \qquad \left|x\right| < 1.

Задача 5350

Доказать равенство Гаусса:

\left(1 + \left(\frac{1}{4}\right)^{2}x^{4} + \left(\frac{1\cdot 5}{4\cdot 8}\right)^{2}x^{8} + \left(\frac{1\cdot 5\cdot 9}{4\cdot 8\cdot 12}\right)^{2}x^{12} + \ldots \right)^{2} = 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^{3}x^{4} + \left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^{3}x^{8} + \left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)^{3}x^{12} + \ldots ; \qquad \left|x\right|<1.

Задача 5351

Доказать, что, применяя способ Пикара к уравнению $y' = y$ , при $a=0$ , $b=1$ , получим:

y = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \ldots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + \frac{x^{n}}{n!} + \ldots

Примечание.

Способ Пикара нахождения интеграла уравнения $y' = \varphi (x,y)$ , который при $x=a$ обращается в $b$ , состоит в том, что составляется последовательно ряд функций $y_{0}, y_{1}, y_{2}, \ldots$ по формуле $y_{n} = b + \displaystyle \int_{a}^{x} \varphi (x,y_{n-1})\, dx$ ; $y_{0}=b$ . Если $y_{n} \to y$ при $n \to \infty$ , то $y$ и есть искомый интеграл.

Задача 5352

Доказать, что в предыдущем примере (задача 5351) $y_{n} \to y$ , если $n \to \infty$ при произвольном выборе функции $y_{0}$ .

Задача 5353

Доказать, что, заменив уравнение

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

системой уравнений

y' = u; \qquad u' = -p(x)u - q(x)y

и применяя способ Пикара к решению этих уравнений, получим сходящийся процесс, если радиус-вектор из начала в точку $x$ не проходит на комплексной плоскости переменной $x$ ни через одну особую точку функций $p(x)$ и $q(x)$ .

Задача 5354

Решить уравнение $y' - y = axy$ по методу последовательных приближений, полагая $y_{0}=0$ и вычисляя величины $y_{n}$ по формуле $y_{n}' - y_{n} = axy_{n-1}$ (при $x=0$ должно быть $y=C$ ).

Задача 5355

Таким же путем (см. задачу 5354) решить уравнение $y'' + a^{2}y = \sigma xy$ , где $\sigma$ — малый параметр. При этом $y=0$ , $y'=a$ при $x=0$ . Полезно применить теорему: если $y''+a^{2}y=f(x)$ , то

y = C_{1}\sin ax + C_{2}\cos ax + \frac{1}{a}\int _{0}^{x} f(t)\sin a(x-t)\, dt.

Задача 5356

Пользуясь подстановкой $x = n + \dfrac {1}{\sqrt{n}}$ , показать, что интеграл уравнения $y'' + xy = 0$ в интервале $(n, \pi +n)$ , где $n$ велико, имеет приблизительно $\sqrt{n}$ корней.

Задача 5357

Доказать, что интеграл уравнения Бесселя

x^{2}y'' + xy' + (x^{2}-n^{2})y = 0

в весьма удаленном от начала интервале $(a, a+b)$ имеет приблизительно $\dfrac {b}{\pi }$ корней.

Задача 5358

Интеграл уравнения $y'' + y = \sigma y'^{2}$ имеет начальные условия: $x=0$ , $y=1$ , $y'=0$ . Найти три первых члена его разложения по степеням малого параметра $\sigma$ .

Задача 5359

Многочлены Чебышева--Эрмита: $H_{n}(x) = \dfrac {e^{\frac{x^{2}}{2}}}{n!}\dfrac {d^{n}e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{dx^{n}}$ удовлетворяют уравнению

H_{n}''(x) - xH_{n}'(x) + nH_{n}(x) = 0.

Подстановкой $H_{n}(x) = f(x)\cdot y$ преобразовать это уравнение к виду

y'' + \left(-\frac{x^{2}}{4} + n + \frac{1}{2}\right)y = 0.

Задача 5360

Найти асимптотическое выражение при $n \to \infty$ для многочленов Чебышева--Эрмита $H_{n}(x) = \dfrac {e^{\frac{x^{2}}{2}}}{n!}\dfrac {d^{n}e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{dx^{n}}$ (см. задачу 5359).

Задача 5361

Найти при $0<x<\pi$ интеграл уравнения

y'' + 4y = \pi x - x^{2},

разложив его в ряд вида $\sum a_{n}\sin nx$ . Краевые условия: $y=0$ при $x=0$ и $x=\pi$ .

Задача 5362

Найти интеграл уравнения $y^{\mathrm{IV}} + y = \pi - \left|x\right|$ при $-\pi <x<\pi$ и краевых условиях $y' = y''' = 0$ для $x = \pm \pi$ .

Задача 5363

Составить таблицу значений $y$ через $0{,}05$ , если $y'+2xy=0$ и $y=1$ при $x=0$ . При этом значения $y_{-2}, y_{-1}, y_{0}, y_{1}, y_{2}$ вычислить с помощью разложения в ряд, в формуле Адамса удерживать члены до третьих разностей, а вычисления вести до шестого знака после запятой.

Примечание.

Численное интегрирование дифференциального уравнения $y'=f(x,y)$ состоит в том, что по данному начальному условию $y=y_{0}$ при $x=x_{0}$ составляют таблицу значений $y$ для значений $x$ , равных числам $x_{0}, x_{0}+h, x_{0}+2h, \ldots$ , где $h$ — выбранное число, обычно довольно малое.

Формула Адамса--Штермера: $\Delta y_{n} = u_{n} + \dfrac {1}{2}\Delta u_{n-1} + \dfrac {5}{12}\Delta^{2}u_{n-2} + \dfrac {3}{8}\Delta^{3}u_{n-3} + \dfrac {251}{720}\Delta^{4}u_{n-4} + \dfrac {1}{3}\Delta^{5}u_{n-5} + \ldots$ , где $u = hf(x,y)$ ; эта формула дает возможность вычислить $y_{n+1}$ .

Задача 5364

Найти по методу Адамса--Штермера при $x=2$ интеграл уравнения $y' = x+y$ , обращающийся в единицу при $x=1$ ; при этом пользоваться формулой для $\Delta y$ , взятой до четвертых разностей включительно, и вести вычисления до пятого знака.

Задача 5365

Найти таблицу значений интеграла уравнения

y' = \sqrt{x} + \sqrt{y} \quad \text{для} \quad x = 0;\ 0{,}1;\ 0{,}2;\ \ldots \ 1,

если при $x=0$ , $y=0$ .

Примечание.

Разложение $y$ в начале имеет вид $y = \dfrac {2}{3}x^{\frac32} + \dfrac {4}{7}\sqrt{\dfrac {2}{3}}x^{\frac74} + \dfrac {1}{7}x^{2} + \dfrac {1}{49}\sqrt{\dfrac {2}{3}}x^{\frac94} + \ldots$ Выгодно ввести новую переменную, положив $x = \xi^{4}$ .

Задача 5366

Составить таблицу значений функций $\sin x$ и $\cos x$ через $0{,}1$ от $0$ до $1$ , пользуясь уравнениями: $(\sin x)' = \cos x$ ; $(\cos x)' = -\sin x$ и применив метод Адамса--Штермера.

Задача 5367

Составить таблицу значений функций Бесселя $J_{0}(x)$ и $J_{0}'(x)$ для значений $x$ через одну десятую от нуля до единицы, при этом уравнение для $J_{0}(x)$ , имеющее вид

xJ_{0}''(x) + J_{0}'(x) + xJ_{0}(x) = 0,

заменить системой: $xv' + v + xu = 0$ ; $u' = v$ .

Примечание.

Для уравнений второго порядка вида $y'' = f(x,y,y')$ можно пользоваться формулами:

\begin{align} \Delta ^{2}y_{n-1} & = h^{2}f_{n} + \frac{1}{12}h^{2}\Delta ^{2}f_{n-2} + \frac{1}{12}h^{2}\Delta ^{3}f_{n-3} + \frac{19}{240}h^{2}\Delta ^{4}f_{n-4} + \frac{3}{40}h^{2}\Delta ^{5}f_{n-5}, \\ \Delta y_{n} & = hy_{n}' + \frac{h^{2}}{2}f_{n} + \frac{h^{2}}{6}\Delta f_{n-1} + \frac{h^{2}}{8}\Delta ^{2}f_{n-2} + \frac{19h^{2}}{180}\Delta ^{3}f_{n-3} + \frac{3h^{2}}{32}\Delta ^{4}f_{n-4}, \\ \Delta y_{n}' & = hf_{n} + \frac{h}{2}\Delta f_{n-1} + \frac{5}{12}h\Delta ^{2}f_{n-2} + \frac{3}{8}h\Delta ^{3}f_{n-3} + \frac{251}{720}h\Delta ^{4}f_{n-4}. \end{align}

Задача 5368

Составить таблицу значений через $0{,}1$ в интервале $(0,1)$ функции $y = \operatorname {ch}x$ , удовлетворяющей уравнению $y'' = y$ и начальным условиям: при $x=1$ $y=1$ , $y'=0$ .

Задача 5369

Составить таблицу значений функции $J_{0}(x)$ для значений $x$ , идущих через $0{,}1$ , зная, что $J_{0}(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $xJ_{0}''(x) + J_{0}'(x) + xJ_{0}(x) = 0$ , и начальные ее значения при $x=0$ : $J_{0}(0)=1$ , $J_{0}'(0)=0$ .

Задача 5370

Зная величины: $\cos 1 = 0{,}54030$ ; $\cos 1{,}1 = 0{,}45360$ ; $\cos 1{,}2 = 0{,}36236$ ; $\cos 1{,}3 = 0{,}26750$ ; $\cos 1{,}4 = 0{,}16997$ , с помощью уравнения $y'' = -y$ найти значения $\cos x$ при $x=1{,}5$ ; $1{,}6$ ; $1{,}7$ ; $1{,}8$ ; $1{,}9$ ; $2{,}0$ .