Простая случайная прогулка

Пусть $T$ — время, которое проходит до поглощения простого случайного блуждания одним из поглощающих барьеров в 0 и $N$, начавшегося в $k$, где $0 \leq k \leq N$. Покажите, что $\mathbb {P}\left(T < \infty \right) = 1$ и $\mathbb {E}\left[T^{k}\right] < \infty$ для всех $k \geq 1$.

Для простого случайного блуждания $S$ с поглощающими барьерами в 0 и $N$, пусть $W$ — событие, состоящее в том, что частица поглощается в 0, а не в $N$, и пусть $p_{k} = \mathbb {P}\left(W \mid S_{0} = k\right)$. Покажите, что если частица начинает в $k$, где $0 < k < N$, условная вероятность того, что первый шаг будет вправо, при условии $W$, равна $p p_{k+1} / p_{k}$. Выведите отсюда, что среднее время $J_{k}$ блуждания при условии $W$ удовлетворяет уравнению

при соглашении, что $p_{N} J_{N} = 0$. Покажите, что в качестве граничного условия можно взять $J_{0} = 0$. Найдите $J_{k}$ в симметричном случае, когда $p = \frac{1}{2}$.

С обозначениями Задачи (3.9.2), предположим далее, что на каждом шаге частица может оставаться на месте с вероятностью $r$, где $p+q+r = 1$. Покажите, что $J_{k}$ удовлетворяет

и что при $\rho = q / p \neq 1$

Монета подбрасывается многократно, орёл выпадает с вероятностью $p$ при каждом броске. Игрок A выигрывает игру, если $m$ орлов появляются раньше, чем $n$ решек, и игрок B выигрывает в противном случае. Пусть $p_{m n}$ — вероятность того, что A выигрывает игру. Составьте разностное уравнение для $p_{m n}$. Каковы граничные условия?

Рассмотрим простое случайное блуждание на множестве $\left\{ 0,1,2, \ldots , N\right\}$, в котором каждый шаг делается вправо с вероятностью $p$ или влево с вероятностью $q = 1-p$. Поглощающие барьеры расположены в 0 и $N$. Покажите, что число $X$ положительных шагов блуждания до поглощения удовлетворяет

где $D_{k}$ — среднее число шагов до поглощения при старте из $k$, а $p_{k}$ — вероятность поглощения в 0.

Пусть $D_{k}$ — продолжительность случайного блуждания на $\left\{ 0,1,2, \ldots , a\right\}$ с поглощающими барьерами в 0 и $a$, начинающегося в $k$, с шагами $X_{i}$, удовлетворяющими

Возвращения и посещения при случайном блуждании. Рассмотрим простое симметричное случайное блуждание на множестве $\left\{ 0,1,2, \ldots , a\right\}$ с поглощающими барьерами в 0 и $a$, начинающееся в $k$, где $0 < k < a$. Пусть $r_{k}$ — вероятность того, что блуждание когда-либо вернётся в $k$, а $v_{x}$ — среднее число посещений точки $x$ до поглощения. Найдите $r_{k}$ и, исходя из этого, покажите, что