Интерполирование. Теория погрешностей

Полагая, что написанные числа верны только до последней значащей цифры, найти приближенные значения следующих величин:

Угол при измерении угломерным прибором оказался равным $32^{\circ }13'25'' \pm 10''$. Какова относительная погрешность?

Сторона квадрата приблизительно равна $1 \, \text{м}$. С какой степенью точности ее надо измерить, чтобы погрешность площади была не больше $1 \, \text{см}^{2}$?

Маятник длиною около $2 \, \text{м}$ совершил около 400 качаний. Зная, что длина его измерена с точностью до $1 \, \text{мм}$, а общая продолжительность колебаний измерена с точностью до $0{,}5 \, c$, определить, с какой точностью можно найти по этим данным величину ускорения $g$, а также выяснить, какая ошибка измерения сильнее сказывается на результате.

При измерении длины пролета строящегося моста на одном берегу реки отложена линия (базис), равная $200 \, \text{м} \pm 0{,}01 \, \text{м}$. Измерены углы между базисом и направлениями из концов его на точку за рекой. Они оказались $90^{\circ }\pm 1'$ и $60^{\circ }\pm 1'$. С какой степенью точности можно определить по этим данным длину пролета моста?

При какой величине угла относительная ошибка вычисления катета прямоугольного треугольника по данному катету и противолежащему углу будет особенно мала, если пренебрегать ошибкой в измерении данного катета?

В поле зрения зрительной трубы нивелира видны две горизонтальные линии. При рассмотрении в эту трубу вертикальной рейки с дециметровыми делениями между нитями видны 10 делений рейки, если рейка удалена на $50 \, \text{м}$. При переносе рейки в другой пункт между теми же делениями видны $25 \pm 0{,}2$ деления. Каково расстояние до нового положения рейки?

В пятизначных логарифмических таблицах даны десятичные логарифмы чисел с точностью до $\frac{1}{2} \cdot 10^{-5}$. Как велика может быть погрешность при нахождении числа по логарифму, если число заключено между числами 300 и 400?

Тот же вопрос в применении к таблице логарифмов синусов и логарифмов тангенсов, если угол около $45^{\circ }$.

Длина периметра правильного вписанного 96-угольника, которой пользовался Архимед при вычислении $\pi$, выражается при $r=1$ формулой

Если вычислять непосредственно по этой формуле, желая получить $P$ с точностью до $0{,}001$, с какой точностью надо производить вычисление подкоренных величин?

Гипсометрическая формула, по которой определяют высоту места над землей, такова:

При этом $p_{0}$ — давление на поверхности земли, $p$ — давление в данном месте на высоте $h$, $a = \frac{1}{273}$, $t$ — температура по Цельсию. Определить, какова погрешность в определении высоты, если $t=0^{\circ }$, а величина $p = 500 \, \text{мм}$ с точностью до $1 \, \text{мм}$.

Найти целую функцию от $x$, по возможности низкой степени, принимающую при $x=2, 4, 5, 10$ соответственно значения $3, 7, 9, 19$.

Найти целую функцию от $x$, по возможности низкой степени, принимающую при $x=2, 4, 5, 10, 15$ соответственно значения $3, 7, 9, 19, 0$.

Найти целую функцию от $x$, по возможности низкой степени, принимающую при $x=1,2,3,4,5$, соответственно значения $2, 1, -1, 5, 0$.

Найти многочлен $f(x)$, по возможности низкой степени, принимающий при $x = -2, -1, 0, 1, 2$ те же значения, что и функция $y = \sin \dfrac {\pi x}{2}$. Определить величину разности $f(x) - y$ при значениях $x$, равных $\dfrac {1}{2}, \dfrac {5}{3}, 10$.

Найти многочлен $f(x)$, по возможности низкой степени, принимающий при $x=-2, -\dfrac {4}{3}, 0, \dfrac {4}{3}, 2$ те же значения, что и функция $y = \cos \dfrac {\pi x}{4}$. Определить значения разности $f(x) - y$ при значениях $x$, равных $-1, 3, 10$.

Для функции $y = x^{3} - 3x^{2} + 5x - 7$ при $x=0$ вычислены значения разностей $\Delta y_{0} = +3$, $\Delta^{2} y_{0} = 0$, $\Delta^{3} y_{0} = 5$, соответствующие приращению $h_{0}=1$ аргумента. Требуется вычислить разности $\overline{\Delta y_{0}}$, $\overline{\Delta^{2} y_{0}}$, $\overline{\Delta^{3} y_{0}}$, соответствующие приращению аргумента $h_{1} = \dfrac {1}{10}$.

Для функции $y = 2x^{4} - x^{3} + 3x^{2} - 1$ при $x=0$ вычислены разности $\Delta y_{0} = 4$, $\Delta^{2} y_{0} = 28$, $\Delta^{3} y_{0} = 66$, $\Delta^{4} y_{0} = 48$, соответствующие приращению $h_{0}=1$ аргумента. Требуется вычислить разности $\overline{\Delta y_{0}}$, $\overline{\Delta^{2} y_{0}}$, $\overline{\Delta^{3} y_{0}}$, $\overline{\Delta^{4} y_{0}}$, соответствующие приращению аргумента $h_{1} = \dfrac {1}{10}$.

Найти уравнение прямой, для которой сумма квадратов расстояний до точек $(3,2)$, $(7,5)$, $(12,9)$, $(-3,-2)$ была бы наименьшей.

Найти уравнение параболы второго порядка так, чтобы сумма квадратов расстояний до нее по вертикали от точек $(-3,4)$, $(-2,2)$, $(-1,1)$, $(0,0)$, $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$ была бы наименьшей.

Пользуясь таблицей

вычислить $\ln 1005{,}237$, определив точность вычислений. Числа таблицы даны с точностью до $\frac{1}{2}$ последнего знака.

Пользуясь таблицей задачи 5208, найти $x$ по данному $\ln x = 3{,}002268651$.

Пользуясь таблицей

найти $\operatorname {sh} 0{,}50235$.

Найти корень уравнения $\operatorname {ch} u = 1{,}1287$. См. таблицу задачи 5210.

При помощи данных таблицы

вычислить с возможной точностью $\sin 41^{\circ }20'$.

По данным таблицы

(таблица 13.1) вычислить $F(\varphi )$ при $\varphi = 21^{\circ }15'$.

По данным таблицы

(таблица 13.2) вычислить корень уравнения $F(\varphi ) = 0{,}5$.

По данным таблицы

(таблица 13.3) вычислить $\psi (0{,}715)$. Для оценки погрешности следует принять в соображение, что $\psi '(x) = \dfrac {1}{(x+1)^{2}} + \dfrac {1}{(x+2)^{2}} + \ldots$

По данным таблицы

(таблица 13.4) вычислить корень уравнения $\psi (x) = 0{,}31$.

Пользуясь таблицей значений обратных величин целых чисел и интерполяционной формулой, взятой до четвертых разностей включительно, найти величины дроби $\dfrac {1}{12{,}5}$ с помощью формул:

Подобный же вопрос для величины $\sqrt{12{,}25}$; $y_{0} = \sqrt{12}$, $y_{1} = \sqrt{13}$, $y_{2} = \sqrt{14}, \ldots$

Из 1000 родившихся доживает до возраста 20 лет, 30 лет, 40 лет, 50 лет, 60 лет соответственно 560, 530, 480, 400 и 300 человек. Сколько людей из 1000 доживает до 35 и 45 лет?

В некоторой местности числа людей, возрасты которых относятся к трем последовательным пятилетиям, такие:

Сколько людей в возрасте среднего года второго пятилетия?

Числа людей в возрастах 25--30, 30--35, 35--40, 40--45 лет соответственно таковы:

Скольким людям идет 38-й год?

Таблица содержит в одной колонне 20 последовательных значений функции. Суммы трех последовательных колонн таковы: $630\, 611$, $1\, 946\, 935$, $3\, 246\, 319$. С какого числа начинается четвертая колонна?