Банк задач по математике

Задача 5269

Пусть $S = u_{0} - u_{1} + u_{2} - u_{3} + \ldots$ — сходящийся ряд, а числа $u_{0}, u_{1}, u_{2}, \ldots$ не обязательно положительны. Доказать равенство:

S = \frac{u_{0}}{2} - \frac{\Delta u_{0}}{2} + \frac{\Delta u_{1}}{2} - \ldots ,

где $\Delta u_{0}, \Delta u_{1}, \Delta u_{2}, \ldots$ — разности: $\Delta u_{0} = u_{1} - u_{0}$ , $\Delta u_{1} = u_{2} - u_{1}, \ldots$

?

Задача 5270

Повторным применением приема задачи 5269 доказать равенство:

S = \frac{1}{2}u_{0} - \frac{1}{4}\Delta u_{0} + \frac{1}{8}\Delta ^{2}u_{0} + \ldots + \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}}\Delta ^{n-1}u_{0} + (-1)^{n}R_{n},

где $2^{n}R_{n} = \Delta^{n}u_{0} - \Delta^{n}u_{1} + \Delta^{n}u_{2} - \ldots$

?

Задача 5271

Если числа $\Delta^{n}u_{0}, \Delta^{n}u_{1}, \Delta^{n}u_{2}, \ldots$ (см. задачу 5270) одного знака и по абсолютной величине убывают, то $R_{n} = \dfrac {\theta \cdot \Delta^{n}u_{0}}{2^{n}}$ ; $\dfrac {1}{2} < \theta < 1$ .

?

Задача 5272

Полагая $S = u_{0} - u_{1} + u_{2} - u_{3} + \ldots + (-1)^{n}u_{n} + (-1)^{n+1}\rho_{n+1}$ , где $\rho_{n+1} = u_{n+1} - u_{n+2} + u_{n+3} - \ldots$ , доказать тождество

S = \frac{u_{0}}{2} - \frac{\Delta u_{0}}{2} + \frac{\Delta u_{1}}{2} - \ldots + (-1)^{m-1}\frac{\Delta u_{m-1}}{2} + (-1)^{m}\frac{\Delta \rho _{m}}{2}.

?

Задача 5273

Для величины $R_{n}$ в задаче 5270 доказать равенство:

2^{n}R_{n} = \Delta ^{n}\rho _{0},

где $\rho_{\nu } = u_{\nu } - u_{\nu +1} + u_{\nu +2} - \ldots$

?

Задача 5274

Доказать теорему: если ряд $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}u_{n}$ сходится, то

u_{0} - u_{1} + u_{2} - u_{3} + \ldots = \frac{1}{2}u_{0} - \frac{1}{4}\Delta u_{0} + \frac{1}{8}\Delta ^{2}u_{0} - \ldots ,

где ряд в правой части тоже сходится. (Преобразование Эйлера.)

?

Задача 5275

Пользуясь тождеством $a = \dfrac {a}{1+x} + \dfrac {ax}{1+x}$ , доказать тождество

u_{0}x - u_{1}x^{2} + u_{2}x^{3} - \ldots = \frac{u_{0}x}{1+x} - \frac{\Delta u_{0}\cdot x^{2}}{1+x} + \frac{\Delta u_{1}\cdot x^{3}}{1+x} - \ldots ,

где ряд $u_{0}x - u_{1}x^{2} + \ldots$ сходится по условию при $-1 < x < 1$ .

?

Задача 5276

При тех же условиях (см. задачу 5275) доказать равенство:

S = u_{0}y - \Delta u_{0}\cdot y^{2} + \Delta ^{2}u_{0}\cdot y^{3} - \ldots + (-1)^{n-1}\Delta ^{n-1}u_{0}\cdot y^{n} + (-1)^{n}R_{n},

где $y = \dfrac {x}{1+x}$ ; $\Delta u_{0}, \Delta^{2}u_{0}, \Delta^{3}u_{0}, \ldots$ — последовательные разности, а величина

(1+x)^{n}R_{n} = x^{n+1}\Delta ^{n}u_{0} - x^{n+2}\Delta ^{n}u_{1} + \ldots = x\left((-1)^{n}x^{n}\rho _{0} + (-1)^{n-1}x^{n-1}\rho _{1} + \ldots + \rho _{n}\right),

где $\rho_{p} = u_{p}x^{p} - u_{p+1}x^{p+1} + \ldots$

?

Задача 5277

Доказать, что

u_{0}x - u_{1}x^{2} + u_{2}x^{3} - \ldots = u_{0}\left(\frac{x}{1+x}\right) - \Delta u_{0}\left(\frac{x}{1+x}\right)^{2} + \Delta ^{2}u_{0}\left(\frac{x}{1+x}\right)^{3} - \ldots ,

если $0 < x < 1$ , а ряд в левой части сходится.

?

Задача 5278

Доказать при $m>0$ , $x>-\dfrac {1}{2}$ равенство:

\frac{x}{m} - \frac{x^{2}}{m+1}\frac{x^{2}}{m+2} - \ldots = \frac{1}{m}\frac{x}{1+x} + \frac{1}{m(m+1)}\left(\frac{x}{1+x}\right)^{2} + \frac{1\cdot 2}{m(m+1)(m+2)}\left(\frac{x}{1+x}\right)^{3} + \ldots

?

Задача 5279

Доказать равенство:

\operatorname {arctg} x = \frac{x}{1+x^{2}}\sum _{n=0}^{\infty } \frac{2\cdot 4\cdot 6\ldots 2n}{3\cdot 5\cdot 7\ldots (2n+1)}\cdot \left(\frac{x^{2}}{x^{2}+1}\right)^{n}.

?

Задача 5280

Найти преобразованием Эйлера с точностью до $10^{-5}$ сумму ряда $\ln 2 = 1 - \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{4} + \ldots$ (Первые несколько членов полезно суммировать непосредственно.)

?

Задача 5281

Найти преобразованием Эйлера с точностью до $10^{-5}$ сумму ряда $\dfrac {\pi }{4} = 1 - \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{5} - \dfrac {1}{7} + \ldots$ (Первые несколько членов полезно суммировать непосредственно.)

?

Задача 5282

Найти преобразованием Эйлера с точностью до $10^{-5}$ сумму ряда $1 - \dfrac {1}{3^{2}} + \dfrac {1}{5^{2}} - \dfrac {1}{7^{2}} + \ldots$ (Первые несколько членов полезно суммировать непосредственно.)

?

Задача 5283

Найти преобразованием Эйлера с точностью до $10^{-5}$ сумму ряда $1 - \dfrac {1}{2^{3}} + \dfrac {1}{3^{3}} - \dfrac {1}{4^{3}} + \ldots$ (Первые несколько членов полезно суммировать непосредственно.)

?

Задача 5284

Найти преобразованием Эйлера с точностью до $10^{-5}$ сумму ряда $\dfrac {1}{1\cdot 2\cdot 3} - \dfrac {1}{2\cdot 3\cdot 4} + \dfrac {1}{3\cdot 4\cdot 5} - \ldots$ (Первые несколько членов полезно суммировать непосредственно.)

?

Задача 5285

Найти преобразованием Эйлера с точностью до $10^{-5}$ сумму ряда $\dfrac {1}{\ln 10} - \dfrac {1}{\ln 11} + \dfrac {1}{\ln 12} - \dfrac {1}{\ln 13} + \ldots$ (Первые несколько членов полезно суммировать непосредственно.)

?

Задача 5286

Доказать, что, применяя преобразование Эйлера к ряду $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}$ , мы улучшаем сходимость, а применяя его к ряду $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}$ , ухудшаем.

?

Задача 5287

Полагая для ряда $\sum \dfrac {1}{n^{2}}$ , что $C_{n} = \dfrac {1}{n^{2} - \frac14}$ , доказать равенство:

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} = 2 - \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}(4n^{2}-1)}.

?

Примечание.

?

Преобразование Куммера. Если ряд $\sum u_{n}$ сходится, а ряд $\sum C_{n}$ имеет известную сумму $C$ и притом $\dfrac {u_{n}}{C_{n}} \to \gamma$ при $n \to \infty$ , то тождество $\sum_{n=0}^{\infty } u_{n} = C\gamma + \sum_{n=0}^{\infty }(u_{n} - C_{n}\gamma )$ заменяет данный ряд другим, более быстро сходящимся, так как $\dfrac {u_{n}-C_{n}\gamma }{u_{n}} \to 0$ при $n \to \infty$ .

В частности, если подобрать такой ряд чисел $p_{1}, p_{2}, p_{3}, \ldots$ , что $p_{n}u_{n} \to 0$ и $\dfrac {p_{n}u_{n}-p_{n+1}u_{n+1}}{u_{n+1}} \to 1$ , то можно положить $C_{n+1} = p_{n}u_{n} - p_{n+1}u_{n+1}$ , и тогда справедливо равенство

\sum _{n=1}^{\infty } u_{n} = (p_{1}+1)u_{1} + \sum _{n=1}^{\infty }(u_{n+1} - p_{n}u_{n} + p_{n+1}u_{n+1}),

выражающее преобразование Куммера.

Задача 5288

Доказать равенство:

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}(4n^{2}-1)} = -\frac{2}{9} - 9\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}(4n^{2}-1)(4n^{2}-9)}.

?

Задача 5289

Из ряда $\dfrac {\pi^{2}}{6} = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \dfrac {1}{n^{2}}$ , выбирая $p_{n}$ в форме $an+b+\dfrac {c}{n+d}$ , где $a,b,c,d$ — соответствующие коэффициенты, преобразованием Куммера получить равенство:

\pi ^{2} = 10 - \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{3}(n+1)^{3}}.

?

Задача 5290

Из ряда $\dfrac {\pi^{2}}{8} = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty } \dfrac {1}{(2n+1)^{2}}$ преобразованием Куммера получить формулу:

\frac{3\pi ^{2}}{32} = 1 - 2\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{(4n^{2}-1)^{3}}.

?

Задача 5291

Доказать равенство:

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{3}} = \frac{5}{4} - \sum _{n=1}^{\infty } \frac{2n+1}{4n^{4}(n+1)^{4}}.

?

Задача 5292

Доказать равенство:

e = 2 + 2\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n!(n^{4}+n^{2}+1)}.

?

Задача 5293

Доказать равенство:

\ln 2 = \frac{3}{4} - \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{4n^{2}(n+1)^{2}}.

?

Задача 5294

Доказать равенство:

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{4n^{2}(n+1)^{2}} = \frac{7}{96} - \frac{9}{2}\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)(2n+1)(2n+3)n^{2}(n+2)^{2}}.

?

Задача 5295

Доказать равенство:

\frac{\pi }{4} = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = 1 + 2\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{(4n^{2}-1)^{2}}.

?

Задача 5296

Доказать равенство:

\sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}} = \frac{3}{2} + 16\sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}n}{(4n^{2}-1)^{3}}.

?

Задача 5297

Доказать равенство:

\sum _{n=0}^{\infty } u_{n} = \frac{3}{5} - 27\sum _{n=1}^{\infty } u_{n}\cdot \frac{4n-1}{(2n-1)^{2}(8n^{2}-12n+9)(8n^{2}+4n+5)},

где $u_{n} = (-1)^{n}\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5\ldots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\ldots 2n}\right)^{2}$ .

?

Задача 5298

Преобразование Куммера в его простейшей форме с пользой применяется к тригонометрическим рядам. Применяя преобразование такого типа, доказать при $0<x<\pi$ равенство:

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{n^{2}\sin nx}{n^{3}+1} = \frac{\pi -x}{2} - \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\sin nx}{n(n^{3}+1)}.

?

Задача 5299

Применяя преобразование Куммера, доказать при $0<x<\pi$ равенство:

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{n^{2}+1}{n^{3}+n+1}\cos nx = -\ln \left(2\sin \frac{x}{2}\right) - \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\cos nx}{n(n^{3}+n+1)}.

?

Задача 5300

Применяя преобразование Куммера, доказать при $0<x<\pi$ равенство:

\sum _{n=1}^{\infty } (-1)^{n-1}\frac{n+1}{n^{2}+1}\sin nx = \frac{1}{2}x + \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}(n-1)}{n(n^{2}+1)}\sin nx.

?

Задача 5301

Применяя преобразование Куммера, доказать при $0<x<\pi$ равенство:

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{n^{2}+1}{n^{4}+1}\cos nx = \frac{(\pi -x)^{2}}{4} - \frac{\pi ^{2}}{12} + \sum _{n=1}^{\infty } \frac{n^{2}-1}{n^{2}(n^{4}+1)}\cos nx.

?

Задача 5302

Доказать при $0<x<\pi$ равенство:

\sum _{n=0}^{\infty } \frac{n+1}{n^{2}+1}\sin (2n+1)x = \frac{\pi }{4} + \sum _{n=0}^{\infty } \frac{3n-1}{(n^{2}+1)(2n+1)}\sin (2n+1)x.

?

Задача 5303

Доказать, что функция $y = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \frac{\sin nx}{n^{2}+1}$ при $0<x<\pi$ удовлетворяет дифференциальному уравнению

y'' - y = -\frac{1}{2}\operatorname {ctg}\frac{x}{2}.

?

Задача 5304

Доказать, что функция $y = \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty } \frac{n^{2}}{n^{3}+1}\sin 2nx$ при $0<x<\dfrac {\pi }{2}$ удовлетворяет уравнению

y^{\mathrm{VI}} + 64y = -\frac{16\cos x}{\sin ^{3}x}.

?

Усиление сходимости рядов