Идеалы и факторалгебры C*-алгебр

Завершите доказательство следующего утверждения: если $X$ компактно и $I$ — замкнутый идеал в $C(X)$, то существует замкнутое подмножество $F$ пространства $X$ такое, что $I = \{ f \in C(X) : f(x) = 0 \text{ for all } x \text{ in } F\}$. Более того, $C(X)/I$ изометрически изоморфна $C(F)$.

Докажите, что $M_n(\mathbb {C})$ не имеет нетривиальных идеалов. Найдите все левые идеалы.

Если $\alpha$ — бесконечное кардинальное число, положим $I_\alpha = \{ A \in \mathcal{B}(\mathcal{H}) : \dim \operatorname {cl}(\operatorname {ran} A) \leq \alpha \}$. Докажите, что $I_\alpha$ — замкнутый идеал в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$.

Пусть $S$ — односторонний сдвиг на $l^2$. Докажите, что $C^*(S) \supseteq \mathcal{B}_0(l^2)$ и $C^*(S)/\mathcal{B}_0(l^2)$ абелева. Докажите, что пространство максимальных идеалов $C^*(S)/\mathcal{B}_0(l^2)$ гомеоморфно $\partial \mathbb {D}$.

Если $V$ — оператор Вольтерры на $L^2(0,1)$, докажите, что $C^*(V) = \mathbb {C} + \mathcal{B}_0(L^2(0,1))$.

Если $\mathcal{A}$ — $C^*$-алгебра, $I$ — замкнутый идеал в $\mathcal{A}$, а $\mathcal{B}$ — $C^*$-подалгебра в $\mathcal{A}$, докажите, что $C^*$-алгебра, порождённая $I \cup \mathcal{B}$, есть $I + \mathcal{B}$.

Если $\mathcal{A}$ — $C^*$-алгебра, а $I$ и $J$ — замкнутые идеалы в $\mathcal{A}$, докажите, что $I + J$ — замкнутый идеал в $\mathcal{A}$.