Банк задач по математике

Задача 4761

Если $F(x) = \arctg \dfrac {1}{x}$ , то $F'(x) = -\dfrac {1}{1+x^{2}}$ . Справедливо ли равенство: $\displaystyle \int_{a}^{b} \left(-\frac{dx}{1+x^{2}}\right) = \arctg \frac{1}{b}-\arctg \frac{1}{a}$ ?

?

Задача 4762

Если $F(x) = \dfrac {1}{1+e^{1/x}}$ , то $F'(x) = \dfrac {e^{1/x}}{x^{2}\left(1+e^{1/x}\right)^{2}} = f(x)$ . Когда справедливо равенство

\int _{a}^{b} f(x)\, dx = F(b)-F(a)-1 \; ?

?

Задача 4763

Доказать, что $\int_{0}^{\infty } (\sin^{2}x)^{x^{3}} x^{\alpha }\, dx$ сходится при $0 \leqslant \alpha \leqslant \dfrac {1}{2}$ , хотя подынтегральная функция положительна и не стремится к нулю, когда $x \rightarrow \infty$ , ибо при сколь угодно больших значениях $x$ может иметь сколь угодно большие значения.

?

Задача 4764

Доказать равенства:

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{0}^{\infty } e^{-x^{n}}\, dx = 1 .

?

Задача 4765

Доказать равенства:

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{0}^{\infty } \frac{1+x^{n}}{1+x^{2n}}\, dx = 1 .

?

Задача 4766

Доказать равенства:

\lim _{n \rightarrow \infty } n\left(1-\int _{0}^{\infty } e^{-x^{n}}\, dx\right) = -\Gamma '(1) .

?

Задача 4767

Доказать равенства:

\lim _{\alpha \rightarrow 0} \alpha \int _{-\infty }^{\infty } \frac{f(x+u)\, du}{\alpha ^{2}+u^{2}} = \pi \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2},

если интеграл абсолютно сходящийся, а $f(x+0)$ и $f(x-0)$ — правый и левый пределы $f(\xi )$ при $\xi \rightarrow x$ .

?

Задача 4768

Доказать равенство (формула Фруллани):

\int _{0}^{\infty } \frac{f(ax)-f(bx)}{x}\, dx = f(0)\ln \frac{b}{a}, \quad a > 0, \quad b > 0,

если при $A > 0$ интеграл $\int_{A}^{\infty } \dfrac {f(x)}{x}\, dx$ имеет смысл.

?

Задача 4769

Доказать, что $\lim_{a \rightarrow \infty } a^{n} \int_{0}^{\infty } f(x) \cos ax\, dx = 0$ , если $f(x)$ — четная функция, у которой интеграл от модуля $f^{(m)}(x)$ в интервале $(-\infty ,\infty )$ имеет смысл при любом $m \leqslant n+1$ .

?

Задача 4770

Доказать, что $\lim_{a \rightarrow \infty } a^{n} \int_{0}^{\infty } f(x) \sin ax\, dx = 0$ , если $f(x)$ — нечетная функция, а интеграл от абсолютного значения $f^{(m)}(x)$ , взятый от $-\infty$ до $+\infty$ , имеет смысл при любом $m \leqslant n+1$ .

?

Задача 4771

Доказать, что $f(x) = 0$ при $a < x < b$ , если $f(x)$ непрерывна и при любом целом $n \geqslant 0$ интеграл $\int_{a}^{b} f(x) x^{n}\, dx = 0$ .

?

Задача 4772

Доказать, что $f(x) = 0$ при $0 \leqslant x \leqslant 2\pi$ , если она непрерывна, и при любом целом положительном $n$ (и при $n=0$ ) интегралы $\int_{0}^{2\pi } f(x)\cos nx\, dx$ и $\int_{0}^{2\pi } f(x)\sin nx\, dx$ равны нулю.

?

Задача 4773

Доказать, что для $f(x) = e^{-\sqrt[4]{x}} \sin x \sqrt[4]{x}$ при всех целых $n \geqslant 0$ справедливо равенство: $\int_{0}^{\infty } f(x) x^{n}\, dx = 0$ .

?

Задача 4774

Доказать, что для функции $f(x) = \dfrac {1-\cos x}{x}$ при любом целом $n \neq 1$ справедливы равенства:

\int _{-\infty }^{\infty } f(x) \cos nx\, dx = 0, \qquad \int _{-\infty }^{\infty } f(x) \sin nx\, dx = 0 .

?

Задача 4775

Доказать равенство:

\int _{0}^{1} \frac{dx}{x^{\alpha }(x+h)^{1-\alpha }} = \ln \frac{1}{h}+A+O(h),

где $O(h)$ означает величину, отношение которой к $h$ остается ограниченным по абсолютному значению, когда $h \rightarrow +0$ и $0 < \alpha < 1$ .

?

Задача 4776

Доказать, что по абсолютному значению интеграл $\int_{a}^{b} \varphi (x) e^{i\mu x}\, dx$ не превосходит величины $\dfrac {2\varphi (a)}{\mu }$ , если $a < b$ , а $\varphi (x)$ — убывающая положительная функция; $\mu > 0$ .

?

Задача 4777

Доказать неравенства: $\int_{0}^{\infty } f(x) \sin ax\, dx > 0$ , если $f(x)$ — убывающая функция; $a > 0$ и интеграл сходится.

?

Задача 4778

Доказать неравенства: $\int_{0}^{\infty } f(x) \sin ax\, dx > 0$ , если $f(x)$ — убывающая функция и интеграл сходится.

?

Задача 4779

Доказать, что при $h \rightarrow 0$ справедливо равенство

\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h\sqrt{\pi }} \int _{-\infty }^{\infty } f(t) e^{\frac{-(t-x)^{2}}{h^{2}}}\, dt = f(x),

если $f(x)$ — непрерывная функция, для которой $\int_{-\infty }^{\infty } \left|f(t)\right| e^{-\frac{t^{2}}{h^{2}}}\, dt$ имеет смысл при достаточно малых $\left|h\right|$ .

?

Задача 4780

Доказать теорему Лапласа: если $f(x)$ в интервале $(a,b)$ имеет конечную производную, а $\varphi (x) > 0$ и достигает наибольшего значения при $x=c$ , где $a < c < b$ , то при $n \rightarrow \infty$ справедливо равенство

\int _{a}^{b} f(x) \left(\varphi (x)\right)^{n}\, dx = f(c)\left(\varphi (c)\right)^{n} \sqrt{-\frac{2\pi \varphi (c)}{n\varphi ''(c)}} \left(1+O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right),

где $O\left(\dfrac {1}{\sqrt{n}}\right)$ по абсолютной величине не больше, чем $\dfrac {1}{\sqrt{n}}$ , умноженное на некоторую постоянную. Если $c$ совпадает с одним из чисел $a$ или $b$ , то в правой части надо поставить добавочный множитель, равный $\dfrac {1}{2}$ .

?

Задача 4781

Доказать равенства:

\int _{0}^{1} (1-x^{2})^{n}\, dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{n}}+O\left(\frac{1}{n}\right) .

?

Задача 4782

Доказать равенства:

\int _{0}^{\infty } e^{-x} x^{n-1}\, dx = n^{n} e^{-n} \sqrt{\frac{2\pi }{n}} \left(1+O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right) .

?

Задача 4783

Доказать равенства:

\int _{0}^{\pi /2} \frac{\cos ^{2n} x}{1+x}\, dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{n}}+O\left(\frac{1}{n}\right) .

?

Задача 4784

Доказать равенства:

\int _{0}^{\pi /2} \frac{\sin ^{2n} x}{1+x}\, dx = \frac{1}{\pi +2}\sqrt{\frac{\pi }{n}}+O\left(\frac{1}{n}\right) .

?

Задача 4785

Доказать неравенства:

\left(\int _{a}^{b} \varphi (x)\psi (x)\, dx\right)^{2} \leqslant \int _{a}^{b} \varphi ^{2}(x)\, dx \int _{a}^{b} \psi ^{2}(x)\, dx .

(Буняковский.)

?

Задача 4786

Доказать неравенства:

\varphi \left(\frac{\int _{a}^{b} p(x) f(x)\, dx}{\int _{a}^{b} p(x)\, dx}\right) \leqslant \frac{\int _{a}^{b} p(x) \varphi \left(f(x)\right)\, dx}{\int _{a}^{b} p(x)\, dx},

где $p(x) \geqslant 0$ , а кривая $y = \varphi (x)$ выпукла вниз.

?

Задача 4787

Получить аналогичное неравенство для случая, когда кривая $y = \varphi (x)$ выпукла вверх.

?

Задача 4788

Доказать, что функция от $t$ , равная величине

\left(\frac{1}{b-a} \int _{a}^{b} \left(f(x)\right)^{t}\, dx\right)^{\frac{1}{t}}, \quad a < b,

не убывает с возрастанием $t$ , если $f(x)$ имеет положительную нижнюю границу.

?

Задача 4789

Моментами функции $f(x)$ в интервале $(a,b)$ называются интегралы

M_{n} = \int _{a}^{b} f(x) x^{n}\, dx .

Доказать, что если $0 < a < b$ и $f(x) > 0$ при $x > 0$ , то ряд $\sum \dfrac {t^{n}}{M_{n}}$ имеет конечный или бесконечный радиус сходимости, смотря по тому, конечен или бесконечен интервал $(a,b)$ .

?

Задача 4790

Разбивая интервал $(-\infty ,\infty )$ на части: $(-\infty ,x-h)$ , $(x-h,x)$ , $(x,x+h)$ , $(x+h,\infty )$ , где $h$ — произвольно выбранное число, доказать равенство:

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{1}{\pi } \int _{-\infty }^{\infty } f(u) \frac{\sin n(u-x)}{u-x}\, du = f(x) .

При этом для простоты предполагается, что $f(x)$ всюду непрерывна, $f'(x)$ всюду существует и в каждом данном интервале ограничена, а $\int_{-\infty }^{\infty } f(u)\, du$ абсолютно сходится.

?

Задача 4791

При тех же условиях, что и в предыдущей задаче, относительно $f(x)$ доказать формулу Фурье:

f(x) = \frac{1}{2\pi } \int _{-\infty }^{\infty } du \int _{-\infty }^{\infty } f(v) \cos u(v-x)\, dv .

?

Задача 4792

Показать, что интеграл Фурье (см. предыдущую задачу) остается в силе и в том случае, когда $f(x)$ в отдельных точках имеет конечные разрывы, при сохранении в остальных точках прежних условий. При этом в точках разрыва значение интеграла равно $\dfrac {1}{2}\left(f(x+0)+f(x-0)\right)$ , где $f(x+0)$ и $f(x-0)$ — пределы справа и слева величины $f(\xi )$ при $\xi \rightarrow x$ .

?

Задача 4793

Доказать, что для функций $\varphi (x)$ , удовлетворяющих условиям предыдущей задачи (то есть $\varphi (x)$ всюду непрерывна, $\varphi '(x)$ всюду существует и в каждом данном интервале ограничена, а $\int_{-\infty }^{\infty } \varphi (u)\, du$ абсолютно сходится), справедлива теорема: если $\psi (x) = \dfrac {1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{\infty } \varphi (t) e^{ixt}\, dt$ , то $\varphi (x) = \dfrac {1}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{\infty } \psi (t) e^{-ixt}\, dt$ .

?

Задача 4794

Доказать для функций $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ , введенных в предыдущей задаче, равенство:

\int _{-\infty }^{\infty } \left|\varphi (x)\right|^{2}\, dx = \int _{-\infty }^{\infty } \left|\psi (x)\right|^{2}\, dx .

?

Задача 4795

Запись $\varphi (x) \sim \dfrac {a_{0}}{x^{\sigma }}+\dfrac {a_{1}}{x^{\sigma +1}}+\dfrac {a_{2}}{x^{\sigma +2}}+\ldots$ читается: функции $\varphi (x)$ соответствует асимптотический ряд, стоящий в правой части; эта запись означает, что при $x \rightarrow \infty$ при любом $\nu$

x^{\sigma +\nu } \left(\varphi (x)-\frac{a_{0}}{x^{\sigma }}-\frac{a_{1}}{x^{\sigma +1}}-\ldots -\frac{a_{\nu }}{x^{\sigma +\nu }}\right) \rightarrow 0 .

Доказать, что

\int _{0}^{\infty } e^{-xt} f(t)\, dt \sim \frac{a_{0}}{x}+\frac{a_{1} \cdot 1!}{x^{2}}+\frac{a_{2} \cdot 2!}{x^{3}}+\frac{a_{3} \cdot 3!}{x^{4}}+\ldots ,

если $f(t) = a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\ldots$ и интеграл сходится.

?

Задача 4796

Доказать, что при $n \rightarrow \infty$

\int _{0}^{1} x^{n-1} \frac{dx}{\sqrt{1-x}} \sim \frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt{n}}+\frac{a_{1}\Gamma \left(\frac{3}{2}\right)}{n\sqrt{n}}+\frac{a_{2}\Gamma \left(\frac{5}{2}\right)}{n^{2}\sqrt{n}}+\ldots ,

если $\dfrac {1}{\sqrt{1-e^{-t}}} = \dfrac {1}{\sqrt{t}}+a_{1}\sqrt{t}+a_{2}t\sqrt{t}+\ldots$

?

Задача 4797

Пользуясь равенствами:

\int _{0}^{\infty } \frac{\sin u\, du}{u+m} = \int _{0}^{\infty } \frac{e^{-mu}\, du}{1+u^{2}}, \qquad \int _{0}^{\infty } \frac{\cos u\, du}{u+m} = \int _{0}^{\infty } \frac{u e^{-mu}\, du}{1+u^{2}},

доказать формулу:

\int _{-\infty }^{\infty } \frac{\sin x}{x}\, dx = \frac{\cos m}{m}\left(1-\frac{2!}{m^{2}}+\frac{4!}{m^{4}}-\ldots +\theta (-1)^{\nu }\frac{(2\nu )!}{m^{2\nu }}\right)+

+\frac{\sin m}{m^{2}}\left[1-\frac{3!}{m^{2}}+\frac{5!}{m^{4}}-\ldots +\theta _{1}(-1)^{\nu }\frac{(2\nu +1)!}{m^{2\nu }}\right],

где $\theta$ и $\theta_{1}$ — некоторые положительные правильные дроби.

?

Задача 4798