Банк задач по математике

Задача 3.2.1

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, каждая из которых принимает значения $-1$ или $1$ с вероятностью $\frac{1}{2}$ , и пусть $Z = X Y$ . Покажите, что $X, Y$ и $Z$ попарно независимы. Являются ли они независимыми (в совокупности)?

?

Задача 3.2.2

Пусть $X$ и $Y$ — независимые случайные величины, принимающие значения в положительных целых числах и имеющие одинаковую функцию вероятностей $f(x) = 2^{-x}$ при $x = 1,2, \ldots$ . Найдите:

?

(a)

$\mathbb {P}\left(\min \left\{ X, Y\right\} \leq x\right)$ ,

(b)

$\mathbb {P}\left(Y > X\right)$ ,

(c)

$\mathbb {P}\left(X = Y\right)$ ,

(d)

$\mathbb {P}\left(X \geq k Y\right)$ , для заданного положительного целого $k$ ,

(e)

$\mathbb {P}\left(X\text{ делит }Y\right)$ ,

(f)

$\mathbb {P}\left(X = r Y\right)$ , для заданного положительного рационального $r$ .

Задача 3.2.3

(a)(b)

Пусть $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ — независимые случайные величины, принимающие значения в положительных целых числах и имеющие функции вероятностей, заданные как $\mathbb {P}\left(X_{i} = x\right) = \left(1-p_{i}\right) p_{i}^{x-1}$ при $x = 1,2, \ldots$ , и $i = 1,2,3$ .

?

(a)

Покажите, что

\mathbb {P}\left(X_{1} < X_{2} < X_{3}\right) = \frac{\left(1-p_{1}\right)\left(1-p_{2}\right) p_{2} p_{3}^{2}}{\left(1-p_{2} p_{3}\right)\left(1-p_{1} p_{2} p_{3}\right)}

(b)

Найдите $\mathbb {P}\left(X_{1} \leq X_{2} \leq X_{3}\right)$ .

Задача 3.2.4

(a)(b)

Три игрока, $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ и C, по очереди бросают кость; они делают это в порядке ABCABCA....

?

(a)

Покажите, что вероятность того, что из трёх игроков A выбросит 6 первым, B — вторым, а C — третьим, равна $216 / 1001$ .

(b)

Покажите, что вероятность того, что первую 6 выбросит A, вторую 6 — B, а третью 6 — C, равна $46656 / 753571$ .

Задача 3.2.5

Пусть $X_{r}, 1 \leq r \leq n$ , — независимые случайные величины, симметричные относительно 0; то есть $X_{r}$ и $-X_{r}$ имеют одинаковые распределения. Покажите, что для всех $x$ , $\mathbb {P}\left(S_{n} \geq x\right) = \mathbb {P}\left(S_{n} \leq -x\right)$ , где $S_{n} = \sum_{r = 1}^{n} X_{r}$ .

Остаётся ли вывод верным без предположения независимости?

Использование математического ожидания для оценки 'справедливой платы' может быть удобным, но иногда неуместным. Например, более подходящим критерием на финансовом рынке было бы отсутствие арбитража; см. Задачу (3.3.7) и Раздел 13.10. И, в достаточно общей модели финансовых рынков, существует критерий, обычно выражаемый как 'отсутствие бесплатного обеда с исчезающим риском'.

?

Независимость