11.2

Теоремы о среднем значении. Несобственные интегралы

[42/38%]
Показать
LaTeX
Задача 4556

Доказать следующую формулу:

0<∫01x191+x63 dx<120. 0 < \int _{0}^{1} \frac{x^{19}}{\sqrt[3]{1+x^{6}}}\, dx < \frac{1}{20} .
?
Задача 4557

Доказать следующую формулу:

0<∫0200e−5x dx20+x<0,01. 0 < \int _{0}^{200} \frac{e^{-5x}\, dx}{20+x} < 0{,}01 .
?
Задача 4558

Доказать следующую формулу:

−π4<∫0∞cos⁡ax4+x2 dx<π4. -\frac{\pi }{4} < \int _{0}^{\infty } \frac{\cos ax}{4+x^{2}}\, dx < \frac{\pi }{4} .
?
Задача 4559

Доказать следующую формулу:

0<∫2∞e−x2 dx<14e4. 0 < \int _{2}^{\infty } e^{-x^{2}}\, dx < \frac{1}{4e^{4}} .
?
Задача 4560

Доказать следующую формулу:

0<∫1020x2 dxx4+x+1<120. 0 < \int _{10}^{20} \frac{x^{2}\, dx}{x^{4}+x+1} < \frac{1}{20} .
?
Задача 4561

Доказать следующую формулу:

119<∫1∞1+x201+x40 dx<119+139. \frac{1}{19} < \int _{1}^{\infty } \frac{1+x^{20}}{1+x^{40}}\, dx < \frac{1}{19}+\frac{1}{39} .
?
Задача 4562

Доказать следующую формулу:

1<∫011+x201+x40 dx<1+142. 1 < \int _{0}^{1} \frac{1+x^{20}}{1+x^{40}}\, dx < 1+\frac{1}{42} .
?
Задача 4563

Доказать следующую формулу:

2019<∫0∞1+x201+x40 dx<2019+120. \frac{20}{19} < \int _{0}^{\infty } \frac{1+x^{20}}{1+x^{40}}\, dx < \frac{20}{19}+\frac{1}{20} .
?
Задача 4564

Доказать следующую формулу:

0<∫1∞e−xn dx<1ne;n>1. 0 < \int _{1}^{\infty } e^{-x^{n}}\, dx < \frac{1}{ne}; \quad n > 1 .
?
Задача 4565

Доказать следующую формулу:

1−1n<∫01e−xn dx<1;n>1. 1-\frac{1}{n} < \int _{0}^{1} e^{-x^{n}}\, dx < 1; \quad n > 1 .
?
Задача 4566

Доказать следующую формулу:

1−1n<∫0∞e−xn dx<1+1ne. 1-\frac{1}{n} < \int _{0}^{\infty } e^{-x^{n}}\, dx < 1+\frac{1}{ne} .
?
Задача 4567

Пользуясь тождеством

1100+x=1100−x100(100+x), \frac{1}{100+x} = \frac{1}{100}-\frac{x}{100(100+x)},

доказать равенство:

∫0∞e−x dx100+x=0,01−0,0001θ;0<θ<1. \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-x}\, dx}{100+x} = 0{,}01-0{,}0001\theta ; \quad 0 < \theta < 1 .
?
Задача 4568

Пользуясь тождеством

x3x4+x+1=1x−x+1x(x4+x+1), \frac{x^{3}}{x^{4}+x+1} = \frac{1}{x}-\frac{x+1}{x(x^{4}+x+1)},

доказать равенство:

∫100200x3 dxx4+x+1=ln⁡2−θ3⋅106;0<θ<1. \int _{100}^{200} \frac{x^{3}\, dx}{x^{4}+x+1} = \ln 2-\frac{\theta }{3 \cdot 10^{6}}; \quad 0 < \theta < 1 .
?
Задача 4569

Доказать равенства:

∫100200sin⁡πxx dx=θ100π;∣θ∣<1. \int _{100}^{200} \frac{\sin \pi x}{x}\, dx = \frac{\theta }{100\pi }; \quad \left|\theta \right| < 1 .
?
Задача 4570

Доказать равенства:

∫abcos⁡xx dx=2θa;∣θ∣<1;b>a>0. \int _{a}^{b} \frac{\cos x}{\sqrt{x}}\, dx = \frac{2\theta }{\sqrt{a}}; \quad \left|\theta \right| < 1; \quad b > a > 0 .
?
Задача 4571

Доказать равенства:

∫100200sin⁡πx2 dx=θ200π;0<θ<1. \int _{100}^{200} \sin \pi x^{2}\, dx = \frac{\theta }{200\pi }; \quad 0 < \theta < 1 .
?
Задача 4572

Доказать равенства:

∫100200sin⁡πxx dx=0,005π2θπ3⋅106;∣θ∣<1. \int _{100}^{200} \frac{\sin \pi x}{x}\, dx = \frac{0{,}005}{\pi }\frac{2\theta }{\pi ^{3} \cdot 10^{6}}; \quad \left|\theta \right| < 1 .
?
Задача 4573

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞x2 dxx4+x+1. \int _{0}^{\infty } \frac{x^{2}\, dx}{x^{4}+x+1} .
?
Задача 4574

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞x2 dxx3+x+1. \int _{0}^{\infty } \frac{x^{2}\, dx}{x^{3}+x+1} .
?
Задача 4575

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞sin⁡ax dx. \int _{0}^{\infty } \sin ax\, dx .
?
Задача 4576

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞sin⁡xn dx,n>0. \int _{0}^{\infty } \sin x^{n}\, dx, \quad n > 0 .
?
Задача 4577

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞xne−x dx. \int _{0}^{\infty } x^{n} e^{-x}\, dx .
?
Задача 4578

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞xσ dxx2+1. \int _{0}^{\infty } \frac{x^{\sigma }\, dx}{x^{2}+1} .
?
Задача 4579

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞xσx+2x+1 dx. \int _{0}^{\infty } x^{\sigma } \frac{x+2}{x+1}\, dx .
?
Задача 4580

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞xmsin⁡xn dx. \int _{0}^{\infty } x^{m} \sin x^{n}\, dx .
?
Задача 4581

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫01xm(1−x2)n dx. \int _{0}^{1} x^{m}(1-x^{2})^{n}\, dx .
?
Задача 4582

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0+∞e−ax2xn dx. \int _{0}^{+\infty } e^{-ax^{2}} x^{n}\, dx .
?
Задача 4583

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫02dxln⁡x. \int _{0}^{2} \frac{dx}{\ln x} .
?
Задача 4584

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞dx1+(ln⁡x)n. \int _{0}^{\infty } \frac{dx}{1+(\ln x)^{n}} .
?
Задача 4585

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0πln⁡sin⁡xx dx. \int _{0}^{\pi } \frac{\ln \sin x}{\sqrt{x}}\, dx .
?
Задача 4586

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞xxe−xn dx. \int _{0}^{\infty } x^{x} e^{-x^{n}}\, dx .
?
Задача 4587

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫−∞+∞xne−(x2+1x2) dx. \int _{-\infty }^{+\infty } x^{n} e^{-(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})}\, dx .
?
Задача 4588

Исследовать сходимость следующих интегралов:

∫0∞sin⁡(x+1x)dxx. \int _{0}^{\infty } \sin \left(x+\frac{1}{x}\right) \frac{dx}{\sqrt{x}} .
?
Задача 4589

Доказать, что при a⩾0a \geqslant 0 интегралы ∫0∞f(x)e−ax dx\int_{0}^{\infty } f(x) e^{-ax}\, dx и ∫0∞f(x)e−ax2 dx\int_{0}^{\infty } f(x) e^{-ax^{2}}\, dx равномерно сходятся, если интеграл ∫0∞f(x) dx\int_{0}^{\infty } f(x)\, dx сходится.

?
Задача 4590

Доказать, что lim⁡a→0∫0∞f(x)φ(x,a) dx=∫0∞f(x) dx\lim_{a \rightarrow 0} \int_{0}^{\infty } f(x)\varphi (x,a)\, dx = \int_{0}^{\infty } f(x)\, dx, если интеграл в правой части имеет смысл, а φ(x,a)\varphi (x,a) удовлетворяет условиям:

?
(а)

φ(x,a)→0\varphi (x,a) \rightarrow 0 при a→0a \rightarrow 0 равномерно относительно xx в любом конечном интервале 0<x<N0 < x < N;

(б)

При всех aa, достаточно близких к нулю, φ(x,a)\varphi (x,a) монотонна относительно xx и по абсолютной величине не превосходит некоторой постоянной.

Задача 4591

Интеграл ∫0∞f(x) dx\int_{0}^{\infty } f(x)\, dx — абсолютно сходящийся. Доказать, что ∫0∞f(x)sin⁡nx dx→0\int_{0}^{\infty } f(x)\sin nx\, dx \rightarrow 0 при n→∞n \rightarrow \infty.

?
Задача 4592

Доказать, что

lim⁡n→∞∫01n2xn−1(1−x) dx≠∫01lim⁡n→∞n2xn−1(1−x) dx. \lim _{n \rightarrow \infty } \int _{0}^{1} n^{2} x^{n-1}(1-x)\, dx \neq \int _{0}^{1} \lim _{n \rightarrow \infty } n^{2} x^{n-1}(1-x)\, dx .
?
Задача 4593

Доказать, что lim⁡y→y0∫abf(x,y) dx=∫ablim⁡y→y0f(x,y) dx\lim_{y \rightarrow y_{0}} \int_{a}^{b} f(x,y)\, dx = \int_{a}^{b} \lim_{y \rightarrow y_{0}} f(x,y)\, dx, если f(x,y)→f(x,y0)f(x,y) \rightarrow f(x,y_{0}) равномерно относительно xx.

?
Задача 4594

Доказать, что lim⁡y→y0∫0∞f(x,y) dx=∫0∞lim⁡y→y0f(x,y) dx\lim_{y \rightarrow y_{0}} \int_{0}^{\infty } f(x,y)\, dx = \int_{0}^{\infty } \lim_{y \rightarrow y_{0}} f(x,y)\, dx, если f(x,y)→f(x,y0)f(x,y) \rightarrow f(x,y_{0}) равномерно относительно xx в любом конечном интервале (0,n)(0,n) и притом ∣f(x,y)∣<F(x)\left|f(x,y)\right| < F(x), а ∫0∞F(x) dx\int_{0}^{\infty } F(x)\, dx — сходящийся.

?
Задача 4595

Доказать, что если интеграл ∫0∞f(x) dx\int_{0}^{\infty } f(x)\, dx абсолютно сходится, то

lim⁡n→∞∫0∞f(x)∣sin⁡nx∣ dx=2π∫0∞f(x) dx. \lim _{n \rightarrow \infty } \int _{0}^{\infty } f(x) \left|\sin nx\right|\, dx = \frac{2}{\pi } \int _{0}^{\infty } f(x)\, dx .
?
Задача 4596

Доказать, что lim⁡σ→0σ∫0∞e−σtf(t) dt=lim⁡t→∞f(t)\lim_{\sigma \rightarrow 0} \sigma \int_{0}^{\infty } e^{-\sigma t} f(t)\, dt = \lim_{t \rightarrow \infty } f(t), предполагая, что интеграл в левой части и предел в правой части имеют смысл.

?
Задача 4597

В переписке Эйлера и Лагранжа интеграл

∫0∞e−ax−e−bxx dx, \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\, dx,

равный ln⁡ba\ln \dfrac {b}{a} при b>a>0b > a > 0, преобразуется так:

∫0∞e−ax−e−bxx dx=∫0∞e−ax dxx−∫0∞e−bx dxx. \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\, dx = \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-ax}\, dx}{x}-\int _{0}^{\infty } \frac{e^{-bx}\, dx}{x} .

В правой части первый интеграл преобразуется подстановкой ax=tax=t, а второй — подстановкой bx=tbx=t. После этого получается:

ln⁡ba=∫0∞e−ax−e−bxx dx=∫0∞e−t dtt−∫0∞e−t dtt=0. \ln \frac{b}{a} = \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\, dx = \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-t}\, dt}{t}-\int _{0}^{\infty } \frac{e^{-t}\, dt}{t} = 0 .

Где причина полученного абсурда?

?