Случайное блуждание: подсчёт траекторий

Рассмотрим симметричное простое случайное блуждание $S$ с $S_{0} = 0$. Пусть $T = \min \left\{ n \geq 1: S_{n} = 0\right\}$ — время первого возвращения блуждания в начальную точку. Покажите, что

и выведите отсюда, что $\mathbb {E}\left[T^{\alpha }\right] < \infty$ тогда и только тогда, когда $\alpha < \frac{1}{2}$. Может понадобиться формула Стирлинга: $n$ ! $\sim n^{n+\frac{1}{2}} e^{-n} \sqrt{2 \pi }$

Для симметричного простого случайного блуждания, начинающегося в $0$, покажите, что функция вероятностей максимума удовлетворяет соотношению $\mathbb {P}\left(M_{n} = r\right) = \mathbb {P}\left(S_{n} = r\right)+\mathbb {P}\left(S_{n} = r+1\right)$ для $r \geq 0$.

Для симметричного простого случайного блуждания, начинающегося в $0$, покажите, что вероятность того, что первое посещение $S_{2 n}$ происходит в момент времени $2 k$, равна произведению $\mathbb {P}\left(S_{2 k} = 0\right) \mathbb {P}\left(S_{2 n-2 k} = 0\right)$, для $0 \leq k \leq n$.

Простое случайное блуждание по целым числам $\mathbb {Z}$ делает один шаг вправо с вероятностью $p$ и в противном случае один шаг влево, где $p \in (0,1)$. Предположим, что оно начинается в 0 и имеет поглощающие границы в $\pm a$. Покажите, что время и место поглощения независимы.

Пусть $\left\{ X_{m}: m \geq 1\right\}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины, принимающие целые значения, такие что $\mathbb {P}\left(X_{1} \geq -1\right) = 1$. Пусть $S_{n}$ — (обобщённое) случайное блуждание, заданное как $S_{n} = k+X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$, где $k \geq 0$ задано, и пусть $T = \inf \left\{ n \geq 0: S_{n} = 0\right\}$ — момент первого попадания в 0.

Покажите по индукции, что $\mathbb {P}\left(T = n\right) = (k / n) \mathbb {P}\left(S_{n} = 0\right)$ при $n \geq 1, k \geq 0$.