11.4

Нахождение интегралов с помощью формул приведения

[20/90%]
Показать
LaTeX
Задача 4624

Найти величины интегралов (mm и nn — целые, положительные):

∫0π/4tg⁡2nx dx. \int _{0}^{\pi /4} \tg ^{2n} x\, dx .
?
Задача 4625

Найти величины интегралов (mm и nn — целые, положительные):

∫01(1−x2)n dx. \int _{0}^{1} (1-x^{2})^{n}\, dx .
?
Задача 4626

Найти величины интегралов (mm и nn — целые, положительные):

∫0∞dx(a2+x2)n. \int _{0}^{\infty } \frac{dx}{(a^{2}+x^{2})^{n}} .
?
Задача 4627

Найти величины интегралов (mm и nn — целые, положительные):

∫−∞∞dx(Ax2+2Bx+C)n,AC−B2>0. \int _{-\infty }^{\infty } \frac{dx}{(Ax^{2}+2Bx+C)^{n}}, \quad AC-B^{2} > 0 .
?
Задача 4628

Найти величины интегралов (mm и nn — целые, положительные):

∫0π/2sin⁡2nx dx. \int _{0}^{\pi /2} \sin ^{2n} x\, dx .
?
Задача 4629

Найти величины интегралов (mm и nn — целые, положительные):

∫0π/2sin⁡2n+1x dx. \int _{0}^{\pi /2} \sin ^{2n+1} x\, dx .
?
Задача 4630

Найти величины интегралов (mm и nn — целые, положительные):

∫0π/2sin⁡2n+1xcos⁡2m+1x dx. \int _{0}^{\pi /2} \sin ^{2n+1} x \cos ^{2m+1} x\, dx .
?
Задача 4631

С помощью известного равенства ∫0∞e−x2 dx=12π\int_{0}^{\infty } e^{-x^{2}}\, dx = \frac{1}{2}\sqrt{\pi } найти величину интеграла ∫0∞e−x2x2n dx\int_{0}^{\infty } e^{-x^{2}} x^{2n}\, dx.

?
Задача 4632

Для полиномов Лежандра, Лагерра и Эрмита--Чебышева, упомянутых в задаче 4621, доказать равенства:

∫−11Pn2(x) dx=22n+1,∫0∞e−xLn2(x) dx=(n!)2, \int _{-1}^{1} P_{n}^{2}(x)\, dx = \frac{2}{2n+1}, \qquad \int _{0}^{\infty } e^{-x} L_{n}^{2}(x)\, dx = (n!)^{2}, ∫−∞∞e−x2Hn2(x) dx=2nn!π. \int _{-\infty }^{\infty } e^{-x^{2}} H_{n}^{2}(x)\, dx = 2^{n} n! \sqrt{\pi } .
?
Задача 4633

Найти интегралы (mm и nn целые, положительные).

∫01xm(ln⁡x)n dx. \int _{0}^{1} x^{m}(\ln x)^{n}\, dx .
?
Задача 4634

Найти интегралы (mm и nn целые, положительные).

∫0∞xne−xsin⁡x dx. \int _{0}^{\infty } x^{n} e^{-x} \sin x\, dx .
?
Задача 4635

Найти интегралы (mm и nn целые, положительные).

∫0∞xne−xcos⁡x dx. \int _{0}^{\infty } x^{n} e^{-x} \cos x\, dx .
?
Задача 4636

Замечание. В двух предыдущих задачах полезно сложить два интеграла, у которых mm отличается на одну или две единицы. В двух следующих полезно вычесть два интеграла, у которых mm отличается на две единицы, и применить дважды интегрирование по частям.

Найти интеграл:

∫0π/4cos⁡mxcos⁡x dx=um. \int _{0}^{\pi /4} \frac{\cos mx}{\cos x}\, dx = u_{m} .
?
Задача 4637

Найти интеграл:

∫0π/2cos⁡(2m−1)xcos⁡x dx. \int _{0}^{\pi /2} \frac{\cos (2m-1)x}{\cos x}\, dx .
?
Задача 4638

Найти интегралы (mm и nn целые, положительные).

∫0∞e−axsin⁡2nx dx,a>0. \int _{0}^{\infty } e^{-ax} \sin ^{2n} x\, dx, \quad a > 0 .
?
Задача 4639

Найти интегралы (mm и nn целые, положительные).

∫0∞e−axsin⁡2n+1x dx,a>0. \int _{0}^{\infty } e^{-ax} \sin ^{2n+1} x\, dx, \quad a > 0 .
?
Задача 4640

Найти интегралы (mm и nn целые, положительные).

∫−π/2π/2e−mxcos⁡2n+1x dx. \int _{-\pi /2}^{\pi /2} e^{-mx} \cos ^{2n+1} x\, dx .
?
Задача 4641

Найти интегралы (mm и nn целые, положительные).

∫0∞e−ax2cos⁡(2n+1)xcos⁡x dx,a>0. \int _{0}^{\infty } e^{-ax^{2}} \frac{\cos (2n+1)x}{\cos x}\, dx, \quad a > 0 .
?
Задача 4642

Доказать равенство:

∫0π/2sin⁡mxsin⁡x dx=π2−2cos⁡mπ2∫01xm dx1+x2, \int _{0}^{\pi /2} \frac{\sin mx}{\sin x}\, dx = \frac{\pi }{2}-2\cos \frac{m\pi }{2} \int _{0}^{1} \frac{x^{m}\, dx}{1+x^{2}},

проверив его при m=0m=0 и m=1m=1 и установив, что при возрастании mm на две единицы обе части равенства изменяются на одинаковую величину.

?
Задача 4643

Найти интеграл Um=∫0π/2ln⁡cos⁡x⋅cos⁡2mx dxU_{m} = \int_{0}^{\pi /2} \ln \cos x \cdot \cos 2mx\, dx, установив линейное соотношение между UmU_{m} и Um−1U_{m-1}.

?