11.5

Интегрирование с помощью рядов

[44/75%]
Показать
LaTeX
Задача 4644

Вычислить величины интегралов с точностью до 10−510^{-5}:

∫01e−x2 dx. \int _{0}^{1} e^{-x^{2}}\, dx .
?
Задача 4645

Вычислить величины интегралов с точностью до 10−510^{-5}:

∫01sin⁡xx dx. \int _{0}^{1} \frac{\sin x}{x}\, dx .
?
Задача 4646

Вычислить величины интегралов с точностью до 10−510^{-5}:

∫5∞dxx4−1. \int _{5}^{\infty } \frac{dx}{\sqrt{x^{4}-1}} .
?
Задача 4647

Вычислить величины интегралов с точностью до 10−510^{-5}:

∫100∞x dxx4−1. \int _{100}^{\infty } \frac{\sqrt{x}\, dx}{\sqrt{x^{4}-1}} .
?
Задача 4648

Вычислить величины интегралов с точностью до 10−510^{-5}:

∫3∞x dxex−1. \int _{3}^{\infty } \frac{x\, dx}{e^{x}-1} .
?
Задача 4649

Вычислить величины интегралов с точностью до 10−510^{-5}:

∫01/2ln⁡1+x21−x2dxx2. \int _{0}^{1/2} \ln \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}} \frac{dx}{x^{2}} .
?
Задача 4650

Доказать равенство:

∫1/23/2ln⁡xx−1 dx=∫−1/21/2ln⁡(1+t)t dt. \int _{1/2}^{3/2} \frac{\ln x}{x-1}\, dx = \int _{-1/2}^{1/2} \frac{\ln (1+t)}{t}\, dt .
?
Задача 4651

Выразить рядом, расположенным по степеням эксцентриситета, длину контура эллипса x=acos⁡tx = a\cos t, y=bsin⁡ty = b\sin t.

?
Задача 4652

Скорость тяжелой точки, соскользнувшей по какой-нибудь кривой с высоты hh на высоту yy, равна 2g(h−y)\sqrt{2g(h-y)}. Поэтому период колебания маятника, длины ll, совершающего колебания с углом максимального отклонения α\alpha, выражается формулой

T=4l2g∫0αdφcos⁡φ−cos⁡α=4l2g∫0αdφ2(sin⁡2α2−sin⁡2φ2). T = 4\sqrt{\frac{l}{2g}} \int _{0}^{\alpha } \frac{d\varphi }{\sqrt{\cos \varphi -\cos \alpha }} = 4\sqrt{\frac{l}{2g}} \int _{0}^{\alpha } \frac{d\varphi }{\sqrt{2\left(\sin ^{2}\frac{\alpha }{2}-\sin ^{2}\frac{\varphi }{2}\right)}} .

Отсюда, после подстановки sin⁡φ2=sin⁡α2sin⁡ψ\sin \dfrac {\varphi }{2} = \sin \dfrac {\alpha }{2}\sin \psi, получается:

T=4lg∫0π/2dψ1−σ2sin⁡2ψ;σ=sin⁡α2. T = 4\sqrt{\frac{l}{g}} \int _{0}^{\pi /2} \frac{d\psi }{\sqrt{1-\sigma ^{2}\sin ^{2}\psi }}; \quad \sigma = \sin \frac{\alpha }{2} .

Разлагая по степеням σ\sigma и интегрируя почленно, получить формулу:

T=2πlg(1+(12)2sin⁡2α2+(1⋅32⋅4)2sin⁡4α2+(1⋅3⋅52⋅4⋅6)2sin⁡6α2+…). T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\sin ^{2}\frac{\alpha }{2}+\left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^{2}\sin ^{4}\frac{\alpha }{2}+\left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\right)^{2}\sin ^{6}\frac{\alpha }{2}+\ldots \right) .
?
Задача 4653

Следующие задачи основаны на знании трех рядов Эйлера:

∑n=1∞1n2=π26;∑n=0∞1(2n+1)2=π28;∑n=1∞(−1)n−1n2=π212. \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi ^{2}}{6}; \qquad \sum _{n=0}^{\infty } \frac{1}{(2n+1)^{2}} = \frac{\pi ^{2}}{8}; \qquad \sum _{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}} = \frac{\pi ^{2}}{12} .

Найти величину интеграла:

∫01ln⁡x dx1−x2. \int _{0}^{1} \frac{\ln x\, dx}{1-x^{2}} .
?
Задача 4654

Найти величину интеграла:

∫01ln⁡1+x1−xdxx. \int _{0}^{1} \ln \frac{1+x}{1-x} \frac{dx}{x} .
?
Задача 4655

Найти интеграл:

∫01ln⁡(1+x)x dx. \int _{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{x}\, dx .
?
Задача 4656

Найти интеграл:

∫01ln⁡(1−x)x dx. \int _{0}^{1} \frac{\ln (1-x)}{x}\, dx .
?
Задача 4657

Найти интеграл:

∫0∞x dxex−1. \int _{0}^{\infty } \frac{x\, dx}{e^{x}-1} .
?
Задача 4658

Найти интеграл:

∫0∞x dxex+1. \int _{0}^{\infty } \frac{x\, dx}{e^{x}+1} .
?
Задача 4659

Найти интеграл:

∫0∞x dxeax−e−ax. \int _{0}^{\infty } \frac{x\, dx}{e^{ax}-e^{-ax}} .
?
Задача 4660

Доказать равенство:

∫0π/2(ln⁡tg⁡x)2 dx=2∫0π/4(ln⁡tg⁡x)2 dx. \int _{0}^{\pi /2} (\ln \tg x)^{2}\, dx = 2\int _{0}^{\pi /4} (\ln \tg x)^{2}\, dx .
?
Задача 4661

Доказать, что

∫01arctg⁡xx dx=1−132+152−172+192−… \int _{0}^{1} \frac{\arctg x}{x}\, dx = 1-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{7^{2}}+\frac{1}{9^{2}}-\ldots
?
Задача 4662

Доказать равенство, справедливое при любом aa:

2∫0∞e−x2sin⁡ax dx=∑n=0∞(−1)nn!(2n+1)!a2n+1. 2\int _{0}^{\infty } e^{-x^{2}} \sin ax\, dx = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^{n} n!}{(2n+1)!} a^{2n+1} .
?
Задача 4663

Пользуясь формулой ∫0∞e−x2x2n dx=1⋅3…(2n−1)2n+1π\int_{0}^{\infty } e^{-x^{2}} x^{2n}\, dx = \dfrac {1 \cdot 3 \ldots (2n-1)}{2^{n+1}}\sqrt{\pi }, доказать равенство:

∫0∞e−x2cos⁡2ax dx=π2∑n=0∞(−1)nn!a2n=π2e−a2. \int _{0}^{\infty } e^{-x^{2}} \cos 2ax\, dx = \frac{\sqrt{\pi }}{2} \sum _{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{n!} a^{2n} = \frac{\sqrt{\pi }}{2} e^{-a^{2}} .

(Лаплас.)

?
Задача 4664

Пользуясь тождеством

1a+x=1a−xa2+x2a3−…−x2n−1a2n+x2na2n(a+x), \frac{1}{a+x} = \frac{1}{a}-\frac{x}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{a^{3}}-\ldots -\frac{x^{2n-1}}{a^{2n}}+\frac{x^{2n}}{a^{2n}(a+x)},

доказать формулу

∫0∞e−x dxa+x=1a−1!a2+2!a3−…−(2n−1)!a2n+θ⋅(2n)!a2n+1;0<θ<1, \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-x}\, dx}{a+x} = \frac{1}{a}-\frac{1!}{a^{2}}+\frac{2!}{a^{3}}-\ldots -\frac{(2n-1)!}{a^{2n}}+\frac{\theta \cdot (2n)!}{a^{2n+1}}; \quad 0 < \theta < 1,

весьма удобную для вычисления интегралов в левой части, если aa положительно и велико.

?
Задача 4665

Формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа для функции (1+x)−m(1+x)^{-m} пригодна при любом x>−1x > -1. Пользуясь этим, доказать равенство:

∫0∞e−x dxxm=e−a(1am−mam+1+m(m+1)am+2−…+(−1)nm(m+1)…(m+n−1)am+n+θR), \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-x}\, dx}{x^{m}} = e^{-a}\left(\frac{1}{a^{m}}-\frac{m}{a^{m+1}}+\frac{m(m+1)}{a^{m+2}}-\ldots +(-1)^{n}\frac{m(m+1)\ldots (m+n-1)}{a^{m+n}}+\theta R\right),

где 0<θ<10 < \theta < 1, R=(−1)n+1m(m+1)…(m+n)am+n+1R = (-1)^{n+1}\dfrac {m(m+1)\ldots (m+n)}{a^{m+n+1}}; m>0m > 0, a>0a > 0.

?
Задача 4666

Доказать равенство:

∫0∞e−x2 dx=e−a22a(1−12a2+1⋅3(2a2)2−…+(−1)n−11⋅3⋅5…(2n−1)(2a2)n+θR), \int _{0}^{\infty } e^{-x^{2}}\, dx = \frac{e^{-a^{2}}}{2a}\left(1-\frac{1}{2a^{2}}+\frac{1 \cdot 3}{(2a^{2})^{2}}-\ldots +(-1)^{n-1}\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2n-1)}{(2a^{2})^{n}}+\theta R\right), 0<θ<1,a>0,R=(−1)n1⋅3⋅5…(2n+1)(2a2)n+1. 0 < \theta < 1, \quad a > 0, \quad R = (-1)^{n}\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots (2n+1)}{(2a^{2})^{n+1}} .
?
Задача 4667

Следующие задачи основаны на разложении в ряды трех функций:

sin⁡x1−2acos⁡x+a2=sin⁡x+asin⁡2x+a2sin⁡3x+…, \frac{\sin x}{1-2a\cos x+a^{2}} = \sin x+a\sin 2x+a^{2}\sin 3x+\ldots , ln⁡(1−2acos⁡x+a2)=−2(acos⁡x+a22cos⁡2x+a33cos⁡3x+…), \ln (1-2a\cos x+a^{2}) = -2\left(a\cos x+\frac{a^{2}}{2}\cos 2x+\frac{a^{3}}{3}\cos 3x+\ldots \right), 1−a21−2acos⁡x+a2=1+2∑n=1∞ancos⁡nx. \frac{1-a^{2}}{1-2a\cos x+a^{2}} = 1+2\sum _{n=1}^{\infty } a^{n}\cos nx .

В этих разложениях предполагается, что ∣a∣<1\left|a\right| < 1.

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0πcos⁡mx dx1−2acos⁡x+a2,a≠±1. \int _{0}^{\pi } \frac{\cos mx\, dx}{1-2a\cos x+a^{2}}, \quad a \neq \pm 1 .
?
Задача 4668

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0πsin⁡xsin⁡mx1−2acos⁡x+a2 dx. \int _{0}^{\pi } \frac{\sin x \sin mx}{1-2a\cos x+a^{2}}\, dx .
?
Задача 4669

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫02πcos⁡mx1−acos⁡x dx,∣a∣<1.(Положить a=2α1+α2.) \int _{0}^{2\pi } \frac{\cos mx}{1-a\cos x}\, dx, \quad \left|a\right| < 1 . \quad \text{(Положить } a = \frac{2\alpha }{1+\alpha ^{2}} \text{.)}
?
Задача 4670

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫02πcos⁡mx1−acos⁡x x dx,∣a∣<1. \int _{0}^{2\pi } \frac{\cos mx}{1-a\cos x}\, x\, dx, \quad \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4671

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0πxsin⁡x1−2acos⁡x+a2 dx,∣a∣<1. \int _{0}^{\pi } \frac{x\sin x}{1-2a\cos x+a^{2}}\, dx, \quad \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4672

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0πln⁡(1−2acos⁡x+a2) dx. \int _{0}^{\pi } \ln (1-2a\cos x+a^{2})\, dx .
?
Задача 4673

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫02πsin⁡nxln⁡(1−2acos⁡x+a2) dx. \int _{0}^{2\pi } \sin nx \ln (1-2a\cos x+a^{2})\, dx .
?
Задача 4674

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0πln⁡(1−2acos⁡x+a2)cos⁡mx dx. \int _{0}^{\pi } \ln (1-2a\cos x+a^{2}) \cos mx\, dx .
?
Задача 4675

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0π/2ln⁡sin⁡x dx. \int _{0}^{\pi /2} \ln \sin x\, dx .
?
Задача 4676

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0πxln⁡sin⁡x dx. \int _{0}^{\pi } x\ln \sin x\, dx .
?
Задача 4677

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0π/2cos⁡2mxln⁡sin⁡x dx. \int _{0}^{\pi /2} \cos 2mx \ln \sin x\, dx .
?
Задача 4678

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0π(1−a2)(1−b2) dx(1−2acos⁡nx+a2)(1−2bcos⁡mx+b2); \int _{0}^{\pi } \frac{(1-a^{2})(1-b^{2})\, dx}{(1-2a\cos nx+a^{2})(1-2b\cos mx+b^{2})}; m и n — целые,∣a∣<1,∣b∣<1. m \text{ и } n \text{ — целые}, \quad \left|a\right| < 1, \quad \left|b\right| < 1 .
?
Задача 4679

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0πsin⁡2x dx(1−2acos⁡x+a2)(1−2bcos⁡x+b2);∣a∣<1,∣b∣<1. \int _{0}^{\pi } \frac{\sin ^{2} x\, dx}{(1-2a\cos x+a^{2})(1-2b\cos x+b^{2})}; \quad \left|a\right| < 1, \quad \left|b\right| < 1 .
?
Задача 4680

Найти величины следующего интеграла (mm и nn — целые, положительные):

∫0π/2ln⁡2sin⁡x dx. \int _{0}^{\pi /2} \ln ^{2}\sin x\, dx .
?
Задача 4681

В следующих трех задачах полезно применить два интеграла Лапласа:

∫0∞cos⁡ax dx1+x2=π2e−∣a∣;∫0∞xsin⁡ax dx1+x2=π2e−∣a∣sign⁡a. \int _{0}^{\infty } \frac{\cos ax\, dx}{1+x^{2}} = \frac{\pi }{2} e^{-\left|a\right|}; \qquad \int _{0}^{\infty } \frac{x\sin ax\, dx}{1+x^{2}} = \frac{\pi }{2} e^{-\left|a\right|}\operatorname {sign} a .

Найти интеграл:

∫0∞dx(1+x2)(1+2acos⁡mx+a2);∣a∣<1. \int _{0}^{\infty } \frac{dx}{(1+x^{2})(1+2a\cos mx+a^{2})}; \quad \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4682

Найти интеграл:

∫0∞xsin⁡mx(1+x2)(1+2acos⁡mx+a2) dx;∣a∣<1. \int _{0}^{\infty } \frac{x\sin mx}{(1+x^{2})(1+2a\cos mx+a^{2})}\, dx; \quad \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4683

Найти интеграл:

∫0∞ln⁡(1−2acos⁡x+a2)dx1+x2;∣a∣<1. \int _{0}^{\infty } \ln (1-2a\cos x+a^{2}) \frac{dx}{1+x^{2}}; \quad \left|a\right| < 1 .
?
Задача 4684

Кроме разложений степенных и тригонометрических, в некоторых случаях применяются разложения в ряды рациональных дробей. Из формул такого рода отметим следующие:

1sin⁡2x=∑n=−∞∞1(x+nπ)2;ctg⁡x=1x+∑n=1∞2xx2−π2n2; \frac{1}{\sin ^{2} x} = \sum _{n=-\infty }^{\infty } \frac{1}{(x+n\pi )^{2}}; \qquad \ctg x = \frac{1}{x}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{2x}{x^{2}-\pi ^{2} n^{2}}; 1sin⁡x=1x−2xx2−π2+2xx2−4π2−2xx2−9π2+…; \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x}-\frac{2x}{x^{2}-\pi ^{2}}+\frac{2x}{x^{2}-4\pi ^{2}}-\frac{2x}{x^{2}-9\pi ^{2}}+\ldots ; 1cos⁡x=−πx2−π24+3πx2−9π24−5πx2−25π24+…; \frac{1}{\cos x} = -\frac{\pi }{x^{2}-\frac{\pi ^{2}}{4}}+\frac{3\pi }{x^{2}-\frac{9\pi ^{2}}{4}}-\frac{5\pi }{x^{2}-\frac{25\pi ^{2}}{4}}+\ldots ; 1ex−1=1x−12+∑n=1∞2xx2+4π2n2; \frac{1}{e^{x}-1} = \frac{1}{x}-\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{2x}{x^{2}+4\pi ^{2} n^{2}}; 1sh⁡x=1x−2xx2+π2+2xx2+4π2−2xx2+9π2+…; \frac{1}{\operatorname {sh}x} = \frac{1}{x}-\frac{2x}{x^{2}+\pi ^{2}}+\frac{2x}{x^{2}+4\pi ^{2}}-\frac{2x}{x^{2}+9\pi ^{2}}+\ldots ; 1ex+1=12−∑n=1∞2xx2+(2n+1)2π2. \frac{1}{e^{x}+1} = \frac{1}{2}-\sum _{n=1}^{\infty } \frac{2x}{x^{2}+(2n+1)^{2}\pi ^{2}} .

С помощью указанных формул доказываются следующие равенства:

2∫0∞sin⁡ux due2πu−1=1ex−1−1x+12. 2\int _{0}^{\infty } \frac{\sin ux\, du}{e^{2\pi u}-1} = \frac{1}{e^{x}-1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{2} .
?
Задача 4685

С помощью формул из задачи 4684 доказать равенство:

2∫0∞sin⁡ux dueu+1=1x−πsh⁡πx. 2\int _{0}^{\infty } \frac{\sin ux\, du}{e^{u}+1} = \frac{1}{x}-\frac{\pi }{\operatorname {sh}\pi x} .
?
Задача 4686

С помощью формул из задачи 4684 доказать равенство:

2∫0∞tch⁡xteπt−1 dt=1sin⁡2x−1x2;∣x∣<π. 2\int _{0}^{\infty } \frac{t\operatorname {ch}xt}{e^{\pi t}-1}\, dt = \frac{1}{\sin ^{2}x}-\frac{1}{x^{2}}; \quad \left|x\right| < \pi .
?
Задача 4687

С помощью формул из задачи 4684 доказать равенство:

∫0∞2sh⁡xteπt−1 dt=1x−ctg⁡x;∣x∣<π. \int _{0}^{\infty } \frac{2\operatorname {sh}xt}{e^{\pi t}-1}\, dt = \frac{1}{x}-\ctg x; \quad \left|x\right| < \pi .
?