C*-алгебры

Проверьте утверждения, сделанные в следующих примерах.

• Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, то $\mathcal{A} = \mathcal{B}(\mathcal{H})$ — $C^*$-алгебра, где для каждого $A$ из $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ $A^* =$ сопряжённый к $A$ оператор.

• Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, то $\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$ — $C^*$-подалгебра $\mathcal{B}(\mathcal{H})$, хотя $\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$ не имеет единицы, если $\mathcal{H}$ бесконечномерно.

• Если $X$ — компактное пространство, то $C(X)$ — $C^*$-алгебра, где $f^*(x) = \overline{f(x)}$ для $f$ из $C(X)$ и $x$ из $X$.

• Если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, то $L^\infty (X, \Omega , \mu )$ — $C^*$-алгебра, где инволюция определена как в предыдущем пункте.

• Если $X$ локально компактно, но не компактно, то $C_0(X)$ — $C^*$-алгебра без единицы.

Пусть $\mathcal{A} = \{ f \in C(\operatorname {cl} \mathbb {D}): f \text{ аналитична в } \mathbb {D}\}$, и для $f$ из $\mathcal{A}$ определим $f^*$ равенством $f^*(z) = \overline{f(\bar{z})}$. Покажите, что $\mathcal{A}$ — банахова алгебра, $f^* \in \mathcal{A}$ при $f \in \mathcal{A}$ и $\left\| f^*\right\| = \left\| f\right\|$, но $\mathcal{A}$ не является $C^*$-алгеброй.

Если $\{ \mathcal{A}_i : i \in I\}$ — совокупность $C^*$-алгебр, покажите, что $\bigoplus_\infty \mathcal{A}_i$ и $\bigoplus_0 \mathcal{A}_i$ — $C^*$-алгебры.

Пусть $X$ — локально компактное пространство и $\mathcal{A}$ — $C^*$-алгебра. Если $C_b(X, \mathcal{A}) =$ совокупность ограниченных непрерывных функций из $X$ в $\mathcal{A}$, покажите, что $C_b(X, \mathcal{A})$ — $C^*$-алгебра. Пусть $C_0(X, \mathcal{A}) =$ все непрерывные функции $f: X \to \mathcal{A}$ такие, что для каждого $\varepsilon > 0$ множество $\{ x \in X : \left\| f(x)\right\| \geq \varepsilon \}$ компактно. Покажите, что $C_0(X, \mathcal{A})$ — $C^*$-алгебра.

Докажите утверждение, обратное к следующему предложению: если $\mathcal{A}$ — абелева $C^*$-алгебра с пространством максимальных идеалов $\Sigma$ и $a \in \mathcal{A}$ таково, что $\mathcal{A} = C^*(a)$ ($C^*$-алгебра, порождённая $a$ и единицей), то отображение $\tau : \Sigma \to \sigma (a)$, определённое равенством $\tau (h) = h(a)$, является гомеоморфизмом. А именно, покажите: если $K$ — компактное подмножество $\mathbb {C}$, то $C(K)$ — однопорождённая $C^*$-алгебра.

Если $\mathcal{A}$ — абелева $C^*$-алгебра с конечным числом $C^*$-образующих $a_1, \dots , a_n$, то существует компактное подмножество $X$ пространства $\mathbb {C}^n$ и изометрический $*$-изоморфизм $\rho : \mathcal{A} \to C(X)$ такой, что $\rho (a_k) = z_k$, $1 \leq k \leq n$, где $z_k(\lambda_1, \dots , \lambda_n) = \lambda_k$ (см. упражнение VII.8.12).

Если $X$ — компактное хаусдорфово пространство, покажите, что $X$ вполне несвязно тогда и только тогда, когда $C(X)$ — замкнутая линейная оболочка своих проекторов ($\equiv$ эрмитовых идемпотентов).

Используя терминологию предыдущего упражнения, покажите, что если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, то пространство максимальных идеалов $L^\infty (X, \Omega , \mu )$ вполне несвязно.

Если $\mathcal{A}$ — $C^*$-алгебра с единицей и $a = a^*$, покажите, что $\exp (ia) = u$ унитарен. Верно ли обратное?

Пусть $X$ компактно, и зафиксируем точку $x_0$ в $X$. Пусть

Покажите, что $\mathcal{A}$ — абелева $C^*$-алгебра с единицей, и найдите её пространство максимальных идеалов.

Если $X$ вполне регулярно, то $C_b(X)$ — $C^*$-алгебра, и её пространство максимальных идеалов — стоун-чеховская компактификация $X$.

Докажите утверждение единственности в следующем предложении для случая, когда $\mathcal{A}$ абелева: если $a \in \operatorname {Re} \mathcal{A}$ (эрмитовы элементы $\mathcal{A}$), то существуют единственные положительные элементы $u, v$ в $\mathcal{A}$ такие, что $a = u - v$ и $uv = vu = 0$.

Докажите: если $a \in \mathcal{A}_+$ и $n \geq 1$, то существует единственный элемент $b$ в $\mathcal{A}_+$ такой, что $a = b^n$.

Пусть $A \in \mathcal{B}(L^2(0,1))$ определён формулой $(Af)(t) = tf(t)$. Покажите, что $A \geq 0$, и найдите $A^{1/n}$.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, пусть $\phi \in L^\infty (X, \Omega , \mu )$, и пусть $M_\phi$ — оператор умножения на $L^2(X, \Omega , \mu )$, заданный формулой $M_\phi f = \phi f$. Покажите, что $M_\phi \geq 0$ тогда и только тогда, когда $\phi (x) \geq 0$ п.в.$[\mu ]$. Чему равен $M_\phi^{1/n}$? Если $M_\phi \in \operatorname {Re} \mathcal{B}(\mathcal{H})$, найдите положительную и отрицательную части $M_\phi$.

Найдите пример положительного оператора в гильбертовом пространстве, имеющего неэрмитов квадратный корень.

Если $a \in \operatorname {Re} \mathcal{A}$, покажите, что $\left|a\right| \equiv (a^2)^{1/2} = a_+ + a_-$, где $a_+$ и $a_-$ — положительная и отрицательная части $a$ (то есть единственные положительные элементы, для которых $a = a_+ - a_-$ и $a_+ a_- = a_- a_+ = 0$).

Если $a \in \mathcal{A}_+$, покажите, что $x^* a x \in \mathcal{A}_+$ для любого $x$ в $\mathcal{A}$.

Если $a, b \in \mathcal{A}$, $0 \leq a \leq b$, и $a$ обратим, то $b$ обратим и $b^{-1} \leq a^{-1}$.

Если $a, b \in \operatorname {Re} \mathcal{A}$, $a \leq b$, и $ab = ba$, то $f(a) \leq f(b)$ для любой возрастающей непрерывной функции $f$ на $\mathbb {R}$.

Если $a \in \operatorname {Re} \mathcal{A}$ и $\left\| a\right\| \leq 1$, покажите, что $a$ является суммой двух унитарных элементов.

Если $\alpha > 0$, определим $f_\alpha : (-\alpha^{-1}, \infty ) \to \mathbb {R}$ формулой $f_\alpha (t) = t/(1 + \alpha t) = \alpha^{-1}[1 - (1 + \alpha t)^{-1}]$. Покажите:

Если $a, b \in \mathcal{A}_+$ и $a \leq b$, покажите, что $a^\beta \leq b^\beta$ при $0 \leq \beta \leq 1$. (Здесь $a^\beta = f(a)$, где $f(t) = t^\beta$.)

Приведите пример $C^*$-алгебры $\mathcal{A}$ и положительных элементов $a, b$ в $\mathcal{A}$ таких, что $a \leq b$, но $b^2 - a^2 \notin \mathcal{A}_+$.

Пусть $\mathcal{A} = \mathcal{B}(l^2)$, пусть $a =$ односторонний сдвиг на $l^2$, и пусть $b = a^*$. Покажите, что $\sigma (ab) \neq \sigma (ba)$.

Пусть $W \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$; покажите, что следующие утверждения эквивалентны: (a) $W$ — частичная изометрия (то есть оператор такой, что для $h$ из $(\ker W)^\perp$ выполняется $\left\| Wh\right\| = \left\| h\right\|$); (b) $W^*$ — частичная изометрия; (c) $W^*W$ — проекция; (d) $WW^*$ — проекция; (e) $WW^*W = W$; (f) $W^*WW^* = W^*$.

Если $W$ — частичная изометрия, покажите, что $W^*W$ — проекция на начальное подпространство $W$ (то есть на подпространство $(\ker W)^\perp$), а $WW^*$ — проекция на конечное подпространство $W$ (то есть на подпространство $\operatorname {ran} W$).

Пусть $W_1, W_2$ — частичные изометрии; определим $W_1 \precsim W_2$, что означает $W_1^* W_1 \leq W_2^* W_2$, $W_1 W_1^* \leq W_2 W_2^*$, и $W_2 h = W_1 h$ всякий раз, когда $h$ лежит в начальном подпространстве $W_1$. Покажите, что $\precsim$ является отношением частичного порядка на множестве частичных изометрий и что частичная изометрия $W$ является максимальным элементом этого порядка тогда и только тогда, когда либо $W$, либо $W^*$ является изометрией.

Используя терминологию предыдущего упражнения, покажите, что крайние точки шара $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ — это максимальные частичные изометрии. (См. упражнение V.7.10.)

Найдите полярное разложение каждого из следующих операторов:

Пусть $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ таков, что $\ker A = (0)$ и $A \geq 0$; определим $S$ на $\mathcal{K} = \mathcal{H} \oplus \mathcal{H} \oplus \cdots$ формулой $S(h_1, h_2, \dots ) = (0, Ah_1, Ah_2, \dots )$. Найдите полярное разложение $S$, $S = W \left|S\right|$, и покажите, что $S = \left|S\right| W$.

Докажите, что части полярного разложения нормального оператора коммутируют.

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, докажите, что существует положительный оператор $P$ и частичная изометрия $W$ такие, что $A = PW$. Обсудите единственность $P$ и $W$.

Если $A$ нормален и обратим, докажите, что части полярного разложения $A$ принадлежат $C^*(A)$.

Приведите пример нормального оператора $A$ такого, что частичная изометрия в полярном разложении $A$ не принадлежит $C^*(A)$.

Докажите, что для произвольной $C^*$-алгебры $\mathcal{A}$ не обязательно верно, что $ab \in \mathcal{A}_+$, коль скоро $a$ и $b \in \mathcal{A}_+$. Если же, однако, $a, b \in \mathcal{A}_+$ и $ab = ba$, то $ab \in \mathcal{A}_+$.

Завершите доказательство следующего утверждения: если $X$ компактно и $I$ — замкнутый идеал в $C(X)$, то существует замкнутое подмножество $F$ пространства $X$ такое, что $I = \{ f \in C(X) : f(x) = 0 \text{ for all } x \text{ in } F\}$. Более того, $C(X)/I$ изометрически изоморфна $C(F)$.

Докажите, что $M_n(\mathbb {C})$ не имеет нетривиальных идеалов. Найдите все левые идеалы.

Если $\alpha$ — бесконечное кардинальное число, положим $I_\alpha = \{ A \in \mathcal{B}(\mathcal{H}) : \dim \operatorname {cl}(\operatorname {ran} A) \leq \alpha \}$. Докажите, что $I_\alpha$ — замкнутый идеал в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$.

Пусть $S$ — односторонний сдвиг на $l^2$. Докажите, что $C^*(S) \supseteq \mathcal{B}_0(l^2)$ и $C^*(S)/\mathcal{B}_0(l^2)$ абелева. Докажите, что пространство максимальных идеалов $C^*(S)/\mathcal{B}_0(l^2)$ гомеоморфно $\partial \mathbb {D}$.

Если $V$ — оператор Вольтерры на $L^2(0,1)$, докажите, что $C^*(V) = \mathbb {C} + \mathcal{B}_0(L^2(0,1))$.

Если $\mathcal{A}$ — $C^*$-алгебра, $I$ — замкнутый идеал в $\mathcal{A}$, а $\mathcal{B}$ — $C^*$-подалгебра в $\mathcal{A}$, докажите, что $C^*$-алгебра, порождённая $I \cup \mathcal{B}$, есть $I + \mathcal{B}$.

Если $\mathcal{A}$ — $C^*$-алгебра, а $I$ и $J$ — замкнутые идеалы в $\mathcal{A}$, докажите, что $I + J$ — замкнутый идеал в $\mathcal{A}$.

Пусть $\mathcal{A}$ — $C^*$-алгебра с единицей и пусть $\pi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}(\mathcal{H})$ — $*$-гомоморфизм [но не предполагайте, что $\pi (1) = 1$]. Положим $P_1 = \pi (1)$. Докажите, что $P_1$ — проекция и $\mathcal{H}_1 \equiv P_1 \mathcal{H}$ приводит $\pi (\mathcal{A})$. Если $\pi_1(a) = \pi (a) | \mathcal{H}_1$, докажите, что $\pi_1: \mathcal{A} \to \mathcal{B}(\mathcal{H}_1)$ — представление.

Докажите, что следующее представление является циклическим, и найдите все циклические векторы: если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $\mathcal{H} = L^2(\mu )$, то $\pi : L^\infty (\mu ) \to \mathcal{B}(\mathcal{H})$, определённое как $\pi (\phi ) = M_\phi$ (оператор умножения), является представлением.

Докажите, что следующее представление является циклическим, и найдите все циклические векторы: если $X$ — компактное пространство и $\mu$ — положительная борелевская мера на $X$, то $\pi : C(X) \to \mathcal{B}(L^2(\mu ))$, определённое как $\pi (f) = M_f$, является представлением.

Если $X$ компактно и $\mu$ — положительная мера на $X$, пусть $\pi_\mu : C(X) \to \mathcal{B}(L^2(\mu ))$ — представление, определённое как $\pi_\mu (f) = M_f$. Если $\mu , \nu$ — положительные меры на $X$, докажите, что $\pi_\mu \oplus \pi_\nu$ циклично тогда и только тогда, когда $\mu \perp \nu$. Если $\mu \perp \nu$, то $\pi_\mu \oplus \pi_\nu$ эквивалентно $\pi_{\mu + \nu }$. Также, $\pi_\mu^{(n)}$ не циклично при $n \geq 2$.

Проверьте утверждения в следующем примере. Пусть $X$ — компактное пространство и пусть $\{ \mu_n\}$ — последовательность мер на $X$. Для каждого $n$ пусть $\pi_n : C(X) \to \mathcal{B}(L^2(\mu_n))$ определено как $\pi_n(f) = M_f$ на $L^2(\mu_n)$. Тогда $\pi = \bigoplus_n \pi_n$ является представлением. Если меры $\{ \mu_n\}$ попарно взаимно сингулярны, то $\pi$ эквивалентно представлению $f \mapsto M_f$ из $C(X) \to \mathcal{B}(L^2(\mu ))$, где $\mu = \sum_{n=1}^\infty \mu_n / 2^n \left\| \mu_n\right\|$.

Если $\mathcal{A} = \mathbb {C} + \mathcal{B}_0(\mathcal{H})$ и $\pi : \mathcal{A} \to \mathcal{B}(\mathcal{H})$ — тождественное представление, докажите, что $\pi^{(\alpha )}$ является циклическим представлением.

Зафиксируем банахов предел LIM на $l^\infty (\mathbb {N})$ и пусть $\mathcal{H}$ — сепарабельное гильбертово пространство с ортонормированным базисом $\{ e_n\}$. Определим $f: \mathcal{B}(\mathcal{H}) \to \mathbb {C}$ формулой $f(T) = \operatorname {LIM}\{ \langle Te_n, e_n \rangle \}$. Докажите, что $f$ — состояние на $\mathcal{B}(\mathcal{H})$. Если $\pi_f$ — соответствующее циклическое представление, докажите, что $\ker \pi_f = \mathcal{B}_0(\mathcal{H})$. Следовательно, $\pi_f$ индуцирует циклическое представление $\mathcal{B}(\mathcal{H})/\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$, являющееся изометрическим. Сепарабельно ли $\mathcal{H}_f$?

Если $f$ — положительный линейный функционал на $\mathcal{A}$ и $\alpha \in (0, \infty )$, покажите, что $\pi_f$ и $\pi_{\alpha f}$ являются эквивалентными представлениями.

Если $a \in \mathcal{A}$, то $a \geq 0$ тогда и только тогда, когда $f(a) \geq 0$ для каждого состояния $f$.

Если $a \in \mathcal{A}$ и $a \neq 0$, то существует состояние $f$ на $\mathcal{A}$ такое, что $f(a) \neq 0$.

Если $\mathcal{A}$ — сепарабельная $C^*$-алгебра и $\{ f_n\}$ — счётное weak*-плотное подмножество $S_{\mathcal{A}}$ (пространства состояний $\mathcal{A}$), пусть $f = \sum_n 2^{-n} f_n$. Покажите, что $\pi_f$ является изометрией.