Примеры дискретных переменных

Каждое испытание может привести к любому из $t$ заданных исходов, причём $i$-й исход имеет вероятность $p_{i}$. Пусть $N_{i}$ — число появлений $i$-го исхода в $n$ независимых испытаниях. Покажите, что

для любого набора $n_{1}, n_{2}, \ldots , n_{t}$ неотрицательных целых чисел с суммой $n$. Говорят, что вектор $N$ имеет мультиномиальное распределение.

В вашем кармане находится случайное число $N$ монет, где $N$ имеет пуассоновское распределение с параметром $\lambda$. Вы подбрасываете каждую монету один раз, причём орёл выпадает с вероятностью $p$ каждый раз. Покажите, что общее число орлов имеет пуассоновское распределение с параметром $\lambda p$.

Пусть $X$ имеет пуассоновское распределение, где $\mathbb {P}\left(X = n\right) = p_{n}(\lambda ) = \lambda^{n} e^{-\lambda } / n$! при $n \geq 0$. Покажите, что $\mathbb {P}\left(X \leq k\right) = 1-\int_{0}^{\lambda } p_{k}(x) d x$.

Популяция из $b$ животных, из которых число $a$ особей было отловлено, помечено и выпущено обратно. Пусть $X$ — число животных, которых необходимо повторно отловить (без повторного выпуска), чтобы получить $m$ помеченных животных. Покажите, что

и найдите $\mathbb {E}\left[X\right]$. Это распределение называется отрицательным гипергеометрическим.

Пусть $\Lambda$ — положительная случайная величина с функцией плотности $f$ и функцией распределения $F$, и пусть $Y$ имеет пуассоновское распределение с параметром $\Lambda$. Покажите, что при $n = 0,1,2, \ldots$

где $p_{n}(\lambda ) = e^{-\lambda } \lambda^{n} / n!$.