Вычисление интегралов с помощью рядов

Разложением подынтегральной функции найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\, dx$ с точностью до $10^{-5}$.

Разложением подынтегральной функции найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{1} \operatorname {ch}(x^{2})\, dx$ с точностью до $10^{-5}$.

Разложением подынтегральной функции найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin x}{x}\, dx$ с точностью до $10^{-5}$.

Разложением подынтегральной функции найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{\pi /2} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\, dx$ с точностью до $10^{-5}$.

Разложением подынтегральной функции найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{1/2} \frac{x\, dx}{\operatorname {ch} x}$ с точностью до $10^{-5}$.

Разложением подынтегральной функции найти величину интеграла $\displaystyle \int_{0}^{1{,}5} \frac{dx}{\sqrt[3]{27+x^{3}}}$ с точностью до $10^{-5}$.

В следующем интеграле полезно сначала выполнить замену переменных $x+1=e^{t}$ и лишь тогда разлагать в ряд: $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x\, dx}{(1+x)\ln (1+x)}$.

В следующем интеграле полезно сначала выполнить замену переменных $\operatorname {tg}x = u$ и лишь тогда разлагать в ряд: $\displaystyle \int_{0}^{\pi /4} \frac{x\, dx}{\operatorname {tg}x \cdot \cos^{2}x}$.

В следующем интеграле полезно сначала выполнить замену переменных $x = 2\operatorname {arctg}u$ и лишь тогда разлагать в ряд: $\displaystyle \int_{0}^{\pi /2} \frac{x\, dx}{\sin x}$.

Разложив в ряд, проинтегрировав и применяя затем преобразование Эйлера, вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{3}}$ с точностью до $10^{-5}$.

Разложив в ряд, проинтегрировав и применяя затем преобразование Эйлера, вычислить интеграл $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x^{4}}$ с точностью до $10^{-5}$.

Разлагая $x^{x} = e^{x\ln x}$ по степеням $x\ln x$, получить равенство:

Положив $x = \sin \varphi$ и разлагая по степеням $\sin^{2}\varphi$, доказать при $\left|k\right| < 1$ равенство:

Доказать асимптотическую формулу, весьма удобную при больших значениях параметра $n$ (здесь $\theta$ — некоторое число из промежутка $(0,1)$):

Доказать асимптотическую формулу, весьма удобную при больших значениях параметра $n$ (здесь $\theta$ — некоторое число из промежутка $(0,1)$):

Доказать асимптотическую формулу, весьма удобную при больших значениях параметра $n$ (здесь $\theta$ — некоторое число из промежутка $(0,1)$):

где $R = \theta \cdot \dfrac {(-1)^{m}\cdot 1\cdot 3\ldots (2m-1)}{2^{m}n^{2m}}$.

Доказать асимптотическую формулу, весьма удобную при больших значениях параметра $n$ (здесь $\theta$ — некоторое число из промежутка $(0,1)$):

где $R = \theta \cdot (-1)^{m+1}\cdot \dfrac {\sigma (\sigma +1)\ldots (\sigma +m)}{n^{m+1}}$.

При вычислении интеграла $\displaystyle \int_{a}^{\infty } \frac{\sin x}{x}\, dx$ полезно положить сначала $x=a+t$, а затем заменить величину $\dfrac {1}{a+t}$ интегралом $\displaystyle \int_{0}^{\infty } e^{-u(a+t)}\, du$. Используя в дальнейшем, после перемены порядка интегрирования, предыдущие приемы, получить равенство:

где

Если $\varphi (x)$ — данная функция, а $n$ — параметр, стремящийся к бесконечности, то асимптотическая величина интегралов $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{n-1}\varphi (x)\, dx$ может изучаться подстановкой $x=e^{-t}$. Затем для функции $\varphi (e^{-t})$ находится формула $\varphi (e^{-t}) = \sum_{\nu =1}^{m-1} a_{\nu }t^{\nu } + A\cdot \theta \cdot t^{m}$, где $a_{\nu }$ и $A$ — соответствующие коэффициенты. Установить равенство (где $0<\theta <1$):

где $E_{\nu }$ — числа Эйлера.

Установить равенство (см. замечание к задаче 5323, где $0<\theta <1$):

Установить равенство (см. замечание к задаче 5323, где $0<\theta <1$):

Доказать следующее равенство (где $0<\theta <1$):

Доказать следующее равенство (где $0<\theta <1$):

Доказать следующее равенство (где $0<\theta <1$):

Доказать, что длина $l$ четверти эллипса

при малых значениях $b$ может быть дана формулой $l = 1 + \dfrac {1}{2}b^{2}\ln \dfrac {1}{6} + \theta (b)b^{3}$, где $\theta (b)$ — функция, остающаяся конечной при $b \to 0$.