Коммутативные C*-алгебры и функциональное исчисление в C*-алгебрах

Докажите утверждение, обратное к следующему предложению: если $\mathcal{A}$ — абелева $C^*$-алгебра с пространством максимальных идеалов $\Sigma$ и $a \in \mathcal{A}$ таково, что $\mathcal{A} = C^*(a)$ ($C^*$-алгебра, порождённая $a$ и единицей), то отображение $\tau : \Sigma \to \sigma (a)$, определённое равенством $\tau (h) = h(a)$, является гомеоморфизмом. А именно, покажите: если $K$ — компактное подмножество $\mathbb {C}$, то $C(K)$ — однопорождённая $C^*$-алгебра.

Если $\mathcal{A}$ — абелева $C^*$-алгебра с конечным числом $C^*$-образующих $a_1, \dots , a_n$, то существует компактное подмножество $X$ пространства $\mathbb {C}^n$ и изометрический $*$-изоморфизм $\rho : \mathcal{A} \to C(X)$ такой, что $\rho (a_k) = z_k$, $1 \leq k \leq n$, где $z_k(\lambda_1, \dots , \lambda_n) = \lambda_k$ (см. упражнение VII.8.12).

Если $X$ — компактное хаусдорфово пространство, покажите, что $X$ вполне несвязно тогда и только тогда, когда $C(X)$ — замкнутая линейная оболочка своих проекторов ($\equiv$ эрмитовых идемпотентов).

Используя терминологию предыдущего упражнения, покажите, что если $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой, то пространство максимальных идеалов $L^\infty (X, \Omega , \mu )$ вполне несвязно.

Если $\mathcal{A}$ — $C^*$-алгебра с единицей и $a = a^*$, покажите, что $\exp (ia) = u$ унитарен. Верно ли обратное?

Пусть $X$ компактно, и зафиксируем точку $x_0$ в $X$. Пусть

Покажите, что $\mathcal{A}$ — абелева $C^*$-алгебра с единицей, и найдите её пространство максимальных идеалов.

Если $X$ вполне регулярно, то $C_b(X)$ — $C^*$-алгебра, и её пространство максимальных идеалов — стоун-чеховская компактификация $X$.