13.3

Формула Эйлера--Маклорена и подобные методы

[18/17%]
Показать
LaTeX
Задача 5251

Доказать при m>1m>1 формулу Эйлера--Маклорена:

∑n=a∞1nm=1(m−1)am−1+121am+B12!mam+1−B24!m(m+1)(m+2)am+3+…+(−1)p−1Bp(2p)!m(m+1)…(m+2p−2)am+2p−1θ;0<θ<1, \sum _{n=a}^{\infty } \frac{1}{n^{m}} = \frac{1}{(m-1)a^{m-1}} + \frac{1}{2}\frac{1}{a^{m}} + \frac{B_{1}}{2!}\frac{m}{a^{m+1}} - \frac{B_{2}}{4!}\frac{m(m+1)(m+2)}{a^{m+3}} + \ldots + (-1)^{p-1}\frac{B_{p}}{(2p)!}\frac{m(m+1)\ldots (m+2p-2)}{a^{m+2p-1}}\theta ; \quad 0 < \theta < 1,

где B1,B2,B3,…B_{1}, B_{2}, B_{3}, \ldots — числа Бернулли.

?
Задача 5252

Полагая σm=∑n=10∞1nm\sigma_{m} = \sum_{n=10}^{\infty } \dfrac {1}{n^{m}}, доказать, что величины первых σm\sigma_{m}, выраженные в единицах 15-го знака после запятой, таковы:

?
Задача 5253

Доказать равенство ∑m=2∞σm=19\displaystyle \sum_{m=2}^{\infty }\sigma_{m} = \dfrac {1}{9} и, пользуясь им, проверить точность значений σm\sigma_{m}, данных в предыдущей задаче (задача 5252).

?
Задача 5254

Пользуясь сходимостью ряда ∑n=1∞(1n−ln⁡n+1n)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{n} - \ln \frac{n+1}{n}\right), формулой Эйлера--Маклорена, а также тем, что

∑n=m∞un=lim⁡p→∞∑n=mm+pun, \sum _{n=m}^{\infty } u_{n} = \lim _{p\to \infty }\sum _{n=m}^{m+p} u_{n},

доказать равенство:

1+12+13+…+1m=C+ln⁡m+12m−B12⋅1m2+…+(−1)p−1Bp−12p−21m2p−2+(−1)pBp2p1m2p⋅θ;0<θ<1. 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{m} = C + \ln m + \frac{1}{2m} - \frac{B_{1}}{2}\cdot \frac{1}{m^{2}} + \ldots + (-1)^{p-1}\frac{B_{p-1}}{2p-2}\frac{1}{m^{2p-2}} + (-1)^{p}\frac{B_{p}}{2p}\frac{1}{m^{2p}}\cdot \theta ; \quad 0 < \theta < 1.
?
Задача 5255

Полагая в предыдущем результате (задача 5254) m=3m=3, p=9p=9, вычислить постоянную CC (постоянная Эйлера).

?
Задача 5256

Вычислить сумму ∑n=110001n\displaystyle \sum_{n=1}^{1000} \frac{1}{n} с точностью до 10−710^{-7}.

?
Задача 5257

Пользуясь формулой Эйлера--Маклорена, доказать равенство:

∑n=1m1n=A+2m+12m−B12! 2mm+1⋅3⋅54! 23B2m3m−…+(−1)p⋅1⋅3…(4p−3)Bp(2p)! 22p−1m2p−12+(−1)p+1⋅1⋅3…(4p−1)(2p+2)! 22p+1⋅Bp+1m2p+32⋅θ;0<θ<1. \sum _{n=1}^{m} \frac{1}{\sqrt{n}} = A + 2\sqrt{m} + \frac{1}{2\sqrt{m}} - \frac{B_{1}}{2!\, 2m\sqrt{m}} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{4!\, 2^{3}}\frac{B_{2}}{m^{3}\sqrt{m}} - \ldots + \frac{(-1)^{p}\cdot 1\cdot 3\ldots (4p-3)B_{p}}{(2p)!\, 2^{2p-1}m^{2p-\frac12}} + \frac{(-1)^{p+1}\cdot 1\cdot 3\ldots (4p-1)}{(2p+2)!\, 2^{2p+1}}\cdot \frac{B_{p+1}}{m^{2p+\frac32}}\cdot \theta ; \quad 0<\theta <1.
?
Задача 5258

Пользуясь формулой Эйлера--Маклорена, вычислить суммы рядов ∑n=1∞1n3\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{3}} и ∑n=1∞ln⁡nn2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\ln n}{n^{2}} с точностью до 10−710^{-7}.

?
Задача 5259

Пользуясь интегралами ∫0∞e−mx dx=1m\displaystyle \int_{0}^{\infty } e^{-mx}\, dx = \dfrac {1}{m} и ∫0∞e−mxsin⁡nx dx=nm2+n2\displaystyle \int_{0}^{\infty } e^{-mx}\sin nx\, dx = \dfrac {n}{m^{2}+n^{2}} (m>0m>0), доказать равенство:

1n+1−1n+2+1n+3−…=∫0∞e−nxex+1 dx. \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} - \ldots = \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-nx}}{e^{x}+1}\, dx.
?
Задача 5260

Пользуясь интегралами ∫0∞e−mx dx=1m\displaystyle \int_{0}^{\infty } e^{-mx}\, dx = \dfrac {1}{m} и ∫0∞e−mxsin⁡nx dx=nm2+n2\displaystyle \int_{0}^{\infty } e^{-mx}\sin nx\, dx = \dfrac {n}{m^{2}+n^{2}} (m>0m>0), доказать равенство:

12n+1−12n+3+12n+5−…=∫0∞e−2nxex+e−x dx. \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} + \frac{1}{2n+5} - \ldots = \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-2nx}}{e^{x}+e^{-x}}\, dx.
?
Задача 5261

Пользуясь интегралами ∫0∞e−mx dx=1m\displaystyle \int_{0}^{\infty } e^{-mx}\, dx = \dfrac {1}{m} и ∫0∞e−mxsin⁡nx dx=nm2+n2\displaystyle \int_{0}^{\infty } e^{-mx}\sin nx\, dx = \dfrac {n}{m^{2}+n^{2}} (m>0m>0), доказать равенство:

∑ν=0∞(−1)νnn2+(n+ν+1)2=∫0∞e−nxsin⁡nxex+1 dx. \sum _{\nu =0}^{\infty } \frac{(-1)^{\nu }n}{n^{2}+(n+\nu +1)^{2}} = \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-nx}\sin nx}{e^{x}+1}\, dx.
?
Задача 5262

Пользуясь разложениями в ряды дробей 1ex+1\frac{1}{e^{x}+1} и предыдущими результатами, доказать равенство:

ln⁡2=∑ν=1n(−1)ν−1ν+(−1)n2n+12∑μ=1m−1(−1)n+μ(22μ−1)Bμn2μμ+θ⋅(−1)n+m(22m−1)⋅Bmn2m⋅m. \ln 2 = \sum _{\nu =1}^{n} \frac{(-1)^{\nu -1}}{\nu } + \frac{(-1)^{n}}{2n} + \frac{1}{2}\sum _{\mu =1}^{m-1}\frac{(-1)^{n+\mu }(2^{2\mu }-1)B_{\mu }}{n^{2\mu }\mu } + \theta \cdot (-1)^{n+m}\frac{(2^{2m}-1)\cdot B_{m}}{n^{2m}\cdot m}.
?
Примечание.
?

При любом вещественном xx справедливы формулы:

1ex+1=12+∑ν=1n−1(−1)ν(22ν−1)Bν(2ν)!x2ν−1+θ⋅(−1)n⋅(22n−1)(2n)!Bn⋅x2n−1. \frac{1}{e^{x}+1} = \frac{1}{2} + \sum _{\nu =1}^{n-1}(-1)^{\nu }\frac{(2^{2\nu }-1)B_{\nu }}{(2\nu )!}x^{2\nu -1} + \theta \cdot (-1)^{n}\cdot \frac{(2^{2n}-1)}{(2n)!}B_{n}\cdot x^{2n-1}. 1ex−1=1x−12+∑ν=1n−1(−1)ν−1Bν(2ν)!x2ν−1+θ⋅(−1)n−1Bn(2n)!x2n−1. \frac{1}{e^{x}-1} = \frac{1}{x} - \frac{1}{2} + \sum _{\nu =1}^{n-1}\frac{(-1)^{\nu -1}B_{\nu }}{(2\nu )!}x^{2\nu -1} + \theta \cdot (-1)^{n-1}\frac{B_{n}}{(2n)!}x^{2n-1}. 1ex+e−x=12∑ν=0n−1(−1)νEν(2ν)!x2ν+θ2⋅(−1)nEn(2n)!x2n. \frac{1}{e^{x}+e^{-x}} = \frac{1}{2}\sum _{\nu =0}^{n-1}\frac{(-1)^{\nu }E_{\nu }}{(2\nu )!}x^{2\nu } + \frac{\theta }{2}\cdot \frac{(-1)^{n}E_{n}}{(2n)!}x^{2n}.

Здесь BnB_{n} и EnE_{n} — числа Бернулли и Эйлера, 0<θ<10 < \theta < 1.

Задача 5263

Пользуясь разложением в ряд дробей 1ex+e−x\frac{1}{e^{x}+e^{-x}} (см. замечание к задаче 5262) и предыдущими результатами, доказать равенство:

π4=∑ν=1n(−1)ν−12ν−1+n∑μ=1m(−1)n+μ−1Eμ−1(2n)2μ+nθ⋅(−1)n+m⋅Em(2n)2m+2. \frac{\pi }{4} = \sum _{\nu =1}^{n}\frac{(-1)^{\nu -1}}{2\nu -1} + n\sum _{\mu =1}^{m}\frac{(-1)^{n+\mu -1}E_{\mu -1}}{(2n)^{2\mu }} + \frac{n\theta \cdot (-1)^{n+m}\cdot E_{m}}{(2n)^{2m+2}}.
?
Задача 5264

Пользуясь этим и предыдущими результатами (см. замечание к задаче 5262), доказать равенство:

π2=∑ν=1n2nn2+ν2−2πe2πn−1+12n+∑μ=1m(−1)μ−1B2μ−1(2n2)2μ−112μ−1+θ(−1)m(2n2)2m+1B2m+12m+1. \frac{\pi }{2} = \sum _{\nu =1}^{n}\frac{2n}{n^{2}+\nu ^{2}} - \frac{2\pi }{e^{2\pi n}-1} + \frac{1}{2n} + \sum _{\mu =1}^{m}\frac{(-1)^{\mu -1}B_{2\mu -1}}{(2n^{2})^{2\mu -1}}\frac{1}{2\mu -1} + \frac{\theta (-1)^{m}}{(2n^{2})^{2m+1}}\frac{B_{2m+1}}{2m+1}.

Здесь 0<θ<10 < \theta < 1. Последняя формула была дана Эйлером без указания остаточного члена.

?
Задача 5265

Доказать формулу:

∑ν=1nln⁡νν=C+12(ln⁡n)2+ln⁡n2n+1−ln⁡n12n2+θ6ln⁡n−11720n4, \sum _{\nu =1}^{n} \frac{\ln \nu }{\nu } = C + \frac{1}{2}(\ln n)^{2} + \frac{\ln n}{2n} + \frac{1-\ln n}{12n^{2}} + \theta \frac{6\ln n - 11}{720 n^{4}},

где C=−0,072815…C = -0{,}072815\ldots; 0<θ<10 < \theta < 1.

?
Задача 5266

Доказать равенство ∑ν=1∞ln⁡νν2=0,9375483…\displaystyle \sum_{\nu =1}^{\infty } \frac{\ln \nu }{\nu^{2}} = 0{,}9375483\ldots

?
Задача 5267

Доказать равенство ∑ν=1∞(−1)νln⁡νν2=0,1013166…\displaystyle \sum_{\nu =1}^{\infty } \frac{(-1)^{\nu }\ln \nu }{\nu^{2}} = 0{,}1013166\ldots

?
Задача 5268

Доказать равенство ∑ν=1∞(−1)ν−1ν=0,604898…\displaystyle \sum_{\nu =1}^{\infty } \frac{(-1)^{\nu -1}}{\sqrt{\nu }} = 0{,}604898\ldots

?