11.6

Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла

[32/88%]
Показать
LaTeX
Задача 4688

Исходя из равенства ∫0∞e−ax dx=1a\int_{0}^{\infty } e^{-ax}\, dx = \dfrac {1}{a}, где a>0a > 0, найти при nn целом и положительном величину интеграла ∫0∞e−axxn−1 dx\int_{0}^{\infty } e^{-ax} x^{n-1}\, dx.

?
Задача 4689

Исходя из равенства ∫0∞dxx2+a2=π2a\int_{0}^{\infty } \dfrac {dx}{x^{2}+a^{2}} = \dfrac {\pi }{2a}, найти величину интеграла ∫0∞dx(x2+a2)n\int_{0}^{\infty } \dfrac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{n}}.

?
Задача 4690

Исходя из равенства ∫0∞e−ax2 dx=12πa\int_{0}^{\infty } e^{-ax^{2}}\, dx = \dfrac {1}{2}\sqrt{\dfrac {\pi }{a}}, a>0a > 0, найти интеграл

∫0∞e−ax2−e−bx2x2 dx \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-ax^{2}}-e^{-bx^{2}}}{x^{2}}\, dx

при b>a>0b > a > 0.

?
Задача 4691

Исходя из равенства ∫0∞sin⁡axx dx=π2sign⁡a\int_{0}^{\infty } \dfrac {\sin ax}{x}\, dx = \dfrac {\pi }{2}\operatorname {sign} a, найти величину интеграла ∫0∞cos⁡ax−cos⁡bxx2 dx\int_{0}^{\infty } \dfrac {\cos ax-\cos bx}{x^{2}}\, dx.

?
Задача 4692

Найти величины интегралов:

∫0∞Ae−αx+Be−βx+Ce−γx+De−δxx dx;A+B+C+D=0,α>0,β>0,γ>0,δ>0. \int _{0}^{\infty } \frac{Ae^{-\alpha x}+Be^{-\beta x}+Ce^{-\gamma x}+De^{-\delta x}}{x}\, dx; \quad A+B+C+D=0, \quad \alpha > 0, \quad \beta > 0, \quad \gamma > 0, \quad \delta > 0 .
?
Задача 4693

Найти величины интегралов:

∫0∞(e−αx−e−βxx)2 dx;α>0,β>0. \int _{0}^{\infty } \left(\frac{e^{-\alpha x}-e^{-\beta x}}{x}\right)^{2}\, dx; \quad \alpha > 0, \quad \beta > 0 .
?
Задача 4694

Найти величины интегралов:

∫0∞e−αx−e−βxxsin⁡mx dx;α>0,β>0. \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-\alpha x}-e^{-\beta x}}{x}\sin mx\, dx; \quad \alpha > 0, \quad \beta > 0 .
?
Задача 4695

Найти величины интегралов:

∫0∞e−(x2+ax2) dx;a>0(Лаплас.) \int _{0}^{\infty } e^{-\left(x^{2}+\frac{a}{x^{2}}\right)}\, dx; \quad a > 0 \quad \text{(Лаплас.)}
?
Задача 4696

Найти величины интегралов:

∫0∞(e−a2x2−e−b2x2) dx. \int _{0}^{\infty } \left(e^{-\frac{a^{2}}{x^{2}}}-e^{-\frac{b^{2}}{x^{2}}}\right)\, dx .
?
Задача 4697

Найти величины интегралов:

∫0∞e−axsin⁡2bx dxx;a>0. \int _{0}^{\infty } e^{-ax} \sin ^{2} bx\, \frac{dx}{x}; \quad a > 0 .
?
Задача 4698

Найти величины интегралов:

∫0∞e−axsin⁡2bx dxx2;a>0. \int _{0}^{\infty } e^{-ax} \sin ^{2} bx\, \frac{dx}{x^{2}}; \quad a > 0 .
?
Задача 4699

Найти величины интегралов:

∫0∞xe−a2x2sin⁡2bx dx. \int _{0}^{\infty } x e^{-a^{2}x^{2}} \sin 2bx\, dx .
?
Задача 4700

Найти величины интегралов:

∫0∞x2ne−x2cos⁡2βx dx,n — целое положительное. \int _{0}^{\infty } x^{2n} e^{-x^{2}} \cos 2\beta x\, dx, \quad n \text{ — целое положительное}.
?
Задача 4701

Найти величины интегралов:

∫0∞e−ax2−cos⁡bxx2 dx;a>0,b>0. \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-ax^{2}}-\cos bx}{x^{2}}\, dx; \quad a > 0, \quad b > 0 .
?
Задача 4702

Найти величины интегралов:

∫0∞ln⁡(x2+a2)x2+b2 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\ln (x^{2}+a^{2})}{x^{2}+b^{2}}\, dx .
?
Задача 4703

Найти величины интегралов:

∫01ln⁡(1−a2x2) dxx21−x2;a2<1. \int _{0}^{1} \frac{\ln (1-a^{2}x^{2})\, dx}{x^{2}\sqrt{1-x^{2}}}; \quad a^{2} < 1 .
?
Задача 4704

Найти величины интегралов:

∫0αln⁡(1+αx) dx1+x2. \int _{0}^{\alpha } \frac{\ln (1+\alpha x)\, dx}{1+x^{2}} .
?
Задача 4705

Найти величины интегралов:

∫01ln⁡(1−αx2)1−x2 dx;∣α∣<1. \int _{0}^{1} \frac{\ln (1-\alpha x^{2})}{\sqrt{1-x^{2}}}\, dx; \quad \left|\alpha \right| < 1 .
?
Задача 4706

Найти величины интегралов:

∫01ln⁡(1−α2x2)x1−x2 dx;∣α∣<1. \int _{0}^{1} \frac{\ln (1-\alpha ^{2}x^{2})}{x\sqrt{1-x^{2}}}\, dx; \quad \left|\alpha \right| < 1 .
?
Задача 4707

Найти величины интегралов:

∫0π/2ln⁡(cos⁡2x+m2sin⁡2x) dx. \int _{0}^{\pi /2} \ln (\cos ^{2} x+m^{2}\sin ^{2} x)\, dx .
?
Задача 4708

Найти величины интегралов:

∫0π/2ln⁡1+asin⁡x1−asin⁡x dxsin⁡x;∣a∣<1. \int _{0}^{\pi /2} \ln \frac{1+a\sin x}{1-a\sin x}\, \frac{dx}{\sin x}; \quad \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4709

Найти величины интегралов:

∫0π/2ln⁡(1+acos⁡x)cos⁡x dx;∣a∣<1. \int _{0}^{\pi /2} \frac{\ln (1+a\cos x)}{\cos x}\, dx; \quad \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4710

Найти величины интегралов:

∫0π/2arctg⁡(atg⁡x)tg⁡x dx. \int _{0}^{\pi /2} \frac{\arctg (a\tg x)}{\tg x}\, dx .
?
Задача 4711

Найти величины интегралов:

∫0∞arctg⁡αxx(1+β2x2) dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\arctg \alpha x}{x(1+\beta ^{2}x^{2})}\, dx .
?
Задача 4712

Найти величины интегралов:

∫0∞arctg⁡αx⋅arctg⁡βxx2 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\arctg \alpha x \cdot \arctg \beta x}{x^{2}}\, dx .
?
Задача 4713

Найти величины интегралов:

∫0∞ln⁡(1+α2x2)⋅arctg⁡βxx3 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\ln (1+\alpha ^{2}x^{2}) \cdot \arctg \beta x}{x^{3}}\, dx .
?
Задача 4714

Найти величины интегралов:

∫0∞ln⁡(1+a2x2)ln⁡(1+b2x2)x2 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\ln (1+a^{2}x^{2})\ln (1+b^{2}x^{2})}{x^{2}}\, dx .
?
Задача 4715

Найти величины интегралов:

∫0∞cos⁡ax+cos⁡bx−2x2 dx. \int _{0}^{\infty } \frac{\cos ax+\cos bx-2}{x^{2}}\, dx .
?
Задача 4716

Доказать равенства:

∫0xe−x2 dx=1π∫0∞e−t2sin⁡2txt dt. \int _{0}^{x} e^{-x^{2}}\, dx = \frac{1}{\sqrt{\pi }} \int _{0}^{\infty } e^{-t^{2}} \frac{\sin 2tx}{t}\, dt .
?
Задача 4717

Доказать равенства:

∫0xet2 dt=ex2∫0∞e−t2sin⁡2xt dt. \int _{0}^{x} e^{t^{2}}\, dt = e^{x^{2}} \int _{0}^{\infty } e^{-t^{2}} \sin 2xt\, dt .
?
Задача 4718

Доказать равенства:

∫0∞ln⁡(1+αx)1+x2 dx=π4ln⁡(1+α2)−∫0αln⁡α1+α2 dα;α>0. \int _{0}^{\infty } \frac{\ln (1+\alpha x)}{1+x^{2}}\, dx = \frac{\pi }{4}\ln (1+\alpha ^{2})-\int _{0}^{\alpha } \frac{\ln \alpha }{1+\alpha ^{2}}\, d\alpha ; \quad \alpha > 0 .
?
Задача 4719

Доказать равенства:

(∫0xe−t2 dt)2=π4∫01e−x2(u2+1)1+u2 du. \left(\int _{0}^{x} e^{-t^{2}}\, dt\right)^{2} = \frac{\pi }{4} \int _{0}^{1} \frac{e^{-x^{2}(u^{2}+1)}}{1+u^{2}}\, du .
?