Дискретные случайные величины

При каких значениях константы $C$ следующие выражения задают функции вероятностей на положительных целых числах $1,2, \ldots$?

Для случайной величины $X$, имеющей каждую из четырёх функций вероятностей из Задачи (3.1.1), найдите $\mathbb {P}\left(X > 1\right)$, наиболее вероятное значение $X$, и вероятность того, что $X$ чётно, когда функция вероятностей:

Мы подбрасываем $n$ монет, и каждая показывает орла с вероятностью $p$, независимо от остальных. Каждая монета, показавшая орла, подбрасывается снова. Какова функция вероятностей числа орлов, полученных во втором раунде подбрасываний?

Пусть $S_{k}$ — множество положительных целых чисел, десятичная запись которых содержит ровно $k$ цифр (так, например, $1024 \in S_{4}$). Честная монета подбрасывается до появления первого орла, и мы обозначаем через $T$ число потребовавшихся подбрасываний. Мы выбираем случайный элемент, скажем $N$, из $S_{T}$, причём каждый такой элемент равновероятен. Какова функция вероятностей $N$?

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, каждая из которых принимает значения $-1$ или $1$ с вероятностью $\frac{1}{2}$, и пусть $Z = X Y$. Покажите, что $X, Y$ и $Z$ попарно независимы. Являются ли они независимыми (в совокупности)?

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, принимающие значения в положительных целых числах и имеющие одинаковую функцию вероятностей $f(x) = 2^{-x}$ при $x = 1,2, \ldots$. Найдите:

Пусть $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ — независимые случайные величины, принимающие значения в положительных целых числах и имеющие функции вероятностей, заданные как $\mathbb {P}\left(X_{i} = x\right) = \left(1-p_{i}\right) p_{i}^{x-1}$ при $x = 1,2, \ldots$, и $i = 1,2,3$.

Три игрока, $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ и C, по очереди бросают кость; они делают это в порядке ABCABCA....

Пусть $X_{r}, 1 \leq r \leq n$, — независимые случайные величины, симметричные относительно 0; то есть $X_{r}$ и $-X_{r}$ имеют одинаковые распределения. Покажите, что для всех $x$, $\mathbb {P}\left(S_{n} \geq x\right) = \mathbb {P}\left(S_{n} \leq -x\right)$, где $S_{n} = \sum_{r = 1}^{n} X_{r}$.

Остаётся ли вывод верным без предположения независимости?

Использование математического ожидания для оценки 'справедливой платы' может быть удобным, но иногда неуместным. Например, более подходящим критерием на финансовом рынке было бы отсутствие арбитража; см. Задачу (3.3.7) и Раздел 13.10. И, в достаточно общей модели финансовых рынков, существует критерий, обычно выражаемый как 'отсутствие бесплатного обеда с исчезающим риском'.

Каждая упаковка некоего по сути скучного товара включает небольшой и увлекательный пластиковый предмет. Существует $c$ различных типов предметов, и каждая упаковка с равной вероятностью может содержать любой из них. Вы покупаете одну упаковку каждый день.

Каждый участник группы из $n$ игроков бросает кость.

Честная монета подбрасывается многократно. Пусть $T$ — число подбрасываний до первого орла. Вам предлагают следующую перспективу, которую вы можете принять, уплатив взнос. Если $T = k$, то вы получите $£ 2^{k}$. Какой взнос было бы 'справедливо' с вас запросить?

Пусть $X$ имеет функцию вероятностей

и пусть $\alpha \in \mathbb {R}$. При каких значениях $\alpha$ выполняется $\mathbb {E}\left[X^{\alpha }\right] < \infty$?

Покажите, что $\operatorname {Var}\left[a+X\right] = \operatorname {Var}\left[X\right]$ для любой случайной величины $X$ и константы $a$.

Предположим, вы нашли добросердечного букмекера, предлагающего коэффициенты выплат $\pi (k)$ против $k$-й лошади в скачке с $n$ лошадьми, где $\sum_{k = 1}^{n}\left(\pi (k)+1\right)^{-1} < 1$. Покажите, что вы можете распределить свои ставки так, чтобы гарантированно выиграть.

Вы многократно бросаете обычную честную кость. Если выпадает $1$, вы обязаны остановиться, но можете остановиться и в любой более ранний момент по своему выбору. Ваш счёт — это число, показанное костью при последнем броске.

Продолжая Задачу (3.3.8), предположим теперь, что вы теряете $c$ очков из своего счёта при каждом броске кости. Какая стратегия максимизирует ожидаемый итоговый счёт, если $c = \frac{1}{3}$? Какова наилучшая стратегия при $c = 1$?

Пусть $G = (V, E)$ — случайный граф с $m = \left|V\right|$ вершинами и множеством рёбер $E$. Обозначим через $d_{v}$ степень вершины $v$, то есть число рёбер, сходящихся в $v$. Пусть $Y$ — равномерно выбранная вершина, а $Z$ — равномерно выбранный сосед $Y$.

Игрок Лестер Сэвидж делает до трёх последовательных ставок на то, что честная монета выпадет орлом. Он ставит определённую сумму на каждую ставку, и, если выпадает орёл, ему выплачивают вдвое больше ставки. Если выпадает решка, он теряет свою ставку.

Его ставки определяются следующим образом. Пусть $x > y > z > 0$. Он ставит $x$ на первый бросок; если выпадает орёл, он прекращает игру, иначе продолжает. Если он продолжает, он ставит $y$ на второй бросок; если выпадает орёл, он прекращает игру, иначе продолжает. Если он продолжает, он ставит $z$ на третий бросок.

Пусть $G$ — его накопленный выигрыш (положительный или отрицательный). Перечислите возможные значения $G$ и их вероятности. Покажите, что $\mathbb {E}\left[G\right] = 0$, и найдите $\operatorname {Var}\left[G\right]$ и $\mathbb {P}\left(G < 0\right)$.

Лестер решает оставить те же три числа $x, y, z$, но изменить их порядок. Как ему следует размещать свои ставки, чтобы одновременно минимизировать и $\mathbb {P}\left(G < 0\right)$, и $\operatorname {Var}\left[G\right]$? Объясните.

Набор из $n$ различных слов с равной вероятностью может находиться в любом из $n$! возможных порядков. Требуется расположить их в лексикографическом порядке с помощью следующего алгоритма.

(i) Сравнить первое слово $w$ с остальными и найти множество более ранних слов и множество более поздних слов.

(ii) Повторить процедуру для каждого из двух полученных таким образом множеств.

(iii) Продолжать, пока не будет достигнут окончательный порядок.

Урна содержит $n$ шаров, пронумерованных $1,2, \ldots , n$. Мы извлекаем $k$ шаров случайным образом (без возвращения) и складываем их номера. Найдите среднее и дисперсию суммы.

Из $2 n$ человек в данном собрании из $n$ пар ровно $m$ умирают. Предполагая, что эти $m$ были выбраны случайным образом, найдите среднее число выживших пар. Эта задача была сформулирована Даниилом Бернулли в 1768 году.

Урна R содержит $n$ красных шаров, а урна B содержит $n$ синих шаров. На каждом шаге из каждой урны случайным образом выбирается по шару, и они меняются местами. Покажите, что среднее число красных шаров в урне $R$ после шага $k$ равно $\frac{1}{2} n\left\{ 1+(1-2 / n)^{k}\right\}$. Эта 'диффузионная модель' была описана Даниилом Бернулли в 1769 году.

Рассмотрим квадрат с диагоналями, с различными источником и стоком. Каждое ребро представляет компонент, который работает исправно с вероятностью $p$, независимо от всех остальных компонентов. Запишите выражение для булевой функции, которая равна 1 тогда и только тогда, когда существует работающий путь от источника к стоку, через индикаторные функции $X_{i}$ событий $\left\{ \text{ребро }i\text{ работает}\right\}$, где $i$ пробегает множество рёбер. Затем вычислите надёжность сети.

Система называется системой '$k$ из $n$', если она содержит $n$ компонентов и работает, когда работают $k$ или более из этих компонентов. Предположим, что каждый компонент работает с вероятностью $p$, независимо от остальных компонентов, и пусть $X_{c}$ — индикаторная функция события, что компонент $c$ работает. Найдите, через $X_{c}$, индикаторную функцию события, что система работает, и выведите надёжность системы.

Пусть $G = (V, E)$ — конечный граф. Для любого множества $W$ вершин и любого ребра $e \in E$ определим индикаторную функцию

Положим $N_{W} = \sum_{e \in E} I_{W}(e)$. Покажите, что существует $W \subseteq V$, такое что $N_{W} \geq \frac{1}{2}\left|E\right|$.

Всего $n$ полосовых магнитов размещены в линию друг за другом со случайными независимыми ориентациями. Соседние одноимённые полюса отталкиваются, концы с противоположной полярностью соединяются, образуя блоки. Пусть $X$ — число блоков соединённых магнитов. Найдите $\mathbb {E}\left[X\right]$ и $\operatorname {Var}\left[X\right]$.

В аудитории присутствуют $n$ студентов, родившихся в 2011 году, и они родились в независимые, равномерно распределённые дни. Вычислите среднее числа $B$ пар студентов, у которых совпадает день рождения, и покажите, что $\mathbb {E}\left[B\right] > 1$ тогда и только тогда, когда $n \geq 28$. Сравните это с результатом Задачи (1.8.30). Найдите дисперсию $B$.

Покажите, что любое множество из 10 точек на плоскости $\mathbb {R}^{2}$ может быть покрыто подходящим расположением непересекающихся открытых единичных дисков. [Подсказка: рассмотрите бесконечный массив единичных дисков, центры которых образуют треугольную решётку.]

Дни бывают дождливыми или сухими, и, при известной сегодняшней погоде, завтрашняя такая же, как сегодняшняя, с вероятностью $p$, и иная в противном случае. Пусть $w_{n}$ — вероятность того, что погода через $n$ дней от сегодняшнего дня будет дождливой. Покажите, что $w_{n+1} = 1-p+(2 p-1) w_{n-1}$, и найдите $w_{n}$. Каково среднее число дождливых дней на следующей неделе?

Урна содержит $b$ шаров, из которых $g$ зелёных. Шары извлекаются из урны случайным образом, один за другим. После извлечения шара его цвет отмечается, и он выбрасывается. Найдите среднее и дисперсию числа зелёных шаров в выборке размера $n( \leq b)$.

Пусть $n( \geq 2)$ гетеросексуальных пар случайным образом рассаживаются за круглым столом, подчиняясь лишь правилу, что полы чередуются. Не требуется, чтобы супруги сидели вместе. Пусть $X$ — число пар, сидящих рядом. Покажите, что $\mathbb {E}\left[X\right] = 2$ и $\operatorname {Var}\left[X\right] = 2-2 /(n-1)$.

Каждое испытание может привести к любому из $t$ заданных исходов, причём $i$-й исход имеет вероятность $p_{i}$. Пусть $N_{i}$ — число появлений $i$-го исхода в $n$ независимых испытаниях. Покажите, что

для любого набора $n_{1}, n_{2}, \ldots , n_{t}$ неотрицательных целых чисел с суммой $n$. Говорят, что вектор $N$ имеет мультиномиальное распределение.

В вашем кармане находится случайное число $N$ монет, где $N$ имеет пуассоновское распределение с параметром $\lambda$. Вы подбрасываете каждую монету один раз, причём орёл выпадает с вероятностью $p$ каждый раз. Покажите, что общее число орлов имеет пуассоновское распределение с параметром $\lambda p$.

Пусть $X$ имеет пуассоновское распределение, где $\mathbb {P}\left(X = n\right) = p_{n}(\lambda ) = \lambda^{n} e^{-\lambda } / n$! при $n \geq 0$. Покажите, что $\mathbb {P}\left(X \leq k\right) = 1-\int_{0}^{\lambda } p_{k}(x) d x$.

Популяция из $b$ животных, из которых число $a$ особей было отловлено, помечено и выпущено обратно. Пусть $X$ — число животных, которых необходимо повторно отловить (без повторного выпуска), чтобы получить $m$ помеченных животных. Покажите, что

и найдите $\mathbb {E}\left[X\right]$. Это распределение называется отрицательным гипергеометрическим.

Пусть $\Lambda$ — положительная случайная величина с функцией плотности $f$ и функцией распределения $F$, и пусть $Y$ имеет пуассоновское распределение с параметром $\Lambda$. Покажите, что при $n = 0,1,2, \ldots$

где $p_{n}(\lambda ) = e^{-\lambda } \lambda^{n} / n!$.

Покажите, что совокупность случайных величин на заданном вероятностном пространстве, имеющих конечную дисперсию, образует векторное пространство над вещественными числами.

Найдите маргинальные функции вероятностей мультиномиального распределения из Задачи (3.5.1).

Пусть $X$ и $Y$ — дискретные случайные величины с совместной функцией вероятностей

Найдите маргинальные функции вероятностей $X$ и $Y$, вычислите $C$, а также ковариацию $X$ и $Y$.

Пусть $X$ и $Y$ — дискретные случайные величины со средним $0$, дисперсией $1$ и ковариацией $\rho$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[\max \left\{ X^{2}, Y^{2}\right\} \right] \leq 1+\sqrt{1-\rho^{2}}$.

Пусть $X$ и $Y$ — дискретные случайные величины с совместной функцией вероятностей $f$.

Пусть $X, Y, Z$ — дискретные случайные величины, обладающие тем свойством, что их значения различны с вероятностью 1. Пусть $a = \mathbb {P}\left(X > Y\right), b = \mathbb {P}\left(Y > Z\right), c = \mathbb {P}\left(Z > X\right)$.

Если случайным образом выбрать числовую запись из альманаха или годового отчёта корпорации, то первые две значащие цифры, $X$, $Y$, оказываются приближённо распределены с совместной функцией вероятностей

Найдите функцию вероятностей $X$ и приближённое значение её среднего.

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную функцию вероятностей

где $a$ — константа. Найдите $c, \mathbb {P}\left(X = j\right), \mathbb {P}\left(X+Y = r\right)$ и $\mathbb {E}\left[X\right]$.

Пусть $X, Y, Z$ — невырожденные и независимые случайные величины. Рассматривая $U = X+Y, V = Y+Z, W = Z-X$, или иным способом, покажите, что положительная коррелированность не является транзитивным отношением.

Используя тождество $a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}-2 a b c d = (a d-b c)^{2}$, докажите неравенство Коши-Шварца.

Покажите, что

Покажите следующее:

Предположим, что $X$ и $Y$ — дискретные случайные величины, и что $\phi (X)$ и $\psi (X)$ — две функции от $X$, удовлетворяющие

для любой функции $g$, для которой все математические ожидания существуют. Покажите, что $\phi (X)$ и $\psi (X)$ почти наверное равны, то есть $\mathbb {P}\left(\phi (X\right) = \psi (X)) = 1$.

Предположим, что условное математическое ожидание $Y$ при заданном $X$ определено как (почти наверное) единственная функция $\psi (X)$, такая что $\mathbb {E}\left[\psi (X\right] g(X)) = \mathbb {E}\left[Y g(X\right])$ для всех функций $g$, для которых математические ожидания существуют. Покажите пункты (a)-(f) Задачи (3.7.1) выше (с добавлением иногда выражения 'с вероятностью $1$').

Как следует определить $\operatorname {Var}\left[Y \mid X\right]$, условную дисперсию $Y$ при заданном $X$? Покажите, что $\operatorname {Var}\left[Y\right] = \mathbb {E}\left[\operatorname {Var}\left[Y \mid X\right]\right]+\operatorname {Var}\left[\mathbb {E}\left[Y \mid X\right]\right]$.

Время жизни машины (в днях) — случайная величина $T$ с функцией вероятностей $f$. Если известно, что машина работает по прошествии $t$ дней, каково среднее оставшееся время жизни машины, когда:

Пусть $X_{1}, X_{2}, \ldots$ — одинаково распределённые случайные величины со средним $\mu$ и дисперсией $\sigma^{2}$, и пусть $N$ — случайная величина, принимающая значения в неотрицательных целых числах и независимая от $X_{i}$. Пусть $S = X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N}$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[S \mid N\right] = \mu N$, и выведите отсюда, что $\mathbb {E}\left[S\right] = \mu \mathbb {E}\left[N\right]$. Найдите $\operatorname {Var}\left[S\right]$ через первые два момента $N$, используя формулу условной дисперсии из Задачи (3.7.4).

Фабрика произвела $n$ роботов, каждый из которых бракован с вероятностью $\phi$. К каждому роботу применяется тест, который обнаруживает брак (если он есть) с вероятностью $\delta$. Пусть $X$ — число бракованных роботов, а $Y$ — число, обнаруженное как бракованные. Считая обычные предположения независимости выполненными, покажите, что

Каждый ребёнок с равной вероятностью может быть мальчиком или девочкой, независимо от всех остальных детей.

Пусть $X$ и $Y$ независимы со средним $\mu$. Объясните ошибку в следующем равенстве:

Монета выпадает орлом с вероятностью $p$. Пусть $X_{n}$ — число бросков, необходимых для получения серии из $n$ подряд идущих орлов. Покажите, что $\mathbb {E}\left[X_{n}\right] = \sum_{k = 1}^{n} p^{-k}$.

Дайте определение условной ковариации $\operatorname {Cov}\left[X, Y \mid Z\right]$. Покажите, что

Урна изначально содержит $b$ синих шаров и $r$ красных шаров, где $b, r \geq 2$. Шары извлекаются один за другим без возвращения. Покажите, что среднее число извлечений до первого повторения ранее выпавшего цвета равно 3.

Пусть $X, Y$ — дискретные целочисленные случайные величины с совместной функцией вероятностей

Покажите, что $X$ и $Y$ каждая имеют пуассоновское распределение, и что условное распределение $X$ при заданном $Y$ является биномиальным.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые величины, причём $X$ с равной вероятностью принимает любое значение из $\left\{ 0,1, \ldots , m\right\}$, а $Y$ аналогично из $\left\{ 0,1, \ldots , n\right\}$. Найдите функцию вероятностей $Z = X+Y$. Говорят, что случайная величина $Z$ имеет трапецеидальное распределение.

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную функцию вероятностей

Найдите функции вероятностей $U = X+Y$ и $V = X-Y$.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые геометрические случайные величины с параметрами $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Покажите, что

Пусть $\left\{ X_{r}: 1 \leq r \leq n\right\}$ — независимые геометрические случайные величины с параметром $p$. Покажите, что $Z = \sum_{r = 1}^{n} X_{r}$ имеет отрицательное биномиальное распределение.

Сэм бросает $6 n$ костей один раз; ему нужно как минимум $n$ шестёрок. Айзек бросает $6(n+1)$ костей; ему нужно как минимум $n+1$ шестёрок. У кого больше шансов получить требуемое число шестёрок?

Пусть $N$ имеет пуассоновское распределение с параметром $\lambda$. Покажите, что для любой функции $g$, для которой существуют математические ожидания, $\mathbb {E}\left[N g(N\right]) = \lambda \mathbb {E}\left[g(N+1)\right]$. В более общем случае, если $S = \sum_{r = 1}^{N} X_{r}$, где $\left\{ X_{r}: r \geq 0\right\}$ — независимые одинаково распределённые неотрицательные целочисленные случайные величины, покажите, что

Пусть $S = \sum_{i = 1}^{N} X_{i}$, где $X_{i}, i \geq 1$, — независимые, одинаково распределённые случайные величины со средним $\mu$ и дисперсией $\sigma^{2}$, а $N$ — положительная, целочисленная случайная величина, независимая от $X_{i}$. Покажите, что $\mathbb {E}\left[S\right] = \mu \mathbb {E}\left[N\right]$, и

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины с геометрическими распределениями $f_{X}(k) = p q^{k-1}$, $f_{Y}(k) = \lambda \mu^{k-1}$, при $k \geq 1$, где $p+q = \lambda +\mu = 1$ и $q \neq \mu$. Запишите $\mathbb {P}\left(X+Y = n+1, X = k\right)$, и, исходя из этого, найдите распределение $X+Y$ и условное распределение $X$ при условии $X+Y = n+1$. Происходит ли что-то особенное при $q = \mu$?

Пусть $T$ — время, которое проходит до поглощения простого случайного блуждания одним из поглощающих барьеров в 0 и $N$, начавшегося в $k$, где $0 \leq k \leq N$. Покажите, что $\mathbb {P}\left(T < \infty \right) = 1$ и $\mathbb {E}\left[T^{k}\right] < \infty$ для всех $k \geq 1$.

Для простого случайного блуждания $S$ с поглощающими барьерами в 0 и $N$, пусть $W$ — событие, состоящее в том, что частица поглощается в 0, а не в $N$, и пусть $p_{k} = \mathbb {P}\left(W \mid S_{0} = k\right)$. Покажите, что если частица начинает в $k$, где $0 < k < N$, условная вероятность того, что первый шаг будет вправо, при условии $W$, равна $p p_{k+1} / p_{k}$. Выведите отсюда, что среднее время $J_{k}$ блуждания при условии $W$ удовлетворяет уравнению

при соглашении, что $p_{N} J_{N} = 0$. Покажите, что в качестве граничного условия можно взять $J_{0} = 0$. Найдите $J_{k}$ в симметричном случае, когда $p = \frac{1}{2}$.

С обозначениями Задачи (3.9.2), предположим далее, что на каждом шаге частица может оставаться на месте с вероятностью $r$, где $p+q+r = 1$. Покажите, что $J_{k}$ удовлетворяет

и что при $\rho = q / p \neq 1$

Монета подбрасывается многократно, орёл выпадает с вероятностью $p$ при каждом броске. Игрок A выигрывает игру, если $m$ орлов появляются раньше, чем $n$ решек, и игрок B выигрывает в противном случае. Пусть $p_{m n}$ — вероятность того, что A выигрывает игру. Составьте разностное уравнение для $p_{m n}$. Каковы граничные условия?

Рассмотрим простое случайное блуждание на множестве $\left\{ 0,1,2, \ldots , N\right\}$, в котором каждый шаг делается вправо с вероятностью $p$ или влево с вероятностью $q = 1-p$. Поглощающие барьеры расположены в 0 и $N$. Покажите, что число $X$ положительных шагов блуждания до поглощения удовлетворяет