Глава 11

Определенные интегралы

[414/57%]
Показать
LaTeX
§
11.1 · Определенный интеграл как предел суммы[15/47%]
Задача 4541

Найти с помощью определенных интегралов пределы следующих сумм:

lim⁡n→∞(1n+2n+3n+…+2n−1n)⋅1n. \lim _{n \rightarrow \infty } \left(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\ldots +\frac{2n-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} .
?
Задача 4542

Найти с помощью определенных интегралов пределы следующих сумм:

lim⁡n→∞(13n4+23n4+33n4+…+(4n−1)3n4). \lim _{n \rightarrow \infty } \left(\frac{1^{3}}{n^{4}}+\frac{2^{3}}{n^{4}}+\frac{3^{3}}{n^{4}}+\ldots +\frac{(4n-1)^{3}}{n^{4}}\right) .
?
Задача 4543

Найти с помощью определенных интегралов пределы следующих сумм:

lim⁡n→∞πn(sin⁡πan+2πan+…+(n−1)πan). \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{\pi }{n} \left(\sin \frac{\pi a}{n}+\frac{2\pi a}{n}+\ldots +\frac{(n-1)\pi a}{n}\right) .
?
Задача 4544

Найти с помощью определенных интегралов пределы следующих сумм:

lim⁡n→∞(1n+1+1n+2+…+12n). \lim _{n \rightarrow \infty } \left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots +\frac{1}{2n}\right) .
?
Задача 4545

Найти с помощью определенных интегралов пределы следующих сумм:

lim⁡n→∞(nn2+12+nn2+22+…+nn2+(n−1)2). \lim _{n \rightarrow \infty } \left(\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\ldots +\frac{n}{n^{2}+(n-1)^{2}}\right) .
?
Задача 4546

Найти с помощью определенных интегралов пределы следующих сумм:

lim⁡n→∞(24n2−12+24n2−22+…+24n2−n2). \lim _{n \rightarrow \infty } \left(\frac{2}{\sqrt{4n^{2}-1^{2}}}+\frac{2}{\sqrt{4n^{2}-2^{2}}}+\ldots +\frac{2}{\sqrt{4n^{2}-n^{2}}}\right) .
?
Задача 4547

Найти

lim⁡n→∞(n+1)(n+2)…2nnn. \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\ldots 2n}}{n} .
?
Задача 4548

Найти величину интеграла ∫01ex dx\int_{0}^{1} e^{x}\, dx, рассматривая его как предел суммы.

?
Задача 4549

Найти при b>a>0b > a > 0 величину интеграла ∫abxn dx\int_{a}^{b} x^{n}\, dx, рассматривая его как предел суммы ∑xνnΔxν\sum x_{\nu }^{n} \Delta x_{\nu }, где значения xνx_{\nu } идут в геометрической прогрессии. (Ферма.)

?
Задача 4550

Исходя из разложения дроби на простейшие:

nxn−1xn−1=1x−x0+1x−x1+…+1x−xn−1,xν=e2πνin, \frac{n x^{n-1}}{x^{n}-1} = \frac{1}{x-x_{0}}+\frac{1}{x-x_{1}}+\ldots +\frac{1}{x-x_{n-1}}, \quad x_{\nu } = e^{\frac{2\pi \nu i}{n}},

получить равенство:

∫02πdφx−eφi={0,при ∣x∣<1;2πx,при ∣x∣>1. \int _{0}^{2\pi } \frac{d\varphi }{x-e^{\varphi i}} = \begin{cases} 0, & \text{при } \left|x\right| < 1; \\ \dfrac {2\pi }{x}, & \text{при } \left|x\right| > 1 . \end{cases}
?
Задача 4551

Исходя из формулы

x2n−1=(x2−1)∏k=1n−1(x2−2xcos⁡kπn+1), x^{2n}-1 = (x^{2}-1) \prod _{k=1}^{n-1} \left(x^{2}-2x\cos \frac{k\pi }{n}+1\right),

получить величину интеграла Пуассона:

∫0πln⁡(1−2xcos⁡φ+x2) dφ={0,при ∣x∣<1;πln⁡(x2),при ∣x∣>1. \int _{0}^{\pi } \ln (1-2x\cos \varphi +x^{2})\, d\varphi = \begin{cases} 0, & \text{при } \left|x\right| < 1; \\ \pi \ln (x^{2}), & \text{при } \left|x\right| > 1 . \end{cases}
?
Задача 4552

Из разложения дроби на простейшие:

2nx2n−1x2n−1=1x2−1+∑k=1n−12x−2cos⁡kπnx2−2xcos⁡kπn+1 \frac{2n x^{2n-1}}{x^{2n}-1} = \frac{1}{x^{2}-1}+\sum _{k=1}^{n-1} \frac{2x-2\cos \frac{k\pi }{n}}{x^{2}-2x\cos \frac{k\pi }{n}+1}

получить равенство:

∫0πx−cos⁡φx2−2xcos⁡φ+1 dφ={0,при ∣x∣<1;πx,при ∣x∣>1. \int _{0}^{\pi } \frac{x-\cos \varphi }{x^{2}-2x\cos \varphi +1}\, d\varphi = \begin{cases} 0, & \text{при } \left|x\right| < 1; \\ \dfrac {\pi }{x}, & \text{при } \left|x\right| > 1 . \end{cases}
?
Задача 4553

Функция [u]\left[u\right] равна целой части переменного uu, т.е. такому целому числу mm, что m⩽u<m+1m \leqslant u < m+1. В таком случае

[2u]−2[u]={0,если u−m<12;1,если 12⩽u−m<1. \left[2u\right]-2\left[u\right] = \begin{cases} 0, & \text{если } u-m < \dfrac {1}{2}; \\ 1, & \text{если } \dfrac {1}{2} \leqslant u-m < 1 . \end{cases}

Доказать, что для функции f(x)=[2x]−2[1x]f(x) = \left[\dfrac {2}{x}\right]-2\left[\dfrac {1}{x}\right] в интервале (0,1)(0,1) справедливо неравенство:

∑ν=1nOνΔxν<3max⁡Δxν, \sum _{\nu =1}^{n} O_{\nu }\Delta x_{\nu } < 3\sqrt{\max \Delta x_{\nu }},

и, следовательно, функция f(x)f(x) — интегрируема в смысле Римана.

?
Задача 4554

Функция f(x)f(x) определена равенствами:

{f(x)=0,если x иррационально;f(x)=1q,если x=pq, \begin{cases} f(x) = 0, & \text{если } x \text{ иррационально}; \\ f(x) = \dfrac {1}{q}, & \text{если } x = \dfrac {p}{q}, \end{cases}

где pp и qq — взаимно простые целые числа. Доказать, что для интервала (0,1)(0,1) справедливо неравенство:

∑ν=1nOνΔxν<2max⁡Δxν. \sum _{\nu =1}^{n} O_{\nu }\Delta x_{\nu } < 2\sqrt{\max \Delta x_{\nu }} .

Таким образом, f(x)f(x) интегрируема в интервале (0,1)(0,1), хотя она имеет разрыв в каждой точке с рациональной абсциссой.

?
Задача 4555

Функция f(x)f(x) определена равенствами f(x)=0f(x) = 0 при xx иррациональном и f(x)=1f(x) = 1 при xx рациональном. Доказать, что она неинтегрируема в любом интервале.

?
§
11.2 · Теоремы о среднем значении. Несобственные интегралы[42/38%]
Задача 4556

Доказать следующую формулу:

0<∫01x191+x63 dx<120. 0 < \int _{0}^{1} \frac{x^{19}}{\sqrt[3]{1+x^{6}}}\, dx < \frac{1}{20} .
?
Задача 4557

Доказать следующую формулу:

0<∫0200e−5x dx20+x<0,01. 0 < \int _{0}^{200} \frac{e^{-5x}\, dx}{20+x} < 0{,}01 .
?
Задача 4558

Доказать следующую формулу:

−π4<∫0∞cos⁡ax4+x2 dx<π4. -\frac{\pi }{4} < \int _{0}^{\infty } \frac{\cos ax}{4+x^{2}}\, dx < \frac{\pi }{4} .
?
Задача 4559

Доказать следующую формулу:

0<∫2∞e−x2 dx<14e4. 0 < \int _{2}^{\infty } e^{-x^{2}}\, dx < \frac{1}{4e^{4}} .
?
Задача 4560

Доказать следующую формулу:

0<∫1020x2 dxx4+x+1<120. 0 < \int _{10}^{20} \frac{x^{2}\, dx}{x^{4}+x+1} < \frac{1}{20} .
?
Задача 4561

Доказать следующую формулу:

119<∫1∞1+x201+x40 dx<119+139. \frac{1}{19} < \int _{1}^{\infty } \frac{1+x^{20}}{1+x^{40}}\, dx < \frac{1}{19}+\frac{1}{39} .
?
Задача 4562

Доказать следующую формулу:

1<∫011+x201+x40 dx<1+142. 1 < \int _{0}^{1} \frac{1+x^{20}}{1+x^{40}}\, dx < 1+\frac{1}{42} .
?
Задача 4563

Доказать следующую формулу:

2019<∫0∞1+x201+x40 dx<2019+120. \frac{20}{19} < \int _{0}^{\infty } \frac{1+x^{20}}{1+x^{40}}\, dx < \frac{20}{19}+\frac{1}{20} .
?
Задача 4564

Доказать следующую формулу:

0<∫1∞e−xn dx<1ne;n>1. 0 < \int _{1}^{\infty } e^{-x^{n}}\, dx < \frac{1}{ne}; \quad n > 1 .
?
Задача 4565

Доказать следующую формулу:

1−1n<∫01e−xn dx<1;n>1. 1-\frac{1}{n} < \int _{0}^{1} e^{-x^{n}}\, dx < 1; \quad n > 1 .
?
Задача 4566

Доказать следующую формулу:

1−1n<∫0∞e−xn dx<1+1ne. 1-\frac{1}{n} < \int _{0}^{\infty } e^{-x^{n}}\, dx < 1+\frac{1}{ne} .
?
Задача 4567

Пользуясь тождеством

1100+x=1100−x100(100+x), \frac{1}{100+x} = \frac{1}{100}-\frac{x}{100(100+x)},

доказать равенство:

∫0∞e−x dx100+x=0,01−0,0001θ;0<θ<1. \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-x}\, dx}{100+x} = 0{,}01-0{,}0001\theta ; \quad 0 < \theta < 1 .
?
Задача 4568

Пользуясь тождеством

x3x4+x+1=1x−x+1x(x4+x+1), \frac{x^{3}}{x^{4}+x+1} = \frac{1}{x}-\frac{x+1}{x(x^{4}+x+1)},

доказать равенство:

∫100200x3 dxx4+x+1=ln⁡2−θ3⋅106;0<θ<1. \int _{100}^{200} \frac{x^{3}\, dx}{x^{4}+x+1} = \ln 2-\frac{\theta }{3 \cdot 10^{6}}; \quad 0 < \theta < 1 .
?
Задача 4569

Доказать равенства:

∫100200sin⁡πxx dx=θ100π;∣θ∣<1. \int _{100}^{200} \frac{\sin \pi x}{x}\, dx = \frac{\theta }{100\pi }; \quad \left|\theta \right| < 1 .
?
Задача 4570

Доказать равенства:

∫abcos⁡xx dx=2θa;∣θ∣<1;b>a>0. \int _{a}^{b} \frac{\cos x}{\sqrt{x}}\, dx = \frac{2\theta }{\sqrt{a}}; \quad \left|\theta \right| < 1; \quad b > a > 0 .
?
Задача 4571

Доказать равенства:

∫100200sin⁡πx2 dx=θ200π;0<θ<1. \int _{100}^{200} \sin \pi x^{2}\, dx = \frac{\theta }{200\pi }; \quad 0 < \theta < 1 .
?
Задача 4572

Доказать равенства:

∫100200sin⁡πxx dx=0,005π2θπ3⋅106;∣θ∣<1. \int _{100}^{200} \frac{\sin \pi x}{x}\, dx = \frac{0{,}005}{\pi }\frac{2\theta }{\pi ^{3} \cdot 10^{6}}; \quad \left|\theta \right| < 1 .
?
Задача 4573

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞x2 dxx4+x+1. \int _{0}^{\infty } \frac{x^{2}\, dx}{x^{4}+x+1} .
?
Задача 4574

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞x2 dxx3+x+1. \int _{0}^{\infty } \frac{x^{2}\, dx}{x^{3}+x+1} .
?
Задача 4575

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞sin⁡ax dx. \int _{0}^{\infty } \sin ax\, dx .
?
Задача 4576

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞sin⁡xn dx,n>0. \int _{0}^{\infty } \sin x^{n}\, dx, \quad n > 0 .
?
Задача 4577

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞xne−x dx. \int _{0}^{\infty } x^{n} e^{-x}\, dx .
?
Задача 4578

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞xσ dxx2+1. \int _{0}^{\infty } \frac{x^{\sigma }\, dx}{x^{2}+1} .
?
Задача 4579

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞xσx+2x+1 dx. \int _{0}^{\infty } x^{\sigma } \frac{x+2}{x+1}\, dx .
?
Задача 4580

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞xmsin⁡xn dx. \int _{0}^{\infty } x^{m} \sin x^{n}\, dx .
?
Задача 4581

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫01xm(1−x2)n dx. \int _{0}^{1} x^{m}(1-x^{2})^{n}\, dx .
?
Задача 4582

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0+∞e−ax2xn dx. \int _{0}^{+\infty } e^{-ax^{2}} x^{n}\, dx .
?
Задача 4583

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫02dxln⁡x. \int _{0}^{2} \frac{dx}{\ln x} .
?
Задача 4584

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞dx1+(ln⁡x)n. \int _{0}^{\infty } \frac{dx}{1+(\ln x)^{n}} .
?
Задача 4585

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0πln⁡sin⁡xx dx. \int _{0}^{\pi } \frac{\ln \sin x}{\sqrt{x}}\, dx .
?
Задача 4586

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞xxe−xn dx. \int _{0}^{\infty } x^{x} e^{-x^{n}}\, dx .
?
Задача 4587

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫−∞+∞xne−(x2+1x2) dx. \int _{-\infty }^{+\infty } x^{n} e^{-(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})}\, dx .
?
Задача 4588

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞sin⁡(x+1x)dxx. \int _{0}^{\infty } \sin \left(x+\frac{1}{x}\right) \frac{dx}{\sqrt{x}} .
?
Задача 4589

Доказать, что при a⩾0a \geqslant 0 интегралы ∫0∞f(x)e−ax dx\int_{0}^{\infty } f(x) e^{-ax}\, dx и ∫0∞f(x)e−ax2 dx\int_{0}^{\infty } f(x) e^{-ax^{2}}\, dx равномерно сходятся, если интеграл ∫0∞f(x) dx\int_{0}^{\infty } f(x)\, dx сходится.

?
Задача 4590

Доказать, что lim⁡a→0∫0∞f(x)φ(x,a) dx=∫0∞f(x) dx\lim_{a \rightarrow 0} \int_{0}^{\infty } f(x)\varphi (x,a)\, dx = \int_{0}^{\infty } f(x)\, dx, если интеграл в правой части имеет смысл, а φ(x,a)\varphi (x,a) удовлетворяет условиям:

?
(а)

φ(x,a)→0\varphi (x,a) \rightarrow 0 при a→0a \rightarrow 0 равномерно относительно xx в любом конечном интервале 0<x<N0 < x < N;

(б)

При всех aa, достаточно близких к нулю, φ(x,a)\varphi (x,a) монотонна относительно xx и по абсолютной величине не превосходит некоторой постоянной.

Задача 4591

Интеграл ∫0∞f(x) dx\int_{0}^{\infty } f(x)\, dx — абсолютно сходящийся. Доказать, что ∫0∞f(x)sin⁡nx dx→0\int_{0}^{\infty } f(x)\sin nx\, dx \rightarrow 0 при n→∞n \rightarrow \infty.

?
Задача 4592

Доказать, что

lim⁡n→∞∫01n2xn−1(1−x) dx≠∫01lim⁡n→∞n2xn−1(1−x) dx. \lim _{n \rightarrow \infty } \int _{0}^{1} n^{2} x^{n-1}(1-x)\, dx \neq \int _{0}^{1} \lim _{n \rightarrow \infty } n^{2} x^{n-1}(1-x)\, dx .
?
Задача 4593

Доказать, что lim⁡y→y0∫abf(x,y) dx=∫ablim⁡y→y0f(x,y) dx\lim_{y \rightarrow y_{0}} \int_{a}^{b} f(x,y)\, dx = \int_{a}^{b} \lim_{y \rightarrow y_{0}} f(x,y)\, dx, если f(x,y)→f(x,y0)f(x,y) \rightarrow f(x,y_{0}) равномерно относительно xx.

?
Задача 4594

Доказать, что lim⁡y→y0∫0∞f(x,y) dx=∫0∞lim⁡y→y0f(x,y) dx\lim_{y \rightarrow y_{0}} \int_{0}^{\infty } f(x,y)\, dx = \int_{0}^{\infty } \lim_{y \rightarrow y_{0}} f(x,y)\, dx, если f(x,y)→f(x,y0)f(x,y) \rightarrow f(x,y_{0}) равномерно относительно xx в любом конечном интервале (0,n)(0,n) и притом ∣f(x,y)∣<F(x)\left|f(x,y)\right| < F(x), а ∫0∞F(x) dx\int_{0}^{\infty } F(x)\, dx — сходящийся.

?
Задача 4595

Доказать, что если интеграл ∫0∞f(x) dx\int_{0}^{\infty } f(x)\, dx абсолютно сходится, то

lim⁡n→∞∫0∞f(x)∣sin⁡nx∣ dx=2π∫0∞f(x) dx. \lim _{n \rightarrow \infty } \int _{0}^{\infty } f(x) \left|\sin nx\right|\, dx = \frac{2}{\pi } \int _{0}^{\infty } f(x)\, dx .
?
Задача 4596

Доказать, что lim⁡σ→0σ∫0∞e−σtf(t) dt=lim⁡t→∞f(t)\lim_{\sigma \rightarrow 0} \sigma \int_{0}^{\infty } e^{-\sigma t} f(t)\, dt = \lim_{t \rightarrow \infty } f(t), предполагая, что интеграл в левой части и предел в правой части имеют смысл.

?
Задача 4597

В переписке Эйлера и Лагранжа интеграл

∫0∞e−ax−e−bxx dx, \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\, dx,

равный ln⁡ba\ln \dfrac {b}{a} при b>a>0b > a > 0, преобразуется так:

∫0∞e−ax−e−bxx dx=∫0∞e−ax dxx−∫0∞e−bx dxx. \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\, dx = \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-ax}\, dx}{x}-\int _{0}^{\infty } \frac{e^{-bx}\, dx}{x} .

В правой части первый интеграл преобразуется подстановкой ax=tax=t, а второй — подстановкой bx=tbx=t. После этого получается:

ln⁡ba=∫0∞e−ax−e−bxx dx=∫0∞e−t dtt−∫0∞e−t dtt=0. \ln \frac{b}{a} = \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\, dx = \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-t}\, dt}{t}-\int _{0}^{\infty } \frac{e^{-t}\, dt}{t} = 0 .

Где причина полученного абсурда?

?
§
11.3 · Вычисление определенных интегралов интегрированием и подстановками[26/8%]
Задача 4598

Доказать равенства:

∫0∞dx1+x3=2π33. \int _{0}^{\infty } \frac{dx}{1+x^{3}} = \frac{2\pi }{3\sqrt{3}} .
?
Задача 4599

Доказать равенства:

∫01x2+1x4+1 dx=π22. \int _{0}^{1} \frac{x^{2}+1}{x^{4}+1}\, dx = \frac{\pi }{2\sqrt{2}} .
?
Задача 4600

Доказать равенства:

∫−11dx(a−x)1−x2=πa2−1;a>1. \int _{-1}^{1} \frac{dx}{(a-x)\sqrt{1-x^{2}}} = \frac{\pi }{\sqrt{a^{2}-1}}; \quad a > 1 .
?
Задача 4601

Доказать равенства:

∫−11x4 dx(x2+1)1−x2=π2(2−1). \int _{-1}^{1} \frac{x^{4}\, dx}{(x^{2}+1)\sqrt{1-x^{2}}} = \frac{\pi }{2}(\sqrt{2}-1) .
?
Задача 4602

Доказать равенства:

∫abx−ab−x x dx=π8(b−a)(a+3b). \int _{a}^{b} \sqrt{\frac{x-a}{b-x}}\, x\, dx = \frac{\pi }{8}(b-a)(a+3b) .
?
Задача 4603

Доказать равенства:

∫0ax2a2−x2 dx=πa416. \int _{0}^{a} x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\, dx = \frac{\pi a^{4}}{16} .
?
Задача 4604

Доказать равенства:

∫02πdxa+bcos⁡x=2∫0πdxa+bcos⁡x=2πa2−b2;∣b∣<a. \int _{0}^{2\pi } \frac{dx}{a+b\cos x} = 2\int _{0}^{\pi } \frac{dx}{a+b\cos x} = \frac{2\pi }{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}; \quad \left|b\right| < a .
?
Задача 4605

Доказать равенства:

∫−11dxx2−2xcos⁡α+1=2π2∣sin⁡α∣. \int _{-1}^{1} \frac{dx}{x^{2}-2x\cos \alpha +1} = \frac{2\pi }{2\left|\sin \alpha \right|} .
?
Задача 4606

Доказать равенства:

∫0πsin⁡x dx1+2acos⁡x+a2={2при ∣a∣⩽1,2∣a∣при ∣a∣>1. \int _{0}^{\pi } \frac{\sin x\, dx}{\sqrt{1+2a\cos x+a^{2}}} = \begin{cases} 2 & \text{при } \left|a\right| \leqslant 1, \\ \dfrac {2}{\left|a\right|} & \text{при } \left|a\right| > 1 . \end{cases}
?
Задача 4607

Доказать равенства:

∫0πsin⁡2x dx1+2acos⁡x+a2={π2при ∣a∣<1,π2a2при ∣a∣>1. \int _{0}^{\pi } \frac{\sin ^{2} x\, dx}{1+2a\cos x+a^{2}} = \begin{cases} \dfrac {\pi }{2} & \text{при } \left|a\right| < 1, \\ \dfrac {\pi }{2a^{2}} & \text{при } \left|a\right| > 1 . \end{cases}
?
Задача 4608

Доказать равенства:

∫−11dx(1−2ax+a2)(1−2bx+b2)=1abln⁡1+ab1−ab; \int _{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{(1-2ax+a^{2})(1-2bx+b^{2})}} = \frac{1}{\sqrt{ab}}\ln \frac{1+\sqrt{ab}}{1-\sqrt{ab}}; ∣a∣<1,∣b∣<1,ab>0. \left|a\right| < 1, \quad \left|b\right| < 1, \quad ab > 0 .
?
Задача 4609

Доказать равенства:

∫0∞e−axcos⁡bx dx=aa2+b2,a>0. \int _{0}^{\infty } e^{-ax}\cos bx\, dx = \frac{a}{a^{2}+b^{2}}, \quad a > 0 .
?
Задача 4610

Доказать равенства:

∫0∞e−axsin⁡bx dx=ba2+b2,a>0. \int _{0}^{\infty } e^{-ax}\sin bx\, dx = \frac{b}{a^{2}+b^{2}}, \quad a > 0 .
?
Задача 4611

Доказать равенства:

∫0π/2dxa2sin⁡2x+b2cos⁡2x=π2ab. \int _{0}^{\pi /2} \frac{dx}{a^{2}\sin ^{2} x+b^{2}\cos ^{2} x} = \frac{\pi }{2ab} .
?
Задача 4612

Доказать равенства:

∫0π/2dx(a2sin⁡2x+b2cos⁡2x)2=π4a2+b2a3b3. \int _{0}^{\pi /2} \frac{dx}{(a^{2}\sin ^{2} x+b^{2}\cos ^{2} x)^{2}} = \frac{\pi }{4}\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{3}b^{3}} .
?
Задача 4613

Доказать равенства:

∫0π/2dxtg⁡x=∫0π/2tg⁡x dx=π2. \int _{0}^{\pi /2} \frac{dx}{\sqrt{\tg x}} = \int _{0}^{\pi /2} \sqrt{\tg x}\, dx = \frac{\pi }{\sqrt{2}} .
?
Задача 4614

Пользуясь формулами Эйлера

cos⁡x=exi+e−xi2,sin⁡x=exi−e−xi2i, \cos x = \frac{e^{xi}+e^{-xi}}{2}, \qquad \sin x = \frac{e^{xi}-e^{-xi}}{2i},

доказать равенства (mm и nn — целые положительные):

∫0πsin⁡2nx dx=π22n(2n)!(n!)2. \int _{0}^{\pi } \sin ^{2n} x\, dx = \frac{\pi }{2^{2n}}\frac{(2n)!}{(n!)^{2}} .
?
Задача 4615

Пользуясь формулами Эйлера, доказать равенства (mm и nn — целые положительные):

∫0πcos⁡(4n+1)xcos⁡x dx=π. \int _{0}^{\pi } \frac{\cos (4n+1)x}{\cos x}\, dx = \pi .
?
Задача 4616

Пользуясь формулами Эйлера, доказать равенства (mm и nn — целые положительные):

∫0πsin⁡mxsin⁡x dx={0при m=2n;πпри m=2n+1. \int _{0}^{\pi } \frac{\sin mx}{\sin x}\, dx = \begin{cases} 0 & \text{при } m=2n; \\ \pi & \text{при } m=2n+1 . \end{cases}
?
Задача 4617

Пользуясь формулами Эйлера, доказать равенства (mm и nn — целые положительные):

∫0πcos⁡nxcos⁡nx dx=π2n. \int _{0}^{\pi } \cos ^{n} x \cos nx\, dx = \frac{\pi }{2^{n}} .
?
Задача 4618

Пользуясь формулами Эйлера, доказать равенства (mm и nn — целые положительные):

∫0πcos⁡nxsin⁡nx dx=0. \int _{0}^{\pi } \cos ^{n} x \sin nx\, dx = 0 .
?
Задача 4619

Пользуясь формулами Эйлера, доказать равенства (mm и nn — целые положительные):

∫0πcos⁡mxcos⁡nx dx={0,если m−n нечетное;π2mCmm−n2,если m−n четное; \int _{0}^{\pi } \cos ^{m} x \cos nx\, dx = \begin{cases} 0, & \text{если } m-n \text{ нечетное}; \\ \dfrac {\pi }{2^{m}} C_{m}^{\frac{m-n}{2}}, & \text{если } m-n \text{ четное}; \end{cases} Cmk=m!k!(m−k)!;m⩾k. C_{m}^{k} = \frac{m!}{k!(m-k)!}; \quad m \geqslant k .
?
Задача 4620

Пользуясь формулами Эйлера, доказать равенства (mm и nn — целые положительные):

∫0∞e−axcos⁡(2m−1)xcos⁡x dx=(−1)m+1a+2∑n=1m−1(−1)m+n−1aa2+4n2;a>0. \int _{0}^{\infty } e^{-ax}\frac{\cos (2m-1)x}{\cos x}\, dx = \frac{(-1)^{m+1}}{a}+2\sum _{n=1}^{m-1} \frac{(-1)^{m+n-1}a}{a^{2}+4n^{2}}; \quad a > 0 .
?
Задача 4621

В следующих задачах следует применять формулу многократного интегрирования по частям, которую можно написать в таком виде:

∫uv(n) dx=uv(n−1)−u′v(n−2)+u′′v(n−3)+…+(−1)νu(ν)v(n−ν−1)+(−1)ν+1∫u(ν+1)v(n−ν−1) dx. \int u v^{(n)}\, dx = u v^{(n-1)}-u'v^{(n-2)}+u''v^{(n-3)}+\ldots +(-1)^{\nu } u^{(\nu )} v^{(n-\nu -1)}+(-1)^{\nu +1} \int u^{(\nu +1)} v^{(n-\nu -1)}\, dx .

Доказать равенства:

∫−11Pn(x)f(x) dx=0,∫0∞e−xLn(x)f(x) dx=0, \int _{-1}^{1} P_{n}(x) f(x)\, dx = 0, \qquad \int _{0}^{\infty } e^{-x} L_{n}(x) f(x)\, dx = 0, ∫−∞∞e−x2Hn(x)f(x) dx=0, \int _{-\infty }^{\infty } e^{-x^{2}} H_{n}(x) f(x)\, dx = 0,

где f(x)f(x) — произвольный полином степени n−1n-1, а полиномы Лежандра Pn(x)P_{n}(x), Лагерра Ln(x)L_{n}(x) и Эрмита--Чебышева Hn(x)H_{n}(x) определяются равенствами:

Pn(x)=12nn!dn(x2−1)ndxn;Ln(x)=exdnxne−xdxn; P_{n}(x) = \frac{1}{2^{n} n!} \frac{d^{n}(x^{2}-1)^{n}}{dx^{n}}; \quad L_{n}(x) = e^{x} \frac{d^{n} x^{n} e^{-x}}{dx^{n}}; Hn(x)=ex2dne−x2dxn. H_{n}(x) = e^{x^{2}} \frac{d^{n} e^{-x^{2}}}{dx^{n}} .
?
Задача 4622

Найти при целом n>0n > 0 величину интеграла Эйлера

Γ(n)=∫0∞xn−1e−x dx. \Gamma (n) = \int _{0}^{\infty } x^{n-1} e^{-x}\, dx .
?
Задача 4623

Найти при целых p>0p > 0 и q>0q > 0 величину интеграла Эйлера

B(p,q)=∫01xp−1(1−x)q−1 dx. B(p,q) = \int _{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1}\, dx .
?
§
11.4 · Нахождение интегралов с помощью формул приведения[20/90%]
Задача 4624

Найти величины интегралов (mm и nn — целые, положительные):

∫0π/4tg⁡2nx dx. \int _{0}^{\pi /4} \tg ^{2n} x\, dx .
?
Задача 4625

Найти величины интегралов (mm и nn — целые, положительные):

∫01(1−x2)n dx. \int _{0}^{1} (1-x^{2})^{n}\, dx .
?
Задача 4626

Найти величины интегралов (mm и nn — целые, положительные):

∫0∞dx(a2+x2)n. \int _{0}^{\infty } \frac{dx}{(a^{2}+x^{2})^{n}} .
?
Задача 4627

Найти величины интегралов (mm и nn — целые, положительные):

∫−∞∞dx(Ax2+2Bx+C)n,AC−B2>0. \int _{-\infty }^{\infty } \frac{dx}{(Ax^{2}+2Bx+C)^{n}}, \quad AC-B^{2} > 0 .
?
Задача 4628

Найти величины интегралов (mm и nn — целые, положительные):

∫0π/2sin⁡2nx dx. \int _{0}^{\pi /2} \sin ^{2n} x\, dx .
?
Задача 4629

Найти величины интегралов (mm и nn — целые, положительные):

∫0π/2sin⁡2n+1x dx. \int _{0}^{\pi /2} \sin ^{2n+1} x\, dx .
?
Задача 4630

Найти величины интегралов (mm и nn — целые, положительные):

∫0π/2sin⁡2n+1xcos⁡2m+1x dx. \int _{0}^{\pi /2} \sin ^{2n+1} x \cos ^{2m+1} x\, dx .
?
Задача 4631

С помощью известного равенства ∫0∞e−x2 dx=12π\int_{0}^{\infty } e^{-x^{2}}\, dx = \frac{1}{2}\sqrt{\pi } найти величину интеграла ∫0∞e−x2x2n dx\int_{0}^{\infty } e^{-x^{2}} x^{2n}\, dx.

?
Задача 4632

Для полиномов Лежандра, Лагерра и Эрмита--Чебышева, упомянутых в задаче 4621, доказать равенства:

∫−11Pn2(x) dx=22n+1,∫0∞e−xLn2(x) dx=(n!)2, \int _{-1}^{1} P_{n}^{2}(x)\, dx = \frac{2}{2n+1}, \qquad \int _{0}^{\infty } e^{-x} L_{n}^{2}(x)\, dx = (n!)^{2}, ∫−∞∞e−x2Hn2(x) dx=2nn!π. \int _{-\infty }^{\infty } e^{-x^{2}} H_{n}^{2}(x)\, dx = 2^{n} n! \sqrt{\pi } .
?
Задача 4633

Найти интегралы (mm и nn целые, положительные).

∫01xm(ln⁡x)n dx. \int _{0}^{1} x^{m}(\ln x)^{n}\, dx .
?
Задача 4634

Найти интегралы (mm и nn целые, положительные).

∫0∞xne−xsin⁡x dx. \int _{0}^{\infty } x^{n} e^{-x} \sin x\, dx .
?
Задача 4635

Найти интегралы (mm и nn целые, положительные).

∫0∞xne−xcos⁡x dx. \int _{0}^{\infty } x^{n} e^{-x} \cos x\, dx .
?
Задача 4636

Замечание. В двух предыдущих задачах полезно сложить два интеграла, у которых mm отличается на одну или две единицы. В двух следующих полезно вычесть два интеграла, у которых mm отличается на две единицы, и применить дважды интегрирование по частям.

Найти интеграл:

∫0π/4cos⁡mxcos⁡x dx=um. \int _{0}^{\pi /4} \frac{\cos mx}{\cos x}\, dx = u_{m} .
?
Задача 4637

Найти интеграл:

∫0π/2cos⁡(2m−1)xcos⁡x dx. \int _{0}^{\pi /2} \frac{\cos (2m-1)x}{\cos x}\, dx .
?
Задача 4638

Найти интегралы (mm и nn целые, положительные).

∫0∞e−axsin⁡2nx dx,a>0. \int _{0}^{\infty } e^{-ax} \sin ^{2n} x\, dx, \quad a > 0 .
?
Задача 4639

Найти интегралы (mm и nn целые, положительные).

∫0∞e−axsin⁡2n+1x dx,a>0. \int _{0}^{\infty } e^{-ax} \sin ^{2n+1} x\, dx, \quad a > 0 .
?
Задача 4640

Найти интегралы (mm и nn целые, положительные).

∫−π/2π/2e−mxcos⁡2n+1x dx. \int _{-\pi /2}^{\pi /2} e^{-mx} \cos ^{2n+1} x\, dx .
?
Задача 4641

Найти интегралы (mm и nn целые, положительные).

∫0∞e−ax2cos⁡(2n+1)xcos⁡x dx,a>0. \int _{0}^{\infty } e^{-ax^{2}} \frac{\cos (2n+1)x}{\cos x}\, dx, \quad a > 0 .
?
Задача 4642

Доказать равенство:

∫0π/2sin⁡mxsin⁡x dx=π2−2cos⁡mπ2∫01xm dx1+x2, \int _{0}^{\pi /2} \frac{\sin mx}{\sin x}\, dx = \frac{\pi }{2}-2\cos \frac{m\pi }{2} \int _{0}^{1} \frac{x^{m}\, dx}{1+x^{2}},

проверив его при m=0m=0 и m=1m=1 и установив, что при возрастании mm на две единицы обе части равенства изменяются на одинаковую величину.

?
Задача 4643

Найти интеграл Um=∫0π/2ln⁡cos⁡x⋅cos⁡2mx dxU_{m} = \int_{0}^{\pi /2} \ln \cos x \cdot \cos 2mx\, dx, установив линейное соотношение между UmU_{m} и Um−1U_{m-1}.

?
§
11.5 · Интегрирование с помощью рядов[44/75%]
Задача 4644

Вычислить величины интегралов с точностью до 10−510^{-5}:

∫01e−x2 dx. \int _{0}^{1} e^{-x^{2}}\, dx .
?
Задача 4645

Вычислить величины интегралов с точностью до 10−510^{-5}:

∫01sin⁡xx dx. \int _{0}^{1} \frac{\sin x}{x}\, dx .
?
Задача 4646

Вычислить величины интегралов с точностью до 10−510^{-5}:

∫5∞dxx4−1. \int _{5}^{\infty } \frac{dx}{\sqrt{x^{4}-1}} .
?
Задача 4647

Вычислить величины интегралов с точностью до 10−510^{-5}:

∫100∞x dxx4−1. \int _{100}^{\infty } \frac{\sqrt{x}\, dx}{\sqrt{x^{4}-1}} .
?
Задача 4648

Вычислить величины интегралов с точностью до 10−510^{-5}:

∫3∞x dxex−1. \int _{3}^{\infty } \frac{x\, dx}{e^{x}-1} .
?
Задача 4649

Вычислить величины интегралов с точностью до 10−510^{-5}:

∫01/2ln⁡1+x21−x2dxx2. \int _{0}^{1/2} \ln \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}} \frac{dx}{x^{2}} .
?
Задача 4650

Доказать равенство:

∫1/23/2ln⁡xx−1 dx=∫−1/21/2ln⁡(1+t)t dt. \int _{1/2}^{3/2} \frac{\ln x}{x-1}\, dx = \int _{-1/2}^{1/2} \frac{\ln (1+t)}{t}\, dt .
?
Задача 4651

Выразить рядом, расположенным по степеням эксцентриситета, длину контура эллипса x=acos⁡tx = a\cos t, y=bsin⁡ty = b\sin t.

?
Задача 4652

Скорость тяжелой точки, соскользнувшей по какой-нибудь кривой с высоты hh на высоту yy, равна 2g(h−y)\sqrt{2g(h-y)}. Поэтому период колебания маятника, длины ll, совершающего колебания с углом максимального отклонения α\alpha, выражается формулой

T=4l2g∫0αdφcos⁡φ−cos⁡α=4l2g∫0αdφ2(sin⁡2α2−sin⁡2φ2). T = 4\sqrt{\frac{l}{2g}} \int _{0}^{\alpha } \frac{d\varphi }{\sqrt{\cos \varphi -\cos \alpha }} = 4\sqrt{\frac{l}{2g}} \int _{0}^{\alpha } \frac{d\varphi }{\sqrt{2\left(\sin ^{2}\frac{\alpha }{2}-\sin ^{2}\frac{\varphi }{2}\right)}} .

Отсюда, после подстановки sin⁡φ2=sin⁡α2sin⁡ψ\sin \dfrac {\varphi }{2} = \sin \dfrac {\alpha }{2}\sin \psi, получается:

T=4lg∫0π/2dψ1−σ2sin⁡2ψ;σ=sin⁡α2. T = 4\sqrt{\frac{l}{g}} \int _{0}^{\pi /2} \frac{d\psi }{\sqrt{1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\psi }}; \quad \sigma = \sin \frac{\alpha }{2} .

Разлагая по степеням σ\sigma и интегрируя почленно, получить формулу:

T=2πlg(1+(12)2sin⁡2α2+(1⋅32⋅4)2sin⁡4α2+(1⋅3⋅52⋅4⋅6)2sin⁡6α2+…). T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\sin ^{2}\frac{\alpha }{2}+\left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^{2}\sin ^{4}\frac{\alpha }{2}+\left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\right)^{2}\sin ^{6}\frac{\alpha }{2}+\ldots \right) .
?
Задача 4653

Следующие задачи основаны на знании трех рядов Эйлера:

∑n=1∞1n2=π26;∑n=0∞1(2n+1)2=π28;∑n=1∞(−1)n−1n2=π212. \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi ^{2}}{6}; \qquad \sum _{n=0}^{\infty } \frac{1}{(2n+1)^{2}} = \frac{\pi ^{2}}{8}; \qquad \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}} = \frac{\pi ^{2}}{12} .

Найти величину интеграла:

∫01ln⁡x dx1−x2. \int _{0}^{1} \frac{\ln x\, dx}{1-x^{2}} .
?
Задача 4654

Найти величину интеграла:

∫01ln⁡1+x1−xdxx. \int _{0}^{1} \ln \frac{1+x}{1-x} \frac{dx}{x} .
?
Задача 4655

Найти интеграл:

∫01ln⁡(1+x)x dx. \int _{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{x}\, dx .
?
Задача 4656

Найти интеграл:

∫01ln⁡(1−x)x dx. \int _{0}^{1} \frac{\ln (1-x)}{x}\, dx .
?
Задача 4657

Найти интеграл:

∫0∞x dxex−1. \int _{0}^{\infty } \frac{x\, dx}{e^{x}-1} .
?
Задача 4658

Найти интеграл:

∫0∞x dxex+1. \int _{0}^{\infty } \frac{x\, dx}{e^{x}+1} .
?
Задача 4659

Найти интеграл:

∫0∞x dxeax−e−ax. \int _{0}^{\infty } \frac{x\, dx}{e^{ax}-e^{-ax}} .
?
Задача 4660

Доказать равенство:

∫0π/2(ln⁡tg⁡x)2 dx=2∫0π/4(ln⁡tg⁡x)2 dx. \int _{0}^{\pi /2} (\ln \tg x)^{2}\, dx = 2\int _{0}^{\pi /4} (\ln \tg x)^{2}\, dx .
?
Задача 4661

Доказать, что

∫01arctg⁡xx dx=1−132+152−172+192−… \int _{0}^{1} \frac{\arctg x}{x}\, dx = 1-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{7^{2}}+\frac{1}{9^{2}}-\ldots
?
Задача 4662

Доказать равенство, справедливое при любом aa:

2∫0∞e−x2sin⁡ax dx=∑n=0∞(−1)nn!(2n+1)!a2n+1. 2\int _{0}^{\infty } e^{-x^{2}} \sin ax\, dx = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^{n} n!}{(2n+1)!} a^{2n+1} .
?
Задача 4663

Пользуясь формулой ∫0∞e−x2x2n dx=1⋅3…(2n−1)2n+1π\int_{0}^{\infty } e^{-x^{2}} x^{2n}\, dx = \dfrac {1 \cdot 3 \ldots (2n-1)}{2^{n+1}}\sqrt{\pi }, доказать равенство:

∫0∞e−x2cos⁡2ax dx=π2∑n=0∞(−1)nn!a2n=π2e−a2. \int _{0}^{\infty } e^{-x^{2}} \cos 2ax\, dx = \frac{\sqrt{\pi }}{2} \sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n!} a^{2n} = \frac{\sqrt{\pi }}{2} e^{-a^{2}} .

(Лаплас.)

?
Задача 4664

Пользуясь тождеством

1a+x=1a−xa2+x2a3−…−x2n−1a2n+x2na2n(a+x), \frac{1}{a+x} = \frac{1}{a}-\frac{x}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{a^{3}}-\ldots -\frac{x^{2n-1}}{a^{2n}}+\frac{x^{2n}}{a^{2n}(a+x)},

доказать формулу

∫0∞e−x dxa+x=1a−1!a2+2!a3−…−(2n−1)!a2n+θ⋅(2n)!a2n+1;0<θ<1, \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-x}\, dx}{a+x} = \frac{1}{a}-\frac{1!}{a^{2}}+\frac{2!}{a^{3}}-\ldots -\frac{(2n-1)!}{a^{2n}}+\frac{\theta \cdot (2n)!}{a^{2n+1}}; \quad 0 < \theta < 1,

весьма удобную для вычисления интегралов в левой части, если aa положительно и велико.

?
Задача 4665

Формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа для функции (1+x)−m(1+x)^{-m} пригодна при любом x>−1x > -1. Пользуясь этим, доказать равенство:

∫0∞e−x dxxm=e−a(1am−mam+1+m(m+1)am+2−…+(−1)nm(m+1)…(m+n−1)am+n+θR), \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-x}\, dx}{x^{m}} = e^{-a}\left(\frac{1}{a^{m}}-\frac{m}{a^{m+1}}+\frac{m(m+1)}{a^{m+2}}-\ldots +(-1)^{n}\frac{m(m+1)\ldots (m+n-1)}{a^{m+n}}+\theta R\right),

где 0<θ<10 < \theta < 1, R=(−1)n+1m(m+1)…(m+n)am+n+1R = (-1)^{n+1}\dfrac {m(m+1)\ldots (m+n)}{a^{m+n+1}}; m>0m > 0, a>0a > 0.

?
Задача 4666

Доказать равенство:

∫0∞e−x2 dx=e−a22a(1−12a2+1⋅3(2a2)2−…+(−1)n−11⋅3⋅5…(2n−1)(2a2)n+θR), \int _{0}^{\infty } e^{-x^{2}}\, dx = \frac{e^{-a^{2}}}{2a}\left(1-\frac{1}{2a^{2}}+\frac{1 \cdot 3}{(2a^{2})^{2}}-\ldots +(-1)^{n-1}\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2n-1)}{(2a^{2})^{n}}+\theta R\right), 0<θ<1,a>0,R=(−1)n1⋅3⋅5…(2n+1)(2a2)n+1. 0 < \theta < 1, \quad a > 0, \quad R = (-1)^{n}\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2n+1)}{(2a^{2})^{n+1}} .
?
Задача 4667

Следующие задачи основаны на разложении в ряды трех функций:

sin⁡x1−2acos⁡x+a2=sin⁡x+asin⁡2x+a2sin⁡3x+…, \frac{\sin x}{1-2a\cos x+a^{2}} = \sin x+a\sin 2x+a^{2}\sin 3x+\ldots , ln⁡(1−2acos⁡x+a2)=−2(acos⁡x+a22cos⁡2x+a33cos⁡3x+…), \ln (1-2a\cos x+a^{2}) = -2\left(a\cos x+\frac{a^{2}}{2}\cos 2x+\frac{a^{3}}{3}\cos 3x+\ldots \right), 1−a21−2acos⁡x+a2=1+2∑n=1∞ancos⁡nx. \frac{1-a^{2}}{1-2a\cos x+a^{2}} = 1+2\sum _{n=1}^{\infty } a^{n}\cos nx .

В этих разложениях предполагается, что ∣a∣<1\left|a\right| < 1.

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0πcos⁡mx dx1−2acos⁡x+a2,a≠±1. \int _{0}^{\pi } \frac{\cos mx\, dx}{1-2a\cos x+a^{2}}, \quad a \neq \pm 1 .
?
Задача 4668

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0πsin⁡xsin⁡mx1−2acos⁡x+a2 dx. \int _{0}^{\pi } \frac{\sin x \sin mx}{1-2a\cos x+a^{2}}\, dx .
?
Задача 4669

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫02πcos⁡mx1−acos⁡x dx,∣a∣<1.(Положить a=2α1+α2.) \int _{0}^{2\pi } \frac{\cos mx}{1-a\cos x}\, dx, \quad \left|a\right| < 1 . \quad \text{(Положить } a = \frac{2\alpha }{1+\alpha ^{2}} \text{.)}
?
Задача 4670

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫02πcos⁡mx1−acos⁡x x dx,∣a∣<1. \int _{0}^{2\pi } \frac{\cos mx}{1-a\cos x}\, x\, dx, \quad \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4671

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0πxsin⁡x1−2acos⁡x+a2 dx,∣a∣<1. \int _{0}^{\pi } \frac{x\sin x}{1-2a\cos x+a^{2}}\, dx, \quad \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4672

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0πln⁡(1−2acos⁡x+a2) dx. \int _{0}^{\pi } \ln (1-2a\cos x+a^{2})\, dx .
?
Задача 4673

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫02πsin⁡nxln⁡(1−2acos⁡x+a2) dx. \int _{0}^{2\pi } \sin nx \ln (1-2a\cos x+a^{2})\, dx .
?
Задача 4674

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0πln⁡(1−2acos⁡x+a2)cos⁡mx dx. \int _{0}^{\pi } \ln (1-2a\cos x+a^{2}) \cos mx\, dx .
?
Задача 4675

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0π/2ln⁡sin⁡x dx. \int _{0}^{\pi /2} \ln \sin x\, dx .
?
Задача 4676

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0πxln⁡sin⁡x dx. \int _{0}^{\pi } x\ln \sin x\, dx .
?
Задача 4677

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0π/2cos⁡2mxln⁡sin⁡x dx. \int _{0}^{\pi /2} \cos 2mx \ln \sin x\, dx .
?
Задача 4678

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0π(1−a2)(1−b2) dx(1−2acos⁡nx+a2)(1−2bcos⁡mx+b2); \int _{0}^{\pi } \frac{(1-a^{2})(1-b^{2})\, dx}{(1-2a\cos nx+a^{2})(1-2b\cos mx+b^{2})}; m и n — целые,∣a∣<1,∣b∣<1. m \text{ и } n \text{ — целые}, \quad \left|a\right| < 1, \quad \left|b\right| < 1 .
?
Задача 4679

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0πsin⁡2x dx(1−2acos⁡x+a2)(1−2bcos⁡x+b2);∣a∣<1,∣b∣<1. \int _{0}^{\pi } \frac{\sin ^{2} x\, dx}{(1-2a\cos x+a^{2})(1-2b\cos x+b^{2})}; \quad \left|a\right| < 1, \quad \left|b\right| < 1 .
?
Задача 4680

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0π/2ln⁡2sin⁡x dx. \int _{0}^{\pi /2} \ln ^{2}\sin x\, dx .
?
Задача 4681

В следующих трех задачах полезно применить два интеграла Лапласа:

∫0∞cos⁡ax dx1+x2=π2e−∣a∣;∫0∞xsin⁡ax dx1+x2=π2e−∣a∣sign⁡a. \int _{0}^{\infty } \frac{\cos ax\, dx}{1+x^{2}} = \frac{\pi }{2} e^{-\left|a\right|}; \qquad \int _{0}^{\infty } \frac{x\sin ax\, dx}{1+x^{2}} = \frac{\pi }{2} e^{-\left|a\right|}\operatorname {sign} a .

Найти интеграл:

∫0∞dx(1+x2)(1+2acos⁡mx+a2);∣a∣<1. \int _{0}^{\infty } \frac{dx}{(1+x^{2})(1+2a\cos mx+a^{2})}; \quad \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4682

Найти интеграл:

∫0∞xsin⁡mx(1+x2)(1+2acos⁡mx+a2) dx;∣a∣<1. \int _{0}^{\infty } \frac{x\sin mx}{(1+x^{2})(1+2a\cos mx+a^{2})}\, dx; \quad \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4683

Найти интеграл:

∫0∞ln⁡(1−2acos⁡x+a2)dx1+x2;∣a∣<1. \int _{0}^{\infty } \ln (1-2a\cos x+a^{2}) \frac{dx}{1+x^{2}}; \quad \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4684

Кроме разложений степенных и тригонометрических, в некоторых случаях применяются разложения в ряды рациональных дробей. Из формул такого рода отметим следующие:

1sin⁡2x=∑n=−∞∞1(x+nπ)2;ctg⁡x=1x+∑n=1∞2xx2−π2n2; \frac{1}{\sin ^{2} x} = \sum _{n=-\infty }^{\infty } \frac{1}{(x+n\pi )^{2}}; \qquad \ctg x = \frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{2x}{x^{2}-\pi ^{2} n^{2}}; 1sin⁡x=1x−2xx2−π2+2xx2−4π2−2xx2−9π2+…; \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x}-\frac{2x}{x^{2}-\pi ^{2}}+\frac{2x}{x^{2}-4\pi ^{2}}-\frac{2x}{x^{2}-9\pi ^{2}}+\ldots ; 1cos⁡x=−πx2−π24+3πx2−9π24−5πx2−25π24+…; \frac{1}{\cos x} = -\frac{\pi }{x^{2}-\frac{\pi ^{2}}{4}}+\frac{3\pi }{x^{2}-\frac{9\pi ^{2}}{4}}-\frac{5\pi }{x^{2}-\frac{25\pi ^{2}}{4}}+\ldots ; 1ex−1=1x−12+∑n=1∞2xx2+4π2n2; \frac{1}{e^{x}-1} = \frac{1}{x}-\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{2x}{x^{2}+4\pi ^{2} n^{2}}; 1sh⁡x=1x−2xx2+π2+2xx2+4π2−2xx2+9π2+…; \frac{1}{\operatorname {sh}x} = \frac{1}{x}-\frac{2x}{x^{2}+\pi ^{2}}+\frac{2x}{x^{2}+4\pi ^{2}}-\frac{2x}{x^{2}+9\pi ^{2}}+\ldots ; 1ex+1=12−∑n=1∞2xx2+(2n+1)2π2. \frac{1}{e^{x}+1} = \frac{1}{2}-\sum _{n=1}^{\infty } \frac{2x}{x^{2}+(2n+1)^{2}\pi ^{2}} .

С помощью указанных формул доказываются следующие равенства:

2∫0∞sin⁡ux due2πu−1=1ex−1−1x+12. 2\int _{0}^{\infty } \frac{\sin ux\, du}{e^{2\pi u}-1} = \frac{1}{e^{x}-1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2} .
?
Задача 4685

С помощью формул из задачи 4684 доказать равенство:

2∫0∞sin⁡ux dueu+1=1x−πsh⁡πx. 2\int _{0}^{\infty } \frac{\sin ux\, du}{e^{u}+1} = \frac{1}{x}-\frac{\pi }{\operatorname {sh}\pi x} .
?
Задача 4686

С помощью формул из задачи 4684 доказать равенство:

2∫0∞tch⁡xteπt−1 dt=1sin⁡2x−1x2;∣x∣<π. 2\int _{0}^{\infty } \frac{t\operatorname {ch}xt}{e^{\pi t}-1}\, dt = \frac{1}{\sin ^{2}x}-\frac{1}{x^{2}}; \quad \left|x\right| < \pi .
?
Задача 4687

С помощью формул из задачи 4684 доказать равенство:

∫0∞2sh⁡xteπt−1 dt=1x−ctg⁡x;∣x∣<π. \int _{0}^{\infty } \frac{2\operatorname {sh}xt}{e^{\pi t}-1}\, dt = \frac{1}{x}-\ctg x; \quad \left|x\right| < \pi .
?
§
11.6 · Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла[32/88%]
Задача 4688

Исходя из равенства ∫0∞e−ax dx=1a\int_{0}^{\infty } e^{-ax}\, dx = \dfrac {1}{a}, где a>0a > 0, найти при nn целом и положительном величину интеграла ∫0∞e−axxn−1 dx\int_{0}^{\infty } e^{-ax} x^{n-1}\, dx.

?
Задача 4689

Исходя из равенства ∫0∞dxx2+a2=π2a\int_{0}^{\infty } \dfrac {dx}{x^{2}+a^{2}} = \dfrac {\pi }{2a}, найти величину интеграла ∫0∞dx(x2+a2)n\int_{0}^{\infty } \dfrac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{n}}.

?
Задача 4690

Исходя из равенства ∫0∞e−ax2 dx=12πa\int_{0}^{\infty } e^{-ax^{2}}\, dx = \dfrac {1}{2}\sqrt{\dfrac {\pi }{a}}, a>0a > 0, найти интеграл

∫0∞e−ax2−e−bx2x2 dx \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-ax^{2}}-e^{-bx^{2}}}{x^{2}}\, dx

при b>a>0b > a > 0.

?
Задача 4691

Исходя из равенства ∫0∞sin⁡axx dx=π2sign⁡a\int_{0}^{\infty } \dfrac {\sin ax}{x}\, dx = \dfrac {\pi }{2}\operatorname {sign} a, найти величину интеграла ∫0∞cos⁡ax−cos⁡bxx2 dx\int_{0}^{\infty } \dfrac {\cos ax-\cos bx}{x^{2}}\, dx.

?
Задача 4692

Найти величины интегралов:

∫0∞Ae−αx+Be−βx+Ce−γx+De−δxx dx;A+B+C+D=0,α>0,β>0,γ>0,δ>0. \int _{0}^{\infty } \frac{Ae^{-\alpha x}+Be^{-\beta x}+Ce^{-\gamma x}+De^{-\delta x}}{x}\, dx; \quad A+B+C+D=0, \quad \alpha > 0, \quad \beta > 0, \quad \gamma > 0, \quad \delta > 0 .
?
Задача 4693

Найти величины интегралов:

∫0∞(e−αx−e−βxx)2 dx;α>0,β>0. \int _{0}^{\infty } \left(\frac{e^{-\alpha x}-e^{-\beta x}}{x}\right)^{2}\, dx; \quad \alpha > 0, \quad \beta > 0 .
?
Задача 4694

Найти величины интегралов:

∫0∞e−αx−e−βxxsin⁡mx dx;α>0,β>0. \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-\alpha x}-e^{-\beta x}}{x}\sin mx\, dx; \quad \alpha > 0, \quad \beta > 0 .
?
Задача 4695

Найти величины интегралов:

∫0∞e−(x2+ax2) dx;a>0(Лаплас.) \int _{0}^{\infty } e^{-\left(x^{2}+\frac{a}{x^{2}}\right)}\, dx; \quad a > 0 \quad \text{(Лаплас.)}
?
Задача 4696

Найти величины интегралов:

∫0∞(e−a2x2−e−b2x2) dx. \int _{0}^{\infty } \left(e^{-\frac{a^{2}}{x^{2}}}-e^{-\frac{b^{2}}{x^{2}}}\right)\, dx .
?
Задача 4697

Найти величины интегралов:

∫0∞e−axsin⁡2bx dxx;a>0. \int _{0}^{\infty } e^{-ax} \sin ^{2} bx\, \frac{dx}{x}; \quad a > 0 .
?
Задача 4698

Найти величины интегралов:

∫0∞e−axsin⁡2bx dxx2;a>0. \int _{0}^{\infty } e^{-ax} \sin ^{2} bx\, \frac{dx}{x^{2}}; \quad a > 0 .
?
Задача 4699

Найти величины интегралов:

∫0∞xe−a2x2sin⁡2bx dx. \int _{0}^{\infty } x e^{-a^{2}x^{2}} \sin 2bx\, dx .
?
Задача 4700

Найти величины интегралов:

∫0∞x2ne−x2cos⁡2βx dx,n — целое положительное. \int _{0}^{\infty } x^{2n} e^{-x^{2}} \cos 2\beta x\, dx, \quad n \text{ — целое положительное}.
?
Задача 4701

Найти величины интегралов:

∫0∞e−ax2−cos⁡bxx2 dx;a>0,b>0. \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-ax^{2}}-\cos bx}{x^{2}}\, dx; \quad a > 0, \quad b > 0 .
?
Задача 4702

Найти величины интегралов:

∫0∞ln⁡(x2+a2)x2+b2 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\ln (x^{2}+a^{2})}{x^{2}+b^{2}}\, dx .
?
Задача 4703

Найти величины интегралов:

∫01ln⁡(1−a2x2) dxx21−x2;a2<1. \int _{0}^{1} \frac{\ln (1-a^{2}x^{2})\, dx}{x^{2}\sqrt{1-x^{2}}}; \quad a^{2} < 1 .
?
Задача 4704

Найти величины интегралов:

∫0αln⁡(1+αx) dx1+x2. \int _{0}^{\alpha } \frac{\ln (1+\alpha x)\, dx}{1+x^{2}} .
?
Задача 4705

Найти величины интегралов:

∫01ln⁡(1−αx2)1−x2 dx;∣α∣<1. \int _{0}^{1} \frac{\ln (1-\alpha x^{2})}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx; \quad \left|\alpha \right| < 1 .
?
Задача 4706

Найти величины интегралов:

∫01ln⁡(1−α2x2)x1−x2 dx;∣α∣<1. \int _{0}^{1} \frac{\ln (1-\alpha ^{2}x^{2})}{x\sqrt{1-x^{2}}}\, dx; \quad \left|\alpha \right| < 1 .
?
Задача 4707

Найти величины интегралов:

∫0π/2ln⁡(cos⁡2x+m2sin⁡2x) dx. \int _{0}^{\pi /2} \ln (\cos ^{2} x+m^{2}\sin ^{2} x)\, dx .
?
Задача 4708

Найти величины интегралов:

∫0π/2ln⁡1+asin⁡x1−asin⁡x dxsin⁡x;∣a∣<1. \int _{0}^{\pi /2} \ln \frac{1+a\sin x}{1-a\sin x}\, \frac{dx}{\sin x}; \quad \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4709

Найти величины интегралов:

∫0π/2ln⁡(1+acos⁡x)cos⁡x dx;∣a∣<1. \int _{0}^{\pi /2} \frac{\ln (1+a\cos x)}{\cos x}\, dx; \quad \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4710

Найти величины интегралов:

∫0π/2arctg⁡(atg⁡x)tg⁡x dx. \int _{0}^{\pi /2} \frac{\arctg (a\tg x)}{\tg x}\, dx .
?
Задача 4711

Найти величины интегралов:

∫0∞arctg⁡αxx(1+β2x2) dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\arctg \alpha x}{x(1+\beta ^{2}x^{2})}\, dx .
?
Задача 4712

Найти величины интегралов:

∫0∞arctg⁡αx⋅arctg⁡βxx2 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\arctg \alpha x \cdot \arctg \beta x}{x^{2}}\, dx .
?
Задача 4713

Найти величины интегралов:

∫0∞ln⁡(1+α2x2)⋅arctg⁡βxx3 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\ln (1+\alpha ^{2}x^{2}) \cdot \arctg \beta x}{x^{3}}\, dx .
?
Задача 4714

Найти величины интегралов:

∫0∞ln⁡(1+a2x2)ln⁡(1+b2x2)x2 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\ln (1+a^{2}x^{2})\ln (1+b^{2}x^{2})}{x^{2}}\, dx .
?
Задача 4715

Найти величины интегралов:

∫0∞cos⁡ax+cos⁡bx−2x2 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\cos ax+\cos bx-2}{x^{2}}\, dx .
?
Задача 4716

Доказать равенства:

∫0xe−x2 dx=1π∫0∞e−t2sin⁡2txt dt. \int _{0}^{x} e^{-x^{2}}\, dx = \frac{1}{\sqrt{\pi }} \int _{0}^{\infty } e^{-t^{2}} \frac{\sin 2tx}{t}\, dt .
?
Задача 4717

Доказать равенства:

∫0xet2 dt=ex2∫0∞e−t2sin⁡2xt dt. \int _{0}^{x} e^{t^{2}}\, dt = e^{x^{2}} \int _{0}^{\infty } e^{-t^{2}} \sin 2xt\, dt .
?
Задача 4718

Доказать равенства:

∫0∞ln⁡(1+αx)1+x2 dx=π4ln⁡(1+α2)−∫0αln⁡α1+α2 dα;α>0. \int _{0}^{\infty } \frac{\ln (1+\alpha x)}{1+x^{2}}\, dx = \frac{\pi }{4}\ln (1+\alpha ^{2})-\int _{0}^{\alpha } \frac{\ln \alpha }{1+\alpha ^{2}}\, d\alpha ; \quad \alpha > 0 .
?
Задача 4719

Доказать равенства:

(∫0xe−t2 dt)2=π4∫01e−x2(u2+1)1+u2 du. \left(\int _{0}^{x} e^{-t^{2}}\, dt\right)^{2} = \frac{\pi }{4} \int _{0}^{1} \frac{e^{-x^{2}(u^{2}+1)}}{1+u^{2}}\, du .
?
§
11.7 · Эйлеровы интегралы[41/76%]
Задача 4720

Через гамма-функции выражается другой интеграл Эйлера — бета-функция B(p,q)B(p,q). По определению, при p>0p > 0 и q>0q > 0 имеем:

B(p,q)=∫01xp−1(1−x)q−1 dx. B(p,q) = \int _{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1}\, dx .

Существует формула

B(p,q)=Γ(p)Γ(q)Γ(p+q). B(p,q) = \frac{\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)} .

Заменой переменных к бета-функции сводятся интегралы вида

∫0∞xm(a+bxn)p dxпри a>0 и b>0. \int _{0}^{\infty } \frac{x^{m}}{(a+bx^{n})^{p}}\, dx \quad \text{при } a > 0 \text{ и } b > 0 .

Часто полезна замена дроби 1an\dfrac {1}{a^{n}}, где n>0n > 0, a>0a > 0, с помощью формулы

1an=1Γ(n)∫0∞e−axxn−1 dx. \frac{1}{a^{n}} = \frac{1}{\Gamma (n)} \int _{0}^{\infty } e^{-ax} x^{n-1}\, dx .

Доказать равенства при целых положительных nn и mm:

∫0∞sin⁡2mxxp dx=(2m)!Γ(p)∫0∞tp−2 dt(t2+22)(t2+42)…(t2+4m2), \int _{0}^{\infty } \frac{\sin ^{2m} x}{x^{p}}\, dx = \frac{(2m)!}{\Gamma (p)} \int _{0}^{\infty } \frac{t^{p-2}\, dt}{(t^{2}+2^{2})(t^{2}+4^{2})\ldots (t^{2}+4m^{2})}, 1<p<2m+1. 1 < p < 2m+1 .
?
Задача 4721

Доказать равенства при целых положительных nn и mm:

∫0∞sin⁡2m+1xxp dx= \int _{0}^{\infty } \frac{\sin ^{2m+1} x}{x^{p}}\, dx = =(2m+1)!Γ(p)∫0∞tp−1 dt(t2+1)(t2+32)…(t2+(2m+1)2), = \frac{(2m+1)!}{\Gamma (p)} \int _{0}^{\infty } \frac{t^{p-1}\, dt}{(t^{2}+1)(t^{2}+3^{2})\ldots (t^{2}+(2m+1)^{2})}, 1<p<2m+2. 1 < p < 2m+2 .
?
Задача 4722

Доказать равенства при целых положительных nn и mm:

∫0∞sin⁡x dxx+a=∫0∞e−at dt1+t2,a>0. \int _{0}^{\infty } \frac{\sin x\, dx}{x+a} = \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-at}\, dt}{1+t^{2}}, \quad a > 0 .
?
Задача 4723

Доказать равенства при целых положительных nn и mm:

∫0∞cos⁡x dxx+a=∫0∞te−at dt1+t2,a>0. \int _{0}^{\infty } \frac{\cos x\, dx}{x+a} = \int _{0}^{\infty } \frac{t e^{-at}\, dt}{1+t^{2}}, \quad a > 0 .
?
Задача 4724

Доказать равенства при целых положительных nn и mm:

∫0∞(1ex−1−1x+12)e−nxsin⁡nx dx= \int _{0}^{\infty } \left(\frac{1}{e^{x}-1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}\right) e^{-nx} \sin nx\, dx = =4n2∫0∞x dx(x4+4n4)(e2πx−1). = 4n^{2} \int _{0}^{\infty } \frac{x\, dx}{(x^{4}+4n^{4})(e^{2\pi x}-1)} .
?
Задача 4725

Найти величину интегралов:

∫0∞sin⁡2xx2 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\sin ^{2} x}{x^{2}}\, dx .
?
Задача 4726

Найти величину интегралов:

∫0∞sin⁡4xx2 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\sin ^{4} x}{x^{2}}\, dx .
?
Задача 4727

Найти величину интегралов:

∫0∞sin⁡3xx dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\sin ^{3} x}{x}\, dx .
?
Задача 4728

Найти величину интегралов:

∫0∞sin⁡3xx2 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\sin ^{3} x}{x^{2}}\, dx .
?
Задача 4729

Найти величину интегралов:

∫0∞sin⁡4xx3 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\sin ^{4} x}{x^{3}}\, dx .
?
Задача 4730

Найти величину интегралов:

∫01x1−x33 dx. \int _{0}^{1} x\sqrt[3]{1-x^{3}}\, dx .
?
Задача 4731

Найти величину интегралов:

∫−11dx(1+x)2(1−x)3. \int _{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{(1+x)^{2}(1-x)}} .
?
Задача 4732

Найти величину интегралов:

∫01x2n dxx(1−x)23. \int _{0}^{1} \frac{x^{2n}\, dx}{\sqrt[3]{x(1-x)^{2}}} .
?
Задача 4733

Найти величину интегралов:

∫01dx1−xnn. \int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[n]{1-x^{n}}} .
?
Задача 4734

Найти величину интегралов:

∫01dx1−x4. \int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{4}}} .
?
Задача 4735

Найти величину интегралов:

∫0∞x2α−11+x2 dx;0<α<1. \int _{0}^{\infty } \frac{x^{2\alpha -1}}{1+x^{2}}\, dx; \quad 0 < \alpha < 1 .
?
Задача 4736

Найти величину интегралов:

∫0∞x dx(1+x3)2. \int _{0}^{\infty } \frac{x\, dx}{(1+x^{3})^{2}} .
?
Задача 4737

Найти величину интегралов:

∫0∞x dx(1+x2)n. \int _{0}^{\infty } \frac{x\, dx}{(1+x^{2})^{n}} .
?
Задача 4738

Найти величину интегралов:

∫0∞xm dx(a+bxn)p;a>0,b>0,np>m+1>0. \int _{0}^{\infty } \frac{x^{m}\, dx}{(a+bx^{n})^{p}}; \quad a > 0, \quad b > 0, \quad np > m+1 > 0 .
?
Задача 4739

Найти величину интегралов:

∫0π/2tg⁡2a−1x dx;0<a<1. \int _{0}^{\pi /2} \tg ^{2a-1} x\, dx; \quad 0 < a < 1 .
?
Задача 4740

Найти величину интегралов:

∫0π/2sin⁡nx dx;n>−1. \int _{0}^{\pi /2} \sin ^{n} x\, dx; \quad n > -1 .
?
Задача 4741

Найти величину интегралов:

∫0π/2sin⁡m−1xcos⁡n−1x dx;m>0,n>0. \int _{0}^{\pi /2} \sin ^{m-1} x \cos ^{n-1} x\, dx; \quad m > 0, \quad n > 0 .
?
Задача 4742

Найти величину интегралов:

∫0πsin⁡n−1φ dφ(1−ksin⁡φ)n;0<k<1,n>0. \int _{0}^{\pi } \frac{\sin ^{n-1}\varphi \, d\varphi }{(1-k\sin \varphi )^{n}}; \quad 0 < k < 1, \quad n > 0 .
?
Задача 4743

Найти величину интегралов:

∫01xa−1−x−a1−x dx;0<a<1. \int _{0}^{1} \frac{x^{a-1}-x^{-a}}{1-x}\, dx; \quad 0 < a < 1 .
?
Задача 4744

Найти величину интегралов:

∫01xα−1(1−x)β−1(x+a)α+β dx;α>0,β>0,a>0. \int _{0}^{1} \frac{x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{(x+a)^{\alpha +\beta }}\, dx; \quad \alpha > 0, \quad \beta > 0, \quad a > 0 .
?
Задача 4745

Найти величину интегралов:

∫0∞xa−1−xb−1(1−x)ln⁡x dx. \int _{0}^{\infty } \frac{x^{a-1}-x^{b-1}}{(1-x)\ln x}\, dx .
?
Задача 4746

Найти величину интегралов:

∫0∞xm−1 dx1+xn;m>0,n>m. \int _{0}^{\infty } \frac{x^{m-1}\, dx}{1+x^{n}}; \quad m > 0, \quad n > m .
?
Задача 4747

Найти величину интегралов:

∫01xa−1(1+x)2 dx;0<a<2. \int _{0}^{1} \frac{x^{a-1}}{(1+x)^{2}}\, dx; \quad 0 < a < 2 .
?
Задача 4748

Найти величину интегралов:

∫0∞xaln⁡x1+x2 dx;−1<a<1. \int _{0}^{\infty } \frac{x^{a}\ln x}{1+x^{2}}\, dx; \quad -1 < a < 1 .
?
Задача 4749

Найти величину интегралов:

∫0∞xaln⁡2x1+x2 dx;a2<1. \int _{0}^{\infty } \frac{x^{a}\ln ^{2}x}{1+x^{2}}\, dx; \quad a^{2} < 1 .
?
Задача 4750

Найти величину интегралов:

∫0∞sh⁡μxsh⁡νx dx;ν>μ>0. \int _{0}^{\infty } \frac{\operatorname {sh}\mu x}{\operatorname {sh}\nu x}\, dx; \quad \nu > \mu > 0 .
?
Задача 4751

Найти величину интегралов:

∫0∞ch⁡μxch⁡νx dx;ν>μ>0. \int _{0}^{\infty } \frac{\operatorname {ch}\mu x}{\operatorname {ch}\nu x}\, dx; \quad \nu > \mu > 0 .
?
Задача 4752

Найти величину интегралов:

∫01ln⁡Γ(x) dx. \int _{0}^{1} \ln \Gamma (x)\, dx .
?
Задача 4753

Найти величину интегралов:

∫0a+1ln⁡Γ(x) dx;a>0. \int _{0}^{a+1} \ln \Gamma (x)\, dx; \quad a > 0 .
?
Задача 4754

Доказать равенства:

∫0∞e−x4 dx∫0∞x2e−x4 dx=π82. \int _{0}^{\infty } e^{-x^{4}}\, dx \int _{0}^{\infty } x^{2} e^{-x^{4}}\, dx = \frac{\pi }{8\sqrt{2}} .
?
Задача 4755

Доказать равенства:

∫01dx1−x4∫01x2 dx1−x4=π4. \int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^{4}}} \int _{0}^{1} \frac{x^{2}\, dx}{\sqrt{1-x^{4}}} = \frac{\pi }{4} .
?
Задача 4756

Доказать равенства:

∫0∞xp−1cos⁡ax dx=1apΓ(p)cos⁡πp2;0<p<1. \int _{0}^{\infty } x^{p-1} \cos ax\, dx = \frac{1}{a^{p}}\Gamma (p)\cos \frac{\pi p}{2}; \quad 0 < p < 1 .
?
Задача 4757

Доказать равенства:

∫0∞xp−1sin⁡ax dx=1apΓ(p)sin⁡πp2;−1<p<1. \int _{0}^{\infty } x^{p-1} \sin ax\, dx = \frac{1}{a^{p}}\Gamma (p)\sin \frac{\pi p}{2}; \quad -1 < p < 1 .
?
Задача 4758

Доказать равенства:

∫0∞xp−12 dx(x2+ax+b)p=π2b(a+2b)p−32⋅Γ(p−12)Γ(p);b>0, \int _{0}^{\infty } \frac{x^{p-\frac{1}{2}}\, dx}{(x^{2}+ax+b)^{p}} = \frac{\sqrt{\pi }}{2\sqrt{b}\left(a+2\sqrt{b}\right)^{p-\frac{3}{2}}} \cdot \frac{\Gamma \left(p-\frac{1}{2}\right)}{\Gamma (p)}; \quad b > 0, a+2b>0,p>12. a+2\sqrt{b} > 0, \quad p > \frac{1}{2} .
?
Задача 4759

Найти площадь, ограниченную кривой xn+yn=anx^{n}+y^{n} = a^{n}, при x>0x > 0, y>0y > 0, n>0n > 0.

?
Задача 4760

Найти объем, ограниченный поверхностью xn+yn+zn=anx^{n}+y^{n}+z^{n} = a^{n}, при x>0x > 0, y>0y > 0, z>0z > 0, n>0n > 0.

?
§
11.8 · Разные задачи[96/53%]
Задача 4761

Если F(x)=arctg⁡1xF(x) = \arctg \dfrac {1}{x}, то F′(x)=−11+x2F'(x) = -\dfrac {1}{1+x^{2}}. Справедливо ли равенство: ∫ab(−dx1+x2)=arctg⁡1b−arctg⁡1a\displaystyle \int_{a}^{b} \left(-\frac{dx}{1+x^{2}}\right) = \arctg \frac{1}{b}-\arctg \frac{1}{a}?

?
Задача 4762

Если F(x)=11+e1/xF(x) = \dfrac {1}{1+e^{1/x}}, то F′(x)=e1/xx2(1+e1/x)2=f(x)F'(x) = \dfrac {e^{1/x}}{x^{2}\left(1+e^{1/x}\right)^{2}} = f(x). Когда справедливо равенство

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)−1  ? \int _{a}^{b} f(x)\, dx = F(b)-F(a)-1 \; ?
?
Задача 4763

Доказать, что ∫0∞(sin⁡2x)x3xα dx\int_{0}^{\infty } (\sin^{2}x)^{x^{3}} x^{\alpha }\, dx сходится при 0⩽α⩽120 \leqslant \alpha \leqslant \dfrac {1}{2}, хотя подынтегральная функция положительна и не стремится к нулю, когда x→∞x \rightarrow \infty, ибо при сколь угодно больших значениях xx может иметь сколь угодно большие значения.

?
Задача 4764

Доказать равенства:

lim⁡n→∞∫0∞e−xn dx=1. \lim _{n \rightarrow \infty } \int _{0}^{\infty } e^{-x^{n}}\, dx = 1 .
?
Задача 4765

Доказать равенства:

lim⁡n→∞∫0∞1+xn1+x2n dx=1. \lim _{n \rightarrow \infty } \int _{0}^{\infty } \frac{1+x^{n}}{1+x^{2n}}\, dx = 1 .
?
Задача 4766

Доказать равенства:

lim⁡n→∞n(1−∫0∞e−xn dx)=−Γ′(1). \lim _{n \rightarrow \infty } n\left(1-\int _{0}^{\infty } e^{-x^{n}}\, dx\right) = -\Gamma '(1) .
?
Задача 4767

Доказать равенства:

lim⁡α→0α∫−∞∞f(x+u) duα2+u2=πf(x+0)+f(x−0)2, \lim _{\alpha \rightarrow 0} \alpha \int _{-\infty }^{\infty } \frac{f(x+u)\, du}{\alpha ^{2}+u^{2}} = \pi \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2},

если интеграл абсолютно сходящийся, а f(x+0)f(x+0) и f(x−0)f(x-0) — правый и левый пределы f(ξ)f(\xi ) при ξ→x\xi \rightarrow x.

?
Задача 4768

Доказать равенство (формула Фруллани):

∫0∞f(ax)−f(bx)x dx=f(0)ln⁡ba,a>0,b>0, \int _{0}^{\infty } \frac{f(ax)-f(bx)}{x}\, dx = f(0)\ln \frac{b}{a}, \quad a > 0, \quad b > 0,

если при A>0A > 0 интеграл ∫A∞f(x)x dx\int_{A}^{\infty } \dfrac {f(x)}{x}\, dx имеет смысл.

?
Задача 4769

Доказать, что lim⁡a→∞an∫0∞f(x)cos⁡ax dx=0\lim_{a \rightarrow \infty } a^{n} \int_{0}^{\infty } f(x) \cos ax\, dx = 0, если f(x)f(x) — четная функция, у которой интеграл от модуля f(m)(x)f^{(m)}(x) в интервале (−∞,∞)(-\infty ,\infty ) имеет смысл при любом m⩽n+1m \leqslant n+1.

?
Задача 4770

Доказать, что lim⁡a→∞an∫0∞f(x)sin⁡ax dx=0\lim_{a \rightarrow \infty } a^{n} \int_{0}^{\infty } f(x) \sin ax\, dx = 0, если f(x)f(x) — нечетная функция, а интеграл от абсолютного значения f(m)(x)f^{(m)}(x), взятый от −∞-\infty до +∞+\infty, имеет смысл при любом m⩽n+1m \leqslant n+1.

?
Задача 4771

Доказать, что f(x)=0f(x) = 0 при a<x<ba < x < b, если f(x)f(x) непрерывна и при любом целом n⩾0n \geqslant 0 интеграл ∫abf(x)xn dx=0\int_{a}^{b} f(x) x^{n}\, dx = 0.

?
Задача 4772

Доказать, что f(x)=0f(x) = 0 при 0⩽x⩽2π0 \leqslant x \leqslant 2\pi, если она непрерывна, и при любом целом положительном nn (и при n=0n=0) интегралы ∫02πf(x)cos⁡nx dx\int_{0}^{2\pi } f(x)\cos nx\, dx и ∫02πf(x)sin⁡nx dx\int_{0}^{2\pi } f(x)\sin nx\, dx равны нулю.

?
Задача 4773

Доказать, что для f(x)=e−x4sin⁡xx4f(x) = e^{-\sqrt[4]{x}} \sin x \sqrt[4]{x} при всех целых n⩾0n \geqslant 0 справедливо равенство: ∫0∞f(x)xn dx=0\int_{0}^{\infty } f(x) x^{n}\, dx = 0.

?
Задача 4774

Доказать, что для функции f(x)=1−cos⁡xxf(x) = \dfrac {1-\cos x}{x} при любом целом n≠1n \neq 1 справедливы равенства:

∫−∞∞f(x)cos⁡nx dx=0,∫−∞∞f(x)sin⁡nx dx=0. \int _{-\infty }^{\infty } f(x) \cos nx\, dx = 0, \qquad \int _{-\infty }^{\infty } f(x) \sin nx\, dx = 0 .
?
Задача 4775

Доказать равенство:

∫01dxxα(x+h)1−α=ln⁡1h+A+O(h), \int _{0}^{1} \frac{dx}{x^{\alpha }(x+h)^{1-\alpha }} = \ln \frac{1}{h}+A+O(h),

где O(h)O(h) означает величину, отношение которой к hh остается ограниченным по абсолютному значению, когда h→+0h \rightarrow +0 и 0<α<10 < \alpha < 1.

?
Задача 4776

Доказать, что по абсолютному значению интеграл ∫abφ(x)eiμx dx\int_{a}^{b} \varphi (x) e^{i\mu x}\, dx не превосходит величины 2φ(a)μ\dfrac {2\varphi (a)}{\mu }, если a<ba < b, а φ(x)\varphi (x) — убывающая положительная функция; μ>0\mu > 0.

?
Задача 4777

Доказать неравенства: ∫0∞f(x)sin⁡ax dx>0\int_{0}^{\infty } f(x) \sin ax\, dx > 0, если f(x)f(x) — убывающая функция; a>0a > 0 и интеграл сходится.

?
Задача 4778

Доказать неравенства: ∫0∞f(x)sin⁡ax dx>0\int_{0}^{\infty } f(x) \sin ax\, dx > 0, если f(x)f(x) — убывающая функция и интеграл сходится.

?
Задача 4779

Доказать, что при h→0h \rightarrow 0 справедливо равенство

lim⁡h→01hπ∫−∞∞f(t)e−(t−x)2h2 dt=f(x), \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h\sqrt{\pi }} \int _{-\infty }^{\infty } f(t) e^{\frac{-(t-x)^{2}}{h^{2}}}\, dt = f(x),

если f(x)f(x) — непрерывная функция, для которой ∫−∞∞∣f(t)∣e−t2h2 dt\int_{-\infty }^{\infty } \left|f(t)\right| e^{-\frac{t^{2}}{h^{2}}}\, dt имеет смысл при достаточно малых ∣h∣\left|h\right|.

?
Задача 4780

Доказать теорему Лапласа: если f(x)f(x) в интервале (a,b)(a,b) имеет конечную производную, а φ(x)>0\varphi (x) > 0 и достигает наибольшего значения при x=cx=c, где a<c<ba < c < b, то при n→∞n \rightarrow \infty справедливо равенство

∫abf(x)(φ(x))n dx=f(c)(φ(c))n−2πφ(c)nφ′′(c)(1+O(1n)), \int _{a}^{b} f(x) \left(\varphi (x)\right)^{n}\, dx = f(c)\left(\varphi (c)\right)^{n} \sqrt{-\frac{2\pi \varphi (c)}{n\varphi ''(c)}} \left(1+O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right),

где O(1n)O\left(\dfrac {1}{\sqrt{n}}\right) по абсолютной величине не больше, чем 1n\dfrac {1}{\sqrt{n}}, умноженное на некоторую постоянную. Если cc совпадает с одним из чисел aa или bb, то в правой части надо поставить добавочный множитель, равный 12\dfrac {1}{2}.

?
Задача 4781

Доказать равенства:

∫01(1−x2)n dx=12πn+O(1n). \int _{0}^{1} (1-x^{2})^{n}\, dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{n}}+O\left(\frac{1}{n}\right) .
?
Задача 4782

Доказать равенства:

∫0∞e−xxn−1 dx=nne−n2πn(1+O(1n)). \int _{0}^{\infty } e^{-x} x^{n-1}\, dx = n^{n} e^{-n} \sqrt{\frac{2\pi }{n}} \left(1+O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right) .
?
Задача 4783

Доказать равенства:

∫0π/2cos⁡2nx1+x dx=12πn+O(1n). \int _{0}^{\pi /2} \frac{\cos ^{2n} x}{1+x}\, dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{n}}+O\left(\frac{1}{n}\right) .
?
Задача 4784

Доказать равенства:

∫0π/2sin⁡2nx1+x dx=1π+2πn+O(1n). \int _{0}^{\pi /2} \frac{\sin ^{2n} x}{1+x}\, dx = \frac{1}{\pi +2}\sqrt{\frac{\pi }{n}}+O\left(\frac{1}{n}\right) .
?
Задача 4785

Доказать неравенства:

(∫abφ(x)ψ(x) dx)2⩽∫abφ2(x) dx∫abψ2(x) dx. \left(\int _{a}^{b} \varphi (x)\psi (x)\, dx\right)^{2} \leqslant \int _{a}^{b} \varphi ^{2}(x)\, dx \int _{a}^{b} \psi ^{2}(x)\, dx .

(Буняковский.)

?
Задача 4786

Доказать неравенства:

φ(∫abp(x)f(x) dx∫abp(x) dx)⩽∫abp(x)φ(f(x)) dx∫abp(x) dx, \varphi \left(\frac{\int _{a}^{b} p(x) f(x)\, dx}{\int _{a}^{b} p(x)\, dx}\right) \leqslant \frac{\int _{a}^{b} p(x) \varphi \left(f(x)\right)\, dx}{\int _{a}^{b} p(x)\, dx},

где p(x)⩾0p(x) \geqslant 0, а кривая y=φ(x)y = \varphi (x) выпукла вниз.

?
Задача 4787

Получить аналогичное неравенство для случая, когда кривая y=φ(x)y = \varphi (x) выпукла вверх.

?
Задача 4788

Доказать, что функция от tt, равная величине

(1b−a∫ab(f(x))t dx)1t,a<b, \left(\frac{1}{b-a} \int _{a}^{b} \left(f(x)\right)^{t}\, dx\right)^{\frac{1}{t}}, \quad a < b,

не убывает с возрастанием tt, если f(x)f(x) имеет положительную нижнюю границу.

?
Задача 4789

Моментами функции f(x)f(x) в интервале (a,b)(a,b) называются интегралы

Mn=∫abf(x)xn dx. M_{n} = \int _{a}^{b} f(x) x^{n}\, dx .

Доказать, что если 0<a<b0 < a < b и f(x)>0f(x) > 0 при x>0x > 0, то ряд ∑tnMn\sum \dfrac {t^{n}}{M_{n}} имеет конечный или бесконечный радиус сходимости, смотря по тому, конечен или бесконечен интервал (a,b)(a,b).

?
Задача 4790

Разбивая интервал (−∞,∞)(-\infty ,\infty ) на части: (−∞,x−h)(-\infty ,x-h), (x−h,x)(x-h,x), (x,x+h)(x,x+h), (x+h,∞)(x+h,\infty ), где hh — произвольно выбранное число, доказать равенство:

lim⁡n→∞1π∫−∞∞f(u)sin⁡n(u−x)u−x du=f(x). \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{1}{\pi } \int _{-\infty }^{\infty } f(u) \frac{\sin n(u-x)}{u-x}\, du = f(x) .

При этом для простоты предполагается, что f(x)f(x) всюду непрерывна, f′(x)f'(x) всюду существует и в каждом данном интервале ограничена, а ∫−∞∞f(u) du\int_{-\infty }^{\infty } f(u)\, du абсолютно сходится.

?
Задача 4791

При тех же условиях, что и в предыдущей задаче, относительно f(x)f(x) доказать формулу Фурье:

f(x)=12π∫−∞∞du∫−∞∞f(v)cos⁡u(v−x) dv. f(x) = \frac{1}{2\pi } \int _{-\infty }^{\infty } du \int _{-\infty }^{\infty } f(v) \cos u(v-x)\, dv .
?
Задача 4792

Показать, что интеграл Фурье (см. предыдущую задачу) остается в силе и в том случае, когда f(x)f(x) в отдельных точках имеет конечные разрывы, при сохранении в остальных точках прежних условий. При этом в точках разрыва значение интеграла равно 12(f(x+0)+f(x−0))\dfrac {1}{2}\left(f(x+0)+f(x-0)\right), где f(x+0)f(x+0) и f(x−0)f(x-0) — пределы справа и слева величины f(ξ)f(\xi ) при ξ→x\xi \rightarrow x.

?
Задача 4793

Доказать, что для функций φ(x)\varphi (x), удовлетворяющих условиям предыдущей задачи (то есть φ(x)\varphi (x) всюду непрерывна, φ′(x)\varphi '(x) всюду существует и в каждом данном интервале ограничена, а ∫−∞∞φ(u) du\int_{-\infty }^{\infty } \varphi (u)\, du абсолютно сходится), справедлива теорема: если ψ(x)=12π∫−∞∞φ(t)eixt dt\psi (x) = \dfrac {1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{\infty } \varphi (t) e^{ixt}\, dt, то φ(x)=12π∫−∞∞ψ(t)e−ixt dt\varphi (x) = \dfrac {1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{\infty } \psi (t) e^{-ixt}\, dt.

?
Задача 4794

Доказать для функций φ(x)\varphi (x) и ψ(x)\psi (x), введенных в предыдущей задаче, равенство:

∫−∞∞∣φ(x)∣2 dx=∫−∞∞∣ψ(x)∣2 dx. \int _{-\infty }^{\infty } \left|\varphi (x)\right|^{2}\, dx = \int _{-\infty }^{\infty } \left|\psi (x)\right|^{2}\, dx .
?
Задача 4795

Запись φ(x)∼a0xσ+a1xσ+1+a2xσ+2+…\varphi (x) \sim \dfrac {a_{0}}{x^{\sigma }}+\dfrac {a_{1}}{x^{\sigma +1}}+\dfrac {a_{2}}{x^{\sigma +2}}+\ldots читается: функции φ(x)\varphi (x) соответствует асимптотический ряд, стоящий в правой части; эта запись означает, что при x→∞x \rightarrow \infty при любом ν\nu

xσ+ν(φ(x)−a0xσ−a1xσ+1−…−aνxσ+ν)→0. x^{\sigma +\nu } \left(\varphi (x)-\frac{a_{0}}{x^{\sigma }}-\frac{a_{1}}{x^{\sigma +1}}-\ldots -\frac{a_{\nu }}{x^{\sigma +\nu }}\right) \rightarrow 0 .

Доказать, что

∫0∞e−xtf(t) dt∼a0x+a1⋅1!x2+a2⋅2!x3+a3⋅3!x4+…, \int _{0}^{\infty } e^{-xt} f(t)\, dt \sim \frac{a_{0}}{x}+\frac{a_{1} \cdot 1!}{x^{2}}+\frac{a_{2} \cdot 2!}{x^{3}}+\frac{a_{3} \cdot 3!}{x^{4}}+\ldots ,

если f(t)=a0+a1t+a2t2+…f(t) = a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\ldots и интеграл сходится.

?
Задача 4796

Доказать, что при n→∞n \rightarrow \infty

∫01xn−1dx1−x∼πn+a1Γ(32)nn+a2Γ(52)n2n+…, \int _{0}^{1} x^{n-1} \frac{dx}{\sqrt{1-x}} \sim \frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt{n}}+\frac{a_{1}\Gamma \left(\frac{3}{2}\right)}{n\sqrt{n}}+\frac{a_{2}\Gamma \left(\frac{5}{2}\right)}{n^{2}\sqrt{n}}+\ldots ,

если 11−e−t=1t+a1t+a2tt+…\dfrac {1}{\sqrt{1-e^{-t}}} = \dfrac {1}{\sqrt{t}}+a_{1}\sqrt{t}+a_{2}t\sqrt{t}+\ldots

?
Задача 4797

Пользуясь равенствами:

∫0∞sin⁡u duu+m=∫0∞e−mu du1+u2,∫0∞cos⁡u duu+m=∫0∞ue−mu du1+u2, \int _{0}^{\infty } \frac{\sin u\, du}{u+m} = \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-mu}\, du}{1+u^{2}}, \qquad \int _{0}^{\infty } \frac{\cos u\, du}{u+m} = \int _{0}^{\infty } \frac{u e^{-mu}\, du}{1+u^{2}},

доказать формулу:

∫−∞∞sin⁡xx dx=cos⁡mm(1−2!m2+4!m4−…+θ(−1)ν(2ν)!m2ν)+ \int _{-\infty }^{\infty } \frac{\sin x}{x}\, dx = \frac{\cos m}{m}\left(1-\frac{2!}{m^{2}}+\frac{4!}{m^{4}}-\ldots +\theta (-1)^{\nu }\frac{(2\nu )!}{m^{2\nu }}\right)+ +sin⁡mm2[1−3!m2+5!m4−…+θ1(−1)ν(2ν+1)!m2ν], +\frac{\sin m}{m^{2}}\left[1-\frac{3!}{m^{2}}+\frac{5!}{m^{4}}-\ldots +\theta _{1}(-1)^{\nu }\frac{(2\nu +1)!}{m^{2\nu }}\right],

где θ\theta и θ1\theta_{1} — некоторые положительные правильные дроби.

?
Задача 4798

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞dx(x4+1)2. \int _{0}^{\infty } \frac{dx}{(x^{4}+1)^{2}} .
?
Задача 4799

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞dx(x2+x+1)2. \int _{0}^{\infty } \frac{dx}{(x^{2}+x+1)^{2}} .
?
Задача 4800

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞dx(x4−x2+1)2. \int _{0}^{\infty } \frac{dx}{(x^{4}-x^{2}+1)^{2}} .
?
Задача 4801

Найти величины следующих интегралов:

∫−∞∞x dxex−a+ea−x. \int _{-\infty }^{\infty } \frac{x\, dx}{e^{x-a}+e^{a-x}} .
?
Задача 4802

Найти величины следующих интегралов:

∫−aadx1+φ(x)+1+φ2(x), \int _{-a}^{a} \frac{dx}{1+\varphi (x)+\sqrt{1+\varphi ^{2}(x)}},

где φ(x)\varphi (x) — нечетная функция.

?
Задача 4803

Найти величины следующих интегралов:

∫0π/2arctg⁡sin⁡xsin⁡x dx. \int _{0}^{\pi /2} \frac{\arctg \sin x}{\sin x}\, dx .
?
Задача 4804

Найти величины следующих интегралов:

∫−∞∞e−a2x2+2abx dx. \int _{-\infty }^{\infty } e^{-a^{2}x^{2}+2abx}\, dx .
?
Задача 4805

Найти величины следующих интегралов:

∫−∞+∞cos⁡αx(x−a)2+b2 dx. \int _{-\infty }^{+\infty } \frac{\cos \alpha x}{(x-a)^{2}+b^{2}}\, dx .
?
Задача 4806

Найти величины следующих интегралов:

∫−∞+∞sin⁡αx(x−a)2+b2 dx. \int _{-\infty }^{+\infty } \frac{\sin \alpha x}{(x-a)^{2}+b^{2}}\, dx .
?
Задача 4807

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞cos⁡αxcos⁡βx1+x2 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\cos \alpha x \cos \beta x}{1+x^{2}}\, dx .
?
Задача 4808

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞xe−x2sin⁡ax dx. \int _{0}^{\infty } x e^{-x^{2}} \sin ax\, dx .
?
Задача 4809

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞∫0∞e−x2−y2+2xycos⁡α dx dy. \int _{0}^{\infty } \int _{0}^{\infty } e^{-x^{2}-y^{2}+2xy\cos \alpha }\, dx\, dy .
?
Задача 4810

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞ln⁡x(1+x)4 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\ln x}{(1+x)^{4}}\, dx .
?
Задача 4811

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞x2 dx(x2−a2)2+b2x2. \int _{0}^{\infty } \frac{x^{2}\, dx}{(x^{2}-a^{2})^{2}+b^{2}x^{2}} .
?
Задача 4812

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞ln⁡(1+x)xλ dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\ln (1+x)}{x^{\lambda }}\, dx .
?
Задача 4813

Найти величины следующих интегралов:

∫−∞∞(1+x2n−1)−n+12 dx. \int _{-\infty }^{\infty } \left(1+\frac{x^{2}}{n-1}\right)^{-\frac{n+1}{2}}\, dx .
?
Задача 4814

Найти величины следующих интегралов:

∫01dx(1−x)2x2(x−α)23. \int _{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{(1-x)^{2} x^{2}(x-\alpha )^{2}}} .
?
Задача 4815

Найти величины следующих интегралов:

∫01xa−xbln⁡x dx. \int _{0}^{1} \frac{x^{a}-x^{b}}{\ln x}\, dx .
?
Задача 4816

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞cos⁡ax−cos⁡bxx dx;a>0,b>0. \int _{0}^{\infty } \frac{\cos ax-\cos bx}{x}\, dx; \quad a > 0, \quad b > 0 .
?
Задача 4817

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞sin⁡axsin⁡bxx dx;a>0,b>0. \int _{0}^{\infty } \frac{\sin ax \sin bx}{x}\, dx; \quad a > 0, \quad b > 0 .
?
Задача 4818

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞arctg⁡ax−arctg⁡bxx dx;a>0,b>0. \int _{0}^{\infty } \frac{\arctg ax-\arctg bx}{x}\, dx; \quad a > 0, \quad b > 0 .
?
Задача 4819

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞sin⁡ax−asin⁡xx2 dx;a⩾0. \int _{0}^{\infty } \frac{\sin ax-a\sin x}{x^{2}}\, dx; \quad a \geqslant 0 .
?
Задача 4820

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞axcos⁡x−sin⁡axx2 dx;a⩾0. \int _{0}^{\infty } \frac{ax\cos x-\sin ax}{x^{2}}\, dx; \quad a \geqslant 0 .
?
Задача 4821

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞1−cos⁡axx2 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{1-\cos ax}{x^{2}}\, dx .
?
Задача 4822

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞cos⁡ax(1+x2)2 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\cos ax}{(1+x^{2})^{2}}\, dx .
?
Задача 4823

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞sin⁡2xx2+a2 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\sin ^{2} x}{x^{2}+a^{2}}\, dx .
?
Задача 4824

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞sin⁡4axx4 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\sin ^{4} ax}{x^{4}}\, dx .
?
Задача 4825

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞sin⁡axsin⁡bxx2 dx;a⩾b>0. \int _{0}^{\infty } \frac{\sin ax \sin bx}{x^{2}}\, dx; \quad a \geqslant b > 0 .
?
Задача 4826

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞sin⁡2xcos⁡axx2 dx;a>0. \int _{0}^{\infty } \frac{\sin ^{2} x \cos ax}{x^{2}}\, dx; \quad a > 0 .
?
Задача 4827

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞sin⁡3xcos⁡axx dx;a>0. \int _{0}^{\infty } \frac{\sin ^{3} x \cos ax}{x}\, dx; \quad a > 0 .
?
Задача 4828

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞sin⁡axsin⁡2xx3 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\sin ax \sin ^{2} x}{x^{3}}\, dx .
?
Задача 4829

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞x−sin⁡xx3 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{x-\sin x}{x^{3}}\, dx .
?
Задача 4830

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞sin⁡x−xcos⁡xx3 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\sin x-x\cos x}{x^{3}}\, dx .
?
Задача 4831

Найти величины следующих интегралов:

∫−∞∞cos⁡mxex+e−x dx. \int _{-\infty }^{\infty } \frac{\cos mx}{e^{x}+e^{-x}}\, dx .
?
Задача 4832

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞e−x2xsin⁡2x−sin⁡2xx2 dx. \int _{0}^{\infty } e^{-x^{2}} \frac{x\sin 2x-\sin ^{2}x}{x^{2}}\, dx .
?
Задача 4833

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞xn−1ln⁡x(x2+a2)n dx. \int _{0}^{\infty } \frac{x^{n-1}\ln x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}\, dx .
?
Задача 4834

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞xsin⁡ax(1+x2)2 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{x\sin ax}{(1+x^{2})^{2}}\, dx .
?
Задача 4835

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞x2−a2x2+a2sin⁡xx dx. \int _{0}^{\infty } \frac{x^{2}-a^{2}}{x^{2}+a^{2}} \frac{\sin x}{x}\, dx .
?
Задача 4836

Найти величины следующих интегралов:

v.p.∫0π/2dxa−bcos⁡x,0<a<b. \text{v.p.} \int _{0}^{\pi /2} \frac{dx}{a-b\cos x}, \quad 0 < a < b .
?
Задача 4837

Найти величины следующих интегралов:

v.p.∫0∞dx1−x3. \text{v.p.} \int _{0}^{\infty } \frac{dx}{1-x^{3}} .
?
Задача 4838

Найти величины следующих интегралов:

∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dx. \int _{0}^{\pi } \frac{x\sin x}{1+\cos ^{2}x}\, dx .
?
Задача 4839

Найти величины следующих интегралов:

∫02πx dx1−acos⁡x,при ∣a∣<1. \int _{0}^{2\pi } \frac{x\, dx}{1-a\cos x}, \quad \text{при } \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4840

Найти величины следующих интегралов:

v.p.∫02πx dx1−acos⁡x,при ∣a∣>1. \text{v.p.} \int _{0}^{2\pi } \frac{x\, dx}{1-a\cos x}, \quad \text{при } \left|a\right| > 1 .
?
Задача 4841

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞e−x dxsh⁡2x. \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-x}\, dx}{\sqrt{\operatorname {sh}2x}} .
?
Задача 4842

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞e−αx dxsh⁡2x. \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-\alpha x}\, dx}{\sqrt{\operatorname {sh}2x}} .
?
Задача 4843

Найти величины следующих интегралов:

∫0πdx1−2sin⁡2αcos⁡x+cos⁡2x;−π4<α<π4. \int _{0}^{\pi } \frac{dx}{1-2\sin 2\alpha \cos x+\cos ^{2} x}; \quad -\frac{\pi }{4} < \alpha < \frac{\pi }{4} .
?
Задача 4844

Найти величины следующих интегралов:

∫0∞e−x(1−cos⁡ax)x dx. \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-x}(1-\cos ax)}{x}\, dx .
?
Задача 4845

Найти величину интеграла ∫0∞J0(x)e−bx dx\int_{0}^{\infty } J_{0}(x) e^{-bx}\, dx, где

J0(x)=2π∫0π/2cos⁡(xcos⁡φ) dφ. J_{0}(x) = \frac{2}{\pi } \int _{0}^{\pi /2} \cos (x\cos \varphi )\, d\varphi .
?
Задача 4846

Доказать, что ∫0π/2sin⁡pxsin⁡xcos⁡p−1x dx=π2\int_{0}^{\pi /2} \dfrac {\sin px}{\sin x} \cos^{p-1} x\, dx = \dfrac {\pi }{2} при p>0p > 0. (Лиувилль.)

?
Задача 4847

Доказать тождество Рамануджана:

α∫0∞e−x2 dxch⁡αx=β∫0∞e−x2 dxch⁡βx;αβ=π. \sqrt{\alpha } \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-x^{2}}\, dx}{\operatorname {ch}\alpha x} = \sqrt{\beta } \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-x^{2}}\, dx}{\operatorname {ch}\beta x}; \quad \alpha \beta = \pi .
?
Задача 4848

Доказать, что при n→∞n \rightarrow \infty абсолютная величина интеграла

∫0nx(1−x21)(1−x24)…(1−x2n2) dx→∞. \int _{0}^{n} x\left(1-\frac{x^{2}}{1}\right)\left(1-\frac{x^{2}}{4}\right)\ldots \left(1-\frac{x^{2}}{n^{2}}\right)\, dx \rightarrow \infty .
?
Задача 4849

Доказать равенство:

∫0∞f(x+ax) dx=∫0∞f(x2+4a) dx,a>0, \int _{0}^{\infty } f\left(x+\frac{a}{x}\right)\, dx = \int _{0}^{\infty } f\left(\sqrt{x^{2}+4a}\right)\, dx, \quad a > 0,

предполагая, что оба интеграла имеют смысл.

?
Задача 4850

Пользуясь интегралами Френеля и предыдущим результатом, доказать равенство:

∫0∞cos⁡(x2+a2x2) dx=12π2(cos⁡2a−sin⁡2a). \int _{0}^{\infty } \cos \left(x^{2}+\frac{a^{2}}{x^{2}}\right)\, dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{2}}(\cos 2a-\sin 2a) .
?
Задача 4851

С помощью подстановки x−ab−x=αβete−t\dfrac {x-a}{b-x} = \dfrac {\alpha }{\beta }\dfrac {e^{t}}{e^{-t}} доказать равенство:

∫ab((x−a)(b−x))−32e(−α2x−a+β2b−x) dx= \int _{a}^{b} \left((x-a)(b-x)\right)^{-\frac{3}{2}} e^{\left(-\frac{\alpha ^{2}}{x-a}+\frac{\beta ^{2}}{b-x}\right)}\, dx = =πα+βαβ(b−a)−32e−(α+β)2b−a. = \sqrt{\pi }\frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta }(b-a)^{-\frac{3}{2}} e^{-\frac{(\alpha +\beta )^{2}}{b-a}} .
?
Задача 4852

Пользуясь тождеством

4cos⁡2x=(1+e2xi)(1+e−2xi), 4\cos ^{2}x = (1+e^{2xi})(1+e^{-2xi}),

доказать равенства при 0<x<π20 < x < \dfrac {\pi }{2}

∫0xln⁡cos⁡x dx=−xln⁡2−12∑ν=1∞(−1)νν2sin⁡2νx, \int _{0}^{x} \ln \cos x\, dx = -x\ln 2-\frac{1}{2}\sum _{\nu =1}^{\infty } \frac{(-1)^{\nu }}{\nu ^{2}}\sin 2\nu x, ∫0xln⁡sin⁡x dx=−xln⁡2−12∑ν=1∞1ν2sin⁡2νx. \int _{0}^{x} \ln \sin x\, dx = -x\ln 2-\frac{1}{2}\sum _{\nu =1}^{\infty } \frac{1}{\nu ^{2}}\sin 2\nu x .

(Н.И. Лобачевский.)

?
Задача 4853

Разлагая по степеням aa, где ∣a∣<1\left|a\right| < 1, доказать равенство:

∫0πsin⁡nx dx(1+acos⁡x)n+1=2nΓ(n+12)(1−a2)n+12. \int _{0}^{\pi } \frac{\sin ^{n} x\, dx}{(1+a\cos x)^{n+1}} = \frac{2^{n}\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{(1-a^{2})^{\frac{n+1}{2}}} .

(Н.И. Лобачевский.)

?
Задача 4854

Проверить равенства:

∫0∞(ex−e−x)x dxe2x+e−2x+2cos⁡2α=πa4sin⁡α;0<α<π2. \int _{0}^{\infty } \frac{(e^{x}-e^{-x})x\, dx}{e^{2x}+e^{-2x}+2\cos 2\alpha } = \frac{\pi a}{4\sin \alpha }; \quad 0 < \alpha < \frac{\pi }{2} .

(Н.И. Лобачевский.)

?
Задача 4855

Проверить равенства:

∫0∞(ex−e−x)x dxe2x+e−2x+2cos⁡2α=π(π−α)4sin⁡α;π2<α<π. \int _{0}^{\infty } \frac{(e^{x}-e^{-x})x\, dx}{e^{2x}+e^{-2x}+2\cos 2\alpha } = \frac{\pi (\pi -\alpha )}{4\sin \alpha }; \quad \frac{\pi }{2} < \alpha < \pi .

(М.В. Остроградский.)

?
Задача 4856

Проверить равенство:

∫0∞e−n2+x2cos⁡αx dx=11+α2∫0∞e−1+α2n2+x2 dx. \int _{0}^{\infty } e^{-\sqrt{n^{2}+x^{2}}} \cos \alpha x\, dx = \frac{1}{\sqrt{1+\alpha ^{2}}} \int _{0}^{\infty } e^{-\sqrt{1+\alpha ^{2}}\sqrt{n^{2}+x^{2}}}\, dx .

(Н.И. Лобачевский.)

?
§
11.9 · Ряды Фурье и близкие вопросы[98/52%]
Задача 4857

Разложить в простейший ряд Фурье функцию f(x)f(x), определенную в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ) следующими условиями:

f(x)={π4при 0<x<π;−π4при −π<x<0. f(x) = \begin{cases} \dfrac {\pi }{4} & \text{при } 0 < x < \pi ; \\ -\dfrac {\pi }{4} & \text{при } -\pi < x < 0 . \end{cases}
?
Задача 4858

Разложить в простейший ряд Фурье функцию f(x)f(x), определенную в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ) следующими условиями:

f(x)={0при −π<x<0;1при 0<x<π. f(x) = \begin{cases} 0 & \text{при } -\pi < x < 0; \\ 1 & \text{при } 0 < x < \pi . \end{cases}
?
Задача 4859

Разложить в простейший ряд Фурье функцию f(x)=∣x∣f(x) = \left|x\right| при −π<x<π-\pi < x < \pi.

?
Задача 4860

Разложить в простейший ряд Фурье функцию f(x)=xf(x) = x при −π<x<π-\pi < x < \pi.

?
Задача 4861

Разложить в простейший ряд Фурье функцию f(x)f(x), определенную в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ) следующими условиями:

f(x)={sin⁡12x,0<x<π;1+cos⁡12x,−π<x<0. f(x) = \begin{cases} \sin \dfrac {1}{2}x, & 0 < x < \pi ; \\ 1+\cos \dfrac {1}{2}x, & -\pi < x < 0 . \end{cases}
?
Задача 4862

Разложить в простейший ряд Фурье функцию f(x)f(x), определенную в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ) следующими условиями:

f(x)={π−x2x,0<x<π;−π+x2x,−π<x<0. f(x) = \begin{cases} \dfrac {\pi -x}{2}x, & 0 < x < \pi ; \\ -\dfrac {\pi +x}{2}x, & -\pi < x < 0 . \end{cases}
?
Задача 4863

Разложить в простейший ряд Фурье функцию f(x)=x2f(x) = x^{2} при −π<x<π-\pi < x < \pi.

?
Задача 4864

Разложить в простейший ряд Фурье функцию f(x)f(x), определенную в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ) следующими условиями:

f(x)={cos⁡x,0<x<π;−cos⁡x,−π<x<0. f(x) = \begin{cases} \cos x, & 0 < x < \pi ; \\ -\cos x, & -\pi < x < 0 . \end{cases}
?
Задача 4865

Разложить в простейший ряд Фурье функцию f(x)=∣sin⁡x∣f(x) = \left|\sin x\right| при −π<x<π-\pi < x < \pi.

?
Задача 4866

Разложить в простейший ряд Фурье функцию f(x)=cos⁡axf(x) = \cos ax при −π<x<π-\pi < x < \pi, aa — не целое.

?
Задача 4867

Разложить в простейший ряд Фурье функцию f(x)=sin⁡axf(x) = \sin ax при −π<x<π-\pi < x < \pi, aa — не целое.

?
Задача 4868

Разложить в простейший ряд Фурье функцию f(x)f(x), определенную в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ) следующими условиями: f(x)=0f(x) = 0 при −π<x<0-\pi < x < 0; f(x)=sin⁡2xf(x) = \sin^{2} x при 0<x<π0 < x < \pi.

?
Задача 4869

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию: f(x)={x}f(x) = \left\{ x\right\} — дробная доля числа xx, т.е. разность x−[x]x-[x], где [x][x] — целая часть xx.

?
Задача 4870

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию: f(x)=(x)f(x) = (x) — расстояние xx до ближайшего целого числа.

?
Задача 4871

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию: f(x)=xf(x) = x, 11 или 3−x3-x, смотря по тому, в каком из интервалов (0,1)(0,1), (1,2)(1,2) или (2,3)(2,3) лежит xx, предполагая при этом, что период f(x)f(x) равен 33.

Если функция не задана периодической и ищется разложение, верное лишь в заданном промежутке, то ее можно разлагать в ряд Фурье с периодом, равным длине данного промежутка или с любым большим, но в последнем случае функцию надо доопределить любым образом (лишь бы соблюдались условия Дирихле). Этим можно пользоваться для получения разложения по одним косинусам или по одним синусам или ограничиться только синусами или косинусами углов нечетной кратности.

В дальнейших задачах будет предполагаться, что период надо выбирать наименьшим, при котором удовлетворяются требования задачи.

?
Задача 4872

В интервале (−h,h)(-h,h) разложить функцию exe^{x}.

?
Задача 4873

Разложить ch⁡ax\operatorname {ch}ax в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ).

?
Задача 4874

Разложить sh⁡ax\operatorname {sh}ax в интервале (−π,π)(-\pi ,\pi ).

?
Задача 4875

В интервале (0,π)(0,\pi ) разложить x3x^{3} по косинусам.

?
Задача 4876

В интервале (0,π)(0,\pi ) разложить x3x^{3} по синусам.

?
Задача 4877

В интервале (0,π)(0,\pi ) разложить sin⁡x\sin x по косинусам.

?
Задача 4878

Функция f(x)=x2(a−x)f(x) = x^{2}(a-x) задана в интервале (0,a)(0,a). Разложить ее в ряд Фурье с периодом aa.

?
Задача 4879

Функция f(x)=x2(a−x)f(x) = x^{2}(a-x) задана в интервале (0,a)(0,a). Разложить ее в ряд Фурье как четную функцию.

?
Задача 4880

Функция f(x)=x2(a−x)f(x) = x^{2}(a-x) задана в интервале (0,a)(0,a). Разложить ее в ряд Фурье как нечетную функцию.

?
Задача 4881

Функция f(x)=xf(x) = x задана в интервале (0,a)(0,a). Разложить ее в ряд Фурье с периодом aa.

?
Задача 4882

Функция f(x)=xf(x) = x задана в интервале (0,a)(0,a). Разложить ее в ряд Фурье как четную функцию.

?
Задача 4883

Функция f(x)=xf(x) = x задана в интервале (0,a)(0,a). Разложить ее в ряд Фурье как нечетную функцию.

?
Задача 4884

Функция f(x)=xf(x) = x задана в интервале (0,a)(0,a). Разложить ее в ряд Фурье как нечетную, по синусам углов нечетной кратности.

?
Задача 4885

Функции, рациональные относительно cos⁡x\cos x и sin⁡x\sin x, могут разлагаться в ряд Фурье без формул Фурье. Для этого пишем:

cos⁡x=t2+12t,sin⁡x=t2−12ti, \cos x = \frac{t^{2}+1}{2t}, \qquad \sin x = \frac{t^{2}-1}{2ti},

где t=exit = e^{xi}. После этого дело сводится к разложению функции по положительным и отрицательным степеням tt. Перейдя обратно от tt к xx, получим искомое разложение в ряд Фурье.

Изложенным способом и подобными ему получить следующие разложения:

1−a21−2acos⁡x+a2=1+2∑n=1∞ancos⁡nx;∣a∣<1. \frac{1-a^{2}}{1-2a\cos x+a^{2}} = 1+2\sum _{n=1}^{\infty } a^{n}\cos nx; \quad \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4886

Изложенным способом получить следующее разложение:

1−acos⁡x1−2acos⁡x+a2=∑n=0∞ancos⁡nx;∣a∣<1. \frac{1-a\cos x}{1-2a\cos x+a^{2}} = \sum _{n=0}^{\infty } a^{n}\cos nx; \quad \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4887

Изложенным способом получить следующее разложение:

asin⁡x1−2acos⁡x+a2=∑n=0∞ansin⁡nx;∣a∣<1. \frac{a\sin x}{1-2a\cos x+a^{2}} = \sum _{n=0}^{\infty } a^{n}\sin nx; \quad \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4888

Изложенным способом получить следующее разложение:

ln⁡(1−2acos⁡x+a2)=−2∑n=1∞anncos⁡nx;∣a∣<1. \ln (1-2a\cos x+a^{2}) = -2\sum _{n=1}^{\infty } \frac{a^{n}}{n}\cos nx; \quad \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4889

Изложенным способом получить следующее разложение:

ln⁡∣2sin⁡x2∣−1=cos⁡x+cos⁡2x2+cos⁡3x3+… \ln \left|2\sin \frac{x}{2}\right|^{-1} = \cos x+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos 3x}{3}+\ldots
?
Задача 4890

Функция f(x)f(x), данная в интервале (0,π2)\left(0,\dfrac {\pi }{2}\right), продолжена в интервал (π2,π)\left(\dfrac {\pi }{2},\pi \right), при этом f(π2+x)=−f(π2−x)f\left(\dfrac {\pi }{2}+x\right) = -f\left(\dfrac {\pi }{2}-x\right); доказать, что при 0<x<π0 < x < \pi имеется равенство

f(x)=∑ancos⁡(2n+1)x, f(x) = \sum a_{n}\cos (2n+1)x,

причем

an=4π∫0π/2f(x)cos⁡(2n+1)x dx. a_{n} = \frac{4}{\pi } \int _{0}^{\pi /2} f(x)\cos (2n+1)x\, dx .
?
Задача 4891

Как продолжить в интервал (π2,π)\left(\dfrac {\pi }{2},\pi \right) функцию f(x)f(x), данную в интервале (0,π2)\left(0,\dfrac {\pi }{2}\right), так, чтобы при 0<x<π0 < x < \pi

f(x)=∑bnsin⁡(2n+1)x f(x) = \sum b_{n}\sin (2n+1)x

и как можно вычислять коэффициенты?

?
Задача 4892

Доказать при 0<x<π0 < x < \pi следующие равенства:

cos⁡2x1⋅3+cos⁡4x3⋅5+cos⁡6x5⋅7+…=12−π4sin⁡x. \frac{\cos 2x}{1 \cdot 3}+\frac{\cos 4x}{3 \cdot 5}+\frac{\cos 6x}{5 \cdot 7}+\ldots = \frac{1}{2}-\frac{\pi }{4}\sin x .
?
Задача 4893

Доказать при 0<x<π0 < x < \pi следующие равенства:

sin⁡x13+sin⁡3x33+sin⁡5x53+…=πx8(π−x). \frac{\sin x}{1^{3}}+\frac{\sin 3x}{3^{3}}+\frac{\sin 5x}{5^{3}}+\ldots = \frac{\pi x}{8}(\pi -x) .
?
Задача 4894

Доказать равенство:

∑n=1∞sin⁡(2n+2)θn(n+1)= \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\sin (2n+2)\theta }{n(n+1)} = =sin⁡2θ−(π−2θ)sin⁡2θ−sin⁡θcos⁡θln⁡4sin⁡2θ. = \sin 2\theta -(\pi -2\theta )\sin ^{2}\theta -\sin \theta \cos \theta \ln 4\sin ^{2}\theta .
?
Задача 4895

Доказать равенство:

∑n=1∞cos⁡(2n+1)θn2(n+1)2= \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\cos (2n+1)\theta }{n^{2}(n+1)^{2}} = =2(π−2θ)sin⁡θ+(π23−2πθ+2θ2−3)cos⁡θ. = 2(\pi -2\theta )\sin \theta +\left(\frac{\pi ^{2}}{3}-2\pi \theta +2\theta ^{2}-3\right)\cos \theta .
?
Задача 4896

Доказать правильность разложения:

cos⁡3x1⋅3⋅5−cos⁡5x3⋅5⋅7+cos⁡7x5⋅7⋅9−…=π8cos⁡2x−13cos⁡x \frac{\cos 3x}{1 \cdot 3 \cdot 5}-\frac{\cos 5x}{3 \cdot 5 \cdot 7}+\frac{\cos 7x}{5 \cdot 7 \cdot 9}-\ldots = \frac{\pi }{8}\cos ^{2}x-\frac{1}{3}\cos x

в промежутке 0<x<π20 < x < \dfrac {\pi }{2}.

?
Задача 4897

Доказать равенства:

∑n=−∞∞e−πa(n+x)2=1a∑n=−∞∞e−πn2acos⁡2πnx,a>0. \sum _{n=-\infty }^{\infty } e^{-\pi a(n+x)^{2}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \sum _{n=-\infty }^{\infty } e^{-\frac{\pi n^{2}}{a}} \cos 2\pi nx, \quad a > 0 .
?
Задача 4898

Доказать равенства:

12+∑n=1∞e−πn2x=1x(12+∑n=1∞e−πn2x),x>0. \frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\infty } e^{-\pi n^{2} x} = \frac{1}{\sqrt{x}}\left(\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\infty } e^{-\frac{\pi n^{2}}{x}}\right), \quad x > 0 .
?
Задача 4899

Доказать равенства:

lim⁡x→1−01−x (x+x4+x9+…)=12π. \lim _{x \rightarrow 1-0} \sqrt{1-x}\, (x+x^{4}+x^{9}+\ldots ) = \frac{1}{2}\sqrt{\pi } .
?
Задача 4900

Доказать равенства:

lim⁡x→1−0(x−x4+x9−x16+…)=12. \lim _{x \rightarrow 1-0} (x-x^{4}+x^{9}-x^{16}+\ldots ) = \frac{1}{2} .
?
Задача 4901

Доказать равенство (формула Пуассона):

∑n=abf(n)= \sum _{n=a}^{b} f(n) = =f(a)+f(b)2−∫abf(x) dx+2∑n=1∞∫abf(x)cos⁡2πnx dx. = \frac{f(a)+f(b)}{2}-\int _{a}^{b} f(x)\, dx+2\sum _{n=1}^{\infty } \int _{a}^{b} f(x)\cos 2\pi nx\, dx .
?
Задача 4902

Модулем непрерывности ω(h)\omega (h) называется точная верхняя граница колебания функции f(x)f(x) в интервалах длиной hh, т.е. чисел ∣f(x2)−f(x1)∣\left|f(x_{2})-f(x_{1})\right|, где ∣x2−x1∣<h\left|x_{2}-x_{1}\right| < h. Доказать, что для непрерывной функции f(x)f(x) интегралы

∫abf(x)cos⁡nx dxи∫abf(x)sin⁡nx dx \int _{a}^{b} f(x)\cos nx\, dx \quad \text{и} \quad \int _{a}^{b} f(x)\sin nx\, dx

по абсолютному значению не больше, чем Cω(πn)C\omega \left(\dfrac {\pi }{n}\right), где CC — соответствующая постоянная.

?
Задача 4903

Доказать равенство:

∫0π/2∣sin⁡mx∣sin⁡x dx=2πln⁡m+O(1), \int _{0}^{\pi /2} \frac{\left|\sin mx\right|}{\sin x}\, dx = \frac{2}{\pi }\ln m+O(1),

где O(1)O(1) при m→∞m \rightarrow \infty — ограниченная величина.

?
Задача 4904

Доказать неравенство Лебега:

∣a02+∑n=1m(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)∣<CMln⁡m. \left|\frac{a_{0}}{2}+\sum _{n=1}^{m} (a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)\right| < CM\ln m .

Здесь ana_{n} и bnb_{n} — коэффициенты Фурье для функции f(x)f(x), а MM — верхняя граница ∣f(x)∣\left|f(x)\right|.

?
Задача 4905

Доказать, что при 0<x<π0 < x < \pi существует равенство:

∑ν=1nsin⁡νxν=−x2+∫0x/2sin⁡(2n+1)tt dt+ \sum _{\nu =1}^{n} \frac{\sin \nu x}{\nu } = -\frac{x}{2}+\int _{0}^{x/2} \frac{\sin (2n+1)t}{t}\, dt+ +∫0x/2(1sin⁡t−1t)sin⁡(2n+1)t dt. +\int _{0}^{x/2} \left(\frac{1}{\sin t}-\frac{1}{t}\right) \sin (2n+1)t\, dt .
?
Задача 4906

Доказать, что при любом вещественном xx и целом n>0n > 0 имеется равенство

∑ν=1nsin⁡νxν=2πθ;∣θ∣<1. \sum _{\nu =1}^{n} \frac{\sin \nu x}{\nu } = 2\pi \theta ; \quad \left|\theta \right| < 1 .
?
Задача 4907

При 0<x<π0 < x < \pi доказать равенство:

∑ν=1nsin⁡(2ν−1)x2ν−1= \sum _{\nu =1}^{n} \frac{\sin (2\nu -1)x}{2\nu -1} = =12∫0xsin⁡2ntt dt+12∫0x(1sin⁡t−1t)sin⁡2nt dt. = \frac{1}{2}\int _{0}^{x} \frac{\sin 2nt}{t}\, dt+\frac{1}{2}\int _{0}^{x} \left(\frac{1}{\sin t}-\frac{1}{t}\right) \sin 2nt\, dt .
?
Задача 4908

При любом вещественном xx и целом n>0n > 0 доказать равенство:

∑ν=1nsin⁡(2ν−1)x2ν−1=32θ;∣θ∣<1. \sum _{\nu =1}^{n} \frac{\sin (2\nu -1)x}{2\nu -1} = \frac{3}{2}\theta ; \quad \left|\theta \right| < 1 .
?
Задача 4909

Доказать неравенство Фейера:

∣cos⁡xn+cos⁡2xn−1+…+cos⁡nx1−cos⁡(n+1)x1−cos⁡(n+2)x2−…−cos⁡2nxn∣<10. \left|\frac{\cos x}{n}+\frac{\cos 2x}{n-1}+\ldots +\frac{\cos nx}{1}-\frac{\cos (n+1)x}{1}-\frac{\cos (n+2)x}{2}-\ldots -\frac{\cos 2nx}{n}\right| < 10 .
?
Задача 4910

Суммой Фейера σn\sigma_{n} называется арифметическое среднее первых nn сумм Фурье функции f(x)f(x):

nσn=s0+s1+…+sn−1, n\sigma _{n} = s_{0}+s_{1}+\ldots +s_{n-1},

где при m⩾1m \geqslant 1

sm=a02+∑ν=1m(aνcos⁡νx+bνsin⁡νx);s0=a02, s_{m} = \frac{a_{0}}{2}+\sum _{\nu =1}^{m} (a_{\nu }\cos \nu x+b_{\nu }\sin \nu x); \quad s_{0} = \frac{a_{0}}{2},

aνa_{\nu }, bνb_{\nu } — коэффициенты Фурье для функции f(x)f(x). Доказать, что ∣σn(x)∣<M\left|\sigma_{n}(x)\right| < M, если ∣f(x)∣<M\left|f(x)\right| < M во всем периоде.

?
Задача 4911

Доказать, что если f(x)f(x) непрерывная функция на интервале [−π,π]\left[-\pi ,\pi \right], l⩽f(x)⩽Ll \leqslant f(x) \leqslant L и при любом mm, ∣mam∣<A\left|ma_{m}\right| < A, ∣mbm∣<B\left|mb_{m}\right| < B, то

l−(A+B)⩽sn(x)⩽L+(A+B); l-(A+B) \leqslant s_{n}(x) \leqslant L+(A+B);

где ama_{m}, bmb_{m} — коэффициенты Фурье, sn(x)s_{n}(x) — nn-я частичная сумма ряда Фурье функции f(x)f(x).

?
Задача 4912

Доказать, что для всякой непрерывной функции f(x)f(x) на интервале [−π,π]\left[-\pi ,\pi \right] σn(x)→f(x)\sigma_{n}(x) \rightarrow f(x) при n→∞n \rightarrow \infty.

?
Задача 4913

Доказать, что для периодической функции f(x)f(x), удовлетворяющей условию Коши--Липшица

∣f(x2)−f(x1)∣<C∣x2−x1∣, \left|f(x_{2})-f(x_{1})\right| < C\left|x_{2}-x_{1}\right|,

существует неравенство ∣σn−f(x)∣<Aln⁡nn\left|\sigma_{n}-f(x)\right| < \dfrac {A\ln n}{n}, где AA постоянная.

?
Задача 4914

Считая f(x)f(x) там, где она встречается, непрерывной функцией с периодом 2π2\pi, доказать следующие формулы и утверждения:

Интеграл 2π⋅(2n)!!(2n−1)!!∫−ππf(x+u)cos⁡2nu2 du\dfrac {2}{\pi } \cdot \dfrac {(2n)!!}{(2n-1)!!} \int_{-\pi }^{\pi } f(x+u) \cos^{2n}\dfrac {u}{2}\, du есть тригонометрический полином, который стремится к f(x)f(x), если n→∞n \rightarrow \infty.

?
Задача 4915

Доказать, что

∫0π/2Fm(u) du>π3m−111m2;2π∫0π/2uFm(u) du<cm2, \int _{0}^{\pi /2} F_{m}(u)\, du > \frac{\pi }{3m}-\frac{1}{11m^{2}}; \qquad 2\pi \int _{0}^{\pi /2} u F_{m}(u)\, du < \frac{c}{m^{2}},

где Fm(u)=(sin⁡mumsin⁡u)4F_{m}(u) = \left(\dfrac {\sin mu}{m\sin u}\right)^{4}, а cc — некоторая постоянная.

∫0π/2Fm(u) du=π3m+π6m3=12Am. \int _{0}^{\pi /2} F_{m}(u)\, du = \frac{\pi }{3m}+\frac{\pi }{6m^{3}} = \frac{1}{2A_{m}} .
?
Задача 4916

Величина Tm(x)T_{m}(x), где

Tm(x)=Am∫−π/2π/2f(x+2u)Fm(u) du, T_{m}(x) = A_{m} \int _{-\pi /2}^{\pi /2} f(x+2u) F_{m}(u)\, du,

(Fm(u)F_{m}(u) и AmA_{m} определены в задаче 4915) есть тригонометрический полином порядка 2m−22m-2.

?
Задача 4917

Доказать равенство:

f(x)−Tm(x)=Am∫−π/2π/2(f(x)−f(x+2u))Fm(u) du. f(x)-T_{m}(x) = A_{m} \int _{-\pi /2}^{\pi /2} \left(f(x)-f(x+2u)\right) F_{m}(u)\, du .

Значение AmA_{m} см. задачу 4915.

?
Задача 4918

Если f(x)f(x) удовлетворяет условию

∣f(x1)−f(x2)∣<C∣x2−x1∣, \left|f(x_{1})-f(x_{2})\right| < C\left|x_{2}-x_{1}\right|,

то справедливо неравенство Джексона:

∣f(x)−Tm(x)∣<Mm, \left|f(x)-T_{m}(x)\right| < \frac{M}{m},

где MM — соответствующая постоянная.

?
Задача 4919

Пусть f(x)f(x) — функция, интегрируемая в интервале (0,2π)(0,2\pi ), ana_{n} и bnb_{n} — ее коэффициенты Фурье, Sm=a02+∑n=1m(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)S_{m} = \dfrac {a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{m} (a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx) — ее сумма Фурье, а Pm(x)P_{m}(x) — любой тригонометрический полином порядка mm, отличный от Sm(x)S_{m}(x). Доказать неравенство:

∫02π(f(x)−Sm(x))2 dx<∫02π(f(x)−Pm(x))2 dx. \int _{0}^{2\pi } \left(f(x)-S_{m}(x)\right)^{2}\, dx < \int _{0}^{2\pi } \left(f(x)-P_{m}(x)\right)^{2}\, dx .
?
Задача 4920

Доказать неравенство Бесселя:

a022+∑ν=1∞(aν2+bν2)⩽1π∫02π∣f(x)∣2 dx. \frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum _{\nu =1}^{\infty } (a_{\nu }^{2}+b_{\nu }^{2}) \leqslant \frac{1}{\pi } \int _{0}^{2\pi } \left|f(x)\right|^{2}\, dx .
?
Задача 4921

Исходя из неравенства Бесселя и неравенства 2ab⩽a2+b22ab \leqslant a^{2}+b^{2}, доказать сходимость рядов ∑ν=1∞(aν2+bν2)\sum_{\nu =1}^{\infty } (a_{\nu }^{2}+b_{\nu }^{2}) и ∑ν=1∞∣aν∣+∣bν∣να\sum_{\nu =1}^{\infty } \dfrac {\left|a_{\nu }\right|+\left|b_{\nu }\right|}{\nu^{\alpha }}, где α>12\alpha > \dfrac {1}{2}.

?
Задача 4922

Доказать неравенство:

∫ab∣f(x)−φ(x)∣2 dx<2∫ab∣f(x)−ψ(x)∣2 dx+2∫ab∣ψ(x)−φ(x)∣2 dx. \int _{a}^{b} \left|f(x)-\varphi (x)\right|^{2}\, dx < 2\int _{a}^{b} \left|f(x)-\psi (x)\right|^{2}\, dx+2\int _{a}^{b} \left|\psi (x)-\varphi (x)\right|^{2}\, dx .
?
Задача 4923

Пусть f(x)f(x) — интегрируемая в (0,2π)(0,2\pi ) функция, ε\varepsilon — произвольная положительная постоянная, φ(x)\varphi (x) — такая непрерывная функция, что ∫02π∣f(x)−φ(x)∣2 dx<ε\int_{0}^{2\pi } \left|f(x)-\varphi (x)\right|^{2}\, dx < \varepsilon, а σn(x)\sigma_{n}(x) — сумма Фейера (см. задачу 4910) для φ(x)\varphi (x), отличающаяся от φ(x)\varphi (x) меньше, чем на ε2π\sqrt{\dfrac {\varepsilon }{2\pi }}. Доказать неравенство:

∫02π∣f(x)−σn(x)∣2 dx<4ε. \int _{0}^{2\pi } \left|f(x)-\sigma _{n}(x)\right|^{2}\, dx < 4\varepsilon .
?
Задача 4924

Пользуясь предыдущими результатами, доказать теорему А.М. Ляпунова (теорема замкнутости):

a022+∑ν=1∞(aν2+bν2)=1π∫02πf2(x) dx, \frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum _{\nu =1}^{\infty } (a_{\nu }^{2}+b_{\nu }^{2}) = \frac{1}{\pi } \int _{0}^{2\pi } f^{2}(x)\, dx,

справедливую для любой интегрируемой функции f(x)f(x).

?
Задача 4925

Доказать равенство:

1π∫02πφ(x)ψ(x) dx=a0α02+∑ν=1∞(aναν+bνβν), \frac{1}{\pi } \int _{0}^{2\pi } \varphi (x)\psi (x)\, dx = \frac{a_{0}\alpha _{0}}{2}+\sum _{\nu =1}^{\infty } (a_{\nu }\alpha _{\nu }+b_{\nu }\beta _{\nu }),

где φ(x)\varphi (x) и ψ(x)\psi (x) интегрируемы в интервале (0,2π)(0,2\pi ), aνa_{\nu }, bνb_{\nu }, αν\alpha_{\nu }, βν\beta_{\nu } — коэффициенты Фурье этих функций.

?
Задача 4926

Доказать теорему В.А. Стеклова:

12h∫x−hx+hf(u) du=a02+∑ν=1∞(aνcos⁡νx+bνsin⁡νx)sin⁡νhνh. \frac{1}{2h} \int _{x-h}^{x+h} f(u)\, du = \frac{a_{0}}{2}+\sum _{\nu =1}^{\infty } (a_{\nu }\cos \nu x+b_{\nu }\sin \nu x)\frac{\sin \nu h}{\nu h} .
?
Задача 4927

Доказать неравенства В.А. Стеклова:

?
(а)

∫02π∣f′(x)∣2 dx⩾∫02πf2(x) dx\displaystyle \int_{0}^{2\pi } \left|f'(x)\right|^{2}\, dx \geqslant \int_{0}^{2\pi } f^{2}(x)\, dx, если ∫0πf(x) dx=0\displaystyle \int_{0}^{\pi } f(x)\, dx = 0;

(б)

∫0π∣f′(x)∣2 dx⩾∫0πf2(x) dx\displaystyle \int_{0}^{\pi } \left|f'(x)\right|^{2}\, dx \geqslant \int_{0}^{\pi } f^{2}(x)\, dx; f(0)=f(π)=0f(0) = f(\pi ) = 0.

Задача 4928

Доказать равенство:

1π∫02π(f(x)−σn(x))2 dx=1n2∑ν=1n−1ν2(aν2+bν2)+∑ν=n∞(aν2+bν2), \frac{1}{\pi } \int _{0}^{2\pi } \left(f(x)-\sigma _{n}(x)\right)^{2}\, dx = \frac{1}{n^{2}} \sum _{\nu =1}^{n-1} \nu ^{2}(a_{\nu }^{2}+b_{\nu }^{2})+\sum _{\nu =n}^{\infty } (a_{\nu }^{2}+b_{\nu }^{2}),

где σn(x)\sigma_{n}(x) — сумма Фейера функции f(x)f(x) (см. 4910).

?
Задача 4929

Доказать, что для функции f(x)f(x), удовлетворяющей условию Коши—Липшица

∣f(x2)−f(x1)∣<A⋅∣x2−x1∣α, \left|f(x_{2})-f(x_{1})\right| < A \cdot \left|x_{2}-x_{1}\right|^{\alpha },

справедливо неравенство:

∑ν=n2n(aν2+bν2)<kn2α, \sum _{\nu =n}^{2n} (a_{\nu }^{2}+b_{\nu }^{2}) < \frac{k}{n^{2\alpha }},

где kk — соответствующая постоянная.

?
Задача 4930

Доказать теорему С.Н. Бернштейна: ряд Фурье для функции, удовлетворяющей условию Коши—Липшица при α>12\alpha > \dfrac {1}{2}, сходится абсолютно.

?
Задача 4931

Параметрическому уравнению замкнутой кривой можно придать вид

x=∑n=1∞(ancos⁡nt+bnsin⁡nt);y=∑n=1∞(αncos⁡nt+βnsin⁡nt). x = \sum _{n=1}^{\infty } (a_{n}\cos nt+b_{n}\sin nt); \qquad y = \sum _{n=1}^{\infty } (\alpha _{n}\cos nt+\beta _{n}\sin nt) .

Пользуясь формулами ds2=dx2+dy2ds^{2} = dx^{2}+dy^{2} и

A=12∫Sx dy−y dx, A = \frac{1}{2} \int _{S} x\, dy-y\, dx,

где AA — площадь, ограниченная замкнутой кривой SS, доказать неравенство 4πA⩽L24\pi A \leqslant L^{2} (LL есть длина кривой SS), выражающее, что из всех замкнутых кривых с длиной LL наибольшую площадь имеет окружность (доказательство Гурвица).

?
Задача 4932

Разложить по полиномам Чебышева Tn(x)T_{n}(x) функцию, определенную в интервале (−1,1)(-1,1) условием f(x)=x3f(x) = x^{3}.

?
Примечание.
?

Полиномы Чебышева определяются формулой Tn(x)=12n−1cos⁡(narccos⁡x)T_{n}(x) = \dfrac {1}{2^{n-1}}\cos (n\arccos x) и обладают свойством ортогональности: при n≠mn \neq m ∫−11Tn(x)Tm(x) dx1−x2=0\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{T_{n}(x)T_{m}(x)\, dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = 0, а при n=mn = m правая часть равна π22n−1\dfrac {\pi }{2^{2n-1}}.

Задача 4933

Разложить по полиномам Чебышева Tn(x)T_{n}(x) функцию, определенную в интервале (−1,1)(-1,1) условиями:

f(x)={0,−1<x<0;1,0<x<1. f(x) = \begin{cases} 0, & -1 < x < 0; \\ 1, & 0 < x < 1 . \end{cases}
?
Примечание.
?

Полиномы Чебышева определяются формулой Tn(x)=12n−1cos⁡(narccos⁡x)T_{n}(x) = \dfrac {1}{2^{n-1}}\cos (n\arccos x) и обладают свойством ортогональности: при n≠mn \neq m ∫−11Tn(x)Tm(x) dx1−x2=0\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{T_{n}(x)T_{m}(x)\, dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = 0, а при n=mn = m правая часть равна π22n−1\dfrac {\pi }{2^{2n-1}}.

Задача 4934

Разложить по полиномам Чебышева Tn(x)T_{n}(x) функцию, определенную в интервале (−1,1)(-1,1) условием f(x)=∣x∣f(x) = \left|x\right|.

?
Примечание.
?

Полиномы Чебышева определяются формулой Tn(x)=12n−1cos⁡(narccos⁡x)T_{n}(x) = \dfrac {1}{2^{n-1}}\cos (n\arccos x) и обладают свойством ортогональности: при n≠mn \neq m ∫−11Tn(x)Tm(x) dx1−x2=0\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{T_{n}(x)T_{m}(x)\, dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = 0, а при n=mn = m правая часть равна π22n−1\dfrac {\pi }{2^{2n-1}}.

Задача 4935

Разложить по полиномам Чебышева Tn(x)T_{n}(x) функцию, определенную в интервале (−1,1)(-1,1) условием f(x)=x2nf(x) = x^{2n}.

?
Примечание.
?

Полиномы Чебышева определяются формулой Tn(x)=12n−1cos⁡(narccos⁡x)T_{n}(x) = \dfrac {1}{2^{n-1}}\cos (n\arccos x) и обладают свойством ортогональности: при n≠mn \neq m ∫−11Tn(x)Tm(x) dx1−x2=0\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{T_{n}(x)T_{m}(x)\, dx}{\sqrt{1-x^{2}}} = 0, а при n=mn = m правая часть равна π22n−1\dfrac {\pi }{2^{2n-1}}.

Задача 4936

Разложить при −1<x<1-1 < x < 1 по полиномам Лежандра функцию, определенную условиями:

f(x)={0,−1<x<0;1,0<x<1. f(x) = \begin{cases} 0, & -1 < x < 0; \\ 1, & 0 < x < 1 . \end{cases}
?
Примечание.
?

Полиномы Лежандра определяются формулой Pn(x)=12n⋅n!dn(x2−1)ndxnP_{n}(x) = \dfrac {1}{2^{n} \cdot n!}\dfrac {d^{n}(x^{2}-1)^{n}}{dx^{n}} и обладают свойством ортогональности: при n≠mn \neq m ∫−11Pn(x)Pm(x) dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x)\, dx = 0, а при n=mn = m правая часть равна 22n+1\dfrac {2}{2n+1}.

Задача 4937

Разложить при −1<x<1-1 < x < 1 по полиномам Лежандра функцию, определенную условием f(x)=∣x∣f(x) = \left|x\right|.

?
Примечание.
?

Полиномы Лежандра определяются формулой Pn(x)=12n⋅n!dn(x2−1)ndxnP_{n}(x) = \dfrac {1}{2^{n} \cdot n!}\dfrac {d^{n}(x^{2}-1)^{n}}{dx^{n}} и обладают свойством ортогональности: при n≠mn \neq m ∫−11Pn(x)Pm(x) dx=0\displaystyle \int_{-1}^{1} P_{n}(x)P_{m}(x)\, dx = 0, а при n=mn = m правая часть равна 22n+1\dfrac {2}{2n+1}.

Задача 4938

Разложить по полиномам Лагерра Ln(x)L_{n}(x) при x>0x > 0 функцию f(x)=e−axf(x) = e^{-ax}.

?
Примечание.
?

Полиномы Абеля—Лагерра определяются формулой Ln(x)=exn!dnxne−xdxnL_{n}(x) = \dfrac {e^{x}}{n!}\dfrac {d^{n}x^{n}e^{-x}}{dx^{n}} и обладают свойством ортогональности: при n≠mn \neq m ∫0∞e−xLn(x)Lm(x) dx=0\displaystyle \int_{0}^{\infty } e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\, dx = 0, а при n=mn = m правая часть равна 11.

Задача 4939

Разложить по полиномам Лагерра Ln(x)L_{n}(x) при x>0x > 0 функцию f(x)=xnf(x) = x^{n}.

?
Примечание.
?

Полиномы Абеля—Лагерра определяются формулой Ln(x)=exn!dnxne−xdxnL_{n}(x) = \dfrac {e^{x}}{n!}\dfrac {d^{n}x^{n}e^{-x}}{dx^{n}} и обладают свойством ортогональности: при n≠mn \neq m ∫0∞e−xLn(x)Lm(x) dx=0\displaystyle \int_{0}^{\infty } e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\, dx = 0, а при n=mn = m правая часть равна 11.

Задача 4940

Разложить по полиномам Лагерра Ln(x)L_{n}(x) при x>0x > 0 функцию f(x)=sin⁡axf(x) = \sin ax.

?
Примечание.
?

Полиномы Абеля—Лагерра определяются формулой Ln(x)=exn!dnxne−xdxnL_{n}(x) = \dfrac {e^{x}}{n!}\dfrac {d^{n}x^{n}e^{-x}}{dx^{n}} и обладают свойством ортогональности: при n≠mn \neq m ∫0∞e−xLn(x)Lm(x) dx=0\displaystyle \int_{0}^{\infty } e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\, dx = 0, а при n=mn = m правая часть равна 11.

Задача 4941

Разложить по полиномам Лагерра Ln(x)L_{n}(x) при x>0x > 0 функцию f(x)=cos⁡axf(x) = \cos ax.

?
Примечание.
?

Полиномы Абеля—Лагерра определяются формулой Ln(x)=exn!dnxne−xdxnL_{n}(x) = \dfrac {e^{x}}{n!}\dfrac {d^{n}x^{n}e^{-x}}{dx^{n}} и обладают свойством ортогональности: при n≠mn \neq m ∫0∞e−xLn(x)Lm(x) dx=0\displaystyle \int_{0}^{\infty } e^{-x}L_{n}(x)L_{m}(x)\, dx = 0, а при n=mn = m правая часть равна 11.

Задача 4942

Разложить по полиномам Чебышева—Эрмита при −∞<x<∞-\infty < x < \infty функцию

sign⁡x={−1при x<0;1при x>0. \operatorname {sign} x = \begin{cases} -1 & \text{при } x < 0; \\ 1 & \text{при } x > 0 . \end{cases}
?
Примечание.
?

Полиномы Чебышева—Эрмита определяются (в настоящей главе) формулой Hn(x)=ex2/2n!dne−x2/2dxnH_{n}(x) = \dfrac {e^{x^{2}/2}}{n!}\dfrac {d^{n}e^{-x^{2}/2}}{dx^{n}} и обладают свойством ортогональности: при n≠mn \neq m ∫−∞∞e−x2/2Hn(x)Hm(x) dx=0\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } e^{-x^{2}/2}H_{n}(x)H_{m}(x)\, dx = 0, а при n=mn = m правая часть равна 2πn!\dfrac {\sqrt{2\pi }}{n!}.

Задача 4943

Разложить по полиномам Чебышева—Эрмита при −∞<x<∞-\infty < x < \infty функцию f(x)=∣x∣f(x) = \left|x\right|.

?
Примечание.
?

Полиномы Чебышева—Эрмита определяются (в настоящей главе) формулой Hn(x)=ex2/2n!dne−x2/2dxnH_{n}(x) = \dfrac {e^{x^{2}/2}}{n!}\dfrac {d^{n}e^{-x^{2}/2}}{dx^{n}} и обладают свойством ортогональности: при n≠mn \neq m ∫−∞∞e−x2/2Hn(x)Hm(x) dx=0\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } e^{-x^{2}/2}H_{n}(x)H_{m}(x)\, dx = 0, а при n=mn = m правая часть равна 2πn!\dfrac {\sqrt{2\pi }}{n!}.

Задача 4944

Разложить по полиномам Чебышева—Эрмита при −∞<x<∞-\infty < x < \infty функцию f(x)=e−axf(x) = e^{-ax}.

?
Примечание.
?

Полиномы Чебышева—Эрмита определяются (в настоящей главе) формулой Hn(x)=ex2/2n!dne−x2/2dxnH_{n}(x) = \dfrac {e^{x^{2}/2}}{n!}\dfrac {d^{n}e^{-x^{2}/2}}{dx^{n}} и обладают свойством ортогональности: при n≠mn \neq m ∫−∞∞e−x2/2Hn(x)Hm(x) dx=0\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } e^{-x^{2}/2}H_{n}(x)H_{m}(x)\, dx = 0, а при n=mn = m правая часть равна 2πn!\dfrac {\sqrt{2\pi }}{n!}.

Задача 4945

Разложить по полиномам Чебышева—Эрмита при −∞<x<∞-\infty < x < \infty функцию f(x)=cos⁡axf(x) = \cos ax.

?
Примечание.
?

Полиномы Чебышева—Эрмита определяются (в настоящей главе) формулой Hn(x)=ex2/2n!dne−x2/2dxnH_{n}(x) = \dfrac {e^{x^{2}/2}}{n!}\dfrac {d^{n}e^{-x^{2}/2}}{dx^{n}} и обладают свойством ортогональности: при n≠mn \neq m ∫−∞∞e−x2/2Hn(x)Hm(x) dx=0\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } e^{-x^{2}/2}H_{n}(x)H_{m}(x)\, dx = 0, а при n=mn = m правая часть равна 2πn!\dfrac {\sqrt{2\pi }}{n!}.

Задача 4946

Разложить по полиномам Чебышева—Эрмита при −∞<x<∞-\infty < x < \infty функцию f(x)=sin⁡axf(x) = \sin ax.

?
Примечание.
?

Полиномы Чебышева—Эрмита определяются (в настоящей главе) формулой Hn(x)=ex2/2n!dne−x2/2dxnH_{n}(x) = \dfrac {e^{x^{2}/2}}{n!}\dfrac {d^{n}e^{-x^{2}/2}}{dx^{n}} и обладают свойством ортогональности: при n≠mn \neq m ∫−∞∞e−x2/2Hn(x)Hm(x) dx=0\displaystyle \int_{-\infty }^{\infty } e^{-x^{2}/2}H_{n}(x)H_{m}(x)\, dx = 0, а при n=mn = m правая часть равна 2πn!\dfrac {\sqrt{2\pi }}{n!}.

Задача 4947

Представить интегралом Фурье функцию

f(x)={e−mx,x>0;emx,x<0;m>0. f(x) = \begin{cases} e^{-mx}, & x > 0; \\ e^{mx}, & x < 0; \quad m > 0 . \end{cases}
?
Задача 4948

Представить интегралом Фурье функцию

f(x)={e−mx,x>0;−emx,x<0;m>0. f(x) = \begin{cases} e^{-mx}, & x > 0; \\ -e^{mx}, & x < 0; \quad m > 0 . \end{cases}
?
Задача 4949

Представить интегралом Фурье функцию

f(x)={e−mx,x>0;0,x<0;m>0. f(x) = \begin{cases} e^{-mx}, & x > 0; \\ 0, & x < 0; \quad m > 0 . \end{cases}
?
Задача 4950

Представить интегралом Фурье функцию

f(x)={1,∣x∣<τ;0,∣x∣>τ. f(x) = \begin{cases} 1, & \left|x\right| < \tau ; \\ 0, & \left|x\right| > \tau . \end{cases}
?
Задача 4951

Представить интегралом Фурье функцию

f(x)={1,0<x<τ;−1,−τ<x<0;0,∣x∣>τ. f(x) = \begin{cases} 1, & 0 < x < \tau ; \\ -1, & -\tau < x < 0; \\ 0, & \left|x\right| > \tau . \end{cases}
?
Задача 4952

Представить интегралом Фурье функцию

f(x)={A(1−∣x−x0∣a),∣x−x0∣<a;0,∣x−x0∣>a. f(x) = \begin{cases} A\left(1-\dfrac {\left|x-x_{0}\right|}{a}\right), & \left|x-x_{0}\right| < a; \\ 0, & \left|x-x_{0}\right| > a . \end{cases}
?
Задача 4953

Представить интегралом Фурье функцию

f(x)={e−kxsin⁡ωx,x>0;0,x<0;k>0. f(x) = \begin{cases} e^{-kx}\sin \omega x, & x > 0; \\ 0, & x < 0; \quad k > 0 . \end{cases}
?
Задача 4954

Представить интегралом Фурье функцию

f(x)={sin⁡x,0<x<nπ;n — целое;0,x<0; x>nπ. f(x) = \begin{cases} \sin x, & 0 < x < n\pi ; \quad n \text{ — целое}; \\ 0, & x < 0; \, x > n\pi . \end{cases}
?