Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений

Найти разложение в степенной ряд общего интеграла уравнения $y' - xy = 1$.

Найти разложение в степенной ряд общего интеграла уравнения $(1+x)y' - ny = 0$.

Найти разложение в степенной ряд общего интеграла уравнения $y'' + y = 0$.

Найти разложение в степенной ряд общего интеграла уравнения $y'' - xy = 0$.

Доказать, что соответствующий частный интеграл дифференциального уравнения

может быть представлен указанным степенным рядом:

(гипергеометрический ряд Гаусса).

Доказать, что соответствующий частный интеграл дифференциального уравнения

может быть представлен указанным степенным рядом:

(функция Бесселя $J_{n}(x)$).

Доказать, что соответствующий частный интеграл дифференциального уравнения

может быть представлен указанным степенным рядом:

Доказать, что соответствующий частный интеграл дифференциального уравнения

может быть представлен указанным степенным рядом:

Доказать равенство Гаусса:

Доказать, что, применяя способ Пикара к уравнению $y' = y$, при $a=0$, $b=1$, получим:

Доказать, что в предыдущем примере (задача 5351) $y_{n} \to y$, если $n \to \infty$ при произвольном выборе функции $y_{0}$.

Доказать, что, заменив уравнение

системой уравнений

и применяя способ Пикара к решению этих уравнений, получим сходящийся процесс, если радиус-вектор из начала в точку $x$ не проходит на комплексной плоскости переменной $x$ ни через одну особую точку функций $p(x)$ и $q(x)$.

Решить уравнение $y' - y = axy$ по методу последовательных приближений, полагая $y_{0}=0$ и вычисляя величины $y_{n}$ по формуле $y_{n}' - y_{n} = axy_{n-1}$ (при $x=0$ должно быть $y=C$).

Таким же путем (см. задачу 5354) решить уравнение $y'' + a^{2}y = \sigma xy$, где $\sigma$ — малый параметр. При этом $y=0$, $y'=a$ при $x=0$. Полезно применить теорему: если $y''+a^{2}y=f(x)$, то

Пользуясь подстановкой $x = n + \dfrac {1}{\sqrt{n}}$, показать, что интеграл уравнения $y'' + xy = 0$ в интервале $(n, \pi +n)$, где $n$ велико, имеет приблизительно $\sqrt{n}$ корней.

Доказать, что интеграл уравнения Бесселя

в весьма удаленном от начала интервале $(a, a+b)$ имеет приблизительно $\dfrac {b}{\pi }$ корней.

Интеграл уравнения $y'' + y = \sigma y'^{2}$ имеет начальные условия: $x=0$, $y=1$, $y'=0$. Найти три первых члена его разложения по степеням малого параметра $\sigma$.

Многочлены Чебышева--Эрмита: $H_{n}(x) = \dfrac {e^{\frac{x^{2}}{2}}}{n!}\dfrac {d^{n}e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{dx^{n}}$ удовлетворяют уравнению

Подстановкой $H_{n}(x) = f(x)\cdot y$ преобразовать это уравнение к виду

Найти асимптотическое выражение при $n \to \infty$ для многочленов Чебышева--Эрмита $H_{n}(x) = \dfrac {e^{\frac{x^{2}}{2}}}{n!}\dfrac {d^{n}e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{dx^{n}}$ (см. задачу 5359).

Найти при $0<x<\pi$ интеграл уравнения

разложив его в ряд вида $\sum a_{n}\sin nx$. Краевые условия: $y=0$ при $x=0$ и $x=\pi$.

Найти интеграл уравнения $y^{\mathrm{IV}} + y = \pi - \left|x\right|$ при $-\pi <x<\pi$ и краевых условиях $y' = y''' = 0$ для $x = \pm \pi$.

Составить таблицу значений $y$ через $0{,}05$, если $y'+2xy=0$ и $y=1$ при $x=0$. При этом значения $y_{-2}, y_{-1}, y_{0}, y_{1}, y_{2}$ вычислить с помощью разложения в ряд, в формуле Адамса удерживать члены до третьих разностей, а вычисления вести до шестого знака после запятой.

Найти по методу Адамса--Штермера при $x=2$ интеграл уравнения $y' = x+y$, обращающийся в единицу при $x=1$; при этом пользоваться формулой для $\Delta y$, взятой до четвертых разностей включительно, и вести вычисления до пятого знака.

Найти таблицу значений интеграла уравнения

если при $x=0$, $y=0$.

Составить таблицу значений функций $\sin x$ и $\cos x$ через $0{,}1$ от $0$ до $1$, пользуясь уравнениями: $(\sin x)' = \cos x$; $(\cos x)' = -\sin x$ и применив метод Адамса--Штермера.

Составить таблицу значений функций Бесселя $J_{0}(x)$ и $J_{0}'(x)$ для значений $x$ через одну десятую от нуля до единицы, при этом уравнение для $J_{0}(x)$, имеющее вид

заменить системой: $xv' + v + xu = 0$; $u' = v$.

Составить таблицу значений через $0{,}1$ в интервале $(0,1)$ функции $y = \operatorname {ch}x$, удовлетворяющей уравнению $y'' = y$ и начальным условиям: при $x=1$ $y=1$, $y'=0$.

Составить таблицу значений функции $J_{0}(x)$ для значений $x$, идущих через $0{,}1$, зная, что $J_{0}(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению $xJ_{0}''(x) + J_{0}'(x) + xJ_{0}(x) = 0$, и начальные ее значения при $x=0$: $J_{0}(0)=1$, $J_{0}'(0)=0$.

Зная величины: $\cos 1 = 0{,}54030$; $\cos 1{,}1 = 0{,}45360$; $\cos 1{,}2 = 0{,}36236$; $\cos 1{,}3 = 0{,}26750$; $\cos 1{,}4 = 0{,}16997$, с помощью уравнения $y'' = -y$ найти значения $\cos x$ при $x=1{,}5$; $1{,}6$; $1{,}7$; $1{,}8$; $1{,}9$; $2{,}0$.