Банк задач по математике

Задача 3.6.1

Покажите, что совокупность случайных величин на заданном вероятностном пространстве, имеющих конечную дисперсию, образует векторное пространство над вещественными числами.

?

Задача 3.6.2

Найдите маргинальные функции вероятностей мультиномиального распределения из Задачи (3.5.1).

?

Задача 3.6.3

Пусть $X$ и $Y$ — дискретные случайные величины с совместной функцией вероятностей

f(x, y) = \frac{C}{(x+y-1)(x+y)(x+y+1)}, \quad x, y = 1,2,3, \ldots

Найдите маргинальные функции вероятностей $X$ и $Y$ , вычислите $C$ , а также ковариацию $X$ и $Y$ .

?

Задача 3.6.4

Пусть $X$ и $Y$ — дискретные случайные величины со средним $0$ , дисперсией $1$ и ковариацией $\rho$ . Покажите, что $\mathbb {E}\left[\max \left\{ X^{2}, Y^{2}\right\} \right] \leq 1+\sqrt{1-\rho^{2}}$ .

?

Задача 3.6.5

(a)(b)

Пусть $X$ и $Y$ — дискретные случайные величины с совместной функцией вероятностей $f$ .

?

(a)

Покажите, что $\mathbb {E}\left[\log f_{X}(X)\right] \geq \mathbb {E}\left[\log f_{Y}(X)\right]$ .

(b)

Покажите, что взаимная информация

I = \mathbb {E}\left[\log \left(\frac{f(X, Y)}{f_{X}(X) f_{Y}(Y)}\right)\right]

удовлетворяет $I \geq 0$ , причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $X$ и $Y$ независимы.

Задача 3.6.6

(a)(b)(c)

Пусть $X, Y, Z$ — дискретные случайные величины, обладающие тем свойством, что их значения различны с вероятностью 1. Пусть $a = \mathbb {P}\left(X > Y\right), b = \mathbb {P}\left(Y > Z\right), c = \mathbb {P}\left(Z > X\right)$ .

?

(a)

Покажите, что $\min \left\{ a, b, c\right\} \leq \frac{2}{3}$ , и приведите пример, в котором эта граница достигается.

(b)

Покажите, что, если $X, Y, Z$ независимы и одинаково распределены, то $a = b = c = \frac{1}{2}$ .

(c)

Найдите $\min \left\{ a, b, c\right\}$ и $\sup_{p} \min \left\{ a, b, c\right\}$ , когда $\mathbb {P}\left(X = 0\right) = 1$ , а $Y, Z$ независимы, причём $\mathbb {P}\left(Z = 1\right) = \mathbb {P}\left(Y = -1\right) = p, \mathbb {P}\left(Z = -2\right) = \mathbb {P}\left(Y = 2\right) = 1-p$ . Здесь $\sup_{p}$ обозначает супремум при изменении $p$ на $[0,1]$ .

Примечание.

?

Часть (a) связана с наблюдением де Кондорсе о том, что на выборах возможна ситуация, когда более половины избирателей предпочитают кандидата A кандидату B, более половины — B кандидату C, и более половины — C кандидату A.

Задача 3.6.7

Если случайным образом выбрать числовую запись из альманаха или годового отчёта корпорации, то первые две значащие цифры, $X$ , $Y$ , оказываются приближённо распределены с совместной функцией вероятностей

f(x, y) = \log _{10}\left(1+\frac{1}{10 x+y}\right), \quad 1 \leq x \leq 9,0 \leq y \leq 9.

Найдите функцию вероятностей $X$ и приближённое значение её среднего.

?

Примечание.

?

Эвристическое объяснение этого явления можно найти во втором томе труда Феллера, изданном в 1971 году. См. также Berger and Hill 2015.

Задача 3.6.8

Пусть $X$ и $Y$ имеют совместную функцию вероятностей

f(j, k) = \frac{c(j+k) a^{j+k}}{j!k!}, \quad j, k \geq 0

где $a$ — константа. Найдите $c, \mathbb {P}\left(X = j\right), \mathbb {P}\left(X+Y = r\right)$ и $\mathbb {E}\left[X\right]$ .

?

Задача 3.6.9

Пусть $X, Y, Z$ — невырожденные и независимые случайные величины. Рассматривая $U = X+Y, V = Y+Z, W = Z-X$ , или иным способом, покажите, что положительная коррелированность не является транзитивным отношением.

?

Задача 3.6.10

Используя тождество $a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}-2 a b c d = (a d-b c)^{2}$ , докажите неравенство Коши-Шварца.

?

Задача 3.6.11

Покажите, что

\mathbb {P}\left(X-\mathbb {E}\left[X\right] > t\right) \leq \frac{\operatorname {Var}\left[X\right]}{t^{2}+\operatorname {Var}\left[X\right]}, \quad t > 0

?

Зависимость