Ряды Фурье и близкие вопросы

Разложить в простейший ряд Фурье функцию $f(x)$, определенную в интервале $(-\pi ,\pi )$ следующими условиями:

Разложить в простейший ряд Фурье функцию $f(x)$, определенную в интервале $(-\pi ,\pi )$ следующими условиями:

Разложить в простейший ряд Фурье функцию $f(x) = \left|x\right|$ при $-\pi < x < \pi$.

Разложить в простейший ряд Фурье функцию $f(x) = x$ при $-\pi < x < \pi$.

Разложить в простейший ряд Фурье функцию $f(x)$, определенную в интервале $(-\pi ,\pi )$ следующими условиями:

Разложить в простейший ряд Фурье функцию $f(x)$, определенную в интервале $(-\pi ,\pi )$ следующими условиями:

Разложить в простейший ряд Фурье функцию $f(x) = x^{2}$ при $-\pi < x < \pi$.

Разложить в простейший ряд Фурье функцию $f(x)$, определенную в интервале $(-\pi ,\pi )$ следующими условиями:

Разложить в простейший ряд Фурье функцию $f(x) = \left|\sin x\right|$ при $-\pi < x < \pi$.

Разложить в простейший ряд Фурье функцию $f(x) = \cos ax$ при $-\pi < x < \pi$, $a$ — не целое.

Разложить в простейший ряд Фурье функцию $f(x) = \sin ax$ при $-\pi < x < \pi$, $a$ — не целое.

Разложить в простейший ряд Фурье функцию $f(x)$, определенную в интервале $(-\pi ,\pi )$ следующими условиями: $f(x) = 0$ при $-\pi < x < 0$; $f(x) = \sin^{2} x$ при $0 < x < \pi$.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию: $f(x) = \left\{ x\right\}$ — дробная доля числа $x$, т.е. разность $x-[x]$, где $[x]$ — целая часть $x$.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию: $f(x) = (x)$ — расстояние $x$ до ближайшего целого числа.

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию: $f(x) = x$, $1$ или $3-x$, смотря по тому, в каком из интервалов $(0,1)$, $(1,2)$ или $(2,3)$ лежит $x$, предполагая при этом, что период $f(x)$ равен $3$.

Если функция не задана периодической и ищется разложение, верное лишь в заданном промежутке, то ее можно разлагать в ряд Фурье с периодом, равным длине данного промежутка или с любым большим, но в последнем случае функцию надо доопределить любым образом (лишь бы соблюдались условия Дирихле). Этим можно пользоваться для получения разложения по одним косинусам или по одним синусам или ограничиться только синусами или косинусами углов нечетной кратности.

В дальнейших задачах будет предполагаться, что период надо выбирать наименьшим, при котором удовлетворяются требования задачи.

В интервале $(-h,h)$ разложить функцию $e^{x}$.

Разложить $\operatorname {ch}ax$ в интервале $(-\pi ,\pi )$.

Разложить $\operatorname {sh}ax$ в интервале $(-\pi ,\pi )$.

В интервале $(0,\pi )$ разложить $x^{3}$ по косинусам.

В интервале $(0,\pi )$ разложить $x^{3}$ по синусам.

В интервале $(0,\pi )$ разложить $\sin x$ по косинусам.

Функция $f(x) = x^{2}(a-x)$ задана в интервале $(0,a)$. Разложить ее в ряд Фурье с периодом $a$.

Функция $f(x) = x^{2}(a-x)$ задана в интервале $(0,a)$. Разложить ее в ряд Фурье как четную функцию.

Функция $f(x) = x^{2}(a-x)$ задана в интервале $(0,a)$. Разложить ее в ряд Фурье как нечетную функцию.

Функция $f(x) = x$ задана в интервале $(0,a)$. Разложить ее в ряд Фурье с периодом $a$.

Функция $f(x) = x$ задана в интервале $(0,a)$. Разложить ее в ряд Фурье как четную функцию.

Функция $f(x) = x$ задана в интервале $(0,a)$. Разложить ее в ряд Фурье как нечетную функцию.

Функция $f(x) = x$ задана в интервале $(0,a)$. Разложить ее в ряд Фурье как нечетную, по синусам углов нечетной кратности.

Функции, рациональные относительно $\cos x$ и $\sin x$, могут разлагаться в ряд Фурье без формул Фурье. Для этого пишем:

где $t = e^{xi}$. После этого дело сводится к разложению функции по положительным и отрицательным степеням $t$. Перейдя обратно от $t$ к $x$, получим искомое разложение в ряд Фурье.

Изложенным способом и подобными ему получить следующие разложения:

Изложенным способом получить следующее разложение:

Изложенным способом получить следующее разложение:

Изложенным способом получить следующее разложение:

Изложенным способом получить следующее разложение:

Функция $f(x)$, данная в интервале $\left(0,\dfrac {\pi }{2}\right)$, продолжена в интервал $\left(\dfrac {\pi }{2},\pi \right)$, при этом $f\left(\dfrac {\pi }{2}+x\right) = -f\left(\dfrac {\pi }{2}-x\right)$; доказать, что при $0 < x < \pi$ имеется равенство

причем

Как продолжить в интервал $\left(\dfrac {\pi }{2},\pi \right)$ функцию $f(x)$, данную в интервале $\left(0,\dfrac {\pi }{2}\right)$, так, чтобы при $0 < x < \pi$

и как можно вычислять коэффициенты?

Доказать при $0 < x < \pi$ следующие равенства:

Доказать при $0 < x < \pi$ следующие равенства:

Доказать равенство:

Доказать равенство:

Доказать правильность разложения:

в промежутке $0 < x < \dfrac {\pi }{2}$.

Доказать равенства:

Доказать равенства:

Доказать равенства:

Доказать равенства:

Доказать равенство (формула Пуассона):

Модулем непрерывности $\omega (h)$ называется точная верхняя граница колебания функции $f(x)$ в интервалах длиной $h$, т.е. чисел $\left|f(x_{2})-f(x_{1})\right|$, где $\left|x_{2}-x_{1}\right| < h$. Доказать, что для непрерывной функции $f(x)$ интегралы

по абсолютному значению не больше, чем $C\omega \left(\dfrac {\pi }{n}\right)$, где $C$ — соответствующая постоянная.

Доказать равенство:

где $O(1)$ при $m \rightarrow \infty$ — ограниченная величина.

Доказать неравенство Лебега:

Здесь $a_{n}$ и $b_{n}$ — коэффициенты Фурье для функции $f(x)$, а $M$ — верхняя граница $\left|f(x)\right|$.

Доказать, что при $0 < x < \pi$ существует равенство:

Доказать, что при любом вещественном $x$ и целом $n > 0$ имеется равенство

При $0 < x < \pi$ доказать равенство:

При любом вещественном $x$ и целом $n > 0$ доказать равенство:

Доказать неравенство Фейера:

Суммой Фейера $\sigma_{n}$ называется арифметическое среднее первых $n$ сумм Фурье функции $f(x)$:

где при $m \geqslant 1$

$a_{\nu }$, $b_{\nu }$ — коэффициенты Фурье для функции $f(x)$. Доказать, что $\left|\sigma_{n}(x)\right| < M$, если $\left|f(x)\right| < M$ во всем периоде.

Доказать, что если $f(x)$ непрерывная функция на интервале $\left[-\pi ,\pi \right]$, $l \leqslant f(x) \leqslant L$ и при любом $m$, $\left|ma_{m}\right| < A$, $\left|mb_{m}\right| < B$, то

где $a_{m}$, $b_{m}$ — коэффициенты Фурье, $s_{n}(x)$ — $n$-я частичная сумма ряда Фурье функции $f(x)$.

Доказать, что для всякой непрерывной функции $f(x)$ на интервале $\left[-\pi ,\pi \right]$ $\sigma_{n}(x) \rightarrow f(x)$ при $n \rightarrow \infty$.

Доказать, что для периодической функции $f(x)$, удовлетворяющей условию Коши--Липшица

существует неравенство $\left|\sigma_{n}-f(x)\right| < \dfrac {A\ln n}{n}$, где $A$ постоянная.

Считая $f(x)$ там, где она встречается, непрерывной функцией с периодом $2\pi$, доказать следующие формулы и утверждения:

Интеграл $\dfrac {2}{\pi } \cdot \dfrac {(2n)!!}{(2n-1)!!} \int_{-\pi }^{\pi } f(x+u) \cos^{2n}\dfrac {u}{2}\, du$ есть тригонометрический полином, который стремится к $f(x)$, если $n \rightarrow \infty$.

Доказать, что

где $F_{m}(u) = \left(\dfrac {\sin mu}{m\sin u}\right)^{4}$, а $c$ — некоторая постоянная.

Величина $T_{m}(x)$, где

($F_{m}(u)$ и $A_{m}$ определены в задаче 4915) есть тригонометрический полином порядка $2m-2$.

Доказать равенство:

Значение $A_{m}$ см. задачу 4915.

Если $f(x)$ удовлетворяет условию

то справедливо неравенство Джексона:

где $M$ — соответствующая постоянная.

Пусть $f(x)$ — функция, интегрируемая в интервале $(0,2\pi )$, $a_{n}$ и $b_{n}$ — ее коэффициенты Фурье, $S_{m} = \dfrac {a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{m} (a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)$ — ее сумма Фурье, а $P_{m}(x)$ — любой тригонометрический полином порядка $m$, отличный от $S_{m}(x)$. Доказать неравенство:

Доказать неравенство Бесселя:

Исходя из неравенства Бесселя и неравенства $2ab \leqslant a^{2}+b^{2}$, доказать сходимость рядов $\sum_{\nu =1}^{\infty } (a_{\nu }^{2}+b_{\nu }^{2})$ и $\sum_{\nu =1}^{\infty } \dfrac {\left|a_{\nu }\right|+\left|b_{\nu }\right|}{\nu^{\alpha }}$, где $\alpha > \dfrac {1}{2}$.

Доказать неравенство:

Пусть $f(x)$ — интегрируемая в $(0,2\pi )$ функция, $\varepsilon$ — произвольная положительная постоянная, $\varphi (x)$ — такая непрерывная функция, что $\int_{0}^{2\pi } \left|f(x)-\varphi (x)\right|^{2}\, dx < \varepsilon$, а $\sigma_{n}(x)$ — сумма Фейера (см. задачу 4910) для $\varphi (x)$, отличающаяся от $\varphi (x)$ меньше, чем на $\sqrt{\dfrac {\varepsilon }{2\pi }}$. Доказать неравенство:

Пользуясь предыдущими результатами, доказать теорему А.М. Ляпунова (теорема замкнутости):

справедливую для любой интегрируемой функции $f(x)$.

Доказать равенство:

где $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ интегрируемы в интервале $(0,2\pi )$, $a_{\nu }$, $b_{\nu }$, $\alpha_{\nu }$, $\beta_{\nu }$ — коэффициенты Фурье этих функций.

Доказать теорему В.А. Стеклова:

Доказать неравенства В.А. Стеклова:

Доказать равенство:

где $\sigma_{n}(x)$ — сумма Фейера функции $f(x)$ (см. 4910).

Доказать, что для функции $f(x)$, удовлетворяющей условию Коши—Липшица

справедливо неравенство:

где $k$ — соответствующая постоянная.

Доказать теорему С.Н. Бернштейна: ряд Фурье для функции, удовлетворяющей условию Коши—Липшица при $\alpha > \dfrac {1}{2}$, сходится абсолютно.

Параметрическому уравнению замкнутой кривой можно придать вид

Пользуясь формулами $ds^{2} = dx^{2}+dy^{2}$ и

где $A$ — площадь, ограниченная замкнутой кривой $S$, доказать неравенство $4\pi A \leqslant L^{2}$ ($L$ есть длина кривой $S$), выражающее, что из всех замкнутых кривых с длиной $L$ наибольшую площадь имеет окружность (доказательство Гурвица).

Разложить по полиномам Чебышева $T_{n}(x)$ функцию, определенную в интервале $(-1,1)$ условием $f(x) = x^{3}$.

Разложить по полиномам Чебышева $T_{n}(x)$ функцию, определенную в интервале $(-1,1)$ условиями:

Разложить по полиномам Чебышева $T_{n}(x)$ функцию, определенную в интервале $(-1,1)$ условием $f(x) = \left|x\right|$.

Разложить по полиномам Чебышева $T_{n}(x)$ функцию, определенную в интервале $(-1,1)$ условием $f(x) = x^{2n}$.

Разложить при $-1 < x < 1$ по полиномам Лежандра функцию, определенную условиями:

Разложить при $-1 < x < 1$ по полиномам Лежандра функцию, определенную условием $f(x) = \left|x\right|$.

Разложить по полиномам Лагерра $L_{n}(x)$ при $x > 0$ функцию $f(x) = e^{-ax}$.

Разложить по полиномам Лагерра $L_{n}(x)$ при $x > 0$ функцию $f(x) = x^{n}$.

Разложить по полиномам Лагерра $L_{n}(x)$ при $x > 0$ функцию $f(x) = \sin ax$.